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带多个形状参数的三次三角多项式样条曲线曲面 摘要 在计算机辅助几何设计中，曲线大多是由多项式基函数生成，但这些曲线 有一定的缺陷，如不能精确表示圆、椭圆等。三角函数在表示圆锥曲线等二次 曲线上具有很多优势。因此，很多学者开始用三角多项式函数构造基函数。本 文在此基础上，重点研究了带形状参数的三次三角多项式样条曲线曲面。 本文第一章主要介绍了曲线曲面造型的发展历史和三角多项式样条研究现 状。第二章，首先介绍韩旭里提出的基于四点分段的一类三角多项式曲线；其 次在此基础上，作者提出了类似的带一个形状参数的一类三角多项式曲线。第 三章，介绍了韩旭里提出的带一个形状参数的三次三角多项式曲线；其次介绍 带一个形状参数的n 阶三角多项式均匀b 样条；最后作者利用权的思想得到了 一种扩展的三角多项式曲线。第四章，作者提出了一种带多个形状参数的三次 三角多项式样条曲线。第五章，首先介绍了一种带形状参数的双三次三角多项 式c o o n s 曲面：其次构造了带多个形状参数的双三次三角多项式样条曲面；最 后，作者利用双三次多项式样条曲面去拟合一些空间曲面。 关键词：三角多项式，样条曲线，多形状参数，圆锥曲线，局部调控， 双三次三角多项式曲面 c u b i ct r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lc u r v e sa n ds u r f a c e s w i t hm u l t i - - s h a p ep a r a m e t e r s a bs t r a c t i nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r yd e s i g n ，m o s to ft h ec u r v e sa r eg e n e r a t e db yt h e p o l y n o m i a l s ，b u tt h e yh a v es o m ed e f e c t s ，s u c ha st h e yc a n te x p r e s st h ec i r c l ea n d e l l i p s ea c c u r a t e l y t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n sh a v em a n ya d v a n t a g e si ne x p r e s s i n g q u a d r a t i cc u r v e s ，f o ri n s t a n c e ，c o n i cc u r v e s m a n ys c h o l a r sb e g i nt oc o n s t r u c tb a s i c f u n c t i o n sb yt r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l sf u n c t i o n s o nt h i sb a s i s ，t h i st h e s i sf o c u s e s o nt h ec o n s t r u c t i o no fc u b i ct r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t h s h a p ep a r a m e t e r i nt h i st h e s i s ，t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to fc u r v ea n ds u r f a c e m o d e l i n ga n dp r e s e n tr e s e a r c h i n gs i t u a t i o no ft r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a ls p l i n e s i n c h a p t e r2 ，f o r o n et h i n g ，ac l a s so ft r i g o n o m e t r i cs p l i n ec u r v e so nf o u r p o i n t p i e c e w i s es c h e m ep r e s e n t e db yh a nx u l ia r er e c o m m e n d e d ；f o ra n o t h e rt h i n g ，t h e a u t h o rp r e s e n t sas i m i l a rc l a s so ft r i g o n o m e t r i cc u