（应用数学专业论文）带泊松跳跃的几何布朗运动经济模型.pdf

哈尔滨i ：稃火学硕十学何论文 摘要 在经济学中，几何靠朗运动可以表示项目价值、产出价格、投入成本以 及随时i 日j 推移随机地主动影响投资决策变量的动态变化过程。由于布朗运动 不能预测负的股票价格，因此很难将之作为一个合理的市场模型。有大量的 证据表明几何布朗运动模型不能获得股票价格演化的所有特征。其中一个证 据就是股票价格在无法预料的时间内突然发生“跳跃 。一般地，布朗过程是 作为处处连续的扩散过程，将经济变量看作不频繁却又离散跳跃的过程来建 市模型的，即把经济变量看作布朗运动和泊松跳跃的混合，将它的动态过程 分为连续部分和跳跃部分，用b r o w n 运动来描述连续部分，而用p o i s s o n 跳 跃来描述不可测的随机事件对这种连续性的破坏。 武汉科技大学的三位老师王志明，黄志勇和许芳忠在2 0 0 7 年的数学杂 志上发表了一篇题为带泊松跳跃的几何布朗运动的经济模型，讨论了带 泊松跳跃的几何布朗运动的经济模型 d x t = x i ( t d t + t r d w , ) 五2 x ，一( 1 + ) x o = x 0 ，t 【z ，z + ，) ( f z + ) 泊松过程发生的时候t t = ( z ；f z + ) 在收益函数为r ( x ) = a x 2 一b 的情形下，利用伊藤公式求得平均收益 v = s u p e e 。尺( x ，) 】。因为证券的运行具有多样性，仅仅局限于二次函数不 符合实际情况，所以还需要进一步的推广。本文就是在他们的基础l 二，将二 次函数改为带参数的幂函数r ( x ) = o _ x 4 一b ，口r ，在相同的限制条件下求 得r 、f 均收益的最优解，构建更一般的经济模型。事实上，他们的结论是本篇 论文的一个特例，本文的讨论是他们的一个推广，更具有一般性。 关键词：几何布朗运动；泊松跳跃；伊藤公式；随机分析 哈尔滨i ：科人学硕卜学伊论文 i i i a b s t r a c t i ne c o n o m i c s ，g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nc a l lb es a i da sad y n a m i cc h a n g e p r o c e s st h a tt h ep r o j e c tv a l u e 、o u t p u tp r i c e s 、a n di n p u tc o s t sw i t ht h ep a s s a g eo f t i m ei n i t i a t i v e l ya n dr a n d o m l ya f f e c tt h ev a r i a b l e so f i n v e s t m e n td e c i s i o n s g e n e r a l l y ，b r o w np r o c e s si sc o n s i d e r e da st h ed i f f u s i o np r o c e s sf o re v e r y w h e r e c o n t i n u u m ，b u tt h er e a l i t yi st h a tt h ee c o n o m i cv a r i a b l e sa r e a tt h o u g h tt ob ea f r e q u e n tb u td i s c r e t ej u m pp r o c e s sw h i c h a r eu s e dt om a k em o d e l s i nt h i sp r o c e s s ， m o s tc o m m o n l y , e c o n o m i cv a r i a b l e sa r es e e na st h ec o m b i n a t i o no fb r o w n i a n m o t i o na n dp o i s s o n i a nju m pp r o c e s s t h ed y n a m i cp r o c e s so f e c o n o m i cv a r i a b l e s i sd i v i d e di n t oc o n t i n u o u sp a r ta n dl e a p i n gp a r t b r o w n i a nm o t i o ni su s e dt o d e s c r i b ec o n t i n u o u sp a r ta n dt h ep o i s s o nj u m p i n gp r o c e s si su s e dt od e s c r i b et h e d a m a g eo ft h ec o n