（应用数学专业论文）时规上的mλ问题.pdf

时规上的m ( a ) 问题 m ( a ) p r o b l e m so i lt i m es c a l e s 学科专业：应用数学 研究生：郭华 指导教师：史国良副教授 天津大学理学院 二零零八年五月 中文摘要 本文主要研究时规- 上的m ( a ) 问题 全文共分为五章 第一章为引言，介绍了问题研究的背景，以及本文的主要工作 第二章为预备知识，主要介绍时规及时规上的微积分理论， 第三章主要研究奇异二阶微分方程 一y v + 譬( z ) 笞= 久秽，【0 ，。o ) n 匹，入c 在时规上的极限点型，极限圆型问题，其中口：| _ c 是连续函数 第四章主要在时规上研究仍( 入) 函数，在极限点型情况下讨论m ( x ) 函数的渐 近性 第五章为结束语，总结全文的工作 关键词：时规；极限点型；极限圆型；m ( 入) 函数 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h em ( a ) p r o b l e m so nt i m es c a l e s t h ep a p e ri sd e v i d e di n t of i v ec h a p t e r s t h e6 r s ts e c t i o ni 8t h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r t h i sp a r tm m n l yi n t r o d u c e s t h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e r ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a c ho ft h ep r o b l e m s t h en e x ts e c t i o no ft h ep a p e ri sc o m p o s e do fs o m eb a s i c a ld e f i n i t i o n sa n dt h e o - r e i n s i n c l u d e st h ed e f i n i t i o no ft h et i m es c a l e sa n dt h ec a l c u l u so nt i m es c a l e s t h et h i r ds e c t i o ng i v e 8ac l a s s i f i c a t i o no ft h es e c o n d - o r d e rs m g u kd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y v + q ( x ) y = a y ，z o ，o o ) nt ，a c w h e r eq ：t _ ci sc o n t i n u o u sw i t ht h el i m i t p o i n ta n dl i m i t c i r c l ec a s e s t h ef o u r t hs e c t i o nm a i n l yi n t r o d u c e st h em ( a ) f u n c t i o n so nt i m es c a l e s ，p r e s e n t s t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fm ( 入) i nt h el i m i t - p o i n tc a s e t h el a s ts e c t i o ns u m m a r i z e st h et h ew o r ko ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：t i m es c a l e s ；l i m i tp o i n tc a s e ；l i m i tc i r c l ec a s e ；m ( a ) f u n c t i o n ， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名； p 绛 签字日期：沙6 年占月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论佑者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学i【将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印：马描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文储豁乞p 毕 ：! ；专国端溺蛩占j jz ：1 导师签名溯议 签字蜀期刃修，；彩，：j 第一章前言 第一章前言 本文主要研究时规面上的m ( 入) 问题 1 9 9 0 年，s h i l g e r 在 1 】中首次提出测度链上的分析方法，这是一种将离散 和连续统一的方法2 0 0 1 年，m b o h n e r 和a p e r t e r s o n 在 3 】中研究了测度链的 特殊情形时规，建立了时规上的微积分理论，这使得时规上的基本理论日趋 完善时规上的问题也日益受到关注，如微分方程在时规上的初边值，特征值 问题，见 2 】， 4 】一 7 】 在微分方程中，t i t c h m a r s h w e y l 理论主要研究奇异二阶微分方程的相应 边值问题的谱性质早在1 9 1 0 年，h w e y l 在 8 】中首次对方程 一咖) + q y = a r y + ，i m a 0 ，0 z o o ，( 木) 进行了谱理论研究，并根据解的性质将方程划分为极限圆型和极限点型，其 中p ，q 实值连续，区间端点为其奇异点，实值连续，r 是实参数1 9 6 2 年，e c t i t c h m a r s h 在【9 】中研究指出方程( 木) 总存在解l 2 ，并且讨论了t i t c h m a r s h - w e y l 函数m ( 入) 与极限点型，极限圆型的关系1 9 6 9 年，e h i h e 在 1 2 】中对方程 y “+ 陋一口 ) 】= 0 ，i m a 0 ，0s z o 。 