r v e sw i t has h a p ep a r a m e t e li n c h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c e c u b i ct r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lc u r v e sw i t has h a p e p a r a m e t e rp r e s e n t e db yh a nx u l i i na d d i t i o n ，t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lu n i f o r m b s p l i n e s w i t has h a p ep a r a m e t e ra r ed e s c r i b e d f i n a l l y ，t h ea u t h o rp r e s e n t sa n e x t e n s i o no ft r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lc u r v e sb yu s i n gt h ec o n c e p to fw e i g h t s i n c h a p t e r4 ，t h ea u t h o rp r e s e n t sc u b i ct r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a ls p l i n ec u r v e sw i t h m u l t i s h a p ep a r a m e t e r s i nc h a p t e r5 ，f i r s t l y ，w e i n t r o d u c eb i c u b i et r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a lc o o n sp a c t hw i t hs h a p ep a r a m e t e r s ；s e c o n d l y ，w ec o n s t r u c tb i c u b i c t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a ls u r f a c e sw i t hm u l t i - s h a p ep a r a m e t e r s ；f i n a l l y ，t h ea u t h o r f i t ss o m es p a c es u r f a c e sb yu s i n gb i c u b i ct r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a ls p l i n es u r f a c e s k e y w o r d s ：t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l ；s p l i n ec u r v e s ；m u l i t s h a p ep a r a m e t e r s ；c o n i c c u r v e ；c o n t r o ll o c a l l y ；b i c u b i ct r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a ls u r f a c e s 插图清单 图2 1参数取不同值时的椭圆图8 图3 1 参数取不同值的三次三角多项式曲线1 1 图3 2 三次三角多项式曲线表示的圆弧1 2 图3 3 类似于三次b 6 z i e r 曲线的三次三角多项式曲线1 2 图3 4 三角多项式均匀b 样条曲线表示的螺旋线1 4 图3 5 混合扩展的三角多项式曲线1 7 图4 1多形状参数三角多项式基函数图形1 9 图4 2 几种取不同参数值的三次三角样条曲线2 2 图4 3 形状参数取负时的图形2 3 图4 4 多形状参数的三次三角多项式曲线表示的圆2 4 图4 5 不同参数值时的闭曲线2 5 图4 6 逼近已知曲线2 6 图4 7 花瓶的绘制2 6 图5 1形状参数取不同值的双三次三角c o o n s 曲面2 8 图5 2 双三次三角c o o n s 曲面表示的椭球面2 9 图5 3 双三次三角c o o n s 曲面表示的圆环面2 9 图5 4 取不同参数值的双三次三角多项式样条曲面3 l 图5 5 双三次三角多项式样条表示的椭球面3 2 图5 6 空间曲面拟合图及误差图3 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得金鲤王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字：名氆l 