t i n u i t yw h i c hi sc a u s e db yu n p r e d i c t a b l er a n d o me v e n t s t h r e et e a c h e r sw a n gz h i m i n g ，h u a n gz h i y o n ga n dx uf a n g z h o n gf r o m w u h a ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g yu n i v e r s i t yi s s u e dap a p e rn a m e d t h e e c o n o m i c sm o d e lo ft h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nw i t hp o i s s o n i a nj u m p s i n ( ( m a t h e m a t i c sj o u r n a l ) ) i n2 0 0 7 ，w h i c hd i s c u s s e dt h ee c o n o m i c sm o d e lo ft h e g e o m e t r i c b r o w n i a nm o t i o nw i t hp o i s s o n i a nj u m p su n d e rt h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s f d x 7 ；= x r , ( p d t + a d w , ) l = x z ( 1 + ) ik = x o ，f 【z ，z + ，) ( f z + ) iw h e np o i s s o n i a np r o c e s sno c c u r s ，f 丁= ( z ；f z + ) i nt h ec a s eo ft h ei n c o m ef u n c t i o no fr ( x ) = a x 2 b ，i to b t a i n so p t i m a ls o l u t i o n o fa v e r a g ei n c o m ev = s u p e e 卅尺( 五) 】b yi t o f o r m u l a s b e c a u s et h es e c u r i t i e s t m o v e m e n th a sm u l t i p l i c i t y ，w h i c hj u s tc o n f i n e dt ot h eq u a d r a t i cf u n c t i o ni sn o ti n l i n ew i t ht h ea c t u a ls i t u a t i o n ，s of u r t h e rp r o m o t i o ni sn e e d e d o nt h eb a s i so ft h e i r p a p e r ，t h ep o w e rf u n c t i o nr ( x ) - a x 口- bw i t ht h ep a r a m e t e r 口t a k e sp l a c eo f t h eq u a d r a t i cf u n c t i o na n du n d e rt h es a m el i m i t e dc o n d i t i o n s ，o p t i m a ls o l u t i o no f a v e r a g ei n c o m ei sg a i n e di no r d e rt oc o n s t r u c ta m o r eg e n e r a le c o n o m l cm o q e l a c t u a l l y , t h e i rc o n c l u s i o ni sas p e c i a lc a s eo f t h i se s s a y ，a n dt h ed i s c u s s i o ni nt h i s e s s a yi sag e n e r a t i o no f t h e i r sa n di sm o r eg e n e r a l k e y w o r d s ：g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ；p o i s s o n i a nr a n d o mj u m p ；i t of o r m u l a s ； r a n d o ma n a l y s i s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：年月 日 呛尔滨i ：样人学硕+ 学何论文 第l 章绪论 1 1金融数学的发展及框架 会融数学是近l o 多年来蓬勃发展的新兴交叉学科，已经成为国际金融领 域的一枝奇葩，受到国际会融界和应用数学界的高度重视。