（计算数学专业论文）有限群的广义覆盖远离子群及其结构.pdf

摘要 二十多年以来，研究有限群的结构及其子群的某种正规性的关系一直是有 限群论重要的课题之一群论学家们不仅给出了各种各样的广义正规性的概念， 而且获得了大量的研究成果，这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用 在这些广义正规性的概念中，c - 正规性与覆盖远离性的研究较为活跃，然而这两 个重要概念之间并没有必然联系作为c - 正规性与覆盖远离性的推广，樊恽、郭 秀云与k p s h u m 提出了半覆盖远离性的概念他们的研究表明：半覆盖远离 性既涵盖了覆盖远离性，也涵盖了c - 正规性，并且得到许多有意义的结果本文 第二章我们主要研究有限群g 的某些s y l o w 子群的极大子群以及极小子群的 半覆盖远离性对g 为p 幂零群、p 超可解群和超可解群的影响，给出一些新的 结果，部分结果被推广到群系 作为覆盖远离性另一方面的推广，本文第三章我们定义了一种新的子群一 c a p 一嵌入子群c a p 一嵌入性既是覆盖远离性和拟正规嵌入性的真推广，又与 半覆盖远离性无蕴涵关系，因此我们借助于群g 的某些c a p - 嵌入子群的性质 刻画g 的结构以上我们描述的利用广义正规子群的性质来刻画群g 的超可 解性、矿幂零性等大多是借助于g 的s y l o w 子群的极大子群以及极小子群最 近，s l d b a 利用群g 的s y l o w 子群尸的所有阶为l d l ( 1 i d 2 ) 的子群具有某种子群性质来刻画g 的超可解性，得 到几个有意义的结论本文第四章我们利用群g 的s y l o w 子群p 的所有阶为 l d i ( 1 d 2 ) 的子群具有正规嵌入 性质，给出g 为矿幂零群以及超可解群的一些充分条件次正规子群也是群论 中一种非常重要的子群，它具有良好的性质，在刻画群g 的幂零性方面有许多 结果徐明曜、张勤海利用子群共轭置换性得到群g 为幂零群的若干充要条件 由于共轭置换性蕴含次正规性，所以本文第六章我们利用子群的次正规性给出 群g 为幂零群的若干充要条件，并推广到群系 d e d e k i n d 和b a r e 确定出群g 的每一子群均在g 中正规的群的结构 g e o r g e s 进一步确定出群g 的每一子群均在g 中拟正规的群的结构而群 g 的每一子群均在g 中8 一拟正规当且仅当g 为幂零群另外，可解t 一群、可 解p t 一群和可解s 尸弘群等分别由g a s c h i i t z 、z a c h c r 和a g r a w a l 等给出本文 第五章给出满足弱c - 正规性、弱8 - 置换性、c - 可补性、弱8 一补性等传递的可解 群的结构，并且确定出群g 的每一子群均在g 中分别弱d 正规、弱8 - 置换、c - 可补、弱8 一补等群的结构 关键词：半覆盖远离子群；c a p 一嵌入子群；正规嵌入子群；p - 幂零群；超可 解群 i i a b s t r a c t t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pa n di t ss u b g r o u p s h a v i n gc e r t a i np r o p e r t i e so fn o r m a l i t yh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db ym a n y a ll - u 1 0 r ss i n c et h el a s tt w od e c a d e s n o to n l yn e wc o n c e p t sh a v eb e e ni n t r o d u c e db u t f r u i t f u lr e s u l t sh a v ea l s ob e e no b t a i n e d t h ea c h i e v e m e n t so ft h i st o p i ci nn o r m a l i t yh a v ei n d e e dp u s h e df o r w a r dt h ed e v e l o p m e n t so fg r o u pt h e o r y a m o n g t h e m o d i f i e dc o n c e p t so fn o r m a l i t y ，t h ec o n c e p t so fc - n o r m a l i t ya n dc o v e r - a v o i d i n g p r o p e r t yh a v ea t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n so fm a n ya u t h o r s ，h o w e v e r ，、e a w a r e t h a tt h e s et w oi