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文档简介

9.5自伴算子、酉算子和正常算子,主要内容,1.自伴算子、酉算子和正常算子的定义,2.自伴算子、酉算子和正常算子的性质,1,一自伴算子、酉算子和正常算子的定义,定义1设为Hilbert空间到中的,有界线性算子,若，则称为上的,自伴算子；若,则称为上的,正常算子；若是到的一对一映射,且,，则称为上的酉算子.,2,又由酉算子的定义，则有,其中为上恒等算子；,3,4,二自伴算子、酉算子和正常算子的性质,子,那么的充要条件为对一切,有,引理1设为复内积空间上有界线性算,证明若，显然有；,反之，如果（3）式对一切成立，对,任意及数，令，由,5,由条件得,令，则，此时由（4）式,又若令，则由（4）式,6,将（5）式与（6）式相加,得到,由于是中的任意向量，所以.,定理1设为复Hilbert空间上有界,有界线性算子，则为自伴算子的充要条件,为对一切，是实数.,证明若为自伴算子,则对所有,有,7,因此是实数；,反之,如果对所有，都为实数,则,8,证明由共轭算子性质，,所以，自伴的充要条件为.,9,证明因，由于,，所以，,但自伴，故，因此由极限的唯,一性，有.证毕.,10,（1）是保范算子,即对任意，有,（2）当时，；,（3）是酉算子；,（4）是酉算子；,11,证明（1）由酉算子定义,有,（2）由（1）立即可得.,12,所以仍为酉算子.,13,显然是到中的线性算子，并且,14,15,对一的，并且对任何，有,所以.由引理1，.,又因是映射到上的，故在全空间,上有定义，由于，所以.,即.所以是酉算子.证毕.,16,下面介绍正常算子的一些基本性质.,设是复空间上的有界算子,令,17,证明因,所以,18,因此，的充要条件为,即.证毕.,
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