金融数学的最显 著特征就是有效地运用数学理论和方法发现和论证盒融经济运行的一些规 律。金融数学的重要性可以用美国花旗银行副主席保尔柯斯林于1 9 9 5 年3 月6 门在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所的讲演中所作的著名论断来解 释，他蜕“一个从事银行业务而不懂数学的人，实际上只能做些无关紧要的 小事。”i 。1 “金融资产的定价问题”，或者说一般的“求未来价值不确定的利益的当 自订价值”问题是一个古老的问题，它的历史几乎与概率论这门数学学科的历 史一样长1 2 1 。通常认为，1 6 5 4 年两位法国大数学家b p a s c a l 与p f e r m a t 的五 封通信奠定了概率论的基础。他们当时考虑一个掷骰子问题，开始形成数学 期掣的概念，并以“输赢的钱的数学期望”来为赌博“定价”。这样的观念被 另一位不得志的法国数学家l b a c h e l i e r 所继承。后者首先在他1 9 0 0 年提出 的博士论文投机理论中把这样的观念用于证券定价问题，就引出了对于 经典会融学极为重要的一些数学概念【3 】：随机游走、布朗( b r o w n ) 运动和鞅。 所有这些概念都建立在“证券的当前价值等于其不确定的未来价值的数学期 挈”这一一点卜，只是当证券的当前价值本身也是随机变量时，这罩的数学期 肇将推广为所谓“条件数学期望”，从而证券价值的变化就形成了今天的数学 概念【4 j ：鞅。与此同时，不同时刻的证券价值之差就变为许多随机干扰的叠 加。如果这种随机干扰是独立同分布的，那么当所考虑的时间离散时，这就 形成了所谓“随机游走”；而当所考虑的时间连续时，“随机游走”就演变为 “布朗运动”。“命朗运动”这一名称起源于苏格兰生物学家r b r o w n 于1 8 2 7 年所发现的花粉粒子在水面上的随机游动。1 9 6 0 年以前，人们通常认为“布 朗运动”的数学模型，是由大物理学家爱因斯坦( a e i n s t e i n ) 于1 9 0 5 年首先提 1 哈尔滨t 狸人学硕+ 学伶论文 出的，但是现在人们已经发现这一模型实际上已经出现在b a c h e l i e r 的1 9 0 0 年博士论文中。b a c h e l i e r 的工作在其生前始终未被人所理解，今天他已经被 认为是现代金融学当之无愧的先驱。当然，后来的发展也发现，b a c h e l i e r 的 观念并不十分确切。金融实证分析发现，证券价格本身的变化并不是如 b a c h e l i e r 所设想的那样的“算术布朗运动”，而更接近于“几何布朗运动”， 即并非足证券价格本身的变化形成布朗运动，而是证券价格比例的变化形成 行朗运动。b l a c k s c h o l e s 期权定价理论出现以后，人们更进一步发现，“资产 定价基本定理”意味着，并非证券价格本身对客观概率而言形成某种析i 朗运 动，而是存在某种可能是主观的概率，使得证券( 对无风险证券折算的) 价 格变化形成鞅| 5 】。这后一叙述就是一般的“资产定价基本定理”。本段大致描 述了现代经典会融学理论的数学框架【6 1 。 金融数学的发展曾两次引发了“华尔街革命 【7 8 1 。2 0 世纪5 0 年代木6 0 年代初，m a r l k o w i t z 的证券投资组合理论与s h a r p e 的资产定价理论开创了 金融数学理论研究的先河，从而引发了第一次“华尔街革命”。他们两人因此 获得了1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖。第二次“华尔街革命 是由b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年提出的衍生产品定价理论引起的，从而推动了期权交易业务的发 展。1 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖授予了b l a c k 和s c h o l e s ，就是为了奖励他们在 j l ：l j 杖定价理论方面的杰出贡现。j 下是这两次“革命”，奠定了蓬勃发展的金融 数学这门新科学的基础，同时也为研究新型衍生产品设计的新学科，即会融 工程提供了理论基础。 1 2 布朗运动简介 稚朗运动有着著名的科学背景f 9 l ，它是以英国植物学家罗伯特布朗 ( r o b e r tb r o w n ) 的名字命名的。布朗在1 8 2 7 年首次描述了散命在液体或者 气体中微粒的不规则运动，关于这种运动的解释在1 9 0 5 年由阿尔伯特爱因 斯坦( a l b e r te i n s t e i n ) 首次给出。