（应用数学专业论文）三阶微分方程三点边值问题及其应用.pdf

摘要 摘要 本文主要运用微分不等式的技巧( 或称为上、下解方法) ，在一定条件下证明了一类 三阶非线性微分方程( 不带小参数) 三点边值问题解的存在性和唯一性，在此基础上研究 了在实际应用中广泛出现的带有小参数的一类奇异摄动三点边值问题，利用积分算子和 微分不等式技巧法，构造了其高阶渐近解并得到了解的一致有效估计；最后结合不动点 定理，借助上、下解方法和微分不等式技巧，讨论了一类不满足n a g u m o 条件的三阶微 分方程三点线性边值问题的微分不等式理论。 本文主要由四部分组成： 第一部分，介绍了常微分方程理论和方法的发展历程和奇异摄动理论的发展背景及 前人的一些工作。给出上下解的概念及n a g u m o 条件，同时给出了微分不等式的基本结 果，以及后面会用到的基本引理。 第二部分，利用上、下解方法和微分不等式技巧，引入积分算子在一定条件下研究 了一类三阶非线性微分方程三点线性边值问题的解的存在性和唯一性。 第三部分，引入积分算子和微分不等式技巧，在一定条件下讨论了三阶非线性微分 方程三点边值问题的奇摄动，得到了解的存在性和解的唯一性以及解的一致有效估计。 第四部分，结合不动点定理，借助上、下解方法和微分不等式技巧，研究了不满足 n a g u m o 条件的三阶微分方程三点线性边值问题的解的存在性和唯一性。 关键词：微分不等式；奇异摄动问题；存在性与唯一性；n a g u m o 条件 大连交通大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，b yt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s ( o ru p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d ) ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s ss o l u t i o n so fs o m ec l a s s e so ft h r e ep o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rt h i r d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( w i t h o u ts m a l lp a r a m e t e r ) a t t h i sb a s i c ，w es t u d ys o m ec a l s s e so fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o no ft h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mw h i c ha p p e a ra b r o a di nl i f ea n dy i e l da r e a b ym a k i n gu s eo fv o l t e r r at y p ei n t e g r a l o p e r a t o ra n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e s ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa n dc o n s i s t e n t a v a i l a b i l i t ye s t i m a t i o no fs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ；l a s t ，w ed i s c u s st h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e so fs o m ec l a s s e so ft h r e ep o i n tl i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h i r d o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h o u ts a t i s f y i n gn a g u m oc o n d i t i o n s t h i sp a p e ri sm a d eu po ff o u rp a r t s ： t h ef i r s tp a r t ，i n t r o d u c et h ec i r c u m s t a n c eo fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e r o ma n dt h ew o r k o ff o r