七宝中学自招综合素养测试数学题附答案.pdf

冲刺冲刺 1717 年自主招生之年自主招生之 20162016 年七宝中学综合素养调研测试年七宝中学综合素养调研测试 一、一、 填空题（每题填空题（每题5分，共分，共40分）分） 1. 若若125的立方根是的立方根是 A， 25 的算术平方根为的算术平方根为B，则，则 A B _ . 2. 设设 x ，y 为实数，则代数式为实数，则代数式 2 x 2 4 xy 5 y 2 4 x 2 y 5 的最小值为的最小值为_. 3. 方程：方程： 3x 4 x 5 x 6x的解有的解有_个个. 4. 已知两质数已知两质数 p ，q 之和为之和为 2019 ，则则p 1q1p q的值为的值为_. 5. 在直角三角形在直角三角形ABC中，中，CD ，CE 分别是斜边分别是斜边AB上的高，中线，上的高，中线，BC a ，AC 3a 3， 若若tan DCE 1 ，则则a _. 3 D A E BC 6.在平面直角坐标系内，已知四个定点在平面直角坐标系内，已知四个定点 A3 ，0，B1 ， 1，C0 ，3，D1 ，3及一个及一个 动动 点 P ，则则PAPBPCPD的最小值为的最小值为_. 7. 已知函数已知函数 fx x 2 2a 2x a 2 ，gx x 2 2a 2x a2 8. 设设H1x max fx，gx， H2x min fx，gx ，max p ，q表示表示p ，q中的较中的较大值， 大值， min p ，q 表示表示 p ，q 中的较小值，记中的较小值，记 H1x得最小值得最小值 A ，H2x得最大值为得最大值为 B ， 则 A B _ . 8. 不等式不等式x 1x 2 4 x 3 0 有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做 出出y1 x 1和和 y2 x 2 4 x 3 的图像然后进行求解，请类比求的图像然后进行求解，请类比求 解以下问题：设解以下问题：设 a ，b 为整数，若对任意为整数，若对任意 x 0 ，都有都有ax 2x 2 2b 0 成立，成立，则 则a b _ . 二、解答题：（共二、解答题：（共20分）分） 9. （10分）已知关于分）已知关于 x 的方程的方程 4 x 2 8nx 3n 2 0 和和 x 2 n 3x 2n2 2 0 问问 是否存在这样的是否存在这样的 n 值，使方程值，使方程的两个实数根的差的平方等于方程的两个实数根的差的平方等于方程的一整数根？若存的一整数根？若存 在，求出这样的在，求出这样的 n 值；若不存在，请说明理由值；若不存在，请说明理由. 10. （10分）对于数对序列分）对于数对序列 P a ，b ， a ，b， a，b， 记记 T P a b ， 1122nn 111 TkPbkmaxTk 1P，a1a2 ak2 k n，其其中中maxTk 1P，a1 a2 ak 表示表示 TP和和a a a两个数中最大的数两个数中最大的数 k 112k. 1对于数对序列对于数对序列 P :2 ，5，4 ，1，求求 T1P，T2P的值；的值； 2记记m为为 a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于有两个数对四个数中最小值的数，对于有两个数对a ，b，c ，d组成的数对序列组成的数对序列 P : a ，b，c ，d和和 P :c ，d，a ，b，试分别对试分别对m a的的m d时两种情况比较时两种情况比较 T2P和和 T2P 的大小的大小. 冲刺冲刺 1717 年自主招生之年自主招生之 20162016 年七宝中学综合素养调研测试年七宝中学综合素养调研测试 一、填空题（每题一、填空题（每题5分，共分，共40分）分） 1. 若若125的立方根是的立方根是 A， 25 的算术平方根为的算术平方根为B，则，则 A B _ . 【答】25 3 3 ，【解析】3 A B 2125552555 2. 设设 x，y 为为实实数数，则则代代数数式式2 x 2 4 xy 5 y 2 4 x 2 y 5的的最最小小值值为为_. 【答】0 【解析】原式 x2 4 xy 4 y2x2 4 x 4y2 2 y 1 x 2 y 2 x 22 y 1 2 0 当 x 2 ，y 1 时等号成立. 6. 方程：方程： 3x 4 x 5 x 6x的解有的解有_个个. 【答】1 3 x 4 x 5x3 x 4 x 5 x 【解析】由题意1 ，而 、均随 x 的增大而减小，值域 66 6 6 6 6 取到0到正无穷之间.于是原方程有且仅有一个解. 4. 