他指出布朗运动在数学上可以通过假定散 稚的微粒连续不断地受到周围大分子的碰撞来解释，而布朗运动简练的数学 2 哈尔滨一i j 样人学硕十学何论文 定义以及对它们的某些数学性质的说明则由美国应用数学家诺伯特维纳 ( n o r b e r tw i e n e r ) 在1 9 1 8 年发表的一系列文章中给出的【1 0 1 。 在用布朗运动建立的股票或商品价格模型中存在两个主要缺陷 1 - 1 3 】：第 一，既然股票价格是一个正态随机变量，则它在理论上可以取负值；第二， 红析j 朗运动模型罩，假定无论初始价格为何值，固定时间长度的价格差具有 棚h 的正念分伽。这个假设不是很合理。例如：许多人可能不会认为股价一 个月后从现价2 0 美元降到1 5 美元( 下降了2 5 ) 的概率与股价一个月后从 现价1 0 美元降到5 美元( 下降了5 0 ) 的概率相同。 几何稚朗运动模型却能克服上述缺陷。既然股价的对数是正态随机变量， 这就要求股价非负，并且由于它要求的是一定时间内，价格变化相同百分比 的概率不依赖于当前的价格高低，这种假设更具合理性【1 4 15 1 ，由此给出布朗 运动的标准定义：设现在时刻是0 ，用s ( ) ，) 表示未来时刻y 时该证券的价格， 称价格族s ( y ) ，0 y 0 使满足几何仃朗 运动刎7 ：= x 7 ：( 衍+ 盯d 形) ( 2 ) 在每次泊松事件发生的时刻z “z + ) 上，设u = ( ；f z + ) 是一个 独立同分布的均匀分布序列，u ( f z + ) 使x ( t ) 有一个随机的放缩式跳跃 x ，：= x 7 1 - ( 1 + v ) ，其中x r , 一为z 在z 的左极限 孔：定义了这样一个随机过程x ( t ) 后，把处处连续的布朗运动变成了带跳 跃的随机过程，更能满足更一般的经济变量，然后在给定的收益函数r ( x ) 下， 气 阶尔溟1 ：稃人7 ：硕十7 ：伊论文 对r 进行讨论，求r 的数学期望的最大值或最大化的条件，建立更一般的经 济模型。 本文旨在利用伊藤公式和随机微积分的知识，能够对随机过程x ( t ) 和收 益函数r ( x ) 进行深入的研究，加一定的限制条件后，将收益函数r ( x ) 由二次 函数推广到幂函数，从而求出收益尺的最大值，或找到使尺最大化的条件和 方案，构建更一般的经济模型。 1 5本论文的创新之处及结构安排 武汉科技大学的三位老师王志明，黄志勇和许芳忠在2 0 0 7 年3 月的数 学杂志上发表了一篇题为带泊松跳跃的几何布朗运动的经济模型，具体 讨论跳跃幅度为均匀分布和收益函数为二次多项式的随机跳跃过程模型，在 给定收益函数r ( x ) 和一些限制条件的情形下，利用伊藤公式求得平均收益的 最优解。由于证券的运行具有多样性，仅仅局限于二次函数不太符合实际情 况，所以还需要进一步的推广。本篇论文是在他们的基础上，将二次函数改 为带参数的幂函数，在相同的限制条件下求得平均收益的最优解。事实上， 他们的结论是本篇论文的一个特例，本文的讨论是他们的一个推广，更具有 一般性。 本文分为六章： 第一章为绪论。简要介绍了会融数学的发展及框架，布朗运动理论的背 鼻踊f 心刖，本篇文章的研究内容、研究目标和拟解决的关键问题及本论文的 创新之处及结构安排。 第二二章主要是随机过程的基本知识。介绍了随机过程的基本定义，数字 特征和几种重要的随机过程：独立增量过程、w i e n e r 过程、鞅过程和p o i s s o n 过程。 第i 章辛要是伊藤随机分析的基本知识。引入了随机分析的定义及伊藤 公式，并列举了几个相关的例子。 6 哈尔滨 ：稃人学硕十学何论文 第四章主要是几何布朗运动股价模型的讨论。主要讨论了离散和连续模 型，以及模型应用的注意事项。 第五章介绍了加入跳跃的几何布朗运动。包括对数正态跳跃分布和一般 跳跃分布及在相应的分布情况下，无套利价格的表达式。 第六章主要是带泊松跳跃的几何布朗运动的经济模型的讨论。在源论文 的基础上更具一般性的将二次函数改为带参数的幂函数，在相同的限制条件 下求得平均收益的最优解。 结论：对论文进行了深入的总结，概括了本文所研究内容的意义及创新 之处。 7 哈尔滨样人学硕十学f 7 ：论文 第2 章随机过程基本知识 在初等概率论中所研究的随机现象，基本上可由一个或有限个随机变量 束描述。虽然在极限定理中也涉及随机变量序列，但假定了它们之f b j 是相互 独立的，然而在自然界和科学技术的诸多领域中还存在大量随机现象需要用 一族无穷多个相互关联的随机变量来进行描述，通常把这一族随机变量称为 随机过程。 随机过程是对一连串随机事件之间动态关系的定量描述，它是自然科学、 社会科学和工程技术各领域研究随机现象的有力工具，其应用非常广泛：气 象预报、天文观测、通讯工程、原子物理、宇宙遥控、生物医学、管理科学、 运筹决策、计算机科学、经济分析、人口理论、可靠性与质量控制等诸多领 域都已离不开用随机过程的理论建立各种数学模型1 2 8 1 。 