m e r , t h e ng i v et h et h e r o mo fs u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o na n dn a g u m oc o n d i t i o n ，a tt h e s a m et i m et h er e s u l to fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y t h es e c o n dp a r t , a ts o m ec o n d i t i o n s ，b ym a k i n gu s eo fs u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o na n dd i f - f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e si n t e g r a lo p e r a t o rs t u d yac l a s so fl i n e a rt h r e e - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so ft h i r do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa n d a s y m p t o t i ce s t i m m a t i o no fs o l u t i o n sa l eo b t a i n e d t h et h i r dp a r t ，a ts o m ec o n d i t i o n s ，b ym a k i n gu s eo fv o l t e r r at y p ei n t e g r a lo p e r a t o ra n d d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e s ，w es t u d ys i n g u l a rp e r t u r b a t i o no ft h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m f o rt h i r do r d e rn o n l i n e a re q u a t i o ne x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa n dc o n s i s t e n ta v a i l a b i l i t y a s y m p t o t i ce s t i m m a t i o no fs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d t h ef o u r t hp a r t ，i nv i r t u eo fs u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o na n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y t e c h n i q u e sc o m b i n e df i x e dp o i n t st h e o r y ，w es t u d ys o m ec l a s s e so fd i f f e r e n t t i a ls y s t e m b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h o u ts a t i s f yn a g u m oc o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ；s i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m ：e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s ；n a g u m oc o n d i t i o n 大连交通大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢及参考 文献的地方外，论文中不包含他人或集体已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得太整塞通太堂或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 本人完全意识到本声明的法律效力，申请学位论文与资料若有不 实之处，由本人承担一切相关责任。 