大连20中2016届高三数学上学期期中试题（文科附解析）

1 / 22 大连 20 中 2016 届高三数学上学期期中试题（文科附解析） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合，则 UA 等于（ ） A 1， 2B 1， 2） c（ 1， 2D（ 1， 2） 2已知复数，则 z 的共轭复数等于（ ） A B c 1+iD 1 i 3已知，则等 于（ ） A 7B c 3D 4 XX是等差数列 3， 7， 11 的第项（ ） A 502B 503c 504D 505 5函数 y=lg（ x2 2x）的单调增区间为（ ） A（ 2， + ） B（ 1， + ） c（ ， 1） D（ ， 2） 6已知函数 f（ x）为奇函数，当 x0 时， f（ x） =cosx，则 =（ ） A B c D 2 / 22 7若等比数列前 n 项和为，则 c 等于（ ） A 2B 2c 1D 0 8命题 p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0与圆 x2+y2=6相交 则 ¬p及 ¬p的真假为（ ） A p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为真 B p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为假 c p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为真 D p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为假 9函数在某一个周期内的最低点和最高点坐标为，则该函数的解析式为（ ） A B c D 10若点 P（ x， y）在以 A（ 3， 1）， B（ 1， 0）， c（ 2，0）为顶点的 ABc 的内部运动（不包含边界），则的取值范围（ ） A ， 1B（， 1） c ， 1D（， 1） 11已知 f（ x） =sinx x（ x，则 f（ x）的值域为（ ） A 0， B 1， c 0， D 1， 12设 F1、 F2 分别是椭圆的左，右焦点， P 为椭圆上任一3 / 22 点，点 m 的坐标为（ 3， 3），则 |Pm| |PF2|的最小值为（ ） A 5B c 1D 二、填空题：本 大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分 . 13椭圆的离心率为 14框图如图所示，最后输出的 a= 15设实数 x， y 满足约束条件目标函数 z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解，则 a= 16已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P 在椭圆上，若 P、 F1、 F2、是一个直角三角形的三个顶点，则 P 到 x 轴的距离为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知关于 x 的不等式对于 a （ 1， + ）恒成 立，求实数 x 的取值范围 18已知圆 c：（ x 1） 2+（ y 4） 2=r2（ r 0） （ ）若直线 x y+5=0与圆 c 相交所得弦长为，求半径 r； （ ）已知原点 o，点 A（ 2， 0），若圆 c 上存在点 P，使得，求半径 r 的取值范围 19已知 ABc 中， D 为 Ac的中点， AB=3， BD=2， cosABc= 4 / 22 （ ）求 Bc； （ ）求 sinA 20已知数列 an满足 a1=3， an+1 3an=3n（ nN* ），数列 bn满足 bn= （ ）求证：数列 bn是等差数列，并求数列 an的 通项公式； （ ）求数列 an的前 n 项和 Sn 21已知椭圆 +=1（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1， F2，左右顶点分别为 A1， A2，过 F1 作斜率不为 0 的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， ABF2 的周长为 8椭圆上一点 P 与 A1，A2连线的斜率之积（点 P 不是左右顶点 A1， A2） （ ）求该椭圆方程； （ ）已知定点 m（ 0， m）（其中常数 m 0），求椭圆上动点N 与 m 点距离的最大值 22已知函数 f（ x） =lnx a（ x 1） 2（ x 1）（其中常数 aR ） （ ）讨论函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 x （ 0， 1）时， f（ x） 0，求实数 a 的取值范围 5 / 22 XX-2016学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合，则 UA 等于（ ） A 1， 2B 1， 2） c（ 1， 2D（ 1， 2） 【考点】并集及其运算 