随机过程的早期历史属于物理领域，人们可追溯e i n s e i n ，w i e n e r , l e v y 等 人对稚朗运动的丌创性工作【2 9 。3 1 1 ，而e r l a n g 等人则在电话流问题中研究了 p o i s s o n 过程，整个学科的理论基础则是由k o l m o g o r o v 和d o o b 奠定的。生 灭过程是f e l l e r 首次引进的。c r a m e r ，l e v y 和k h i n t c h i n e 等人研究了平稳过 程，d o o b 则研究了m a r k o v 过程和鞅。这些都是早期研究的重要早程碑，目 前这一学科仍在理论和应用两方面以空前的深度和广度在迅速发展着1 3 2 1 。 2 1 随机过程的定义 定义2 1设( q ，f ，p ) 是概率空间，t 是给定的参数集，如果对于任意 ，t ，都有一定义在( q ，f ，尸) 上的随机变量x ( t ，彩) 与之对应，则称随机变 量族 x ( t ，c o ) ，t t 为随机过程，简记为 z ，f t 或坼。 从数学的观点来说，随机过程 x ( t ，c o ) ，f t ) 是定义在丁q 上的二元函 数。当f 固定时，x ( t ，彩) 是( q ，f ，尸) 的随机变量：当缈固定时，x ( t ，缈) 是定 义在丁上的普通函数，成为随机过程以的一个样本函数或轨道( 或现实) 。 8 哈尔滨i j 稗人。学硕十 何论文 通常把随机过程解释为一个物理系统。当f ，功都固定，x ( t ，c o ) 为一个 实数，表示系统在，时刻所处的状态。x ( t ，缈) 的所有可能状态所构成的集合 ( 即x ( t ，缈) 的值域) 称为状态空间或相空间，记为，。 参数t t 表示时f n 】，这正是将 x ( t ，c o ) ，t t ) 称为“过程”的原因。在实 际问题中，t 也可以表示别的量，若f 表示高度，x ( t ，缈) 表示为，处的温度， 这样 x ( t ，) ，t t 也是一个随机过程，所以一般也称随机过程为随机函数。 随机过程可根据参数集丁和状态空间，的情况进行分类。参数集丁和状 念空f n j ，都可分为离散集和连续集两种情况，因此随机过程可分成下列四类： ( 1 ) t 和，都离散的随机过程 ( 2 ) t 离散，连续的随机过程 ( 3 ) t 连续，离散的随机过程 ( 4 ) t 和，都连续的随机过程 通常离散参数集取 l ，2 ，3 ， ， o ，1 ，2 ， 或 ，- 2 ，- 1 ，0 ，l ，2 ，) 而连续参 数集取 口，b 】，【o ，o 。】或( 一，+ o 。) 。离散参数的随机过程也称为随机序列或时 间序列。 随机过程的上述分类方法是比较表面的，更深刻的是按过程的概率结构 来分类。 一般把卜面两种分类方法结合起来。 2 2 随机过程的数字特征 对任意随机过程 x ( f ) ，f t ，若知道了它的有限维分布函数族f ，则该 过程的全部统计特征就完全确定了。但在实际问题中，有时并不需要了解随 机过程的全部统计特性。此外，要确定随机过程的全部有限维分布函数是一 件很网难的事。因此在多数应用中，只限于用随机过程的某些统计特性来代 许尸。这弓概率论中用随机变量的数字特征代替分布函数样。下面给出随 机过程的数字特征的定义。 定义2 2 设一给定随机过程= x ( ，) ，t ) ，对任意，t ，若e x ( 0 9 哈尔滨l 稗人学硕十学传论文 存在，则称 ( ，) = e ( ，) 】，t 为随机过程x ，的均值函数，聊一( ，) 简记为m ( f ) 。 脚。、( ，) 是x ，的一阶原点距，表示随机过程在时刻t 的状态的统计平均。 定义2 3 设= 彳( ，) ，t 是随机过程，对任意j ，t ，若 e 【x ( s ) 一m ( s ) 】【x ( ，) 一所( ，) 】 存在，则称 r 。( s ，) = e 【x ( s ) 一，z ( s ) x o ) 一聊o ) 为x ，的白协力差函数，简称相关函数，f x ( s ，f ) 简记为r ( s ，) ；而称 r ( s ，t ) = 研x ( s ) x ( 纠 为五的自相关函数，简称相关函数，r ( j ，r ) 简记为r ( s ，r ) ，x r 自协方差函 数也记为c ( s ，) ，即有 c 。( s ，f ) = e i x ( s ) 一聊( s ) x ( f ) 一聊( r ) ) 自协方差函数o ( j ，) 是随机过程蜀本身不同时刻状态之间线性关系程 度的种描述。当s = t 时，称r ( s ，) 为随机过程的方差函数，记为 d x ( f ) = r ( t ，) = 研( f ) 一m ( ，) 】2 定义2 4 设x ，= ( f ) ，t 和巧= x ( ，) ，t 均为随机过程，对于任 意给定s ，t ，若e 【x ( s ) 一脚( j ) 】 ( ，) 一所( f ) 】) 存在，则称 f x r ( s ，f ) = x ( s ) 一m ( s ) 】 j ，( f ) 一所r ( ，) 】) 为随机过程x ，与的互协方差函数，并称 r y ( s ，) = 研x ( s ) 】，( ，) 】 为义，与r 的互相关函数。 