学位论文作者签名： 杠援弓 日期：枷亍年月p ；- 日 大连交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解太整塞通太堂有关保护知识产权及保 留、使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的 知识产权单位属大连交通大堂，本人保证毕业离校后，发表或使用 论文工作成果时署名单位仍然为太羹窒通太堂。学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件及其电子文档，允许论文被查 阅和借阅。 本人授权太整塞通太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入 中国科学技术信息研究所中国学位论文全文数据库等相关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名：蕾爿建劣 日期： n 仵11 月1 5 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电子信箱： 导师签名：劾批 日期：纠年卜月，厂日 电话： 邮编： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 常微分方程理论和方法1 7 世纪末开始发展起来，它不仅是现代数学的一个重要分 支，也是偏微分方程、变分法、控制论等数学分支的基础，是人们解决各种实际问题、 研究自然现象的强有力的工具。它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、 生命科学、经济等领域都有着广泛地应用。1 7 1 8 世纪在力学、天文、物理和技术科学 中就借助微分方程取得了巨大的成就；质点动力学和刚体运动学的问题很容易化为微分 方程的求解问题；1 8 6 4 年l e v e r r e r 根据常微分方程预见了海王星的存在，并确定了海王 星在天空中的位置。现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用，这些应用也 为常微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究， 以适应科学技术高速发展的需要。 在物理、力学、工程技术、化学、控制论、生物应用的数学分支等实际问题中存在 大量含有一个无量纲参数占的常微分方程，它通常是小参数，也可以是大参数，这个无 量纲参数有时包含在微分方程的右端的高阶导数项中，有的则出现在边界条件或初始条 件内和所讨论区域的边界中，或两者都出现。其解u 除了与变量x 有关外还和参数s 有 关，表示为“ - u 0 ，) 或“一“。o ) 。这种微分方程中含有的摄动参数一般是反映一定的物 理性质自然出现的或人为引进的。若摄动问题的解比，0 ) 当_ 0 时不存在关于变量x 一 致收敛的极限，则称该摄动问题是奇异摄动问题f 1 1 。 从实际问题归纳总结出来的常微分方程数学模型是十分复杂的，常常是非线性的、 变系数的，附以非线性的边界条件或初始条件，而常微分方程只是在一定程度上对实际 问题的一种近似描述，任何模型方程都不可能把影响问题的所有因素都反映在微分方程 中来或要求的结果十分精确，一个好的常微分方程模型是在实际问题的精确性和数学处 理的可能性之间的一种平衡。正是由于从实际问题来的微分方程的定解问题的复杂性， 一般欲借助原有的初等方法直接得到此种问题的解析解不大可能实现，有时虽然能得到 问题的精确解，但它对于数学上或物理上的解释、或对数值上的估算却可能是无效的。 从数值的精确性来说，也许数值方法可以做到精确度很高的近似，但很多的常微分方程 定解问题都来自物理、化学等实际问题，能够揭示其物理本质的近似解无疑更为重要。 因为既然我们得到的常微分方程只是实际问题的近似描述，于是求近似方程的精确解就 不见得比求它的近似解更有意义，况且有些精确解因其表达式过于繁杂而不便应用。认 人连交通大学理学硕+ 学位论文 识到这一点后，人们转而去求解问题的近似解、数值解，或者两者结合的形式，期望能 够达到对实际问题的定性或定量的分析。 经过不懈的研究、验证，人们得到了一类行之有效的近似方法，就是奇异摄动方法。 该方法的主要思想，是将非线性、高阶的或变系数的数学、物理定解问题的解析解，用 其所含的某个参数( 或某些小量) 的一致有效渐近展开式的前几项近似表示。由于这些 近似式中的系数可以由线性的( 或基本上是线性的) 、较低阶的或常系数的数学物理问 题来确定，所以一般比原问题简单而且容易求解。奇异摄动方法的优点在于能够对微分 方程的全局性质进行系统的分析，这是一种半数值半解析的方法，能够对问题作出近似 定性乃至定性的分析，这是一般的数值方法没有办法做到的。因此这种方法成为研究比 较复杂的数学、物理问题的有力工具。摄动问题的求解方法一般可以用所谓的渐进方法 求其渐进解，至今已经逐步建立了很多行之有效的奇异摄动方法，主要有边界函数法、 称边界层校正法、拓扑度理论、匹配方法、多重尺度法等。它们在实际应用中有广泛的 应用【2 6 1 。