m p o r t a n tc o n c e p t sa l en o te x p l i c i t l yr e l a t e da n dl i n k e d a sa g e n e r a l i z a t i o no ft h e s ec o n c e p t s ，f a i l ，g u oa n ds h u mh a v ef i r s tc o n s i d e r e dt h e s e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t yo fag r o u pw h i c hg e n e r a l i z e sb o t ht h ec o v e r a v o i d i n g p r o p e r t ya n dc - n o r m a l i t yp r o p e r t y , a n ds u b s e q u e n t l y , t h e yo b t a i n e ds o h i c i n t e 卜 e s t i n gr e s u l t s i nc h a p t e r2o ft h i st h e s i s ，w ec o n c e n t r a t eo nt h ep - n i l p o t c n c y , p - s u p e r s o l v a b l i t ya n ds u p e r s o l v a b l i t yo faf i n i t eg r o u pg b ya s s u m i n gt h a tt h e m a x i m a la n dm i n i m a ls u b g r o u p so fs o m es y l o ws u b g r o u po fgh a v i n gt h es e m i c o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t y a sac o n s e q u e n c e ，s o m ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e a r eg e n e r a l i z e d m o r e o v e r ，s o m eo ft h e ma r ee x t e n d e dt of o r m a t i o n s - i nc h a p t e r3 w eg e n e r a l i z et h ec o v e r - a v o i d i n gs u b g r o u p si na n o t h e r d i r e c t i o n a n dw ec a l lt h e mt h ec a p e m b e d d e ds u b g r o u p s i ti sc l e a rt h a tc o v e r a v o i d i n g s u b g r o u p sa n dp e r m u t a b l ye m b e d d e ds u b g r o u p sa r eb o t hc a p e m b e d d e ds u b - g r o u p sb u tn o tc o n v e r s e l y o nt h eo t h e rh a n d ，w en o t et h a tt h ec a p - e m b e d d e d s u b g r o u p sa r en o tn e c e s s a r i l ys e m ic o v e r - a v o i d i n gs u b g r o u p sa n d v i c ev e r s a i n t h i sc h a p t e r ，w ec h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sb yc o n s i d e r i n gs o m eo f t h e i rs u b g r o u p sh a v i n gt h ec a p - e m b e d d e dp r o p e r t y t r a d i t i o n a l l y , t h er e s e a r c h o ff i n i t eg r o u p sa r ed e v o t e do nt h es u p e r s o l v a b l i t ya n dp - n i l p o t e n t c yo fag i v e ng w h i c ha r eb a 8 e do i lt h em a x i m a la n dm i n i m a ls u b g r o u p s o ft h es y l o ws u b g r o u p s o fgh a v i n gs o m eg e n e r a l i z e dn o r m a l i t yp r o p e r t y r e c e n t l y , s k i b aa s s u m e dt h a t e v e r ys y l o ws u b g r o u p 尸o fg h a sa s u ，b 。