签字日期：矽p 年斗月，孑日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金壁王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 目巴王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：练彳k 签- 7 - 日期：t d 年牛月l ，日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 杓0 五 签字日期：知，。年簟月留日 电话： 邮编： 致谢 首先我要衷心地感谢我的导师檀结庆教授。我的论文是在檀导师的悉心指 导下完成的。檀老师渊博的学术知识深深地吸引了我，严谨的治学态度深深地 感染了我，这些不仅影响我3 年的硕士研究生历程，而且令我终生难忘，受益 匪浅。在三年的学习生活和工作中，檀老师给予了悉心的指导与关怀，在学术 方面，他求根索然的治学态度深深教导了我，使我对待任何问题都有了一种知 其然还要知其所以然的求知态度。无论什么时候，檀老师都是我工作和学习的 榜样。在此，我要向檀老师致以深深的敬意。 感谢实验室的师兄师姐，他( 她) 们为这篇论文的写作提出了很多宝贵的意 见，感谢师弟师妹们对我的支持与帮助。同时感谢同届的厉莉，张锦秀，潘瑛， 李侠，范菊娴，范言昌，卜凡艳，与他们的讨论交流使我受益匪浅。 感谢数学学院的所有老师，他们教导我的功课，悉心传授我专业知识。 感谢我的父母，在将近1 8 年的求学生活中，他们给了我最无私的关心和爱 护。 感谢审阅本论文的老师以及答辩委员会的各位老师，他们在百忙之中抽出 时间，给我的论文提出宝贵的意见。 余俊 2 0 10 年3 月 第一章绪论 当今社会计算机技术的发展日新月异，它对人类活动产生了重要影响，同 时它又推动着其他学科的发展。近些年来，计算机辅助设计与制造( c a d c a m ) 技术发展迅猛，在国家现代化建设进程中发挥了不可磨灭的作用。c a d c a m 技术的发展和应用水平已经成为衡量一个国家现代化建设水平的重要标志之 一。c a d c a m 技术在各行各业都应用广泛，如军事工业方面，飞机，船舶的 外形放样：建筑行业中建筑物外观图纸的设计：民用工业中机械、电子、服装 的外形设计；影视广告行业中三维动画技术设计等等。利用高速计算机，c a d 技术可以将采样的大量数据进行分类、处理、挖掘，提取有用的信息并进行综 合分析得到相应的数学模型，它对工程建设和产品的开发发挥了巨大作用，加 速了工程建设，降低了产品设计制造周期，同时提高了产品的质量，且降低了 成本。随着网络技术的发展和现实造型的需求，现在的c a d c a m 系统已经实 现了可视化、集成化、智能化、网络化等功能。计算机辅助几何设计( c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r yd e s i g n ，c a g d ) 是c a d 的理论基础和关键技术。c a g d 的快速 发展则直接推动c a d c a m 的发展步伐，c a g d 中一种新的几何造型方法的出 现，在c a d c a m 系统中就能得到应用。 1 1c a g d 中曲线曲面造型技术发展历史 曲线、曲面造型是计算机辅助几何设计( c a g d ) 和计算机图形学( c o m p u t e r g r a p h i c s ) 的重要研究课题，主要是在计算机图像系统的环境下对曲线曲面信息 的表示、存储、逼近和分析。曲线曲面主要由隐函数、显函数、参数方程这三 种方法表示，但隐函数和显函数在表示曲线曲面时存在很多缺点。例如，隐函 数曲线曲面作图不方便，而且表示也不直观；显函数表示的曲线曲面存在多值 性和斜率无穷大问题，它们只能表示一些规则的曲线曲面。因此，在自由曲线 曲面造型中，由于曲线曲面的复杂性，隐函数和显函数显然不能胜任。参数曲 线曲面不但解决了上述缺点，而且还具有很多优点，如几何不变性，这有利于 计算机图像系统环境下几何形状的表示。 自由曲线曲面造型技术作为c a g d 的核心与基础，它起源于飞机、船舶的 外形放样( l o f t i n g ) 工艺，由c o o n s 和b 6 z i e r 在2 0 世纪6 0 年代奠定了它的理论 基础【1 2 j ，s c h o e n b e r g 和d e b o o r 也做了大量的工作【3 4 ，】。1 9 6 3 年，美国波音 公司的f e r g u s o n 利用矢函数方法首先提出了参数曲线曲面，引入了参数三次曲 线，通过四个角点加上两个参数方向切矢量信息，构造了f e r g u s o n 双三次曲面 片。从此参数化形式的曲线、曲面在形状数学描述中成为一种标准。