（计算数学专业论文）一类关于lamé方程和波动方程系数反问题的讨论.pdf

摘要 随着科学技术的发展，弹性成像法( e l a s t o g r a p h y ) 技术开始成熟。该技术的 应用提出了一类关于l a m l d 方程和波动方程系数反问题。在这类反问题中，由于 可以用l a r n i d 方程和波动方程解的内部测量值代替了惯常采用的边界测量值，这 类反问题具有更好的稳定性。由于其数学模型向量l a m d 方程和标量波方程都是 双曲型方程。本文就主要运用一些双曲型方程的性质对其进行一些探讨。 本文首先简单介绍了其工程背景。接着从实际出发，建立了系数为分片光滑 函数的假设下这类问题的数学模型，提出了相应的反问题。进一步，我们证明了 通过波场的内部测量值，可以在剪切( 压缩) 波传播到的区域里唯一确定l a m d 方 程和波方程与空间相关的系数。最后，我们应用了一种称为变分同化的变分逼近 方法来数值反演波方程的系数。 关键词：双曲型方程，l a m d 方程，波方程，反问题，分片光滑系数，系数反 演，广义变分同化 中图分类号：0 1 7 5 2 i n t r o d u c t i o n t h en e wd e v e l o p m e n to f t e c h n o l o g ym a k e st h ee l a s t o g r a p h y , au e wd e s t r u c t i v e m e t h o d ，t ob ea b l et ob eu s e di nm e d i c i n ea n do t h e rf i e l d s f o rt h em a t h e m a t i c a lm o d e li nt h ee l a s t o g r a p h y ，s o m en e wk i n do fi n v e r s ep r o b l e m sa r ep r o p o s e d s i n c ei nt h ef o r m u l a t i o no ft h e s ei n v e r s ep r o b l e m s ，i n s t e a do fu s i n gt h eb o u n d a r ym e a s u r e m e n t sa st h ed a t a ，t h ei n t e r i o rm e a s u r e m e n t sa r eu s e dt or e c o v e rt h e c o e f f i c i e n t so fe q u a t i o n s ，t h e s ei n v e r s ep r o b l e m sb e c o m em o r es t a b l e t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so ft h i si n v e r s ep r o b l e ma r et h ev e c t o rl a m 6e q u a t i o na n dt h e s c a l ew a v ee q u a t i o n b o t ho ft h e ma r ea l lh y p e r b o l i ce q u a t i o n t h e r e f o r e ，w ec a n d i s c u s st h ep r o b l e mw i t hs o m ep r o p e r t i e so ft h eh y p e r b o l i ce q u a t i o n i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ei n v e r s ep r o b l e m si n t h ee l a s t o g r a p h yt h e ns o m em a t h e m a t i c a lm o d e l sw i t hp i e c e w i s ec o n t i n u e sc o e g f i c i e n t sa r ee s t a b l i s h e db a s eo nt h ep r a c t i c a la s s u m p t i o n s t h ef o r m u l a t i o no fo u r i n v e r s ep r o b l e m si sg i v e n w ep r o v et h a tt h es p a c ed e p e n d e n tc o e f f i c i e n t