，g ：r o u p ds u c ht h a t1 d l 2 ) h a v es o m es u b g r o u p sp r o p e r t yi ng h et h e n d e s c r i b e dt h es t r u c t u r eo ft h ef i n i t eg r o u pgu n d e rt h ea b o v ea s s u m p t i o n s 。i n p a r t i c u l a r ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rg t ob es u p e r s o l v a b l e i nc h a p - t e r4 ，w ef l x r t h e ro b t a i ns o m ec o n d i t i o n sf o raf i n i t eg r o u pgt ob ep - n i l p o t e n t ， p - s u p e r s o l v a b l eo rs u p e r s o l v a b l eb yc o n s i d e r i n gt h es a m es u b g r o u p sh a v i n gt h e n o r m a l l ye m b e d d e dp r o p e r t yi ng i ti sn o t e w o r t h yt h a tt h es u b n o r m a ls u b - g r o u p si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ts u b g r o u p si naf i n i t eg r o u pg t h i sk i n do f s u b g r o u p sh a sm a n yn i c ep r o p e r t i e sa n dt h e ya r en e e d e dt od e t e r m i n ew h e t h e ra f i n i t eg r o u pi sn i l p o t e n to rn o t ? i nt h i sa s p e c t ，x ua n dz h a n gh a v eo b t a i n e ds o m e r e s u l t sb yu s i n gt h ec l a s so fc o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p s s i n c ec o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p sm u s tb es u b n o r m a l ，t h ei n f l u e n c eo fs u b n o r m a ls u b g r o u p s i nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sa r ed e s c r i b e di nc h a p t e r6 s o m en e c e s s a r ya n d s u f f i c i c n tc o n d i t i o n sf o raf i n i t eg r o u pt ob cn i l p o t e n ta r eg i v e n w en o t et h a ta l l o ft h eo b t a i n e dr e s u l t sc a nb ef u r t h e rg e n e r a l i z e dt of o r m a t i o n s t h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pgw h o s es u b g r o u p sa r en o r m a lw e r ef i r s t d e s c r i b e db yd e d e k i n da n db a r e t h ef i n i t eg r o u p sw h o s es u b g r o u p sa r eq u a s i n o r m a lw e r el a t e rd e t e r m i n e db yg e o r