1 9 6 4 年， 美国麻省理工学院( m t ) 的c o o n s 利用超限插值，提出了一种曲面描述的一般 性方法，只要给定了四条边界信息，且这四条边界能够围成封闭曲线，就可以 表示一块曲面。19 6 7 年，c o o n s 提出了到目前为止都应用广泛的c o o n s 双三次 曲面，它与f e r g u s o n 双三次曲面的不同之处在于加入了角点的扭矢信息。但 f e r g u s o n 双三次曲面和c o o n s 双三次曲面在形状控制和拼接光滑性上存在着一 定的问题。l9 4 6 年，由s c h o e n b e r g 提出的样条函数提供了曲线曲面之间拼接的 一种方法。19 7 1 年，法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的工程师b 6 z i e r 提出了一种 由控制多边形设计曲线的新方法，通过控制顶点就可以改变曲线的形状。b 6 z i e r 方法不但简单实用，而且解决了曲线曲面形状控制问题，因此它在c a g d 中占 有不可替代的位置，成为曲线、曲面造型最流行的方法之一。但b 6 z i e r 方法也 存在一些问题，如曲线之间的拼接光滑性，曲线形状局部调整问题，当控制顶 点很多时，它对曲线的形状控制就减弱了。1 9 7 2 年，d e b o o r 和c o x 分别独立 给出了关于b 样条的一套标准算法【1 1 1 。1 9 7 4 年，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 在几何 形状描述中引入b 样条理论，从而提出了b 样条方法，他们将b 6 z i e r 方法的 b e r n s t e i n 基函数转换为n 次b 样条基函数，将b 样条基函数推广到矢值形式【1 3 】。 b 样条方法几乎继承了b 6 z i e r 方法的所有优点，但克服了b 6 z i e r 方法存在一些 缺陷，它成功地解决了b 6 z i e r 曲线的拼接问题和形状局部控制问题，从而较好 地解决了自由曲线曲面形状的描述问题。b 样条方法虽然在自由曲线曲面设计 上具有这么多优势，但对工业设计中经常用到的二次曲线曲面的表示却遇到了 问题。为了精确表示这些二次曲线曲面，人们开始寻找新的数学方法。1 9 7 5 年， s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l i e 在他的博士论文中首次提出了有理b 样条方法，在 此基础上，p i e g l ，t i l l e r 和f a r i n 等人【8 , 9 , 1 0 1 ，提出了非均匀有理b 样( n o n u n i f o r m r a t i o n a lb s p l i n e ，简称n u r b s ) ，它兼有b 样条曲线形状局部可调性及拼接连 续阶数可调性的优点，能精确表示规则的二次曲线曲面，而且带有权因子，可 以调整曲线形状。正因为n u r b s 方法具有这么多优点，它已经成为曲线曲描 述最流行的数学方法。1 9 9 1 年，国际标准化组织( 1 s o ) 把n u r b s 方法作为定义 工业产品几何形状的唯一数学描述方法。 由曲线曲面造型发展的历史可以看出，大约经历了几个阶段。第一阶段是 2 0 世纪6 0 年代，主要以c o o n s 技术和b 6 z i e r 技术为代表；第二阶段是2 0 世纪 7 0 年代，以b 样条技术为代表；第三阶段是2 0 世纪8 0 年代，有理b 样条技 术得到迅速发展；2 0 世纪8 0 年代末，非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a l b s p l i n e ，简称n u r b s ) 受到热捧。 n u r b s 方法在曲线曲面造型中具有很多优点，但由于采用有理形式来代替 多项式，基函数变复杂了，在实际的形状设计和分析中也存在一些问题。 ( 1 ) 求导复杂，且求导后曲线的次数增大一倍，对于高次的有理曲线、曲面，一 些c a d c a m 系统不易处理，且经常会出现计算数值不稳定的情况，对边界 的估计也比较困难。 2 ( 2 ) n u r b s 模型不能精确表示一些在c a d c a m 中经常使用的超越曲线，如螺旋 线、摆线等。 ( 3 ) 在表示曲线、曲面形状时，n u r b s 方法除了需要给定的控制顶点以外，还 需要额外的权因子，至今人们对权因子的选取问题还没有完全解决。 ( 4 ) 虽然n u r b s 可以精确表示圆弧，但是其参数并不是它的弧长参数。事实上， 只有直线用n u r b s 表示时，其参数为弧长参数。 l2 三角函数样条研究现状 由于n u r b s 模型在自由曲线曲面形状设计与分析中所存在的局限性，国内 外一些学者开始寻找另外一类曲线曲面造型模型，它最好既要有n u r b s 方法 的优点，又要克服其缺点，避免n u r b s 方法的有理形式，这意味着我们不能 只在多项式函数空间来构造这种模型，于是人们开始寻求在三角函数空间建立 起曲线曲面造型方法。 