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连续鞅分析在期权定价中的应用研究 摘要 金融机构在投资过程中，都将面临各种金融风险，稍有不慎，就有蒙受重 大损失甚至破产的危险。因此，如何计量和防范这些金融风险是金融机构急需 解决的重大i 司题。期权是规避金融风险、套期保值的强有力的工具之，所以 对期权定价理沦的研究具有重要的现实意义。而连续鞅分析是期权定价理论中 最有力的工具之一，故对连续鞅分析在期权定价中的应用研究具有重要的理论 意义和现实意义。 本文首先回顾了期权定价理论发展历程，并对期权定价理论基础作了简要 概述。随后本文又对连续鞅分析理论作了较全面的概括和总结，并对其在资产 定价基本定矬中的应用作了介绍。在此基础上，本文主要证明了在不存在交易 成本的完全市场条件下连续时闻欧式触销式双障碍卖权贴现到0 时刻的价值过 程 v ( t 吒 n ，s 。) ；o t t ) 为鞅，并且给出了对应单障碍卖权价值过程的 鞅性质。同时还讨论了美式触销式双障碍卖权的定价问题。给出了任意时刻 f ( 0 t r ) 其价值的表达式。 关键词：半鞅，随机积分，欧式触销式双障碍卖权，马尔克夫性，美式触销式 双嫜碟卖权 c o n t i n u o u s m a r t i n g a l ea n a l y s i si no p t i o np r i c i n g a b s t r a c t f i n a n c i a lo r g a n i z a t i o n sw i l lf a c em a n yk i n d so ff i n a n c i a lr i s ki ni n v e s t m e n t i f n o tc a r e f u l ，t h e yw i l lh a v eg r e a tl o s s e s ，s o m e t i m e sm a yg ob a n k r u p t a sar e s u l t ， h o wt om e a s u r ea n de l u d ef i n a n c i a lr i s ki sa i m p o r t e n lp r o b l e m f i n a n c i a l o r g a n i z a t i o n sw a n tt os o l v ea ss o o na sp o s s i b l e o p t i o ni so n eo ft h em o s tp o w e r f u l t o o l st oe l u d ef i n a n c i a lr i s ka n d h e d g e ，s o i ti so fr e a l s i g n i f i c a n c e t o s t u d y o p t i o n p r i c i n gt h e o r y m e a n w h i l e ，c o n t i i j l u o u s m a r t i n g a l ea n a l y s i si s o n eo ft h e m o s tp o w e r f u lt o o lsi n o p t i o n - p r i c i n gt h e o r y t h u si t i sa l s oo ft h e o r i c a la n dr e a l s i g n i f i c a n c et oa p p l yi tt op r i c i n go p t i o n s a tf i r s t ，t h ep a p e rr e v i e w st h ed e v e l o p m e n to ft h eo p t i o n - p r i c i n gt h e o r ya n d s u m m a r i z e si t sf o u n d a t i o n t h e nt h e p a p e rg e n e r a l i z e s t h e t h e o r y o f c o n t i n u o u s - m a r t i n g a l ea n a l y s i sa n di n t r o d u c e st h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r yt ot h e f u n d a m e n t a lt h e o r e m so fa s s e tp r i c i n g o nt h i sb a s i s ，t h ep a p e rm a i n l yp r o v e st h a t t h ev a l u e p r o c e s s ( v ( t f f h ，薯“伽) ；o f t ) o f e u r o p e a n c o n t i n u