g e s i ti sc l e a rt h a te v e r ys u b g r o u po fa f i n i t eg r o u pgi ss q u a s i n o r m a li fa n do n l yi fgi sn i l p o t e n t t h es t r u c t u r eo f f i n i t es o l v a b l eg r o u p st ob et - g r o u p s ，p t - g r o u p sa n dp s t g r o u p sw e r es t u d i e d b yg a s c h i i t z ，z a c h e ra n da g r a w a l ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r5 ，t h es t r u c t u r eo f f i n i t es o l v a b l eg r o u p sw h o s es u b g r o u p sh a v i n gt r a r u s i t i v i t yp r o p e r t yo nw e a k l y c - n o r m a ls u b g r o u p s ，w e a k l ys p e r m u t a b l es u b g r o u p s ，c - s u p p l e m e n t e ds u b g r o u p s ， w e a k l ys s u p p l e m e n t e ds u b g r o u p s ，r e s p e c t i v e l ya r ef u r t h e rs t u d i e d f i n a l l y ，t h e s t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pgw h o s es u b g r o u p sh a v i n gw e a k l yc - n o r m a lp r o p e r t y , w e a k l ys p e r m u t a b l ep r o p e r t y , c - s u p p l e m e n t e dp r o p e r t y , w e a k l ys s u p p l e m e n t e d p r o p e r t y ，r e s p e c t i v e l ya r ed e s c r i b e d k e y w o r d s ：s e m ic o v e r a v o i d i n gs u b g r o u p s ；c a p - e m b e d d e ds u b g r o u p s ；n o r m a l l ye m b e d d e ds u b g r o u p s ；p - n i l p o t e n tg r o u p s ；s u p e r s o l v a b l eg r o u p s i v 符号表 g i 群g 的阶 ，r ( g ) 群g 的阶的所有素因子 e x p ( g ) 群g 的方次数，即g 中所有元素的阶的最小公倍数 o ( z ) 元素x 的阶 ( z ) 元素x 生成的循环群 ( x ) 集合x 中的元素生成的群 日g 日是群g 的子群 h 日b 或bka 正规子群a 与子群b 的半直积 a b ( zlz a 但x 彰b ) ( m ，7 1 , ) 自然数m 和记的最大公因子 芦表示一个群系 包含所有幂零群的饱和群系 甜包含所有超可解群的饱和群系 g ，群g 的只剩余 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 签名：欧p i 岛也日期：知。n ，尹 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 虢一歌铲 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 第一章引言 1 群是抽象代数中最基本的而且是最重要的一个代数系统，它也是现代数学 中一个极其重要的概念群论不仅在数学的许多分支有广泛的应用，而且在许多 现代科学，诸如理论物理，量子力学，结晶学以及密码学、系统科学、数理经济 等领域都有很多的应用 在群论的众多分支中，由于自身的特点，有限群论无论从理论本身还足从实 际应用来说，都占据着更为突出的地位，同时，它也是近年来比较活跃的一个数 学分支，有着十分丰富的内容 在有限群的研究中，利用子群的性质来刻画有限群的结构是人们感兴趣的 研究课题，特别是利用一些特殊子群的性质来刻画有限群的结构尤为重要例 如：极大子群，极小子群等在子群的诸多性质中，正规性在群论研究中起着非常 关键的作用，对群结构有很大的影响比如：由直积分解定理、s