so ft h e l a m de q u a t i o na n dt h ew a v ee q u a t i o nc a nb eu n i q u e l yd e t e r m i n e di nt h ed o m a i n w h e r et h ec o m p r e s s i o n ( s h e a r ) w a v e sr e a c h f i n a l l y ，t h eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l d a t aa s s i m i l a t i o nm e t h o d ，ak i n do fv a r i a t i o n a la p p r o a c hm e t h o d ，i sa p p l i e dt o r e c o v e r yt h ec o e f f i c i e n t so ft h ew a v ee q u a t i o nn u m e r i c a l l y k e y w o r d s ：h y p e r b o l i ce q u a t i o n ，l a m e q u a t i o n ，w a v ee q u a t i o n ，i n v e r s e p r o b l e m ，p i e c e w i s ec o n t i n u e sc o e f f i c i e n t ，c o e f f i c i e n tr e c o v e r y ，g e n e r a l i z e dv a r i a - t i o n a ld a t aa s s i m i l a t i o nm e t h o d c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 l 第一章背景简介和反问题的提出 1 1 背景简介 医学实验表明，人体中的肿瘤同周围正常组织在硬度上有着明显的区别。i 临 床上，一直以来是通过按压等“触诊”方法来发现接近皮肤的不正常硬块，并且通 过经验来判断其硬度并进行诊断。这种诊疗方法有着巨大局限：( 1 ) 无法探查到人 体内部难以触摸到的病变组织；( 2 ) 无法准确定量判断病变组织的硬度而一些已 经迅速发展的非创伤性探测方法，如核磁共振成像( m r i ) 、c t 、超声波，也都无 法对组织硬度进行很好的测定。 随着科学技术的发展，提出了一种新型的可视技术一弹性成像法( e l a s t o g - r a p h y ) ( 2 ， 3 ， 1 4 ， 1 6 和 1 9 ) 来解决这个问题。并给出了三种实验方法： ( 1 ) 静态实验：直接将组织压缩； ( 2 ) 动态正弦激励实验：在组织边界上给定一个时间调和激励，从而在组织内 部产生一个时间调和波； ( 3 ) 瞬时弹性成像法：在组织边界上给定一个短暂的时间相关脉冲，从而在组 织内部产生一束波。 这些实验方法揭示出了这项技术的应用过程： s t e p1 在无损伤的情况下，对组织直接进行压缩，或通过体外产生的波在 人体内以弹性波的形式传播，使人体组织内部产生位移； s t e p2 在一个规范的网格上，可以通过超声波或是核磁共振成像对网格点 上的这种内部位移量进行测量并成像； s t e p3 由这些点上的内部位移量，我们可以构造出某种局部算法，由一点 及附近点上的数据重构并成像这点人体组织同硬度相关的弹性系数等物理参数。 图1 1 便清楚的反映了这项技术的实质： 实验表明，由于( 1 ) 此项技术直接利用测量到的内部值，而非惯常采用的边 界测量值；( 2 ) 弹性波在人体内传播时，在非正常组织中的波速是正常组织中的两 倍。因此弹性成像法能更清晰地反映出人体内不同硬度的组织的分布情况 本文主要关注瞬时弹性成像法。经过实验( 【1 8 ) ，我们可以用均匀的、各向同 性弹性体中的l a m 4 方程来描述( 【1 2 ) ： ( 1 ) 向量形式数学模型 ， lv ( a ( z ) v 面( z ，t ) ) + v 阻0 ) ( v g ( z ，t ) + v 疗。 ，t ) ) = p ( 。) 面t ( 茁，t ) ， l 初、边值条件 、 这里。qcr n ( n = 2 ，3 ) ；0 0 是一个给定 的常数。 我们考虑正问题数学模型： 复旦大学硕士学位论文 4 ( 1 ) 向量形式数学模型 v ( a ( z ) v - 矗( 茁，t ) ) + v 【肛( z ) ( v 面( z ，t ) + v 矗( z ，t ) ) = p ( z ) 面。