已知两质数已知两质数 p ，q 之和为之和为 2019 ，则则p 1q1p q的值为的值为_. 【答】2016 【解析】根据题意 p ，q 中必有一个偶数， p 2017 ，q 2 p 1 q1 2016 5. 在直角三角形在直角三角形ABC中，中，CD ，CE 分别是斜边分别是斜边AB上的高，中线，上的高，中线，BC a ，AC 3a 3， 若若tan DCE 1 ，则则 a _. 3 D A E BC 【答】310 3 【解析】设DE x，则AE BE CE 10 x， 9 AC 2 AD AB 10 1 2 10 x2， BC2 BD AB 10 1 2 10 x2 91 102， BC 3 10 3. 8.在平面直角坐标系内，已知四个定点在平面直角坐标系内，已知四个定点 A3 ，0，B1 ， 1，C0 ，3，D1 ，3及一个及一个 动动 点 P ，则则PAPBPCPD的最小值为的最小值为_. 【答】32 2 5 【解析】易知四边形ABCD为凸四边形，设对角线BD与AC交点为O， PA+PBPCPDACBD=18 20 3 2 2 5， 当 P 与O重合时等号成立. 9. 已知函数已知函数 fx x 2 2a 2x a 2 ，gx x 2 2a 2x a2 8. 则 H1x max fx，gx， H2x min fx，gx ，max p ，q表示 表示p ，q中的较中的较大 大 值，值， min p ，q 表示表示 p ，q 中的较小值，记中的较小值，记 H1x得最小值得最小值 A ，H2x得最大值为得最大值为 B ， 则则 A B _ . 【答】12 【解析】fxx a 2 2 4a 4 ，gx x a 2 2 4a 8 当 x a 2 ，fx gx 4 a 4 ，当x a 2， fx gx 4 a 8 ，而 gmax ga 2 4 a 8 ， H2x gx g max 4 a 8 fmin fa 2 4 a 4 ， H1x fx fmin 4 a 4 ，两个等号都能取到， A 4 a 4 ，B 4 a 8 A B 12 8. 不等式不等式x 1x 2 4 x 3 0 有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做 出y1 x 1和和 y2 x 2 4 x 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：的图像然后进行求解，请类比求解以下问题： 设设 a ，b 为整数，若对任意为整数，若对任意 x 0 ，都有都有ax 2x 2 2b 0 成立，则成立，则 a b _ . 【答】3 【解析】作图略，显然a 0，由于 x 的负半轴上ax 2与 x2 2b 不同号 ax 2与 x2 2b 在 x负半轴上交点相同， 2a2b a2x2 4 a2b 2a 0， a 1 ，b 2 ，a b 3 二、解答题：（共二、解答题：（共20分）分） 9. （10分）已知关于分）已知关于 x 的方程的方程 4 x 2 8nx 3n 2 0 和和 x 2 n 3x 2n2 2 0 问是问是 否存在这样的否存在这样的 n 值，使方程值，使方程的两个实数根的差的平方等于方程的两个实数根的差的平方等于方程的一整数根？若存的一整数根？若存 在，求出这样的在，求出这样的 n 值；若不存在，请说明理由值；若不存在，请说明理由. 【答】0 【解析】若存在n满足题意，x1 x22 4n2 3n 2，中x n 1x 2n 1 0， 若 4 n2 3n 2 n 1 0 ，则n 12 ，但 1 n 32 不为整数，舍； 若4 n2 3n 2 2 n 2 ，则n 0或 14 ，当2n 2为整数，则 n 0. 将n 0代入验证成立. 10. （10分）对于数对序列分）对于数对序列 P a ，b ， a ，b ， a，b，T P a b ， 1 1 22nn记记111 TkP bkmaxTk 1P，a1a2 ak2 k n，其其中中 maxTk1P，a1 a2 ak 表表示示TP和和a a a两个数中最大的数两个数中最大的数 k 112 k . 的的值值； 1P :2 ，5，4，1，TP，TP 对于数对序列对于数对序列求求12 2 记记 m为 为 a 、b 、c 、d四 四个个数数中中最最小小值值的的数数，对对于于有有两两个个数数对对a ，b ，c，d 组组成成的的数数对对 序列序列 P :a ，b ， c ，d 和和 P :c，d，a，b，试分别对 试分别对 m a的 的m d时两种情况比较时两种情况比较 T2P和和T2P 的的大大小小. 【答】17，82T1PT1P 【解析】1T1P257，