s c h o n b e r g 在1 9 6 4 年就引入了三角b 一样条p j 。1 9 6 7 年，l y c h e 和w i n t h e r 建立了任意阶三角b 一样条的递推公式【6 7j 。国内一些学者在此方面也做了大量 的研究【1 4 。2 1 ，其中比较有代表性的浙江大学张纪文在空间f ，= s p a n 1 ，r ，c o s t ，s i n t 上构造了带一个形状参数的三次c b 样条曲线和c 。b 6 z i e r 曲线【2 5 - 2 7 】，并给出了 这两种曲线之间的互化公式，同时进一步得到了c b 样条曲线的细分公式。后 来一些学者将张纪文提出的三次c b 样条和c b 6 z i e r 样条进行了推广，如陈秦 玉和汪国昭在s p a n 1 ，f 2 ，t n - 2 , c o s t ，s i n t ) 上构造了n 次的c b 6 z i e r 曲线 2 9 】，吕勇 刚和汪国昭又把三次均匀c b 样条曲线推广到甩次【2 9 1 。韩旭里在构造三次三角 多项式基函数时，用s i n t ，c o s t 取代多项式样条中的f ，他完全用三角多项式构 造了带一个形状参数的二次和三次三角多项式曲线【2 1 】1 2 2 】。王文涛和汪国昭又利 用三角多项式代替了传统的多项式，构造了带一个形状参数的三角多项式均匀 b 样条【弱】1 2 4 1 。这些三角多项式曲线不仅具有多项式b 一样条曲线的许多重要性 质，有些还能精确表示椭圆弧、圆弧等二次曲线以及心脏线、双纽线等超越曲 线，同时克服了n u r b s 曲线的缺点。 1 3 本文主要研究内容 1 9 7 8 年诺贝尔经济学奖得主h e r b e r ts i m o n 发表了一篇著名文章对设计 给出著名定义“设计就是找到一种行动方式，目的是把现状变成自己更喜欢的 样子”。在自由曲线、曲面造型设计中，为了满足实际造型的需要，需要对曲 线形状进行整体和局部调整。因此为了更灵活地调控所构造的曲线、曲面，一 些学者在构造三角多项式基函数时带上了形状参数，便于曲线的形状调整。如 1 2 节中提到的张纪文和韩旭里构造的三角多项式曲线都带有一个形状参数， 可以通过形状参数的不同取值整体地改变曲线的位置和形状。 本文中，作者在已有基础上，研究了形状参数对曲线曲面造型的影响，包 括形状参数对曲线逼近控制多边形的影响以及对曲线整体光滑性的影响等，通 过权的思想构造了一种扩展的三角多项式样条曲线。给出了带多个形状参数的 三次三角多项式样条曲线，它与b 样条有着类似的重要性质，如凸包性、几何 不变性、仿射不变性等，但它可以表示b 样条所不能表示的圆锥曲线。在给定 控制多边形下，文中主要讨论了形状参数对曲线的形状和连续性影响。通过参 数调节，曲线还可以退化为文献 1 4 中二次三角多项式样条曲线。最后，介绍 了一种带形状参数的双三次三角多项式c o o n s 曲面，给出了用双三次三角多项 式样条曲面拟合规则型值点的求解公式。 4 第二章基于四点分段的三角多项式样条曲线 对于低次三角多项式曲线，国内已经有很多相应的研究【1 4 御1 。本章主要介 绍了具有代表性的一类基于四点分段的i i ! 次三角多项式曲线15 1 ，类似于三次b 样条曲线，每段曲线由四个相继的控制点生成。它能很方便地表示椭圆等二次 曲线。其次，在此基函数上引入参数，得到一类基于四点分段的带形状参数的 m 次三角多项式曲线，通过参数调节来达到对曲线形状的调整。 2 1 基于四点分段的一类三角多项式曲线定义与性质 定义2 1 给定r 2 或尺3 中一组控制点( f = 0 , 1 ，2 ，胛) 和节点向量u = ( ，u 2 ，) ， 且甜l u 2 u n ，m = l ，2 ，3 ，定义基函数如下： o ( ，) = 丽1 ( 1 一s i n f ) ” 啪2 覃1 1 + c o s 矿 ( 2 “) 2 ( ，) 2 焘( i + s i n t ) “ 3 ( ，) = 丽1 ( - c o s t ) 脚 对i = 1 ，2 ，n - - 1 ，定义第j 段m 次三角多项式曲线 c i , m ( f ) = 窆m ( f 墀峥【o ，s 万- ( 2 1 2 ) = o - 由所有曲线段就构成一条完整的三角多项式曲线 c 卅似) = e ，。( 7 ，2 ru - - “1 4 ：i , ) ，“心，l 】，其中幽，= 坼+ 1 - - 1 4 i , i = 1 ，2 ，以一1 当为常量时，即节点系列为等距节点，则上述曲线为均匀三角多项式样条曲 线。 性质2 1 1 基函数性质 ( 1 ) 非负性：( f ) 0 ，i = o ，1 ，2 ，3 ( 2 ) 规范性：m ( ，) = 1 ( 3 ) 对称性：0 ( r ) = 3 i 7 t 一，) ，l ( ，) = 2 ( 争，) 性质2 1 2 曲线性质 ( 1 ) 凸包性：由基函数的非负性和规范性可知，曲线上的点落在控制定点的凸包 内。 ( 2 ) 几何不变形：曲线的形状不依赖于坐标系的选择。 ( 3 ) 局部可调性：每一段曲线由四个相继的控制定点都成，具有局部可调性。 ( 4 ) 曲线的对称性：由基函数的对称性可得： q ( ，只- p 只，最。，霉+ ：) = c m e 一，足：，最。，只，曩。) ( 5 ) 连续性：对三角多项式曲线2 1 2 ，有下式成立 黜_ ( 鼍p ( n ( 2 1 3 ) 其中，f = 2 ，3 ，刀一1 ；k = o ，l ，2 m 1 推论2 1 由式( 2 1 3 ) 可以得到，曲线是g 2 肛1 连续的，特别地，当节点为均匀 节点时，有c ：( 甜i ) = 鳄( 甜j ) ，此时曲线是c 2 ”1 的。 2 2 基于四点分段的一类带形状参数三角多项式曲线 在本节中，在式( 2 1 1 ) 的基函数基础上引入一个参数，构造了带一个形状 参数的三角多项式基函数，文献 1 4 是其中的一个特例。 定义2 2 给定r 2 或r 3 中一组控制点只( f = o ，l ，2 ，拧) 和节点向量u = ( ，u 2 ，u 。) ， 且 “2 “。，m = o ，1 ，2 ，定义基函数如下： 其中兄是参数， n o ( 兄，f ) = ；i 署= j ( 1 2 s i n t ) ( 1 一s i n f ) ” 二_ r 厶 m 7 2 高1 + 力c o s 晰c o s 尸舻o ， 2 ( 名，归爿矗( 1 + 2 s i n t ) ( 1 + s i n t ) 脚 n 3 ( , t ，f ) = 志( 1 2 c o s ，) ( 1 - c o s t ) ” 二1 _ 二 o ( 幻) 。f 赫( 1 - 2 s i n t ) ( 1 - s i n t ) ” 1 允2 芝i 蒜o + a c 。s 1 + c 。s 7 ”，聊：l ，2 2 ( 尢，) 2 f 寿面( 1 + 2 s i n t ) ( 1 + s i n t 尸 3 ( 砧) 2 f 赫( 1 - 2 c o s t ) ( 1 - c o s t ) ” 6 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 对扛l ，2 ，万一1 ，定义m 次带形状参数的三角多项式曲线段 e ，。( 兄，r ) = 壹m ( 五，f 圮小l ，f o ，争， ( 2 2 3 ) i = o 由上述的所有曲线段构成m 次带形状参数的三角多项式样条曲线 q ( 础) = c j 以三百- - g l t ) 雕h 】 ( 2 2 4 ) 其中a u j = 珥+ l - - l d i ，i = l ，2 ，n - 1 类似地，当为常量时，即节点序列为等距节点时，则曲线( 2 2 4 ) 为均 匀三角多项式样条曲线。 易得带形状参数的三角多项式曲线的基函数具有非负性，规范性，对称性。 性质2 2 1 基函数对参数见的单调性 当t ( o ，争时，n o ( 力，f ) ，3 ( 旯，t ) 对a 是单调递减的，l ( a ，f ) ，n 2 ，f ) 对力是单 z 调递增的。( 对参数名求导可验证) 显然，由式( 2 2 4 ) 所表示的曲线也具有凸包性、几何不变形、局部可调性、 对称性。 性质2 2 2 曲线( 2 2 4 ) 的连续性 黜咖涵一n ( 2 2 5 ) 其中，当咒= 1 时，k = o ，1 ，2 m + 1 ；当五1 时，后= o ，l ，2 m + 1 ，且尼2 m 推论2 2 当五= 1 时，曲线是g 2 肿1 连续的，特别地，当节点为均匀节点时，有 锘( 甜f ) = 掣( 甜? ) ，此时曲线是c 2 ”1 的。当名1 时，且m = 0 ，曲线是不连续的， m = 1 ，2 ，曲线是g 2 ”1 连续的，当节点为均匀节点时，曲线是c 2 ”1 连续的。 2 3 实例 对椭圆的表示。取四个控制点曩。( - a ，- b ) ，e ( 一口，b ) ，只+ 。( 口，6 ) ，z + ：( 口，- b ) ，则 可得第i 段曲线g 。( 五，f ) 的参数方程为： 7 o = 所 ， 、，、j f f s s 0 0 c c 一 +，i n n： s s ，l，l 口 6 旯一2名一2 = = x y 显然，曲线段g 崩( 力，) 表示的是一个椭圆弧段，特别地当a = b 时，它表示一个圆 弧段。图2 一l 是用三角多项式曲线绘制的椭圆。 图2 1 参数兄取不同值时的椭圆图 从内到外的椭圆，名分别取0 5 ，0 ，1 8 i i 坍 一 + 川一帕m一砒 = l i x y 第三章带形状参数的三角多项式样条曲线 在实际的几何造型中，如常见的二次圆锥曲线，以多项式作为基底的b 样 条曲线很难表示，于是人们开始寻求三角函数基来构造曲线【2 卜3 2 】。