( z ，t ) ， i n n ( 0 ，丁) ， 筹：= ( m ) v 吲州) ) j + 比) ( v 鼬，卅v 萨( 州) ) = 弛，巩 ( 1 2 1 ) 订( z ，0 ) = 讯( 。，0 ) = 0 ， ( 2 ) 标量形式数学模型 o i l 凇( 0 ，t ) i n q 1v c “( z ) v u ( z ，t ) 】p ( 。) u “( 。，t ) ， i n q ( 0 ，t ) ， 瓦o u ：= 比) v u ( 毛小_ 咖，巩o n 锄( 0 ，t ) ， ( 122 ) l “( z ，0 ) = 孔t ( z ，0 ) = 0 ， i n q 这里是a q 的单位外法向量，是单位矩阵。l a m 6 系数满足下列条件 a ( z ) ： ! ( z ) 】 。q d ( 1 2 3 ) ia ( z ) ， z d 其中在( 1 2 1 ) 中的“a ，x 为c 2 函数。 肛( z ) ： 声( z ) ) z q d ( 1 2 4 ) i 面( z ) ， z d 其中在( 1 2 1 ) 中的互，面为g 2 函数；( 1 2 2 ) 中的为c 1 函数。 p ( 。) ： 烈z l z q d ( 1 2 5 ) i 烈z ) ， z d 其中在( 1 2 1 ) 中的 ，万为c 1 函数；( 1 2 2 ) 中的为c o 函数。 我们假设： a ( z ) ，( z ) ，p ( z ) 1 2 0 0 ( 1 2 6 ) 其中q o 为给定的常数。 利用 4 】和 1 3 中的方法，我们可以证明：( 1 ) 当歹 c 2 ( ( o ，t ) ；h 3 2 ( a q ) ) p 时，方程( 1 2 1 ) 存在唯一解d c 2 ( ( o ，t ) ；h 1 ( q ) ) h ( 2 ) 当g c 2 ( ( o ，t ) ；h ( a q ) ) 时，方程( 1 2 2 ) 存在唯一解u c 2 ( ( o ，t ) ；日1 ( q ) ) 我们要讨论的反问题：就是由已知内部测量值训n 。( o ，t ) ( 或u a 。( o ，t ) ) ，确定分 片光滑的l a m 6 系数a ( z ) ，弘( z ) ，密度p ( 。) ，以及波速勺( z ) 和c 。( z ) 。 注记1 2 1 我们用同样的方法，可以讨论当区域q 包含多个不均匀介质d 3 ，( y = 1 ，k ) 的相应反问题这里就：e - 再多叙了。 第二章反问题的唯一性 2 1 反问题唯一性结论 前面提到，m c l a u g h l i nje t “在f 1 5 中，给出了这个反问题的唯一确定性， 但文f 1 5 1 中的方法是无法直接应用到系数是分片光滑假设情况下的。下面我们利 用具有分片光滑系数的方程解的性质，结合文 1 5 中的方法，证明了这些分片光 滑的物理参数也可以被内部位移量唯一确定。 定理2 1 1 ( 1 0 ) 假设区域dc cqc 黔。对于j = 1 ，2 ，系数( a ，n ，肛j ) 满足 ( 1 2 3 ) 一( 1 2 6 ) 。如果面眵2 ( ( o ，r ) ；日1 ( q ) ) r 是方程 v ( a j ( z ) v d ( z ，t ) ) + v 卢j ( z ) ( v 面( z ，t ) + v 矗t ( x ，t ) ) = n ( z ) d “( z ，t ) i n q ( 0 ，t ) ， 筹：= 盼舡) v 吲州) ) + 脚( 州v m ，讣v 矿( 州) ) ：鼬， 矗( z ，0 ) = 盈( z ，0 ) = 0 的公共解，即同时满足这两个方程。我们有下列结论： j 、女n 果a l ( z ) p 1 ( 茁) = a 2 ( 。) p 2 ( z ) ，x q ，月i | z q q e 时成立 p - ( z ) p ( z ) = 肛2 ( z ) p 。( z ) ， ( 剪切波速) ( 肛( z ) ，p t ( z ) ) = ( p 2 ( z ) ，p 。( z ) ) 其中n e ：= u ( vcq 是满足l i 司i l 。( y 。( o ，r ) ) = 0 的开子区域) 。 剀、如果芦lx ) = “2 ( z ) ，。n ，则z q q d 时成立 ( a 1 ( 。) + 2 肛l ( z ) ) p - ( 。) = 、( a 2 忙) + 2 弘z b ) ) p 2 ( z ) ，陋缩波速j ( a - ( 茁) ，p - ( z ) ) = ( a 。( z ) ，p 2 ( 。) ) 其中q d ：= u ( vcq 是满足i i v - 矗忆t ( y 。( o ，丁) ) = 0 的开子区域) 。 定理2 1 2 ( 1 1 ) 设区域dc cqc 。对于j = 1 ，2 ，系数( 丹，心) 满足 ( 1 2 4 ) 一( 1 2 6 ) 。