o u s t i m e k n o c k o u td o u b l e b a r r i e rp u to p t i o ni sam a r t i n g a l ei nt h ec o m p l e t em a r k e tw i t h o u t t r a n s a c t i o nc o s t s ，a n dt h em a r t i n g a l ep r o p e r t yo fs i n g l e b a r r i e r p u to p t i o ni s g i v e n a tt h es a m et i m e ，t h ep r i c i n gp r o b l e mo fa m e r i c a nk n o c k o u td o u b l e b a r r i e r p u to p t i o ni sa l s ob e i n gd i s c u s s e d ，a n dt h ef o r m u l af o rd e t e r m i n i n gi t sv a l u ea ta n y t i m e t ( 0 t r ) i so b t a i n e d k e y w o r d s ： s e m i m a r t i n g a l e ， s t o c h a s t i c c a l c u l u s ， e u r o p e a n k n o c k o u t d o u b l e b a r r i e r p u to p t i o n ，t h e m a r k o v p r o p e r t y ，a m e r i c a n k n o c k - - o u td o u b l e - b a r r i e rp u to p t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得盒坦工些态堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同。 ：作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位每文作者签字：坼如铲字日期硎年矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒胆工些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅，本人授权金 胆王些厶堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：许冼孥 签字日期：驷声，月7 日 学位论文作者毕业后去向：垆 淼釜节，丑叮岛 通讯地址：7 f侈 导师签名 乍荡去t l i 签字日期：尸尹年 电话： m 口编： ，月7 晶 | 致谢 衷心感谢我的导师杜雪樵教授! 在我研究生学习期间，无论在学习上、思 想上，还是生活上，导师都给予了耐心细致的教导和无微不至的关怀，杜雪樵 教授不仅对我的学业严格要求，而且在与我日常的谈心过程中教会了我许多书 本上学不到的东西，使我在做人和做学问两方面都得到了很大的提高。在论文 的选题、研究及撰写过程中，导师都倾注了大量的心血。导师诲人不倦的高尚 师德，认真严谨的治学态度，将使我受益终生! 感谢朱功勤教授、苏化明教授在我研究生学习期间给予的悉心关怀和热心 指导! 同时对惠军老师、凌能祥老师在学业上对我的教诲和指导表示诚挚的感 谢! 感谢2 0 0 1 级研究生闵杰、刘智秉、徐怀、王圣东、刘长明、钱建发、刘 植、余宏杰、苏本跃、张莉、汪竣萍、钱开艳等同学给予的帮助! 我要感谢我的父母和大姐，是他们长期默默的付出和全力的支持，才使我 能够顺利的完成学业，在此表示我由衷的感谢! 最后感谢所有帮助过我的亲人、老师、同学和朋友1 2 0 0 3 年1 2 月 第一章导论 1 1 引言 随着世界金融市场的进一步发展，金融机构在投融资过程中，都将面临许 多的金融风险，如利率风险，汇率风险信用风险等，稍有不慎，就有蒙受重 大损失甚至破产的危险。因此，如何计量和防范这些金融风险是金融机构急需 解决的重大问题。为了解决这一问题，金融衍生产品应运而生。金融衍生产品 是一种新型的金融工具，其价格或投资回报最终取决于标的资产的价格。期权 是一种基本的金融衍生产品，是规避金融风险、套期保值的强有力的工具之一。 期权合同可分为两大类，即买权合同和卖权合同。买权合同赋予合同的买方在 规定的时问内，以事先预定的价格，从买权合冈的卖方那里购买一定数量的标 的资产的权利。卖权合同则赋予其持有者在规定的时间内，以事先预定的价格， 向实权合同的卖方出售一定数量的标的资产的权利。近三十多年来，期权定价 问题始终是数理金融学界研究的热点之一，并且取得了丰硕的成果。