c h u r z a s s e n h a u s 定理以及s c h r e i e r 群扩张理论等定理就可以大致勾勒出有限群的轮廓；群的幂 零性、超可解性，可解性等也可以通过群的合成群列或主群列来刻画，这些都与 子群的正规性密切相关 本文主要利用子群的性质来研究有限群的结构为叙述方便，以下我们所述 的群均指有限群 1 1 覆盖远离性的推广 正规子群具有许多良好的性质近年来，这些性质被国内外许多群论工作者 从不同角度进行了各种各样的推广，如：拟正规性、c 正规性，覆盖远离性、半 覆盖远离性等，我们统称其为广义正规性利用广义正规子群的性质来研究群的 幂零性、超可解性和可解性等，已取得了丰硕的成果，其中利用极大子群、极小 子群的性质研究群的结构尤其突出 如下关于极大子群的两个结果是人们所熟悉的： 2 有限群的广义正规子群与群结构 定理1 1 1 1 0 7 ，i v ，定理2 7 】群g 为幂零群的充要条件是g 的每一极 大子群在g 中正规 定理1 1 2f 1 0 8 ，i x ，定理1 1 2 】( h u p p e r t ) 群g 为超可解群的充要条件是 g 的每一极大子群在g 中具有素数指数 对于可解群，人们也得到如下的定理； 定理1 1 3 【8 4 ，定理5 4 3 】若g 是可解群，则g 的每一极大子群在g 中 具有素数幂指数 对比定理1 1 2 和定理i i 3 ，人们自然要问：“如果群g 的每一极大子群在 g 中具有素数幂指数，g 是可解群吗? ”然而回答是否定的，我们有如下的例子： 例1 1 1 设g 是线性群p s l ( 2 ，7 ) ，易知g 的每一极大子群在g 中具有 素数幂指数，g 的阶l g l 为1 6 8 ，而g 的每一极大子群的阶只能是2 4 和2 l 两 种可能，所以g 的极大子群在g 中指数分别为7 和8 ，但p s l ( 2 ，7 ) 为单群 为了对可解群也能给出类似于定理1 1 2 那样的等价条件，人们极力寻求可 解群的极大子群所具有的本质特征1 9 5 9 年，著名群论专家d e s k i n s 引入了正 规指数的概念： 定义1 1 1 2 4 】设m 是群g 的一个极大子群，驯k 是g 的一个主 因子使得k 曼m ，h m ，则称h k 的阶l h k l 为m 的正规指数，记作 7 7 ( g ：m ) d e s k i n s 在文【2 4 】中证明了：上述定义中极大子群m 的正规指数叩( g ：m ) 是由m 唯一确定的，它与主圈子h k 的选取无关( 见f 2 4 】或【1 0 8 ，i x ，5 6 ) ，并 且证明了下述定理： 定理l 1 4 【2 4 】群g 为可解群的充要条件是g 的每一极大子群具有素 数幂的正规指数。 对比定理1 1 4 和定理1 。1 。2 ，两者有完全类似的形式，仅仅是将原来的“指 数”换为“正规指数”，进一步，d e s k i n s 证明了： 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 3 定理1 l 5 2 4 若群g 有一个可解的极大子群m ，使得7 7 ( g ：m ) 是一 个素数的幂，那么g 是可解群 由此，许多人开始利用“正规指数”的概念来研究群的结构( 见文 3 9 1 ， 1 1 5 0 ， 但同时人们也发现“正规指数”的定义中“主因子h k ”一般来讲是不唯一的， 因而人们在研究过程中必须证明这个定义的合理性，这样使用起来就不太方便， 其次，定义1 1 1 中并没有对一般的子群定义其正规指数为克服“正规指数”的 这一局限性，于是在文【1 0 1 】中，王燕明引入了“d 正规子群”的概念： 定义1 1 - 2 群g 的子群日称为是c 正规的( c - n o r m a l ) ，若存在g 的一 正规子群，使得日= g 且日nn h a = c o r e a ( h ) 易知定义1 1 2 中，条件“日n c o r e a ( h ) ”等价于“日n 里g ”同时也 容易看出，正规子群是c - 正规子群，反之则不然，因此“c - 正规”是“正规”概念 的真推广比较定义1 1 1 和定义1 1 2 ，不难看出：。c - 正规子群”的定义比“正 规指数”的定义更清楚明了，而且对g 的任意子群都适用，更重要的是文【1 0 1 】 中还证明了下述结论： 定理1 1 6 【1 0 1 】群g 为可解群的充要条件是g 的每一极大子群在g 中 c 正规 定理1 1 7 【1 0 1 】若群g 有一个可解的极大子群m ，使得m 是g 的c 一 正规子群，则g 为可解群 对比定理1 1 4 ，定理1 1 5 以及定理1 1 6 和定理1 1 7 ，可以看出对于极 大子群的正规指数可以获得的结果，伊正规子群完全可以做到于是人们利 用c 正规性来研究群的结构就开始活跃起来，并取得了许多有益的结果( 见 文 6 1 】、 6 2 ，【1 0 1 】、【1 0 2 】、【1 0 5 】等) 关于群g 的幂零性，定理1 1 1 利用其极大子群的正规性给出一个充要条 件，人们还可通过其s y l o w 子群的正规性来刻画，即 子群 定理1 1 8 群g 为幂零群的充要条件是g 的每一s y l o w 子群都是正规 4 有限群的广义正规子群与群结构 人们自然要问：能否找到s y l o w 子群的一种特征性质来刻画群的可解性呢? 