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用中点坐标公式巧解三等分点问题题1 (北京市西城区2014届高三一模理科第19题)已知椭圆，直线l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、两点，O为坐标原点. (1)若直线的方程为，求外接圆的方程；(2)判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 参考答案(1)因为直线的方程为，所以直线与x轴的交点，与轴的交点.得线段的中点，即外接圆的圆心为，半径为. 所以外接圆的方程为. (2)存在直线，使得是线段的两个三等分点.理由如下：由题意知，可设直线的方程为，得，.由方程组，得. 所以.由韦达定理，得, .由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合. 所以，解得 .由是线段的两个三等分点，得.所以，即 解得，且满足. 所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，且此时直线l的方程为，或. 下面用中点坐标公式给出第(2)问的巧解：存在直线，使得是线段的两个三等分点.理由如下：由题意知，可设，由是的中点，得.同理可得.由点均在椭圆上，可得，然后得点的坐标，进而可得答案.题2 (2004年高考广东卷第22题)设直线与椭圆相交于两点，又与双曲线相交于两点，三等分线段.求直线的方程.参考答案 设，得三等分线段的充要条件是线段的中点重合(即)且.(1)当直线的斜率不存在时，设.由得；由得.因为，所以.此时.(2)当直线的斜率存在时，设.由得由 得因为，所以，得或.i)若，可得；.再由，得.此时.ii)若，由弦长公式得即，也即因为，所以.此时.综上所述，可得所求直线的方程是或.简解 设，由是的中点，得.同理可得.由点均在双曲线，得，所以由点均在椭圆上，得，所以由可得，.又点不重合，所以有以下三种情形：(1)且.可得，所以此时直线的方程是.(2)且.可得，所以此时直线的方程是.(3)且.可得，得(这里的正、
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