如果乱c 2 ( ( o ，t ) ；日1 ( q ) ) 是方程 v 卢，( z ) v u ( z ，t ) = n ( z ) u “( z ，t ) 嘉：讪( 妒u ( 州) = 如，巩 u ( x ，0 ) = u t ( z ，0 ) = 0 ， 5 i n q ( 0 ，丁) ， o n a q ( 0 ，t ) ，( 2 1 2 ) 锄n 11 昭 、) t0c ； ， a c = 帆 m 复旦大学硕士学位论文 6 的公共解，即同时满足这两个方程。我们有结论：z q q e 时成立 、卢l ( x ) p , ( z ) = 、p 2 0 ) p 2 ( 茁) ， ( 剪切波速) ( p - ( z ) ，p l ( z ) ) = ( 肛2 ( z ) ，p 2 ( z ) ) 其中q e ：= u vcn 是满足i l u l l s , t ( y 。( o ，t ) ) = 0 的开子区域) 。 注记2 1 3 在定理2 和定理2 2 中，q e 是在时间段( 0 ，t ) 内剪切波还没有 传播到的区域，q d 是在时间段( 0 ，t ) 内压缩波还没有传播到的区域。 2 2 连接问题 根据假定( 1 2 3 ) 一( 1 2 6 ) ，初、边值问题( 2 11 ) 和( 2 1 2 ) 中的系数是分片光 滑的，为了今后讨论的需要，我们将它们转化为等价的连接问题( t r a n s m i s s i o n p r o b l e m ) 。 定理2 2 1 初、边值问题( 2 1 1 ) 等价于连接问题 v 爻( z ) v 司+ v - ( 声( z ) ( v 矗+ v u t ) 】= 烈。) 丑； v 匹( z ) v 词+ v ( 面( z ) ( v d + v t t ) 】= 万( z ) 盈： 司一= 硎+ ， a 矗ia 订i 历一2 瓦l + 舸l。 万j 。刊 面( z ，0 ) = 碗佃，0 ) = 0 ， i n q dx ( 0 ，t ) 讥d ( 0 ，t ) ， 0 7 t o d ( 0 ，t ) ， o no dx ( 0 ，t ) ， o na qx ( 0 ，丁) ， 饥q ( 2 21 ) 且矗 c 2 ( ( o ，t ) ；日1 ( f 2 ) ) pn c 2 ( ( o ，r ) ；h 2 ( ( q d ) ) pn c 2 ( ( o ，丁) ；h 2 ( d ) ) p 。其 中是a q 的单位外法向量， 筹：- ( m 黟印蜊州v 覆+ w t ) n 证明将( 1 23 ) 一( 1 2 6 ) 代入( 2 1 1 ) ，有： v ( a ( z ) ) ( ( n d ) + a ( 茁) ) ( ( d ) ) v 司 + v ( 声( z ) x ( q d ) + 面扛) ) ( ( _ d ) ) ( v 百+ v 矿) = ( 芦( z ) ) ( ( q d ) + 万( z ) x ( d ) ) 矗“， 筹：= 砸( 坍吲，+ 弛) ( v 疗+ v 矿) = 可， z ( x ，0 ) = 盈( z ，0 ) = 0 ， o na qx ( 0 ，t ) i nq f 2 2 2 1 壅望丛堂巫圭堂垡坠塞 7 将1 2 2 2 ) 中第一式与任意函数万( z ) c 尹( q ) 卜作内积，并在区域n 上积 分，我们有 左边= 上v ( 笑( z ) ) ( ( q 。) + x ( 。) x i 。) ) v 司声d x 七? ( 声( z ) x ( q d ) + 面( z ) ) ( ( d ) ) ( v 矗+ v f t ) 7 d x 2 。口回( 口万) + 掣( v a + v ( v 万+ v d 。 一ji(z)(v回(v痧)+丝害生(v矗+v仃t)(v7j + v ，万t ) d x d , t -z 7 ， 2 从引 ( 妒叭口( ( ( w + v 护) ) 删x + z 。舅删s ( 叩厄m 心酬踟+ v 咖删x z 。筹删s 右边2 上( 烈。) x ( n d ) + 及z ) x ( d ) ) 玩t 痧d x 2 n 西触) 珏万d x + d 及抛t 痧d x i 整理得到： 上、西 v ( 1 ( z ) v 。回+ v ( ( 面( z ) ( v 面+ v 仃7 ) ) 一烈z ) 匾d 痧d x + d v ( 1 扛) v 回+ v 。( ( 面 ) ( v 面+ v 仃t ) ) 一及z ) 如 痧d x 十f 0 d 筹痧a s z 。筹痧d s = 。 利用函数庐的任意性，我们可以得到定理的结论。 同样的方法，对于标量波方程，我们有： 定理2 2 2 初、边值问题( 2 1 2 ) 等价干连接问颞 v 瞳( z ) v “ = 及z ) 扎。 