早在1 9 7 3 年，美国芝加哥大学的b l a c k 教授和s c h o l e s 教授在美国“政治经济学杂志” ( j o u r n a lo fp o l i t i c a le c o n o m y ) 上发表了一篇名为“期权定价与公司负债” ( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) 的论文；同年，美 国哈佛大学的m e r t o n 教授”坝0 在另- - 干r j 物“贝尔经济与管理科学杂志”( b e l l j o u r n a lo fe e o n o n n e sa n dm a n a g e m e n ts c i e n c e ) 上发表了另一篇关于期权定 价的论文一一j 期权的理性定价理论”( t h e o r yo fr a t i o n a lo p t i o np r i c i n g ) 。 这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础，s c h o l e s 教授和m e r t o n 教授因此 丽获得了i 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖 b l a c k 教授因于1 9 9 5 年逝世雨未能享此 殊荣) 。 纵观2 0 世纪期权定价理论的发展历程，不难发现，期权定价理论是以鞅分 析理论为主要工具而逐步发展和深化的。在b i a c k 、s c h o l e s 和g e r t o n 那两篇 具有划时代意义的论文中，他们正是从证券价格的随机过程模型出发，利用伊 藤随机积分和扩散过程的马尔可夫性，导出了期权定价公式，从那时起，许多 经济学家和数学家发现，鞅分析理论是处理现代金融问题最有效的工具之一。 在2 0 世纪7 0 年代，关于半鞅的随机积分理论在以法国学者p a m e y e r 为代表 的s t r a s b o u r g 学派的研究下。取得了实质性i ；9 发展。这些理论成果的取得，激 发了些数学家对其在期权定价问题中的应用进行进一步的探索和研究。在 1 9 7 9 年和1 9 8 1 年，h a r r i s o n 分别和k r e p s 3 i 、p 1 i s k a ”3 合作，写了两篇对期权 定价理论以后发展有深远影响的论文。在论文中，作者建立了经济学中的无套 利、完全市场等概念和鞅分析理论中的等价鞅测度概念、鞅表示定理之间的联 系，为鞅分析理论在期权定价理论中的应用开辟了道路，同时也为期权定价理 论的进一步发展提供了强有力的工具。随后，在数学家和金融学家的共同努力 下，建立了资产定价基本定理，从而把期权定价理论和鞅分析理论一两个完 全不同的学科紧紧的联系在一起。 1 2 期权定价理论研究的重大意义 期权是2 0 世纪国际金融市场创新实践的成功典范，众多金融机构利用这一 工具来管理自己的金融风险。在一个不确定的资本市场中，风险通常与投资收 益始终相伴，具有一定的负效用。但是，利用期权这一工具，各种风险的价格 便可以得到量化，从而使风险与收益相分离，成为一种特殊的商品。因此，以 期权为代表的金融衍生工具市场的诞生为原先主要有商品市场和要素市场所构 成的市场体系增加了一个新成员，即风险市场。在这个市场上交易的商品为风 险。通过一定的价格，投资者可以将自己不愿意承担的风险转交给那些对特定 风险有深入研究的专家，或者是那些追求风险受益的投机者。 期权这一衍生工具之所以受到众多投资者的青昧，在于其所拥有的独特的 作用。其作用主要表现在以下2 个方面： ( i ) 期权是投资者进行财务金融风险管理的有效手段。 如上所述，由于期权的价格与标的资产的市场价格密切相关，所以可以用 来控制和转移现货市场的风险水平，这是期权的基本功能所在。而且，期权又 具有很强的杠杆作用。因此，投资者可以用少量的资金签订大金额的期权合同， 以对冲的方式，将自己不愿意承担的风险转移到愿意接受风险并以此获取高额 利润的其他投资者处，从而有效地实现风险在不同投资者之间的重新配置。在 另一方面，期权所具有的套期保值功能还可以使投资者放心地参与标的金融工 具的交易。总之期权满足了投资者规避风险的需求，从而有利于现货市场的稳 定和发展。 ! ( 2 ) 期权可以用来进行投资和套利。 期权投资的特点在于其杠杆作用，即它可以提供较小的代价( 权利金) 来 获取高额收益的机会。此外，对于利用鞅分析理论或其他数学工具可以计算出 所承担风险和期望收益价值的机构投资者( 如一些大的养老基金和投资银行) 来说。它们可以使用复杂的期权操作策略和投资组合策略，将投资和投机有效 地结合起来，实现减少风险和增加收入的双重目标。所以。除了套期保值和风 险转移以外，创造收入是期权的另一基本功能。 从以上的介绍中，我们可以看出，在现代金融市场中。期权发挥着极其重 要的作用。而要想使期权发挥这一作用，就必须研究其在不同市场条件下的定 价问题。通过对一定市场条件下证券价格建立起合适的随机过程模型，再以鞅 分析理论为主要工具，对期权价值过程用数学的方法进行科学而精确的刻画， 我们就可以得出其价值过程的一般规律，并且在一定条件下，可精确计算出在 2 期权生命期内，任意时刻期权的价值。