答案是肯定的其中关于子群的覆盖远离性的研究就较为成功， 设m 和都是群g 的正规子群，若n m ，则称m n 是g 的一个正规 因子设l 是群g 的一个子群，m n 是g 的一个正规因子若l m = l ，则 称l 覆盖( c o v e r ) m n 。若lnm = l nn ，则称l 远离( a v o i d ) m n 定义1 1 3 设l 是群g 的子群若l 覆盖或远离g 的每一主因子，则称 l 是g 的具有覆盖远离性( c o v e r a v o i d i n gp r o p e r t y ) 的子群，简称c a p 一子群 显然，子群的覆盖远离性是正规性的推广子群的覆盖远离性最初是由 g a s c h f i t z 提出的1 9 6 2 年，g a s c h i i t z 【3 6 】在他的研究中，将可解群中彼此共 轭的一类特殊子群称为p r e - f r a t t i n i 子群p r e - f r a t t i n i 子群既远离可解群可 补的主因子，同时覆盖其它的主因子，因此g a s c h f i t z 所谓的p r e - f r a t t i n i 子群 就是具有覆盖远离性的子群自覆盖远离子群引入以来，许多作者致力于寻找 可解群具有覆盖远离性的子群或者研究具有覆盖远离性的子群本身的性质( 见 文 3 8 】【8 l 】、 9 4 】等) 事实上，容易证明可解群的每一极大子群具有覆盖远离 性p h a l l 曾证明了如下著名的定理： 定理1 1 9 【8 4 ，9 2 6 设是可解群g 的系正规化子，则n 覆盖g 的 每个中心主因子，远离g 的每个非中心主因子 因此可解群g 的系正规化子是g 的具有覆盖远离性的子群 1 9 9 3 年，e z q u e r r o 证明了如下定理： 定理1 1 1 0 【2 9 群g 为超可解群的充要条件是g 的每一s y l o w 子群的 极大子群具有覆盖远离性 由于正规子群具有覆盖远离性，因此定理1 1 1 0 是下面这个重要定理的推 广 定理1 1 1 1 【9 1 】( s r i n i v a s a n ) 若群g 的每一s y l o w 子群的极大子群是g 的正规子群，则g 为超可解群 e z q u e r r o 的结果激发了人们关于子群的覆盖远离性对群结构影响的研究 关于覆盖远离子群进一步的研究，郭秀云、k p s h u m 在这方面做了很多工作 例如在文 4 5 1 中他们证明了下述结论： 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 5 定理1 1 1 2 【4 5 】群g 为可解群的充要条件是g 的每一极大子群具有覆 盖远离性 定理1 1 1 3 【4 5 】群g 为可解群的充- t - 条件是g 的每一s y l o w 子群具有 覆盖远离性 定理1 1 1 4 【4 5 】群g 为可解群的充要条件是g 有一个可解的极大子群 m ，使得m 在g 中具有覆盖远离性 显然，定理1 1 1 3 是定理1 。1 8 的平行刻画将定理1 1 1 2 、定理1 ，1 1 4 与定 理1 1 6 、定理1 1 7 对比，可以看出：“覆盖远离性”较“c - 正规性”更适合于刻 画群的可解性，但二者之间并无必然联系 例1 1 2 3 0 】( c 一正规但非覆益远离) 设a 4 是4 次交代群，z 2 = ( c ) 是2 阶群令g = a 4 z 2 又设玩= ( a ，b ) 是a 4 的4 阶正规子群，其中o ，b 是心 的两个2 阶生成元令h = ( 口c ) ，那么日是2 一阶群显见日na 4 = 1 ，从而 g = h a 4 所以是g 的c 一正规子群，现考虑g 的主因子凰易易容易看 出h 易= ( a ，c ) 日( 硒磊) = 甄毛，且hn 垃易= h h nz 2 = 1 因此日 不是g 的具有覆盖远离性的子群 例1 1 3 【3 0 】( 覆盖远离但非c 一正规) 设y 是5 3 阶初等交换群，, 9 4 忠实 不可约地作用在y 上令g 是y 与& 的半直积，则g 可解显然y 是g 的 极小正规子群若g 还有不同于y 的极小正规子群k ，9 c i i z - 有k & 这贫 得& 在y 上的作用不是忠实的所以y 是g 的唯一极小正规子群现设 是g 的任一包含y 的正规子群，那么n = y ( n & ) ，且n & 塑& ，由于& 仅有唯一主群列1 致 a 4 & ，故g 也仅有唯一的主群列1 v v k 4 y a 4 y & = g 令尸是g 的s y l o w2 一子群由于g 为可解群，再由定理 1 1 1 3 知，p 是g 的具有覆盖远离性的子群，但p 在g 中非c 正规否则，若 