【分析】先解不等式从而解出集合 A，然后求 UA 【解答】解： 全集 U=R，集合 A=x|0=x|x1 或 x2， UA=x|1 x2 ， 故选 c 2已知复数，则 z 的共轭复数等于（ ） A B c 1+iD 1 i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】化简复数为 a+bi，然后求解共轭复数即可 【解答】解：复数 = 则 z 的共轭复数 = 故选： A 6 / 22 3已知，则等于（ ） A 7B c 3D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】直接利用向量的数量积，以及向量的模，求解即可 【解答】 解：， 则 = 故选： B 4 XX是等差数列 3， 7， 11 的第项（ ） A 502B 503c 504D 505 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由题意易得数列的通项公式，令其等于 XX 解 n 值即可 【解答】解：由题意可得等差数列的公差 d=7 3=4， 通项公式 an=3+4（ n 1） =4n 1， 令 4n 1=XX可解得 n=504 故选： c 5函数 y=lg（ x2 2x）的单调增区间为（ ） A（ 2， + ） B（ 1， + ） c（ ， 1） D（ ， 2） 【考点】复合函数的单调性 7 / 22 【分析】令 t=x2 2x 0，求得函数的定义域，根据 y=g（ t）=lgt，本题即求函数 t 在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质，得出结论 【解答】解：令 t=x2 2x 0，求得 x 0，或 x 2，故函数的定义域为 x|x 0，或 x 2， 根据 y=g（ t） =lgt，本题即求函数 t 在定义域内的增区间， 再利用二次函数的性质求得函数 t 在定义域内的增区间为（ 2， + ）， 故选： A 6已知函数 f（ x）为奇函数，当 x0 时， f（ x） =cosx，则 =（ ） A B c D 【考点】函数奇偶性的性质 【分析】直接利用函数的奇偶性以及特殊角的三角函数值求解即可 【解答】解：函数 f（ x）为奇函数，当 x0 时， f（ x） =cosx， 则 = f（） = cos= 故选： D 7若等比数列前 n 项和为，则 c 等于（ ） A 2B 2c 1D 0 8 / 22 【考点】等比数列的前 n 项和 【分析】求出 an，求出 a1， a2， a3，再由 a22=a1a3能够得到常数 a 的值 【解答】解：因为数列 an的前 n 项和 Sn=2n+1 c所以 S1=4 c， S2=8 c， S3=16 c， 又因为 a1=s1， a2=s2 s1， a3=s3 s2，所以 a1=4 c， a2=4，a3=8， 根据数列 an是等比数列，可知 a1a3=a22，所以（ 4 c）8=16 ，解得， c=2 故选： A 8命题 p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0与圆 x2+y2=6相交则 ¬p及 ¬p的真假为（ ） A p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为真 B p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为假 c p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为真 D p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0 与圆 x2+y2=6不相交， p 为假 【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定 9 / 22 【分析】写出命题否定命题，然后判断真假即可 【解答】解：命题 p： aR ，直线 ax+y 2a 1=0与圆 x2+y2=6 相交则 ¬p： aR ，直线 ax+y2a 1=0与圆 x2+y2=6不相交， 直线系恒过定点（ 2， 1），因为在圆 x2+y2=6 的内部，所以直线系恒与圆相交 所以否定命题是假命题 故选： D 9函数在某一个周期内的最低点和最高点坐标为，则该函数的解析式为（ ） A B c D 【考点】由 y=Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式 【分析】由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅 A 值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得 的值，利用点（， 2）在函数图象上，解得： =2k ， kZ ，结合范围 | ，可得 的值 ，从而得解 【解答】解： 某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为， A=2 ， T=2 （ +） = ， =2 ， 