然而由于很多摄动方法多为物理学家，天体学家所提出，他们一般以实际应 用的科学角度为出发点，更加注重所构造问题的近似解与科学实验或经验是否吻合，往 往忽略了这些方法的数学理论基础( 如定解问题解的存在性与唯一性) 。然而在数学理论 上微分方程定解问题的求解，首先必须保证在一定条件下其解的存在性( 或唯一性) ，然 后再构造其近似解才有意义。因而常微分方程边值问题解的存在性与唯一性一直都是常 微分方程边值问题研究的重点之一。 摄动方法的产生可以追溯到1 9 世纪末期天文学家l i n d s t e d t ，b o h l i n ，g y l d e n 等的 工作，他们是利用小参数的幕级数来研究行星的运行问题。这些幕级数虽然是发散的， 却正确地描述了客观现象，引起了人们的很大诧异。1 8 9 2 年杰出的数学p o i n c a r e 证明了 这些发散级数是一种所谓的渐近级数，当小参数充分小时，它的前几项之和可以充分接 近原来问题的解，从而为这种“小参数或“摄动法 建立理论基础。近几十年，特别 是七十年代以来摄动方法成为国际上研究的重要课题之一。至今已经逐步建立起了许多 行之有效的奇异摄动方法，如边界函数法、v l 法、p l k 方法、w k b 方法、多重尺 度法、k b m 方法、平均变分法、对角化技等。它们在天体力学、流体力学、固体力学、 量子力学、自动控制、经济数学、光学、声学、化学、生物学、人口理论、最优化理论 与数学的基本理论研究方面有粉广泛的应用。然而由于很多摄动方法多为物理学家，天 体学家所提出，他们从实际科学的角度出发，更注重所构造的近似解与实验或经验是否 吻合，而忽略了这些方法的数学理论基础( 如定解问题解的存在性与唯一性) 。然而对于 微分方程定解问题，首先必须保证在一定条件下其解的存在性( 或唯一性) ，然后再构造 2 第一章绪论 其近似解才有意义。因而微分方程边值问题解的存在性与唯一性一直都是微分方程边值 问题研究的重点之一。 微分不等式理论( 或上、下解方法) 的诞生为证明非线性常微分方程边值问题的解的 存在性和唯一性及其解的渐进估计提供了一种简单的方法，也为奇异摄动的研究注入了 新鲜的活力。日本数学家m n a g u m o 于2 0 世纪3 0 年代开创性地提出了二阶常微分方 程的边值问题的微分不等式理论【7 】，给出了n a g u m o 条件和n a g u m o 定理【2 】，奠定了 微分不等式理论的基础，l r j a c k s o n 发展了这个理论f 8 1 ，系统地总结了二阶微分不等 式的结果，之后，f a h o w e s 在文 9 】中对n a g u m o j a c k s o n 的结果进行了简化。在h o w e s 和j a c k s o n 系统地总结、发展并简化了该理论后，使这种简单而有效的理论与方法成为 处理各类微分方程的边值问题的解的存在性或唯一性及其数值计算的一种简单而有效 的手段【4 9 】。之后，人们在经典“n a g u m o 条件的框架下( 保证解族的紧性) ，利用微 不等式的方法将常微分方程边值问题解的存在性或唯一性讨论到三阶、高阶微分方程以 及微分系统的各类边值问题( 见【卜1 7 1 ) 。现在微分不等式理论( 上下解的方法) ，与打靶 法、正则摄动法、y u s t e m i k v i s h i k 方法( 亦称边界层校正法) 、l e r a y s c h a u d e r 拓扑度 理论、匹配方法、多重尺度法、不动点定理等一起，已经成为处理常微分方程边值问题 解的存在性及其解的估计的几种常用重要方法之一。运用微分不等式得到的一些常微分 方程边值问题的解存在唯一性结果，往往被用于处理在数学物理中广泛出现的带小参数 且对小参数依赖敏感的各类奇摄动边值问题。其中包括带有单参数、双参数甚至多参数 的各类奇摄动边值问题，及在量子力学、流体力学、光的传播、化学反应理论等学科问 题，在这方面国内外许多学者做大量工作，取得可喜的成果。 1 2 本文的主要工作 本文主要针对三阶常微分方程三点边值问题，利用微分不等式理论来研究一类线性 边值问题，研究其解的存在性和唯一性等定性理论、解的渐近性态和它的渐近估计，并 在此基础上研究一类奇摄动边值问题解的存在性及解的一致有效估计，最后又用一个简 单的替代条件研究了不具备n a g u m o 条件的一类三点线性边值问题的解的存在性和唯一 性。具体是利用微分不等式技巧，把三阶微分方程通过变量代换转化的方式转换为求解 二阶微分方程，利用原有的二阶微分不等式理论，构造方程的上、下解的技巧来考虑更 一般的三阶非线性微分方程三点边值问题。结果表明，这种技巧为其他边值问题的研究 提出了一种新的思路! 具体安排如下： 3 大连交通大学理学硕十学位论文 第二章：对于三阶微分方程的各类边值问题解的存在性，已有许多结果( 见1 8 2 4 1 ) ，既有两点边值问题，又有三点边值问题，既有线性边值条件，又有非线性边值问 题等，还有在力学中大量出现的周期型边值问题。