x ，与一的互相关函数也记为c w ( s ，) 即有 c _ ，( s ，) = e 【x ( s ) 一朋r ( s ) l y ( t ) 一m yo ) 】) 1 0 哈尔滨i j 样人学硕十学何论文 以卜考虑的随机过程均为实值随机过程，在理论研究和实际应用中还需 要考虑复随机过程。 设 x ( ，) ，7 1 和 y ( ，) ，7 1 ) 都是实值随机过程，记 z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) ，t 则称 z ( o ，f t 是一个复随机过程。( x ( ，) ，】，( f ) ) 的联合函数称为z ( f ) 的分行 函数。复随机过程 z ( ，) ，t ) 的均值函数、协方差函数、相关函数分别定义 为 m ：( ，) = 研x ( f ) + i e y ( t ) 】 t ( s ，t ) = e 【z ( s ) 一m ：0 ) 】 z ( ，) 一所：( ，) 】) 月z ( s ，) = 研z ( s ) z ( t ) 】 j t 巾z ( ，) 一m 二( ，) 是z ( ，) 一m z ( ，) 的共轭函数，z ( t ) 是z ( t ) 的共轭函数。 当一= ，时称 d ：( f ) = r ：( f ，) = ez ( f ) 一，z ：( ，) 1 2 为复随机过程 z ( ，) ，t 对任意f t ，m z ( 晚d z ( f ) 都存在，则称 z ( f ) ，t t 为二阶矩过程。 2 3 几种重要的随机过程 对十自然科学、社会科学和工程技术中经常用到的重要随机过程，本节 将简要的介绍独立增量过程、w i e n e r 过程、鞅序列和p o i s s o n 过程【3 3 】。 2 3 1 独立增量过程 定义2 5 设z = x ( f ) ，t 是一随机过程，如果对任意门2 和任意 ，o ，i t ”，t ，f _ 0 ，1 ，玎，x ( t ) 的增量x ( t 1 ) 一x ( t o ) ，x ( t 2 ) 一x ( t 1 ) ， 。v ( ，。) 一x ( t ) 相瓦独立，则称随机过程x 7 为独立增量过程。 哈尔溟t w l ：孚：7 ，页十学伊论文 独立增量过程的特点是：在任一时间i 、日j 隔上过程状态的改变不影响任何 一个与它不相重叠的时间问隔上过程状态的改变。实际中，如服务系统在某 一段时i 日j | 日j 隔内来到的“顾客数”，电话传呼站在某段时间间隔内接到的“传 呼数”等均可用这种随机过程束描述，这是因为在不相重叠的时间间隔来到 的“顾客数”、“呼叫数”都是相互独立的。 如果随机过程，= x ( ，) ，t 对任意s 0 ，5 + h ，+ h t ，随机变量x ( t + h ) 一x ( s + h ) 与x ( t ) 一x ( s ) 有相同的概率 分御，则称x 。有平稳增量。 若随机过程，是独立增量过程且具有平稳增量，则称x ，是独立平稳增 量过程。 2 3 2w i e n e r 过程 w i e n e r 过程是b r o w n 运动的数学模型，英国植物学家b r o w n 发现液体 表面的花粉作不规则的运动，后来就称为b r o w n 运动，这种运动是花粉微粒 受到周围液体分子碰撞而产生的，碰撞次数每秒达1 0 2 1 次，这些微小碰撞力 的总和使花粉作随机运动。下面给出一维b r o w n 运动的数学模型。 设x ( t ) 表示，时刻花粉微粒的坐标，参数集t = o ，) ，对s r t ，位 移x ( 1 ) 一x ( s ) 足 ，1 ：多相互独：澎的微小位移( 是随机变量) 之和，由中心极限 定理，应设其服从币态分布。由于液体的均匀性，自然应假定 【x ( f ) 一x ( s ) 】= 0 ，而方差应与时间间隔f s 成正比，与所在位置及起始时刻 无关，即d 【s ( ，) 一x ( s ) 】= 仃2 ( t - s ) ，仃是依赖于液体性质， 设 t l t 2 t 。t ，位移x ( t 1 ) 一x ( t o ) ，x ( t 2 ) 一x ( t i ) ，x ( t 。) - x ( tn - 1 ) 分别是 许多独立微小位移之和，应设它们独立，即应是独立增量过程。这样就得到 了w i e n e r 过程的如下定义： 定义2 6 实随机过程= ( 晚t ，= o ，o o ) ，如果满足： ( 1 ) x ( r ) 具有独立增量 ( 2 ) x ( t ) - x ( s ) ( s ，t ) 服从n ( o ，盯2 ( t - s ) ) 1 2 哈尔溟1 刷人7 ：硕十学何论文 ( 3 ) x ( 0 1 = 0 则称x 。