v 晒( z ) v u 】= 顽z ) u 。 u i = u i + a u la u l 万l2 瓦f + 钆f 瓦j 加2 9 u ( x ，0 ) = 札t i x ，0 ) = 0 ， i n q dx ( 0 ，t ) 锄d ( 0 ，t ) o n o d ( 0 ，t ) 0 7 2o dx i o ，丁) ( 2 2 3 ) o n 0 2 ( 0 ，t ) 讥q 且u c 2 ( ( o ，t ) ；h 1 ( q ) ) n c 2 ( ( o ，? ) ；日2 ( q d ) ) nc 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( d ) ) 。其中是 a q 的单位外法向量， 嘉：邛( 妒小 复旦大学硕士学位论文 证明对于任意函数妒c f ( f 2 ) ，有 心 【( 西( z ) ) ( ( q d ) + 面( z ) ) ( ( d ) ) v u 妒d x = 一j f l - 声( 。) u u v 妒d x - f t d d 面( z ) v u v 妒d xj = z b v - v u x + z 。筹吣 + 上v 【 v u 妒d x - z 。嘉吣 = ( 烈z ) x ( q d ) + 及z ) x ( d ) ) u ”妒d x j n = 点、西荆u t tc p d x + 正酬地吣 同定理2 2 1 ，证明完毕 2 3 有限传播速度 8 不论l a m 6 方程还是波方程，它们都是双凸型微分方程，他们都具有有限传 播速度( f i n i t ep r o p a g a t i o ns p e e d ) 的特性。 定理2 3 1 ( 有限传播速度) 设系数( a ，p ，p ) 满足( 1 2 3 ) 。( 1 2 6 ) 所设的条件，d 【c 2 ( ( o ，t ) ；h 1 ( q ) ) 】“n c 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( ( q d ) ) p n c 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( d ) ) p 是方程( 2 11 ) 的解。如果对于任意给定时刻t o 0 ，t ) ，成立 矗( 茁，t o ) = f f t ( x ，t o ) = 0 ，z b 。x o ) cq 则我们有 矗= 0 ， ( z ，t ) u c s 几乎处处成立 0 s e c 这里 g = g ( 。o ，t o ，e ，c ) ：= b 。一。x o ) t = t o + s ) 其中c ：= s u p 咄出。) 识硒再面币j 万两。 证明对于任意固定如 0 ，t ) ，按照假设，我们有 疗( 。，t o j = 玩( z ，如) = 0 ，i ne ( z o ) ，f 2 31 ) 我们需要证明百( z ，t ) = 0 在时空锥u o m 。g ( g = c 。( 锄，t o ，e ，c ) ：= b 。( z o ) = t o + s ) ) 几乎处处成立。 先令瓯中蕴含的弹性能量为 e ( s ) ：= ；厶似n 巾钟i + ；i v 订+ v 明2 ) d x 基旦盔堂亟堂垡迨塞一9 并证明：对于任意s ( 0 ，e c ) ，e ( s j = 0 。 对于固定的s ( 0 ，e c ) ，定义a ( s ) ：= u o ， f i x d t j a ( s ) 一西 v ( 支x ( q d ) + x x ( d ) ) v 司) d x d t j a h l 一盈 v ( 声x ( q d ) + 面x ( d ) ) ( v 矗+ v 矿) ) d x d t j a ( s 1 ：矗。 莉“一v 【( 支v - 面) ，+ 互( v 面+ v 矿1 ) ) d x d t j a ( s ) n n ( 5 ) + 盈 万瓯：一v ( x v 回，+ 面( v 面+ v 矿) ) d x d t = 上。，n 。， ( ；1 盈1 2 ) 。+ 金v g t - v - c 金盈，) d x d t + f h ( 。) n f i ( s ) 怕甜t 萎v g t - v ( 嘲) d x d t ， 其中金：( 1 v 回+ 面( v d + v i 一) ，曼：= ( 1 v - 回，+ 面( v 丽+ v 矿) 。由声( v 面+ v 泸) 和面( v 面+ v 矿) 的对称性，有 妻v 面：( 1 v 嘲j v 面+ ；( v 矗+ v 铲) ( v 讯+ w d = ( ；l v 矗1 2 + ：l v 面+ v 矿1 2 ) ：， 曼v 矾：( 1 v 旧，v g t + ；( v 霞+ v 铲) ( v 厩+ v 霹) = ( 驴砰+ 和+ v 哦， 。