但是这些边值问题，其边界定解条件 都只与一定点( 边界点或内点) 有关，仅局限于两点边值和特殊的非线性方程及三点边界 条件下讨论过，尤其是解的唯一性，至今只有为数不多的几篇论文，为了将三阶微分方 程的边值问题的存在性结果讨论到更加广泛的情形，本章利用上、下解的方法，证明了 一类三阶非线性微分方程的线性三点边值问题解的存在性和唯一性。 第三章：关于二阶、三阶三点一般边界条件情况的边值问题已有不少结果【2 5 】，且 关于奇摄动三阶二点边值问题也有很多学者作了研究f 2 6 1 ，关于三阶三点边值问题的结 果也不少【2 7 q 0 】，但以往的工作仅局限于两点边值和特殊的非线性方程及三点边界条 件下讨论过，尤其是解的唯一性，至今只有为数不多的几篇论文。本章利用微分不等式 技巧，考虑更一般的三阶非线性微分方程三点边值问题的奇摄动。 第四章：在1 9 3 7 年，日本数学家n a g u m o 给出t n a g u m o 条件【7 1 ，奠定了微分不等式 理论的基础。如果以二阶微分方程的两点边值问题即y ”；f ( t ，y ，y ) ，a t 6 ，y q ) = a ， y ( b ) 一b 为例，所谓的n a g u m o 条件就是指：当( f ，y ) e 【口，b lx 【a ( f ) ，声( f ) 】，y7 呻时， f ( t ，y ，y ) = o ( y 2 ) p 引。这就是n a g u m o 最初给定的微分不等式理论基础条件。即如果右端 函数满足n a g u m o 条件，就能够得到i x ，i 的一个先验界，从而能够证明微分方程边值问题 解的存在性。但同时也应注意到，当f ( t ，x ，z ) 关于z 的次数不小于2 时，就不再满足 n a g u m o 条件，而且这还只是纯量的形式，这就限制了其应用的范围。关于线性边值问 题已经有了些结果，文【3 4 】也就带转向点的向量方程在不具备n a g u m o 条件下进行了研 究。本章的主要工作是讨论用其他替代条件来替换n a g u m o 条件，解决不具备n a g u m o 条 件的微分方程边值问题，以使微分不等式理论的应用更加广泛，从而在一定程度上丰富 和发展了微分不等式的理论。 1 - 3 相关定理和引理 下面以一般的三阶线性微分方程三点线性边值问题 j 工二i 。厂o ，x ，x ，z ”) ，一1 1 ( 1 1 ) lz ( 一1 ) 一a ，石( o ) = b ，x ( 1 ) = c 为例给出几个基本概念和预备定理，其中，是卜1 ，1 】尺3 上的连续函数。 定义1 3 1 如果存在函数卢( f ) 和a ( t ) e c 3 【一1 ，1 】，使得当一1 o ，使得所有o ，x ，x ，x ”) 【一1 ，1 】【一n ，n x r 2 成立 i f ( t ，工，z7 ，x ”) l s j l l m ，( i x 1 ) m 吃( m ) ， 其中0 s s 1 ，r 2 0 ，+ 厂2s 3 ，且m ，( z ) = m a x 1 ，z 7 】- ， 0 ，0s zs4 - 0 0 。 ( 2 ) 对任何的p ，z ，z ) 卜1 1 】尺2 使得 厂( f ，x ，工，x ) = o ( i x ”1 2 ) ，i x ”l 一。 n a g u m o 条件的最通常的形式如下： f ( t ，x ，z ) = d ( i z1 2 ) ，当i z i ，o ，x ) e a ，6 】【口，卢】。 这是由n a g u m o 自己最初给定的。 这显然意味着x ”= f ( t ，x ，z 7 ) 在子区间，c 【a , b 】上满足a ( t ) sx ( t ) s 卢o ) 的每一个解 x x ( t ) 具有有界的导数，也就是说，存在某一个常数n = ，) 使得在，上成立 lx7 ( f ) l sn ，即要求厂作为x 的函数增长的速度不很快。 显然，如果 x ”sf ( t ，x ，x ) = o ( ix 1 2 ) 和口o ) sx ( t ) 墨卢o ) ，则iz 障l v ( a ，卢) 。 定义1 3 3 p l l 格林函数( g r e e n ) 又称源函数，它表示点源产生的场，即6 一函数源产 生的电位函数在引人格林函数之后； 我们知道，要求问题 5 大连交通大学理学硕十学位论文 j 厶。风。譬”+ n o 弦+ p ：，讧= 厂o ) ( 1 2 ) i 工( 口) ；o , x ( 口) = o ，t e a ，6 】， 的解，如果已知o ) ，屯o ) 是对应齐次方程 l x p o ( t ) x ”+ p l ( t ) x + p 2 0 弦= 0 ( 1 3 ) 的两个线性无关解，则有 = 碰嚣嵩哟 灿 ( 1 4 ) 舯忡，z 隆黜陋髓捌式 如果令 g 卜赢隆麓剖 则( 1 4 ) 可以写成 x o ) ；i = a ( t ，s ) ，( s ) d s ( 1 5 ) 我们称o ( t ，s ) 为二阶线性微分算子的单边格林函数，或称为l 的逆算子r 1 的核。 