是参数为仃2 的w i e n e r 过程。 b 以证明w i e n e r 过程是正态过程，下面给出w i e n e r 过程的均值函数与 十 关函数： m ( f ) = e x ( t ) = e x ( t ) 一x ( 0 ) ：0 当s ，时， 凡( j ，) = 研x ( s ) x ( ，) 】 = e x ( s ) 一x ( o ) 】【x ( f ) 一x ( s ) + x ( s ) 一x ( 0 ) 】) = e 【x ( s ) 一x ( o ) i x ( t ) 一x ( s ) 】) + e x ( s ) 一x ( 0 ) 】2 2 盯s 所以有 尺( s ，) = 盯2m i n ( s ，) 2 3 3 鞅序列 最近几十年4 迅速发展起来的现代鞅( 过程) 论，是概率的一个重要分 支，它给随机过程论、随机微分方程等提供了基本工具。 以下仅介绍鞅序列( 即丁= l ，2 ， ) 的基本概念。 定义2 7 设 x 。，n = l ，2 ， 为一随机序列ei 以i 0 0 ，如果 e ( x 川ix l ，x 2 ，x 。) = x 。，n 1 则称x r = x 。，n = 1 , 2 ，) 为鞅序列。 如果将上式中的= 号换为号，则称x ，为上鞅序列；如果将上式中的= 换为v r 。- j ，则称x 为下鞅序列。 既然鞅是用条件期望来定义的，因此可作如下直观理解：设以表示赌徒 在笫刀次赌博时的资本，x i 是他最初的赌本( 这是一个常数) ，而x 。( 门2 ) 1 3 哈尔滨i ：秤人导：硕十学伉论文 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i l l i i i i i 宣 山十! j ! 者博的输和赢却是一个随机变量，如果赌博是公平的，那么每次他的资 本增益的期望是零，办即他在进行以后( + 1 ) 的赌博中，他的资本的期望 值还是他最近一次赌完的资本数x o 数学模型表示，就是定义中的等式，因 此鞅就表示了一种“公平的”赌博，上鞅或下鞅表示了一方赢利的赌博。 2 3 4p o i s s o n 过程 现实世界许多偶然现象可以用p o i s s o n 分布来描述，大量自然界中的物 理过程可以用p o i s s o n 过程来刻画。p o i s s o n 过程是随机建模的重要基石，也 是学习随机过程理论的重要直观背景。著名的例子包括盖格计数器上的粒子 流，二次大战时，伦敦空袭的弹着点，电话总机所接到的呼唤次数，交通流 中的事故数，某地区地震发生的次数，细胞中染色体的交换等等。这类变化 过程- 一朋【略地假定为有相刚的变化类型。人们所关心的是随机事件的数目， 向每一变化可用时间或空f b j 上的一个点来表示。这类过程有如下两个性质： 一是时问和窄问上的均匀性，二是未来的变化与过去的变化没有关系。现在 将基于这些性质来建立p o i s s o n 过程的模型。 定义2 8 设x ，= ( ，) ，t = 【0 ，o o ) 为一随机过程，如果n ( t ) 是取非 负整数值的随机变量，且满足s 0 ，则 r ( ，+ h ) = p o + h ) = 0 ) = 尸 ( ，) = o ，n ( t + h ) 一( ，) = 0 ) ( “j 独立增量)= p n ( t ) = 0 ) p n ( t + h ) 一n ( t ) = 0 ) ( 由平稳增量)= p n ( t ) = 0 p n ( h ) = 0 ) ( 由式( 2 2 ) 、( 2 3 ) ) = e 0 ( 0 1 1 2 h + o ( 向) 】 所以有 业掣：毗- i i - 掣 一= 一一r i ，l 一府厅 令h 专0 ，得 p o ( t ) = 一旯只( ，) 由h 月显的初始条件p o ( o ) = p n ( 0 ) = 0 ) = l ，可解得 r ( ，) = p 砌 ( 2 - 4 ) 类似地，对，? 1 ， 只( ，+ 厅) = p n ( t + 向) = 玎 = p n ( t ) = 疗，n ( t + h ) 一( f ) = 0 ) + 尸 ( ，) = 疗一1 ，n ( t + 厅) 一( ，) = 1 ) + 尸 ( ，) = n - j ，( f + h ) - n ( 0 = ) 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 = 只( ，) r ( 乃) + 只一l ( ，) 鼻( h ) + o ( h ) 由此得 = 只( 0 ( 1 3 h ) + 2 h 只一i o ) + o ( h ) 盟掣：一织( ，) + 弛荆+ 掣 ，z门 令h 一0 得微分方程 以e m 乘以上式得 或 只( f ) = 一弛( f ) + 弛一l ( ，) e a t 【只( f ) + 织( f ) 】= a e 刀只一i ( f ) 要【e 3 a 只( ，) 】_ 2 e m 只一。