（天津专用）2020届高考数学一轮复习单元质检6平面向量、解三角形、复数（含解析）新人教A版.docx

单元质检六平面向量、解三角形、复数(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)1.设复数i-21+i=a+bi(a,bR),则a+b=()A.1B.2C.-1D.-22.已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则有()A.AO=2ODB.AO=ODC.AO=3ODD.2AO=OD3.若非零向量a,b满足a(2a+b),且a与b的夹角为23,则|a|b|=()A.12B.14C.32D.24.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a25.一艘船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为()A.152 kmB.302 kmC.452 kmD.602 km6.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,5127.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(tR)的最小值为()A.2B.3C.2D.58.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且ab=1.若e为平面单位向量,则(a+b)e的最大值为()A.6B.6C.7D.7二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设i为虚数单位,复数z=1-i3-i的虚部是.10.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为.11.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是.12.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AEAF的最大值为.13.若向量a,b满足a=(-3,1),(a+2b)a,(a+b)b,则|b|=.14.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上一个动点,则BPBA的取值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共22分)15.(11分)在ABC中,A=30,BC=25,点D在AB边上,且BCD为锐角,CD=2,BCD的面积为4.(1)求cos BCD的值;(2)求边AC的长.16.(11分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足ccos B+(2a+b)cos C=0.(1)求角C;(2)若c=3,求ABC面积的最大值.单元质检六平面向量、解三角形、复数1.A解析i-21+i=-12+32i=a+bi,a=-12,b=32.a+b=1,故选A.2.B解析由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO,所以OD=AO,故选B.3.B解析a(2a+b),且a与b的夹角为23,a(2a+b)=2a2+ab=2|a|2-12|a|b|=0.又|a|0,|b|0,2|a|=12|b|,|a|b|=14,故选B.4.D解析如图,设BA=a,BC=b,则BDCD=(BA+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos60=a2+12a2=32a2.5.B解析如图所示,依题意有AB=154=60(km),DAC=60,CBM=15,MAB=30,AMB=45.在AMB中,由正弦定理,得60sin45=BMsin30,解得BM=302(km),故选B.6.D解析由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2.如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.7.B解析依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为3.8.C解析(a+b)e=ae+be|ae|+|be|=ae|e|+be|e|,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值,(|ae|+|be|)max=|a+b|=|a|2+|b|2+2ab=7,则(a+b)e的最大值为7,故选C.9.-15解析z=1-i3-i=(1-i)(3+i)(3-i)(3+i)=4-2i10=25-15i,复数z=1-i3-i的虚部是-15.10.-5解析由a(ta+b)可得a(ta+b)=0,所以ta2+ab=0,而a2=12+(-1)2=2,ab=16+(-1)(-4)=10,所以有t2+10=0,解得t=-5.11.(3,0)解析设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.故点P坐标为(3,0).12.92解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,12.设F(x,y),则0x2,0y1,则AEAF=2x+12y,令z=2x+12y,当z=2x+12y过点(2,1)时,AEAF取最大值92.13.2解析a=(-3,1),|a|=2.(a+2b)a,(a+b)b,(a+2b)a=0,(a+b)b=0,即|a|2+2ab=0,|b|2+ab=0.由-2,得|a|2=2|b|2,则|b|=2.14.0,2+1解析如图,画出函数y=1-x2的图象.这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设BP与BA的夹角为,则0,90.当0,45时,cos(45-)=|BP|2,当45,90时,cos(-45)=|BP|2.由于y=cosx,xR是偶函数,所以|BP|=2cos(-45),0,90.BPBA=|BP|BA|cos=22cos(-45)cos=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=2sin(2+45)+1.因为0,90,所以2+4545,225.当2+45=90,即=22.5时,BPBA取最大值2+1,当2+45=225,即=90时,BPBA取最小值0,所以BPBA的取值范围是0,2+1.15.解(1)BC=25,CD=2,SBCD=12BCCDsinBCD=4,sinBCD=255.cosBCD=55.(2)在BCD中,CD=2,BC=25,cosBCD=55,由余弦定理得,DB2=CD2+BC2-2CDBCcosBCD=16,即DB=4.DB2+CD2=BC2,BCD=90,即ACD为直角三角形.A=30,AC=2CD=4.16.解(1)由已知得,sinCcosB+(2sinA+sinB)cosC=0,则sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,sin(B+C)+2