注：( 1 ) 求解边值问题时只要求出格林函数，其解可以表示为积分形式，而具有格 林函数的边值问题比一般边值问题简单，边界条件总是齐次的，方程右边是6 一函数， 只要得到特殊边界问题的解，就能求出一般边值问题的解； ( 2 ) 格林函数可以将微分方程和边界条件变为积分方程，而在多数情况下，积分 方程是可以用简单的近似法求解的【3 2 1 。 n a g u m o 的微分不等式方法是建立在这样的观察基础上，即如果存在光滑( 即，二 阶连续可微或c 2 ) 的函数a o ) ，卢o ) 具有如下的性质： f a ( t ) sf l ( t ) a ( a ) 墨as f l ( a ) ，a p ) s b s f l ( b ) ( 1 6 ) l 乜”f ( t ，口，a ) ，卢”sf ( t ，卢，卢) 引理1 3 1h 1 假定存在具有性质( 1 6 ) 的界定函数a o ) ，f l ( t ) ，并且函数，满足关 于口( f ) ，f l ( t ) 的广义n a g u m o 条件。那么d i r i c h l e ti h - 题( d p ) 具有属于c 2 ( 陋，6 】) 解x x ( f ) 它对于【口，b 】中的f 满足a ( t ) s x ( t ) sf l ( t ) 。 6 第二章三阶1 f 线性方程三点线性边值问题解的存在性与唯一性 第二章三阶非线性方程三点线性边值问题解的存在性与唯一性 2 1 引言 在理论上有重要意义，而且在流体力学、弹性力学、量子力学、声学、光学、化学 反应和最优化控制等领域中有重要应用的三阶非线性常微分方程各类边值问题解的存 在性，国内外学者已作过一系列研究【3 5 q 8 】，既有两点边值问题，又有三点边值问题， 既有线性等，又有非线性边值问题等，还有在力学中大量出现的周期型边值问题。但是 这些边值问题，其边界定解条件都只与一定点( 边界点或内点) 有关，仅局限于三阶或二 阶微分方程两点边值和特殊的非线性方程及三点边界条件下讨论过，对于非线性边界条 件和边界条件所具有的周期和非线性边界条件，涉及甚少，尤其是解的唯一性，至今只 有为数不多的几篇论文 3 5 ，3 9 。在三阶微分方程边值问题的研究领域中，其主要技巧 是构造上、下解方法，单调迭代法和l e r a y s c h a n d e r 拓扑度理论，不动点定理， l y u s t e r n i k v i s h i k 方法( 亦称边界层校正法) 等。而且有些已有的方法、研究尚不能解 决解的存在性和唯一性的关键性问题。 为了将三阶微分方程的边值问题的存在性结果讨论到更广泛情形，我们从积分微分 方程出发，引入v o l t e r r a 型积分算子，以二阶边值问题的已知结果为基础，将三阶边值 问题转化为相应的二阶v o l t e r r a 型积分微分方程，建立了v o l t e r r a 型积分微分非线性边 值问题的解的存在性，同时在上解存在的前提下，利用反证法获得了解的唯一性，得到 了三阶非线性微分方程的三点线性边值问题的解的存在性与唯一性，具有广泛的适用 性。本文利用微分不等式技巧，考虑更一般的三阶非线性微分方程三点线性边值问题 x ”= f ( t ，x ，z ，x 。) ( 2 1 ) x ( 0 ) = 彳，a l x ( 一1 ) - b a x ”( 一1 ) = b ，a 2 x ( 1 ) + b z x ”( 1 ) = c ( 2 2 ) 其中a i , b f 苫0o 一1 2 ) ，a l + q 0 ，a 2 + 6 2 o 。 我们将在通常意义下，研究( 2 1 ) 之满足线性边界条件( 2 2 ) 的解的存在性与唯 一性。结果表明，这种技巧为其它边值问题的研究提出了崭新的思路。 2 2 相关定理和引理 引理2 2 1 ( a s c o i i n a r z e i a 定理h 们)设f = 厂p ) 是定义在a f b 上的一致有界 且同等连续的函数族，则从f 中必可选取一个在astsb 上的一致收敛的子序列 f l ( f ) ) ( ，l = 1 ，2 ，) 。 注：( 1 ) 若存在常数k 0 ，使得i o ) i 七，( x e l ) 对一切n = 1 ，2 ，成立，则称 五0 ) ，厂2 0 ) ，g ) ，在区间，上一致有界。 7 大连交通大学理学硕十学位论文 ( 2 ) 对于任意的正数，存在正数6 = 6 ( s ) ，使得只需黾，x 2e e l ，i 墨一x 2i 6 就有 i 无瓴) 一化) i 0 ， a 2 f l7 ( 1 ) + 6 2 卢”( 1 ) 0 则边值问题 y ”= d ( t ) y 。+ b ( t ) y + e ( t ) y ( 2 8 ) a l y ( 一1 ) 一b l y ”( 一1 ) = o ，y ( o ) = 0 ，a 2 y ( 1 ) + 6 2 y ”( 1 ) = 0 ( 2 9 ) 只有零解。 证明：采用反证法。如果边值问题( 2 8 ) 一( 2 9 ) 存在非零解y o o ) ，则 y o ( t ) 0 ( 一1 ts1 ) ，且可不妨设有t o 【一1 , 1 】，使得y ：o 。) 