( ，) a t 令i , = 1 ，由式( 2 4 ) 得 争慷，) 】以 由只( o ) = 0 可解得鼻( f ) = 2 r e 功 用数学归纳法，并注意到只( 0 ) = 0 ，可解得 e ( f ) ：e - u 了( 2 一t ) 刀! 再禾f f 用增量平稳巾丰就证明了式( 2 1 ) 。 ( 2 5 ) 下面证明定义2 9 定义2 1 0 由定义2 9 的条件( i i i ) 礅h ( m 为平稳增量过程，故只需推出定义2 1 0 条件( i i i ) 矛w ( i v ) 成立即可。 由定义2 9 的条件( i i i ) ，对充分小的h 0 ，有 p n ( t + h ) 一n ( t ) = 1 = p n ( h ) 一( 0 ) = 1 ) = p n ( h ) = l 学 。脚 肋 i l 丝= ； 7 加 1 - p = 哈尔滨t 稃人。学硕十学何论文 = 砌【1 一砌+ p ( 厅) 】= 砌+ d ( 办)l、，j 、， 又 j p o + 办) 一o ) 2 ) = p ( 向) 一( o ) 2 ) = p n ( h ) 2 = 扩6 等刮h ， = 2 ，： 故定义2 1 0 的( i i i ) 年l ( i v ) 得证 2 4本章小结 本章主要讨论了随机过程的基本定义及其数字特征，接着介绍了几个重 要的随机过程。根据后面内容的需要，由定义知，布朗运动的就是一个维纳 过程，而维纳过程又涉及到独立增量过程的相关知识，另外在后面章节中也 涉及到泊松跳跃，所以将一些重要的随机过程作了一些简单的介绍。 1 8 哈尔滨i ：稃人。字：硕十学何论文 第3 章伊藤随机分析 由于前j 朗运动不能预测负的股票价格，因此很难将之作为一个合理的市 场模型。然而可以通过考虑布朗运动的函数推导出一系列更广的潜在模型。 基于b l a c k s c h o l e s 定价理论的基本模型，几何布朗运动恰恰可以通过这种方 式推导出来，它承袭了布朗运动的不规则路径1 3 4 1 。为了研究通过这种方法构 建的模型，需要建立一种以御朗运动为基础的随机分析。本章的主题是伊藤 随机分析。 3 1随机积分 用析i 朗运动做标准构件可以构造出许许多多模型，但这需要一种新的微 积分。对于熟悉的牛顿微积分来说布朗运动的路径太粗糙了【3 ”，没有什么用 处，甚至，即使它满足微积分基本定理，也将再次致使人们放弃把布朗运动 作为模型的基础。 用来模拟股价的过程通常是一个或多个布朗运动的函数。为了简单，这 罩限定它仅是一个向朗运动的函数。应该做的首要事情就是写出股票价格演 变的微分方程。 假定股票价格的形式为s ，= f ( t ，形) ，利用泰勒定理( 并假定厂至少是“好 的”) ， f ( t + 6 t ，彬+ 所) 一f ( t ，形) = 8 t f ( t ，彬) + d ( 研2 ) + ( 形竹一形) 厂( r ，形) + 击( 彬+ 加一彬) 2 f ”( f ，彬) + 这旱使用记号 氘加瓤小厂。( ，加秘珊咖= 孑以x ) 在通常链式法则的求导中，当 彬 脚用一个有界的变差函数替代时，右边最 后一项的阶数是d ( 所2 ) 。然而，对御朗运动来说，e l ( w , 础一形) 2 】是研。因 哈尔溟+ i ：秆入宁：硕十予：何论文 此，不能忽略包含二阶导数的项。当然，现在有一个问题，因为必须解释包 含一阶导数的项。如果( 彬+ 研一形) 2 是o ( 6 t ) 阶的，那么( 彬+ 加一彬) 应该是 d ( 万，) 阶的，这能导致在有限的时间区间内 s ) 脚有极大的改变。然而，事 情并不是毫无希望的。彬础一形的期望值是o ，并且在0 点附近的波动是研 阶的。与中心极限定理比较，s s o 是一个明确定义的随机变量似乎是合理 的m 1 。假定对此能给出严格描述，那么满足s = f ( t ，彬) 的微分方程有如下形式 砖= 厂( ，w , ) d t + 厂( 彬) d 彤+ i 1 厂”( 形) 出 为了方便，将它写成积分的形式 s = s o + ( 夕( s ，哌) 凼+ ( 。( 彬) d 形+ ( 乡”( 彬) 幽 ( 3 1 )s = + j ：( s ，哌) 凼+ j ：( 彬) d 形+ j ：毒厂( 彬) 幽 ( 3 - 1 ) 为了伎基于布朗运动的积分是有意义的，必须找到一个对方程( 3 1 ) 右端 的随机积分( s t o c h a s t i ci n t e g r a l ，也就是第一个积分) 的严格的数学解释关键是 研究布朗运动的二次变差( q u a d r a t i cv a r i a t i o n ) 。 定理3 1设彬表示在r , t 的布朗运动，对 0 ，7 1 】的分割万，定义 ，( 石) s ( 万) = i 彬，一彬，一。1 2 j = l 万。是一个分割序列，且万( 死) 一0 ，则 研is ( 死) 一丁i z