这样就为金融机构进行投资决策和风险 管理提供了科学的理论依据。因此，对期权定价问题的研究具有极其重要的理 论和现实意义。 1 3 期权定价理论发展概述及评价 期权的理论与实践可以追溯到公元前1 2 0 0 年前，当肘的吉希腊和吉腓尼基 国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时的条件下不可能对其 有深刻认识。期权的思想萌芽也可以追溯到公元前1 8 0 0 年的汉穆拉比法典。 由于缺乏较高级的数学工具，对期权定价理论的研究则相对滞后的多，在2 0 世纪初才有学者对此作较深入的研究。本节将对上个世纪各个时期期权定价理 论发展的概况作一个较完整的叙述，并且对一些学者提出的对期权定价发展有 重要影响的模型做出评价。 关于期权定价问题的研究最早可以追溯到1 9 0 0 年。当时，法国学者路易 巴舍利耶( l o u i sb a c h e l i e r ，1 9 0 0 年) 5 3 发表了他的博士论文“投机理论” ( t h e o r yo fs p e c u l a t i o n ) 。在论文中，他第一次给予布朗运动以严格的数学 描述( 在爱因斯坦( 1 9 0 5 年) 和维纳( 1 9 2 3 年) 建立布朗运动的数学理论时显 然不知道巴舍利耶的研究成果) 。他的目的是想运用这一随枧过程，从理论上绘 各种类型的期权定价，并与所观察到的那些类型期权的市场价格进行比较。他 假设股票价格过程是一个没有漂移和每单位时间具有方差盯2 的标准布朗运动， 得出到期日看涨期权的预期价格是 尸( 剐) ：x 垂( 掣) 一腼( 掣) + 盯一。( 掣) ( 1 3 1 ) 口ta t6 q t 其中p ( x ，f ) 表示，时刻股票价格为并时期权的价格，x 表示股票价格，k 表示期 权的执行价格，表示标准正态分布函数，0 表示标准正态分布密度函数。为 与股票的零预期价格变化假设一致，他没有为得到现值而贴现预期值。但是， 他的模型在以下三个方面存有缺陷。第一，假设标的股票的价格服从正态分布， 这使得股价出现负值的概率大于零，这是个与股票的有限债务假设相矛盾的 条件。第二，认为在离到期日足够远的时候，买权的价值可能大于标的股票的 价值，显然这也违背了股票市场的真实情况。第三，假设平均预期价格变化为 零，它忽视了资金的时间价值为正，期权和股票间的不同风险特征，以及风险 厌恶特征、风险厌恶程度。虽然有此不足该公式对预测短期看涨期权的价格 却非常适用。但在长期期权价格的判断中，因要求期权价格与期限的平方根成 比例增加而失效。另一方面，他提出的效率市场的概念，为后人的研究指出了 方向。 在上个世纪三十年代，美国学者卡勒斯( c o w l e s ) 对股票市场经过研究发 现，股票价格取对数后，其增量是相互独立的。在卡勒斯工作的基础上，斯普 里克尔( s p r e k l e ，1 9 6 1 年) “】在1 9 6 1 年发展了路易巴舍利耶的期权定价模型。 3 他假设股票价格服从具有固定平均值和方差的对数分布( 即后来发展起来的几 何布朗运动) ，且该分布允许股票价格有正向漂移。在此假设下，他得至4 的看涨 期权价值公式为 心阳踟f 竖掌k 郴l l n ( x k k ) + ( a l a2 ) ，f s l 刊 jl 一 j 其中参数厅是市场“价格杠杆”的调节量，口是股票预期收益率( 不是无风险 收益率) ，这一模型也没有考虑资金的时间价值。 在1 9 6 4 年，博内斯( b o n e s s ，1 9 6 4 年) “1 给出的模型和上面的模型非常相似。 他也对股票收益假定了一个固定的对数分布，并且认识到风险保险的重要性。为 简明，他假定“投资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用股票的预期收益 率口来贴现最终期权的预期值。他的最终模型是 p 。，。：，4 1 1 学 一。一蜀中 l n ( ) + ( 口一i 1 a 2 ) f 口 ( 1 3 3 ) 这一等式在形式上与后面的布莱克一斯科尔斯公式完全相同，唯的区别 是口的用法，此处是股票的预期收益率而不是无风险收益率。假如搏内颠将投资 者不在乎风险的假设代以逻辑结论口= ，他将推导出布莱克一斯科尔斯方程，当 然，他的推导仍需建立在风险中性的假设基础上。 萨缪尔森( s a m u e l s o n ，1 9 6 5 年) ”迸一步发展了巴舍利耶的期权定价模型， 他用几何布朗运动替换了巴舍利耶的通常的布朗运动，这一变化，使得股票的 价格不会变为负值，满足了股票的有限债务假设。另外他也认识到，由于不同的 风险特性，期权和股票的预期收益率一般来说是不同的。虽然他认识到更高深的 理论将推导出预期收益率的值，但他还是断定有一个更高的( 不变的) 期权预期收 益率口，他得到的欧式看涨期权的模型是 r1r 脚h 舢一! 兰塑：宰趁! 卜。肿i l n ( x k ) + ( a 一- 2 a 2 ) t i ( 1 3 4 ) l 刊 j【 刊 l 前面的博内斯方程是这一方程在口= 口的特例。 