= ；! ：。，n 。， ( 司试1 2 + 爻l v - d 1 2 + ；l v 矗+ v z t r 2 ) 。一。v ( 妻盈) ) d x d t + ；f 。，n 。， ( 两丑1 2 + 爻i v 矗1 2 + ；l v 矗+ v 矿1 2 ) 。一z v ( 主凰) j d x d t 和 a ( a ( s ) n 磊( s ) ) ：= ( c o n ( q d ) ) u ( c ：n ( q d ) ) u ( ua g ) u o d o f 8 a ( a ( s ) n 孬( s ) ) ：= ( c o n _ d ) u ( g n d ) u o d 复旦大学硕士学位论文 1 0 驯2 + j i l v 侧2 + ；i v f f + v 州) 疵_ 2 ( 金鳓 刺2 + 爻i v 吲2 + ；i v f f + v 邢、) 厩_ 2 ( 主哦) 其中( 藏，藏) 为a ( a ( s ) n 翁( s ) ) 单位外法向量，( 藏，厩) 为a ( a ( s ) n 孬( s ) ) 单位 外法向量由于在o d 上，最= 厩= 0 ，丙：= 一n ，藏= n ，我们有 ( 金吼) ( 量碗) 飘 甩= ( 妻豌) 嘎= 一( 金) 面= 一笔l 面 藏= ( 萎风) 厩= ( 主v ) 碗= 嘉j 匾，。n c g d a 订i a j 阮肌= 熙 0 1 1 - g n ( f 2 d ) o i l c o n ( q d ) ( 晶x x j c ) ，。n 、i o l ” ( 藏，厩) ：p ，1 ) ) i ( o ，一1 ) o n g ad o nc ond 代入( 2 3 2 ) 则有 e ( s ) 叫o ) _ 疬舞工佛h 神侧2 + ；l v 疗+ v 矿1 2一黜曷卜。， 删 由c a u c h y s c h w a r z 不等式和假设条件 酉干丽c ，( 2 3 3 ) 式等号右边积分 号中表达式化为 捌2 硼v 侧2 + ；l v 矗+ v 邢一净罱 纠盈l 。+ 爻i v 侧。+ 萼i v 矗+ v 护i 。一李i v 吲一萼l v 矗+ v 憾l = j i ( 志喊 2 + 1 v 侧2 一驴训到) 嘲( 志2 + 扣+ v 邢一 1 w + v 训碗1 ) 氢( 压旧h 跏1 ) 2 惭( 属i v 矿j ) 2 。 4 已2 出 出 & 、j、j 一心 也 ，一，j、rj、 扣 一 n n n n 扣 扫 ： a 隋厂厶厂h ”12 1 2 我 = + 上 0 g a u “ = 一l 复旦大学硕士学位论文 由( 2 3 3 ) 式，e ( s ) 一e ( 0 ) 墨0 ，e ( s ) 0 ，e ( 0 ) = 0 ，易知0 e ( s ) e ( o ) = 0 ，即 对于所有8 ( 0 ，e c ) ，都有e ( s ) = 0 。 由( 1 2 6 ) 式，我们有碗在时空锥a ( e c ) = u o 。，。g 中的上2 范数估计 l i 矾l l 色( n ( 。c ) ) 曼上。，。、去i 匾1 2 d x d ts 未z 叫。e ( s ) d s = 。 即得在时空锥s t ( , c ) 中讯= 0 ，再由于 订( z ，t o ) = 讯( z ，t o ) = 0 ，i nb 。( 茁o ) 则得在时空锥a ( c ) 中以z ，t ) = 0 几乎处处成立。 _ 对于波方程，也有： 定理2 3 2 ( 有限传播速度) 设系数( ，力满足( 1 2 4 ) - ( 12 6 ) 所设的条件，“ c 2 ( ( o ，t ) ；日1 ( q ) ) n c 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( q d ) ) r q c 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( d ) ) 是方程( 2 1 2 ) 的解。 如果对于任意给定时刻t o 【0 ，t ) ，成立 则我们有 u ( x ，t o ) = u t ( 。，t o ) = 0 ，z b 。( x o ) cq u = 0 ， ( z ，t ) u g 几乎处处成立 0 8 e c 其中c ：= s u p 。以( 。) 肛( 。) p ( z ) 。 证明对于任意固定t o 0 ，丁) ，按照假设，我们有 u ( x ，t o ) = u t ( x ，t o ) = 0 ，i nb 。( z o ) ，( 2 3 4 ) 我们需要证明矗( z ，t ) = 0 在时空锥u o 。，。f cg ( g 。= c s ( 3 7 0 ，t o ，e ，c ) ：= b 。