p 是g 的c 一正规子群，则存在g 的正规子群，使得p 与尸n 均是g 的正规予群因v 莲pnn ，那么尸nn = 1 ，从而是2 7 一群，所以n = 1 或 y ，但p 与p y 都不是g 的正规子群 虽然“子群的覆盖远离性”和“c - 正规性”二者之间并无必然联系，但是它 们在刻画群结构方面有许多相类似的结果那么将它们统一在一个范畴内就成 6 有限群的广义正规子群与群结构 为一件很有意义的事最近，樊恽、郭秀云和k p s h u m 3 0 提出了半覆盖远离 性( s e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t y ) 的概念，成功地解决了这一问题 定义1 1 4 设日是群g 的子群若g 存在一个主群列1 = g o g 1 g 。= g ，使得日覆盖或远离该列的每一主因子，则称日是g 的具有半 覆盖远离性的子群，也称h 是g 的半覆盖远离子群 显然，具有覆盖远离性的子群必然具有半覆盖远离性若日是群g 的c - 正 规子群，则g 有正规子群，使得日与日n 均是g 的正规子群显见 覆盖或远离正规群列1 日n 日g 的每个因子那么日必覆盖 或远离由1 hnn n 日g 加细后所得主列的每个主因子因此，c _ 正规子群必是半覆盖远离子群前面所述的例1 1 2 和例1 1 3 则可以说明半覆 盖远离性是c - 正规性和覆盖远离性的真推广 利用子群的半覆盖远离性，文【3 0 获得了如下结果： 定理1 1 1 5 【3 0 】设g 是一个群，则下列命题等价： ( 1 ) g 是一个可解群； ( 2 ) g 的每一极大子群在g 中具有半覆盖远离性； ( 3 ) g 的每一s y l o w 子群在g 中具有半覆盖远离性 定理1 1 1 6f 3 0 】群g 为超可解群的充要条件是g 的每一s y l o w 子群的 极大予群在g 中具有半覆盖远离性 上述事实说明，半覆盖远离性不仅将d 正规性和覆盖远离性统一起来，而且 对可解群有类似于定理1 1 6 、定理1 1 1 2 、定理1 1 1 3 的刻画，同时定理1 1 1 0 也得到了推广有关子群的半覆盖远离性的文章可参阅文 4 1 、 4 8 卜 4 9 等值 得一提的是文【8 0 证明了：拟正规子群必是覆盖远离子群，这进一步说明了半覆 盖远离性所具有的广泛性本文第二章我们研究了群g 的s y l o w 子群的极大子 群以及极小子群的半覆盖远离性与g 的结构的关系，得到g 为少幂零群以及 p 超可解群的一系列充分条件 回想定理1 1 1 和定理1 1 8 ，可以看出正规性对于有限群结构的影响之大 但是，正规性也是很强的一种特征性质，人们利用这种性质给出刻画抽象群的许 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 7 多充分条件一个自然的问题是：是否能够找到一种弱于正规性的特征性质，使 得原有的一些充分条件变为充要条件呢? 沿着这个研究方向，人l l j g l 进了许多新 的概念其中正规嵌入，拟正规嵌入和s 拟正规嵌入子群就是一种有效的研究 途径下面我们来介绍关于嵌入子群方面的一些结果 f i s c h e r 【2 7 ，i ，7 1 】引进了正规嵌入子群的概念： 定义1 1 5 群g 的子群h 称为g 的正规嵌入子群( n o r m a l l ye m b e d d e d s u b g r o u p s ) ，如果对于i h i 的每个素因子p ，都存在g 的某个正规子群k 使得 日的某个s y l o wp 一子群也是k 的一个s y l o wp 一子群 作为正规嵌入子群的推广，b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 【1 3 提出了拟正规嵌入子群 的概念： 定义1 - 1 6 群g 的子群日称为g 的拟正规嵌入子群( p e r m u t a b l ye m - b e d d c ds u b g r o u p s ) ，如果对于1 日l 的每个素因子p ，都存在g 的某个拟正规予。 群k 使得日的某个s y l o wp 一子群也是k 的一个s y l o wp 一子群， 利用嵌入子群来刻画群的结构，已取得许多结果可参阅文【8 】、【1 3 】、【16 1 和 2 7 】由此我们想到：如果能定义一种新的嵌入子群，然后利用这种子群性质 来刻画群的结构由于拟正规子群必是覆盖远离子群，因此，我们定义了一种新 的子群一c a p - 嵌入子群 茸 定义1 1 7 群g 的子群日称为g 的具有c a p 一嵌入性质的子群( 即 c a p 一嵌入子群) ( c a p e m b e d d e ds u b g r o u p s ) ，如果对于1 日l 的每个素因子p ， 存在g 的某个覆盖远离子群k 使得日的某个s y l o wp 一子群也是k 的一个 s y l o wp 一子群 可以看出，c a p - 嵌入子群既涵盖了拟正规嵌入子群，又涵盖了覆盖远离子 群同时，c a p - 嵌入子群未必是覆盖远离子群进一步，c a p - 嵌入子群与半覆 盖远离子群也无蕴含关系 例1 1 4 五次交代群4 5 的每个s y l o w 子群都是a 5 的c a 尸一嵌入子群， 但都不是a 的覆盖远离子群，也不是a 5 的半覆盖远离子群 8 有限群的广义正规子群与群结构 下面给出一个满足半覆盖远离性但不满足c a p 一嵌入性的例子 例1 1 5 【3 0 】设a 4 是4 次交代群，c 2 = ( c ) 是由c 生成的2 阶循环群 又设g = c 2xa 4 ，其中a 4 = 甄( t ) ，甄= ( a ，b ) 是由两个二阶元a 和b 生成的 k l e i n 四元群，t 是一个三阶元。