机械振动2012级-1A.ppt

1,第六章 机械振动,2,机械振动基本要求,5、简谐振动的合成。,1、如何判断一个物体是否 做简谐振动；,2、如何建立简谐振动方程；,3、如何使用旋转矢量法解决简谐振动的问题；,4、简谐振动的能量特征；,3,简谐振动 最简单、最基本的振动,谐振子 作简谐振动的物体,简谐振动,复杂振动,6-1 简谐振动,4,一、简谐振动的基本规律,x,5,微分方程的解：,二阶常系数齐次线性微分方程,见同济大学应用数学系主编的高等数学 第五版下册305页例4,6,1、简谐振动基本规律：,以上三式都可以看成简谐振动的定义式,7,简谐振动物体的速度,简谐振动物体的加速度,由,得,2、简谐振动的速度和加速度,简谐振动的速度和加速度仍然是简谐振动,8,图,图,图,取,9,二、描述简谐振动的物理量 求振动方程,1、位移、振幅,最大位移：振幅,位移和振幅的单位:m,位移,10,2、 周期、频率,弹簧振子周期,周期,11,频率,圆频率,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关,单位:赫兹Hz,单位:rad/s,12,相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态. 物体经一周期的振动，相位改变 .,3、相位,相 位,初相位,单位:rad,时,13,14,对给定振动系统， 周期由系统本身性 质决定，振幅和初 相由初始条件决定.,解决了以上问题，就能求出简谐振动方程.,15,已知,求,图,取,16,竖直方向悬挂的谐振子,光滑斜面上的谐振子,k,17,单摆小角度摆动,在角位移很小的时候，单摆的摆动是简谐振动。角频率和振动的周期分别为：,结论,运动方程为：,18,复摆（物理摆）自学,19,几种简谐振动,20,1、如图：m=210-2kg，平衡时弹簧的形变为l = 9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止释放。取开始振动时为计时零点，写出振动方程。,解,先求k,x,O,m,l,得弹簧的弹性系数为：,21,1、如图：m=210-2kg，平衡时弹簧的形变为l = 9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止释放。取开始振动时为计时零点，写出振动方程。,解,由初条件：x0= 9.8cm, v0=0, 得,取平衡位置为坐标原点,下面确定 A 和 ：,22,振动方程为：x = 9.810-2cos( 10t+ ) m,x0= 9.8cm, v0=0,23,2、已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解,振动方程为：,由图可知：,24,25,振动方程为：,26,问题：有无更简单、更直观的研究简谐振动的方法？,6-2 旋转矢量法,27,一、 描述谐振动的旋转矢量法,x,1、 旋转矢量表示法,t = 0,x0,（1）矢量的 模等于简谐 振动的振幅A。,（2）矢量绕 O点作逆时针 方向匀速转动， 其角速度的大 小等于简谐振 动的角频率 。,（3）在t=0时， 矢量A和x轴的正 方向夹角为。,任意时刻t ，它与x 轴的正方向夹角为t+,28,以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.,29,x0 , v0,x0, v0,x0,x0 , v0,x=A,v=0,x = -A, v = 0,x = 0,v 0,x = 0,v 0,2、 旋转矢量位置与振动状态的关系,30,用旋转矢量图画简谐运动的 图,31,3、 旋转矢量的应用,1、 两个同频率谐振动的振动步调, 21 = ( t +2 ) - ( t + 1) = 2 - 1,两个谐振动的相位差：,称振动（2）超前振动（1） ；,若2 1：,称振动（2）落后振动（1） 。,若2 1：, 取小于的值。,32,当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同,称同相,33,当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反,称反相,34,2、 利用旋转矢量确定初相位,要求条件： x0 与A的关系，初速度的正负。,35,例题4,解,用旋转矢量法求解。,此时旋转矢量在哪里？,已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。 （A、 ）,36,3、研究质点的运动,例题5,已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态为过1/2最大位移处且向位移的负方向运动。已知周期为T=2s，求再次通过1/2最大位移处且向位移的正方向运动的时刻。,37,6-3 简谐振动的能量,38,O x X,1、振动系统的动能,以弹簧振子为例讨论简谐振动的能量,39,O x X,3 、系统总能量,2、振动系统的势能,总能量与振幅的平方成正比这是简谐振动的一个基本,振幅不仅代表振动的 幅度而且反映振动能 量的大小，或者说反 映振动的强度。,特征，对于其它简谐振动这一结论也成立,40,简 谐 运 动 能 量 图,系统机械能守恒,简谐振动系统的能量特点,41,例1 、 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简 谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质 量增为原来的四倍，则它的总能量E2变为 (A) E1/4 (B) E1/2 (C) 2E1 (D