主要代表有 张纪文在s p a n 1 ，r ，s i n t ，c o s t 上建立的c b 样条曲线和c b 6 z i e r 曲线，这类曲线 很容易表示二次圆锥曲线，而且由形状参数口来调整曲线的形状。其次是韩旭 里等在三角多项式空间上构造的三角多项式样条曲线，也带有形状参数。本章 第一节代表性地介绍了带一个形状参数的三次三角多项式样条曲线；第二节介 绍了带一个形状参数的n 阶三角多项式均匀b 样条；第三节作者利用加权的思 想构造了一种扩展的三角多项式曲线。 3 1 带一个形状参数的三次三角多项式曲线 本节主要介绍了带一个形状参数的三次三角多项式曲线【2 2 1 ，该三角多项式 曲线是的每段由四个顺序控制点生成，文中讨论了在非均匀节点和均匀节点的 情况下，形状参数对曲线连续性的影响。它比三次b 一样条曲线更加逼近控制多 边形，通过形状参数调节，可以更灵活的调控曲线形状。 3 1 1 基函数的构造 定义3 1 1 给定节点向量似) ，i = o ，1 ，n + 4 ，且1 4 0 + 4 对五吨v 勉+ ，记妒嘞t j ( u ) = 三罢肜= 0 , 1 , - - - , n + 3 ) ， q 2 瓦m i i ， 屏2 i a 瓦i ，乃= 瓦可函1 砥， a i2a , c t i 7 _ f - l ，珥= z x , f l , r , + l ， 包：= i 五1 j 石( a i + i - a i ) + 。，q 。= i 万1 j i ( h 一，) 以， 岛o = a ，一l 形一a i + 岛2 ，q o = 【1 一( 2 旯+ 3 ) 】q l ， 6 f 。= 丢，乃+ 6 j ：，q ：= 互i j 乃+ q 。， 岛3 = 【1 一( 2 旯- i - 3 ) 】包2 ，c i 3 = a l 屈以+ q l 一4 ， 厶“) ：( 1 - s i n ，) 2 f 1 2 s i n f 、。f f ，1 ：n - i - c o s ，1 2 f l + 五c o s ，、 9 称 石o ) = ( 1 + s i n t ) 2 ( 1 + 2 s i n t ) ，f 3 ( t ) = ( 1 一c o s t ) 2 ( 1 一；t c o s t ) b ，( 甜) = 为三次三角多项式基函数。 z 石( ) ， 3 c i w f j ( t , + 。) ， j = o 3 岛+ 2 乃( f f + ：) ， ；o 材【z l i “f + 1 ) ， ”【h i + i ，“j + 2 ) ， “u i + 2 , u i + 3 ) ，f - o ，1 ，2 ( 3 1 1 ) a i + 3 f o ( t m ) ， “【“m ，u “4 ) ， 0 ， u 叠 u i ，u f + 4 ) ， 性质3 1 1 三次三角多项式基函数的性质 ( 1 ) 非负性： 在非均匀节点时取一o 5 = 、- 、- 、 甜 ，l，k b 忍 ，、【 ( 2 ) 分段性：每条完整的曲线由刀一2 段曲线构成，每段曲线由4 个相继的控制点 生成，所以当改变一个控制点，只影响与此控制点相关的4 段曲线。 ( 3 ) 几何不变形：曲线的形状不随坐标系的改变而改变。 ( 4 ) 连续性：由基函数的连续性可得，在非均匀节点下，式( 3 1 2 ) 表示的曲线 在k 重节点处保持c 3 - 连续；在均匀节点下，当旯1 时，曲线为c 3 连续，当 五= 1 时，曲线为c 5 连续。 ( 5 ) 形状参数对曲线的可调性：当形状参数五增大时，式( 3 1 2 ) 表示的曲线越 来越靠近控制多边形；当形状参数五减少时，式( 3 1 2 ) 表示的曲线慢慢远 离控制多边形。从图3 1 可以看出名取不同值时对曲线的影响。 图3 1 参数五取不同值的三次三角多项式曲线 实线：五= 一0 5 ，虚线：a = 0 ，点线：五= 1 3 1 3 曲线对椭圆的表示 对均匀节点，给定控制点只一，( - a ，- b ) ，只一：( - a ，6 ) ，一。0 ，6 ) ，只( 口，- b ) ，取允= 0 ， 得到的三次三角多项式样条曲线即为椭圆弧： x = ；2 口( s i n 一c 。s ) ， y = 扣时c o s n 图3 2 三次三角多项式曲线表示的圆弧 对非均匀节点，利用重节点可以得到类似于三次b 6 z i e r 曲线的三次三角多 项式曲线，此时基函数为： 其中，r = 掣，躯矧 取四个控制点只一，( _ 2 口，0 ) ，只一：( - a ，b ) ，曩。( 口，b ) ，p ，( 2 a ，0 ) ，且取五= 0 ，则 由上述基函数表示的曲线为椭圆弧： 图3 3 类似于三次b 6 z i e r 曲线的三次三角多项式曲线 1 2 吖办名 s + 1 0 触挑”一 (h冠一，比吼力 1 ， 引 一m 叫眦卜 帆确啪砸 | m 俨删 啷 一 箍 = | | x y 3 2 带一个形状参数的n 阶三角多项式均匀b 样条 本节主要介绍一种类似于b 样条曲线的三角多项式均匀b 样条曲线2 3 1 ，这 类三角多项式均匀b 样条曲线带有一个形状参数，在控制多边形确定的情况下， 可以通过改变形状参数的取值而调整曲线的形状。