10 / 22 f （ x） =2sin（ 2x+ ）， 点（， 2）在函数图象上，可得： 2sin（ 2+ ） =2， sin（ + ） =1，解得： =2k ， kZ ， | ，可得 = 该函数的解析式为 2sin（ 2x） 故选： B 10若点 P（ x， y）在以 A（ 3， 1）， B（ 1， 0）， c（ 2，0）为顶点的 ABc 的内部运动（不包含边界），则的取值范围（ ） A ， 1B（， 1） c ， 1D（， 1） 【考点】直线的斜率 【分析】先有斜率公式得出式子的几何意义是点 P（ x， y）和定点 D（ 1， 2）连线的斜率，由题意画出图形，根据图形求直线 PD的斜率范围 【解答】解：式子的几何意义是点 P（ x， y）和定点 D（ 1，2）连线的斜率， 根据题意画出图形如图： 由图得，直线 BD的斜率是 =1，直线 AD的斜率是 =， 故直线 PD的斜率 k 1， 故选 D 11 / 22 11已知 f（ x） =sinx x（ x，则 f（ x）的值域为（ ） A 0， B 1， c 0， D 1， 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域 【分析】利用利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】解： f（ x） =sinx x（ x， f （ x） =cosx， 则当时， f （ x） 0，此时函数 f（ x）单调递增；当时，f （ x） 0，此时函数 f（ x）单调递减 当 x=时，函数 f（ x）取得最大值， = 而 f（ 0） =0， f（） =1 f （ x）的值域为 故选： A 12设 F1、 F2 分别是椭圆的左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点 m 的坐标为（ 3， 3），则 |Pm| |PF2|的最小值为（ ） A 5B c 1D 【考点】椭圆的简单性质 【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义把 |Pm| |PF2|转化为 |Pm|（ 2a |PF1|） =（ |Pm|+|PF1|） 4然后求出|mF1|得答案 12 / 22 【解答】解：如图， 由椭圆方程，得 a=2， 2a=4 由椭圆定义知： |PF2|=2a |PF1|， |Pm| |PF2|=|Pm|（ 2a |PF1|） =（ |Pm|+|PF1|） 4 连接 mF1交椭圆于 P，则 P 为满足条件 的点 此时 |Pm|+|PF1|最小，则（ |Pm|+|PF1|） 4 最小 F1 （ 1， 0）， m（ 3， 3）， ， |Pm| |PF2|的最小值为 1 故选： c 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分 . 13椭圆的离心率为 【考点】椭圆的标准方程 【分析】根据椭圆的标准方程，确定 a， b 的值，求出 c 的值，利用离心率公式可得结论 【解答】解：由题意， a=3， b=， ， = 故答案为： 13 / 22 14框图如图所示，最后输出的 a= 【考 点】程序框图 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，a 的值，当 i=3，时满足条件 i3 ，退出循环，输出 a 的值为 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 i=1， a=2 i=2， a= 3 不满足条件 i3 ， i=3， a=， 满足条件 i3 ，退出循环，输出 a 的值为 故答案为： 15设实数 x， y 满足约束条件目标函数 z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解，则 a= 0 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有 无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出 a 的值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 若 a=0，则 x=z，此时满足条件最大值时有无穷多个最优解，14 / 22 此时 a=0， 若 a 0， 由 z=x+ay得 y= x+， 若 a 0， 目标函数的斜率 k= 0 平移直线 y= x+， 由图象可知当直线 y= x+和直线 AB： x+y=5 平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时不满足条件， 若 a 0， 目标函数的斜率 k= 0 平移直线 y= x+， 由图象可知 直线 y= x+，取得最大值的点只有一个，此时不满足条件， 综上 a=0， 答案为： 0 16已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P 在椭圆上，若 P、 F1、 F2、是一个直角三角形的三个顶点，则 P 到 x 