萨缪尔森和默顿( 1 9 6 9 年) 用种资产组合选择的简单均衡模型检验了期权 定价理论，这种模型允许内生地确定股票和期权的预期收益率。他们证明了期权 问题可以用函数形式中的“公共概率”项来表述，这种函数形式与用真实概率所 表述的问题一样。以这种方式表示时，调整过的股票预期收益率和期权预期收益 率是一样的。这一方法使用了现在被认为是理所当然的估价期权的风险中性或 偏好自由的发展成果。 在1 9 5 0 年到】9 7 0 年间所建立灼各种各样的期权定价模型，都或多或少的 包含些主观的参数，如投资者个人对风险的态度，市场均衡价格等，使得这 些模型几乎不具有任何的实用价值，甚至连创立者本人都不满意。直到1 9 7 3 年b i a c k 和s c h o le s 发表了那篇其有里程碑意义的论文，这一问题才得到比较 好的解决。 2 0 世纪6 0 年代末，b l a c k 和s c h o l e s 开始合作研究期权的定价问题，并找 到了建立期权定价模型的关键突破口，即构造一个有标的股票和无风险债券的 适当组合( 买入适当股数的标的股票，同时按无风险利率借入适当金额的现金) 。 该组合具有这样的特点，即无论未来标的资产价格如何变化，其损益特征都能 完全再现期权在到期日的损益特征。因此，该组合又被称为合成期权或人造期 权。既然合成期权与所要定价的期权在到期日具有完全相同的收益特征，根据 无套利定价原则，构造该合成期权所需的成本就应当等于期权当前的价值。根 据上述基本思路，b l a c k 和s c h o l e s 得到了描述期权价值变化的随机微分方程， 即所谓的b s 方程。经过一定的数学运算后，b l a c k 和s c h o l e s 得出了期权定 价的解析表达式，这就是b - s 模型。下面简要的介绍一下6 1 a c k 和s c h o l e s 这 一成果。 。 b i a c k 和s c h o l e s 在推导b s 模型时，做了以下7 条基本假设，即； ( 1 ) 无风险利率，已知，且为一个常数，不随时间变化。 ( 2 ) 标的资产为股票，其价格s ，的变化为一几何布朗运动，即 d s ，= 岱, d t + o 墨d 彬 其中和盯为常数且盯0 。或者说，由随机积分理论( 伊藤公式) ，s 服从对 数正态分布 s = s oe x p ( ( y 一盯2 ) r + 盯彬 ( 3 ) 标的股票不支付股利。 ( 4 ) 期权为欧式期权。 ( 5 ) 对于股票市场、期权市场和资金借贷市场来说，不存在交易费用，且 没有印花税。 ( 6 ) 交易是连续迸行的，且投资者可以自由借入或贷出资金，借入利率和 贷出利率相等，均为无风险利率。而且，所有证券交易可以无限制细分，即投 资者可以购买任意数量的标的股票， ( 7 ) 对卖空没有任何限制( 如不设保证金) ，卖空所得资金可由投资者自 由使用。 在上述假设下，若记s 为定价目标的股票价格，z 为买权合同的执行价格， r 是按连续复利计算的无风险利率，r 为到期日，t 为当前定价曰，t f 是定价 日距到期日的时白j ( 时问单位是年) ，口是标的股票价格的波动率，则可得到 b - s 模型如下： ( 1 ) 在定价f 1f ( ， r ) ，欧式买权的价值c ，为 ，= s , n ( d j ) 一x e 。“n ( d 2 )( 1 3 5 ) 在上式中： 4 = b 习+ ( ，+ c r 2 2 x t 一力p ! 。( 丁一t f l 2 】 ( 1 3 6 ) d 2 = d l c r ( t f ) ”2( 1 3 7 ) 而n ( x ) 是标准正态变量的分布函数，即 n ( x ) = p x s t x 这就是说，在任意时刻t ( t t ) ，美式买权价值总是大于提前执行所实现的价值， 即提前执行是不理性的。既然如此，此时美式买权价值与欧式买权价值相同。 对于卖权合同来说，其价值边界的确定过程要复杂一些。我们先研究卖权 价值的下限。由前面讨论，在到期日卖权的价值为 p r = p t = m a x ( 0 ，x s t ) ( 2 2 6 ) 在到期日前任意时刻f ，对于美式卖权来说，由于它可以提前执行，其价值p 应 当不低于m a x ( 0 ，x 只) ( 证明略) 。由此我们得到美式卖权价值的下限公式，即 结论2 5美式卖权的价值下限是 p t m a x ( 0 ，x 一墨) ( 2 2 7 ) 同理，我们可以得到欧式卖权的价值下限是 p f m a x ( 0 ，爿毫一7 一“一s f ) ( 2 2 8 ) 对于欧式和美式卖权价值的上限，我们有如下结论： 结论2 6 美式卖权价值卑和欧式卖权价值露的上限分别由下列公式给出 p x( 2 2 9 ) p x e 一7 ( 7 ) ( 2 2 1 0 ) 此外，再给出关于卖权价值的另一个重要结论： 结论2 7 第一，对于两个具有不同执行价格、其它合同参数相同的美式期 权，其价值之差不应超过执行价格之差。第二，对于两个