它可以精确表示圆，椭圆， 螺旋线等曲线。 3 2 1 基函数的构造及性质 定义3 2 1 令 岛。2 ( f ) = 三 ( 1 + 五) s i n 三，一a s i l l 7 r f 】，o ， 0 ，( f ，i + k ) l i s j , k o ) = o ，其他 ( 3 ) 归一性：s ，( f ) = l ，k 3 j ( 4 ) 对称性：s 。女( i + k - t ) = s ( f + ，) ( 5 ) 连续性：s t ( f ) c 扣2 ，k 3 3 2 2 三角多项式均匀b 样条曲线及性质 定义3 2 2 给定r d ( d = 2 ，3 ) 上的一组控制点p ( 江1 ，2 ，”) ，称 只o ) = p s ，。( ，) ，k t k ( 3 2 2 ) ，- l 为带形状参数的n 阶三角多项式均匀b 样条曲线。 性质3 2 2 带形状参数的以阶三角多项式均匀b 样条曲线性质 与b 样条曲线类似，带形状参数三角多项式均匀b 样条曲线具有如下性质： ( 1 ) 凸包性：由其基函数的非负性和权性可以得到，整条曲线位于控制顶点形成 的凸包内。 ( 2 ) 几何不变性：曲线的形状与坐标系的选择无关。 ( 3 ) 局部性：改动一个控制顶点，最多只改变与此顶点相关的m ( m ”段曲线。 ( 4 ) 对称性：只s ，。( f + f ) = 只一，s i , k ( f + 七一，) ，f o ，后) ( 5 ) 连续性：曲线是c 扣2 连续的，k 3 此类曲线由于含有三角函数，所以能精确表示圆、椭圆、螺旋线等曲线。 3 2 3 对螺旋线的表示 取形状参数允= o ，控制顶点为昂( 一三口，罢6 ，一c ) ，只( o ，o ，o ) ，( 罢口，_ x 2 b ，c ) ， g ( o ，万6 ，2 c ) ，则四阶带形状参数三角多项式均匀b 样条曲线的参数形式如下： m ) i n 争 m ) = * - - 2b _ 6 c 。s 争 z ( f ) = c t 图3 4 三角多项式均匀b 样条曲线表示的螺旋线 1 4 3 3 三次三角多项式曲线的一种扩展 在曲线曲面造型中，当控制多边形确定的情况下，为了更加灵活地调控曲 线的形状，很多学者开始通过加入形状参数来扩展同类型的曲线【3 3 舶1 。在这些 扩展曲线中，其中一类是通过权的思想来扩展曲线【3 4 , 3 5 】，本节则主要是利用加 权的思想推广3 1 节和3 2 节介绍的带一个形状参数的三角多项式样条曲线。 扩展后的曲线形状调控更加灵活。 定义3 3 1 1 3 5 】设厂( f ) 是定义在区间 0 ，l 】上的连续函数，且( ，) 满足： f ( o ) = 1 ，f ( 1 ) = o ，f ( o ) = f ( 1 ) = 0 ，k = 1 ，2 ，r 1 则称厂( ，) 为n 阶奇异混合函数。 由多项式构成的奇异混合函数是最简单的，称次数最低的多项式奇异混合 函数为最小奇异混合函数。 定义3 3 2 假设f ( t ) 为，z 阶奇异混合函数，令 f ( t ) = 1 一f ( t ) ，口( f ) = c t l f ( t ) + a j ( t ) ，q ，哆r ， rn l 正( “) = e ( “) ，“川】 乞。 ，2 3 且，? 后一l ， 1 只( v ) = p s ，。( v ) ，k 一1 1 ，甩+ l li = 0 ：丝! 二丝，v ：聆+ 1 一兰兰， 刀一k + 2 “一” ，2 u j 厂吩，7 2 若( = 0 ，l ，一，刀+ 3 ) 。 e ( 甜) ，s - ( 1 ，) 分别为式( 3 1 1 ) 和式( 3 2 1 ) 定义的基函数，只( f = 0 ，1 ，刀) 为控 制顶点，称 q 。 ，y ) = 口( ，) 五( 材) + ( 1 一口( ，) ) 只( 1 ，) ( 3 3 1 ) 为加权扩展的三角多项式曲线。 由式( 3 3 1 ) 可得： q 3 i ( 甜，= a ( t ) t 3 ( u ) + ( 1 一口( ，) ) 忍( 1 ，) = 口( f ) p e ( 甜) + ( 1 一口( ，) 只s ( v ) i * oi = 0 = 只【口( f ) e ( “) + ( 1 一口( f ) s ，。( 1 ，) 】 i = 0 令e 女( z ，v ) = 口( ，) e ( 甜) + ( 1 一口( ，) ) s ，i ( v ) ，则有： q 3 ，。 ，d = 只e ，d ，= o ( 3 3 2 ) e j ( 甜，d 即为扩展的三角多项式曲线基函数。 性质3 3 1 扩展三角多项式曲线基函数性质 ( 1 ) 规范性： e j ( 甜，v ) = 口( f ) 骂( “) + ( 1 一口( ，) ) s 。( 1 ，) = 1 t = 0f l oi z o ( 2 ) 非负