轴的距离为 【考点】椭圆的简单性质 【分析】设点 P（ x， y），表示出点 P 到 x 轴的距离为 |y|，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令 x=4 得15 / 22 结果，在第二类中要列出方程组，再用等面积法求 |y| 【解答】解：设点 P（ x， y），则到 x 轴的距离为 |y| 由于 a=5， b=3， c=4 ， （ 1）若 PF1F2=90 或 PF2F1=90 ， 令 x=4 得 y2=9（ 1） =， |y|= ，即 P 到 x 轴的距离为 （ 2）若 F1PF2=90 ，则 ， |PF1|PF2|=18 ， |PF1|PF2|=|F1F2|y| ， |y|= ， 由（ 1）（ 2）知： P 到 x 轴的距离为或， 故答案为或 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知关于 x 的不等式对于 a （ 1， + ）恒成立，求实数 x 的取值范围 【考点】其他不 等式的解法 【分析】根据基本不等式的性质得到 3|2x 1|+|x+1|，通过讨论 a 的范围，求出不等式的解集即可 【解答】解：设 a 1=t 0， 16 / 22 则， 当且仅当 t=1时取等号 所以 3|2x 1|+|x+1|， （ 1）当时，有 33x ，得； （ 2）当时，有 3 x+2，得； （ 3）当 x 1 时，有 3 3x，得 x= 1 综上实数 x 的取值范围为 1， 1 18已知圆 c：（ x 1） 2+（ y 4） 2=r2（ r 0） （ ）若直线 x y+5=0与圆 c 相交所得弦长为，求半径 r； （ ）已知原点 o，点 A（ 2， 0），若圆 c 上存在点 P，使得，求半径 r 的取值范围 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】（ ）求出 c 到直线 x y+5=0的距离，根据直线 x y+5=0 与圆 c 相交所得弦长为，利用勾股定理，即可求半径 r； （ ）由可得（ x 4） 2+y2=8，所以只需要圆 c 和圆（ x 4）2+y2=8 有公共点 【解答】解：（ ） c 到直线 x y+5=0 的距离为 d=，直线与圆相交所得弦长为，所以 （ ）设 P（ x， y），由可得（ x 4） 2+y2=8， 所以只需要圆 c 和圆（ x 4） 2+y2=8 有公共点，两圆圆心17 / 22 距离为 5， 所以 19已知 ABc 中， D 为 Ac的中点， AB=3， BD=2， cosABc= （ ）求 Bc； （ ）求 sinA 【考点】解三角形 【分析】（ ）作 AE、 DF 垂直于 Bc，垂足分别为 E、 F，由和差角的三角函数可得 sinABD 的值，由 2SABD=SABc可得 Bc的方程，解方程可得； （ ）由余弦定理可得 Ac的值，再由余弦定理可得 cosA，由同角三角函数基本关系可得 sinA 【解答】解：（ ）作 AE、 DF垂直于 Bc，垂足分别为 E、 F， 由题意可得 sinABc= ， AE=ABsinABc= ，由中位线可得 DF=AE=， sinDBc= ， cosDBc= ， sinABD=sin （ ABc DBc ） = =， D 为 Ac的中点， 2SABD=SABc ， 2ABBDsinABD=ABBcsinABc ， 232=3Bc ， 18 / 22 解得 Bc=2； （ ）由余弦定理可得 Ac2=AB2+Bc2 2ABBccosABc =9+4 232=10 ， Ac= ， 由余弦定理可得 cosA=， sinA= 20已知数列 an满足 a1=3， an+1 3an=3n（ nN* ），数列 bn满足 bn= （ ）求证：数列 bn是等差数列，并求数列 an的通项公式； （ ）求数列 an的前 n 项和 Sn 【考点】数列递推式 【分析】（ ）利用条件，结合等差数列的定义，即可证明数列 bn是等差数列，从而求数列 an的通项公式； （ ）利用错位相减法求数列 an的前 n 项和 Sn 【解答】（ I）证明： ， bn+1 bn=， 数列 bn是等差数列， ， ， 数列 an的通项公式； （ II）解： ， 19 / 22 ， 当 n2 时，相减得： ， 整理得， 当 n=1时， 综上，数列 an的前 n 项和 21已知椭圆 +=1（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1， F2，左右顶点分别为 A1， A2，过 F1 作斜率不为 0 的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， ABF2 的周长为 8椭圆上一点 P 与 A1，A2连线的斜率之积（点 P 不是左右顶点 A1， A2） （ ）求该椭圆方程； （ ）已知定点 m（ 0， m）（其中常数 m 0），求椭圆上动点N 与 m 点距离的最大值 【考点】椭圆的简单性质 【分析】（ ）由 ABF2 的周长为 8 求得 a，然后结合求得b 点的值，则椭圆方程可求； （ ）设出 N 的坐标，利用两点间的距离公式得到 |mN|关于N 的