0 ，因为对任何实数m ， m y o o ) 亦是边值i o - 1 题( 2 8 ) 一( 2 9 ) 之解，故由户1 0 f ) 0 ，又知集合 d = t mim y o ( t ) o ，这与( 2 9 ) 矛盾，类似地，t ，1 ，故t 。( 一，于是由( 2 1 0 ) 一( 2 1 1 ) 两式知，m 。y ：瓴) ；卢”瓴) ， 进而可知卢”“) m 。y 触) ，从而存在t 5 ( - 1 , 1 - t ) ，使得当t ， 0 ，使得所有i t ，z ，工7 ，x ) 【一1 , 1 1 x 一n ，n x r 2 成 立 i ，o ，x ，工，z ”) l - = h 由。蚓净丘秽1 ) 其q b0 1 ；qs 1 厂2 o - + 厂2s3 ，且中，( ，) = m a x l , ，7 ，乏0 ，0s ， + 。 ( 幸) 对任何的o ，工，x7 ) 【一l 1 x r 2 使得 厂o ，x ，x ，工”) 一d ( i 工。1 2 ) ，k ” - - - ，0 0 下面我们将讨论边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 解的存在性与唯一性。 定理2 3 1 假设 ( 1 ) ，( f ，x ，x ，x ”) c ( 【一l 1 xr 3 ) ，满足n a g u m o 条件，且当一1 sts0 时，关于x 单 调不减；当0 s ts 1 时，关于x 单调不增。 ( 2 ) 存在函数a ) ，( f ) c 3 【一1 ，1 】，使 当一1 s ts 1 时 口o ) s ( f ) ，口( f ) s 声”o ) ， 口”( f ) 乏厂o ，口( f ) ，a i t ) ，口o ”， 卢”( f ) si ( t ，f l ( t ) ，p o ) ，”o ) ) ， 且当- 1 s ts 0 时，f l ( t ) s 口( f ) ，当0 s ts 1 时，a ( t ) s ( f ) ，又口( o ) 一a ；( 0 ) ， 口l 口( 一1 ) 一6 1 口”( 一1 ) sb s a , p7 ( 一1 ) - b 1 , 8 ”( 一1 ) a 2 0 t ( 1 ) + 6 2 口”( 1 ) scs 口2 p ( 1 ) + 6 2 卢。( 1 ) 则边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 有解x ( t ) e c 3 【一1 1 】，使得卢o ) sx ( t ) sa ( f ) ，一1s t 0 ， a ( f ) 墨z o ) 墨t k t ) ，0 s ts 1 。 证明：令z 一m 则z o ) = a + f o “o ) d s 一九于是边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 转化为下述 问题。 口”一厂o ，九，“，“7 )( 2 1 ) a l u ( o ) 一岛h7 ( 0 ) = b ，口2 u ( 1 ) + 6 2 u ( 1 ) ；c( 2 2 ) 选取口；口。，p 一p 。，显然有口。s 卢。， & ( f ) = a + j ：口( s ) d s ， 卢( f ) za + f o g ) d s ， 此外，由条件( 2 ) 及厂的单调性易知，当一1 ts1 时 大连交通人学理学硕十学位论文 口：f ( t ，a + 正口o 冲，口：) ， p ? sz ( t ，a + 正卢( s ) 出，卢，筑 a l e x ( 一1 ) - b 。口：( 一1 ) sb s a l f l 。( 一1 ) 一6 1 ：( 一1 ) ， a 2 c x 。0 ) + 6 2 口：( 1 ) scs 口2 。( 1 ) + 6 2 卢：( 1 ) 故由引理2 2 3 ，边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 有解h g ) ，r a ( f ) s “o ) s 卢( f ) ，一1s t 墨1 ，注意 到关系式z o ) = “o ) ，容易知道z ( f ) la + 上“g ) a s ，且当一l t s o 时，( f ) sx ( f ) s 口o ) ； 当0 s ts 1 时，口o ) s 石o ) s 卢o ) 。 定理2 3 2假设 ( 1 ) 定理2 3 1 中的条件( 1 ) 成立。 ( 2 ) 存在函数( t ) c3 【一1 , 1 】，使 当一1sts1 时0 ( f ) ，0 卢”( f ) ， 声”o ) s 九o ，x ，工，x ”) f l ”( f ) + ，1 9 f ，x ，工，z ”) f l o ) + 丘( f ，工，工7 ，z ”) 卢o ) ， 且当一1s ts 0 时，f l ( t ) s0 ，当0s ts1 时，0s f l ( 0 ，f l (