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2019/6/13 11:57,近世代数,5 群的自同构群,2019/6/13 11:57,本节讨论群的全体自同构作成的群.首先我们来考虑更一般的代数系统的自同构群.,2019/6/13 11:57,定理1,设M是一个有代数运算(叫做乘法)的集合,则M的,推论1 群G的全体自同构关于变换的乘法作成,例1 求Klein四元群,的自同构群.,全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M,的自同构群.,一个群,这个群称为群G的自同构群,记为 AutG.,2019/6/13 11:57,2019/6/13 11:57,定理2,无限循环群的自同构群是一个2阶循环群;n阶,为Euler函数.,证: 由于在同构映射下,循环群的生成元与生成,个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环,元相对应,而生成元的相互对应完全决定,了群中所有元素的对应,因此一个循环群有多,少个生成元就有多少个自同构.,由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有,2019/6/13 11:57,推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同构群同构.,1),是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;,2) G的全体内自同构作成一个群,称为群G的内自同构群,记为InnG;,2019/6/13 11:57,3),2019/6/13 11:57,2019/6/13 11:57,定义1 对群G的所有自同构都不变的子群,亦即对,的子群N,叫做G的一个特征子群.,特征子群一定是正规子群反之不成立.,定义2 设H是群G的一个子群.如果H对G的每个自同,2019/6/13 11:57,则称H为群G的一个全特征子群.,全特征子群一定是特征子群.,例2 群G的中心C是G的一个特征子群.,2019/6/13 11:57,例3,有理数域Q上的2阶线性群G=Gl2(Q)的中心(Q上的所有2阶纯量矩阵)不是全特征子群.,2019/6/13 11:57,2019/6/13 11:57,例4,证明:循环群G=的子群都是全特征子群.,全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是,定理4 设C是群G的中心,则,证:易知,2019/6/13 11:57,2019/6/13 11:57,小结,1.
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