( 跏) t = t o + s ) ) 几乎处处成立。 先令g 中蕴含的弹性能量为 e ( s ) ：= j 厶m n 肛 v u 舯 并证明：对于任意s ( 0 ，e c ) ，e ( s ) = 0 对 + 南 | f p 、7 0扫 s 叫陵 j | 句 f 如 0pg i l g 里 这 复旦大学硕士学位论文 对于固定的s ( 0 ，e c ) ，定义a ( s ) ：= u o 丁 。g ，a ( s ) ：= ( q d ) ( t o ，t o + s ) ，5 ( s ) ：= d ( t o ，t o + s ) ，由( 2 12 ) ，( 2 2 3 ) ，有 0 = u t ( 硪( q d ) + - f i x ( d ) ) u “一v 【( 面x ( q d ) + 面) ( ( d ) ) v u ) d x d t ，a ( s ) = u t 础“一v 声v u ) d x d t + u t 两“一v 【面v u ) d x d t = ；一 u t l 2 + 互i v u h 一2 v ( 姚v u ) ) d x d t a ( 3 ) n n ( 5 ) + ； ( 两u t l 2 + 面 v 训2 ) 。一2 v ( 面u t v u ) ) d x d t j a ( s ) n n ( 5 ) 运用散度定理，在定义的区域： a ( a ( s ) n 磊( s ) ) ：= ( c on ( q d ) ) u ( gn d ) ) u ( uo c t ) u o d ， 齐 a ( a ( s ) n 五( s ) ) ：= c o nd ) u ( gnd ) uo d 上我们有： o = 一 国u ：1 2 + 西1 w 1 2 ) 赋一2 ( 础t v u ) 豌) d s 叫 + 一 ( 两u 。1 2 + 面l v u 2 ) 藏一2 ( 面u t v u ) 风) d s “ j d ”【s ) | 1s f l 3jj 其中( 藏，最) 为a ( a ( s ) q f i ( s ) ) 单位外法向量，( 丙：，厩) 为o ( a ( s ) g i f t ( s ) ) 单位 外法向量。由于在o d 上，厩：n t = 0 ，见= 一n ，配= n ，我们有 ( 互u 。v a u l 函i + 风趴= f 凳。量。嚣ncba(2d) c 啪卜帅o n c s n d 。 da吼 0 v p = ( 蔷万 u = )f 乩万 一 u = 以乳 曲 | | 复旦大学硕士学位论文 1 3 代入( 2 3 5 ) 则有 e ( s ) _ e ( 沪焘i 上m 1 2 制v “1 2 一蕊v u ) 呙卜巾s 。) 由c a u c h y s c h w a r z 不等式和假设条件、，刀石c ，( 2 3 6 ) 式等号右边积分号中表 达式化为 榭吲v u 卜知肌) 呙 魂u t l 2 + 声l v “1 2 1 v “l i 札t 2 声( ；l “t l i v 札i ) 2 。 由( 2 3 6 ) 式，e ( s ) 一e ( o ) 0 ，e ( s ) 0 ，e ( o ) = 0 ，易知0 e ( s ) se ( 0 ) = 0 ，即 对于所有s ( 0 ，e c ) ，都有e ( s ) = 0 。 由( 1 2 6 ) 式，我们有“t 在时空锥a ( e c ) = u o o ， ( 2 则在任意时间t o ( 0 ，t ) ，如果m 中任意一个开子区域中矗( z ，t o ) = 0 ，能推出 矗( z ，t o ) = 0 在区域m 成立。 证明首先令v = v d ，面= v 面，v ( z ，t o ) ：= ( d ( 茁，t o ) ，v ( x ，t o ) ，面( z ，t o ) ) 将 玎1 ，( j = 1 ，2 ) 乘到满足方程( 2 4 3 ) 等式两边，得： 如= p 仃j a g + 半v ”+ 导州v 啪矿百v # j ，( 2 4 5 )p sp 3p 3p 3 等式两边取散度v = 学叭而1v ( 掣) - v v + v 一土# j v f 生p j ) v c v nv ( 导) ( 2 4 5 ) 等式两边取旋度v v a j 、 i 百” ( 2 4 6 ) 址- 涮万j 絮p j 莓措憋以 ，+ ( v ( 去) 蝴，) 面导+ v ( 导) 1 帅以一 j 墅里盔! 篁主兰堡堡丕 1 5 对于j = 1 ，2 ，由( 2 45 ) 一( 2 4 7 ) ，对于任意t o ( o ，t ) ，疗( z ，t o ) 砚。( m ) p 满足 o - ( ；) 蚺( 字) v u + ( 孚) v g + v 护，( 罟) ， o 一( 学) 叭( 志v ( 学) ) v ”+ ( v ( 罟) ) ” 一( ：v ( 等) ) 。