令h = ( a c ) 对于主群列1 璺凰塑a 4 塑g 来说，容易验证；日a 4 = g 且日n 以4 = 日n 甄= 1 ，所以日是g 的半覆盖远离子群 对于g 的一个主因子( k 4xc 2 ) c 2 来说，由于日c 2 = ( a ，c ) 日( k 4xc 2 ) 且c 2 = 1 h = hn ( k 4 q ) ，所以h 不是g 的覆盖远离子群又设h s y l 2 ( k ) 且l k l = 6 显然k q k ( k 4 q ) = g 且k nc 2 = 1 h = knh = k n ( k 4 q ) ，因此日不是g 的c a p 一嵌入子群 由于“半覆盖远离子群”和“c a p - 嵌入子群”都是覆盖远离子群的真推广， 所以我们统称其为广义覆盖远离子群 本文第三章我们利用“c a p - 嵌入子群”的性质给出群g 为矿幂零群、p 超可解群以及超可解群的一些充分必要条件和一些充分条件 1 2 子群的传递性 回忆定理1 1 1 ，群g 的每一极大子群皆正规的群为幂零群那么，如果群 g 的每一子群皆正规又是什么样的结构呢? 首先，交换群就是这样的群，而阶最 小的一个非交换群是8 阶四元素群q 8 后来，d e d e k i n d 和b a r e 【8 4 ，5 3 7 】给出 这类群的结构，并称之为d e d e k i n d 群 定理1 _ 2 1 群g 的每一子群皆正规于g 当且仅当g 或者为交换群，或者 g = q 8 a b 成立( 其中q 8 是8 阶四元素群，a 是奇阶交换群，b 是方次数 为1 或2 的交换群) 后来，g e o r g e s 3 7 】确定出群g 的每一子群均在g 中拟正规的群的结构关 于这方面更广泛的结果可参阅文【3 7 】、 9 6 】等 我们知道，d e d e k i n d 群g 是正规性传递的群( 若日在k 中正规，k 在g 中正规，则h 在g 中正规) 但对于一般的群而言，这种性质是不成立的那么， 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 9 满足“正规性传递”的群的结构就是人们感兴趣的问题这就是所谓的p 群 阶最小的非交换p 群是8 阶四元素群q 8 后来，g a s c h i i t z 【3 5 j 证明了： 定理1 - 2 2 群g 是一个可解t 群的充分必要条件是g 有一个奇阶正规 交换的h a l l 子群日使得g h 是一个d c d e k i n d 群并且g 的每个元素在h 上 诱导一个幂自同构 自可解弘群确定后，可解一群( 拟正规性是可传递的) 由z a c h c r 【1 1 0 j 给 定理1 2 3 群g 是一个可解尸丁一群的充分必要条件是g 有一个奇阶正 规交换的h a l l 子群日使得g h 是一个模幂零群并且g 的每个元素在日上 诱导一个幂自同构 a g r a w a l 【1 】给出可解s p p 群( s 一拟正规性是可传递的) 的结构： i 定理1 2 4 群g 是一个可解s p 丁群的充分必要条件是g 有一个奇阶 正规交换的h a l l 子群日使得g h 是一个幂零群并且g 的每个元素在日上 诱导一个幂自同构 从定理1 ，2 2 定理1 2 3 和定理1 2 4 可以看出：这三种群的结构是非常相 似的，关于子群传递方面的更多结果可参阅文 1 】、【9 6 、【1 1 0 等够 本文第五章我们确定了：群g 的每一子群均在g 中具有某种广义正规性的 群的结构，并且给出群g 对于某种广义正规性传递的可解群的结构另外，我们 对这些结构之间的联系也进行了研究 本文第四章考虑：对于群g 的每一非循环s y l o w 子群p 有一个子群d 使得 1 l d l 2 ) 的子群h 是g 的正规嵌入子群，那么g 的结构如何? 得到群g 为超可解群和 矿幂零群的一些充分条件 本文第六章我们利用次正规子群的性质给出群g 为幂零群的一些充要条 件，并将这些结果推广到群系 1 0 有限群的广义正规子群与群结构 第二章关于半覆盖远离子群 本章我们将研究子群的半覆盖远离性与群结构的关系，特别是研究群g 的 s y l o w 子群的极大子群、极小子群以及4 阶子群在g 中具有半覆盖远离性与 g 的矿幂零性以及p 超可解性的关系，得到一些新的结果，这些结果统一了关