v 州v ，7 + v g t ) ( v ( 罟) ) ， a 。= ( ；) 岳+ ( v ( 苦) ) ( 2 w v - vx ，+ ( a v ( j ) ) ” + ( v ( ；) 删) 面( 孚) + ( v ( 孚) t ) c v g + v g t ) 乃( z ) c 1 ( 府) ， a j ( 。) ，卢j ( 。) c 2 ( 肘) ， a j ( z ) ，脚( 。) ，功( z ) 芝a o 0 m i n 州生马i m 。、p 7 则在区域m 中疗( z ，t o ) 满足 ) 9 0 0 痧+ b ( v 0 ) + y ( 疗) = o 并且算子b ，v 的系数 n ；，垮l 0 。( m ) ， 根据引理2 4 i ，即得证。 一 特别，参考【1 】中引理的证明，有 引理2 4 3 假设对于j = 1 ，2 ，mc 础是具有分片c 2 光滑边界的开区域，系数组 ( a j ，脚，p j ) 满足引理2 4 2 的假设( 2 4 2 ) 和( 2 4 4 ) ，有订【c 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( m ) ) p 是方程( 2 4 3 ) 的公共解。当对于任意t o ( 0 ，r ) ，满足 z ( x ，t o ) = 0 ， 塑姐咖田划帅玩舢 其中b o 是a m 上一点为中心的球 i 面( z ，t o ) = 0 ， 1 塑乒- 0 ： 则在区域m 中，矗( z ，t o ) = 0 。 o d s ：= o m n b 。0 ，、l 复旦大学硕士学位论文 1 6 时，我们司在区域朋o ：= m u b o 上定义 i f ( x , t o ) ： 诹孔如) ) 尬 【0 ， o n m o m 并延拓系数组( ，心，办) ，使其对于j = 1 ，2 ，在区域上满足 助( z ) c 1 ( | 0 ) ；a ，( z ) ，助( z ) c 2 ( 孔) ； ( z ) ，助( z ) ，丹( z ) o o o ； i ( 等) i 风 0i n 同时在区域m 中，石( z ，t o ) 满足 圳州小= ( ；) 蚺( 字) v ”+ ( 罟) vc v 妒c v 铲，( 等) = o 对于妒( z ) c 铲( m o ) p 厶讹万a x 一嘲x = 厶l 矗万d x + z 叭。 筹霄一雾司d s + z 筹面一嚣词a s = 。， 即有，在任意时刻t o ( 0 ，t ) ，在区域m o 中，看( z ，t o ) 广义上满足 l 面( z ，t o ) = 0 且吾( 。，t o ) 丑乏。( m o ) 】“。由引理2 4 1 ，由于在区域m o mcm o ，疗( z ，t o ) = 0 ， 则在区域m o 中，毒( 。，t o ) = 0 即在区域mcm o 中，盲( z ，t o ) = 0 。 一 定理2 4 4 ( 唯一开拓性) 假设对于j = l ，2 ，区域q 中，系数组( ，心，p j ) 都满 足( 1 2 3 ) - ( 1 2 6 ) 。m 是区域f 2 中具有c 2 光滑边界的开子区域， 咿 l ( 半) l ，i ( i ) 猫 。， ( 2 4 9 ) 矗 c 2 ( ( o ，t ) ；日1 ( q ) ) “n 【c 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( ( n d ) ) “n c 2 ( ( o ，t ) ；h 2 ( d ) ) 1 “是方程 v ( 扛) v 回+ v ( 卢j ( 。) ( v 矗+ v 矿) ) = p j ) 盈t ， i n q ( 0 ，t ) ，( 2 4 i 0 ) 的公共解，则如果对于任意t o ( 0 ，t ) ，在区域m 中任意开子区域q 中矗( z ，t o ) = 0 ，则能推出在区域m 中霄( z ，t o ) = 0 。 证明将条件( 1 2 3 ) 一( 1 2 5 ) 代入( 2 41 0 ) ； v ( + v 、j ( z ) x ( d ) ) v 词 ) + 瓦扣) ) ( ( d ) ) ( v 矗+ v 矿) 】 i n n ( o t ) ，( 2 41 1 ) ) ( ( q d ) + 瓦( 。) x ( d ) ) 吼t ， 复旦大学硕士学位论文 1 7 令砑= mn ( q d ) ，m = mnd 。不失一般性，我们有m 一0 ，qcm 。由于 对于任意t o ( o ，t ) ，qc 面中面( z ，t o ) = 0 ，由引理2 4 2 ，有 面( z ，t o ) = 0 ，o i l m 并有 蝌