进行了研究，其中q ( x ) 是实值连续的，入是复参数，讨论了在极限点型情况下 m ( 入) 在扇形区域0 t ) ，p ( t ) ：= s u p s ：s 0 ，存在6 0 ，当8 t ，1 8 一t i 0 ，当8 ，i s t l 0 ，存在5 0 ，当8 t ，1 8 一t i s ) 玩讯 肼加| l “= 一删喇 叭仉叭仉 义k 胪 第二章基本定义和基本理论 则称，在t 处v 司导 ，在t 处的v 导数记作 m = 鹄钳 定理2 1f ：t r ，t t 知，则 ( 1 ) 如果，在t 处可导，则f 在t 处连续； ( 2 ) 如果，在t 处连续，t 是右散点，则f 在t 处可导且 心= 紫； ( 3 ) 如果t 是右聚点，则j f 在t 处可导当且仅当l i m 丛掣存在且 s - - _ tc s 心= 州l i m 掣； 3 + tz s ( 4 ) 如果，在t 点可导，则，( 盯( t ) ) = f ( t ) + p ( t ) 一t ) ，( ) 定理2 2如果，g ：t r 在t t 七处可导，则 ( 1 ) f + g 在t 处可导且 ( ，+ 9 ) ( t ) = f h ( t ) + g z x ( ) ； ( 2 ) 任意常数k ，k f 在t 处可导且 ( 忌，) ( t ) = k f ( t ) ； ( 3 ) f g 在t 处可导且 ( f g ) ( 亡) = ， ) 9 ) + ，( 口 ) ) 夕( t ) = f ( t ) g ( t ) + ，( t ) 9 ( 仃( t ) ) ； ( 4 ) 如果9 ( ) 夕( 口( ) ) 0 ，则f i g 在t 处可导且 ， ( 石f ) = 出黠高盟 定理2 3f ：t 叶r ，t t k ，则 ，( 1 ) 如果，在t 处v 可导，则，在t 处连续； ( 豸如果7 在处连续，t 是左散点，则，在t 处v 可导且 m = 紫； 第二章基本定义和基本理论 ( 3 ) 如果t 是左聚点，则f 在t 处v 可导当且仅当l i 玛丛掣存在且 s _ c s m = 磐等掣； 5 + le s ( 4 ) 如果，在t 点v 可导，则，( p ( t ) ) = f ( t ) + ( p ( t ) 一t ) f v ( ) 定理2 4如果f ，g ：t r 在t t k 处v 可导，则 ( 1 ) ，+ g 在t 处v 可导且 ( ，+ 夕) v ( t ) = f v ( t ) + g v ( t ) ； ( 2 ) 任意常数k ，k f 在t 处v 可导且 ( k ) v ( t ) = 七，v ( t ) ； ( 3 ) f g 在t 处v 可导且 ( f g ) v ( t ) = f v ( t ) 夕( t ) + ，( p ( t ) ) 9 v ( t ) = f ( t ) g v ( 亡) + f v ( t ) 9 ( p ( t ) ) ； ( 4 ) 如果g g p 0 ，则f g 在处v 可导且 (舒)=_fv(t)q丽(t)-f(t)gv(t) 定理2 5如果f ：t r 在俨上可导，产在畔上连续， 则f 在吼上v 可导且 f v ( t ) = ，( p ( t ) ) ，t t k 定理2 6 如果，： 一r 在吼上可v 导，v 在吼上连续， 则，在畔上可导且 f a ( t ) = f v ( 仃( t ) ) ，t t 南 t 上l 一可积函数，l 一可测函数 定义2 9e ：r _ r ，其中e ( t ) ：= s u p s t ：8 t 】，t r 定义2 1 0取任意u ：t 七一r ，称uoe ：r _ r 是u 在r 上的延拓 5 第二章基本定义和基本理论 定义2 1 1如果4 0e 在r 上l 可测，l 可积，则称札是廿上l 一可测函 数，l 一可积函数 记 l k ( v ) = _ 【牡：札是t 七上l 一可积函数) 上的三一积分 定义2 1 2 任意钍l k ( v ) ，有 j f s t u a - - - - - f t uo e 如，s , t et t 上的三一测度 定义2 1 3任意act ，x a 为a 的特征函数，如果m 是上l 一可测 函数，则a 是工一可测集 定义2 1 4如果a 可测，牡在a 上l 一积分为 么u = 上u 眦 定义2 1 5a 的l 一测度为 p ( a ) 2f a l 由定义得 p ( s ，t ) nt ) = t 一8 ，p ( ( s ，司nt ) = 口( t ) 一盯( s ) ， p ( 【s ，t 】nt ) = 盯( t ) 一8 ，p ( ( s ，t ) nt ) = t 一盯( s ) ， p ( t o ) = a ( t o ) 一t o ，5 ，t ，t o t t 上l v 可积函数，l v 可测函数 定义2 1 6 e ：酞一r ，其中e ( t ) ：= i n f s t ：8 味t r 定义2 1 7取任意u ：t | i c r ，称u oe ：r r 是乱在r 上的延拓 定义2 1 8如果uoe 在r 上l 可测，三可积，则称u 是吼上l v 可测函 数，己一v 可积函数 记 l 专口) = 让：乱是- 屉上l v 可积函数 6 第二章基本定义和基本理论 - 上的l v 积分 定义2 1 9任意u 工 7 口) ， s s tu v=tuoe 如，s ，t z t 上的l v 测度 定义2 2 0任意act ，x a 为a 的特征函数，如果m 是t 上l v 可测 函数，则a 是l v 可测集 定义2 2 1如果a 可测，乱在a 上l v 积分为 0 弋= b 忒 定义2 2 2a 的l v 测度为 删a ) 2 以w 由定义得 p v ( ( s ，t 】nt ) = t s ，p v ( s ，t ) n - ) = p ( t ) 一p 0 ) ， p v ( s ，纠n ) = t p ( s ) ，p v ( ( s ，t ) nt ) = p ( t ) 一8 ， i , v ( t o ) = t o p ( t o ) ，8 ，t ，t o z 定理2 7 设a 6 ，c t ，则：， ( 1 ) z 6 ， ) + 9 ) 】= z a 6 ，。) + z 6一n uu 肛卅鲍胛= 厶叩+ z 6 ( 2 ) z 6 k f ( t ) a = k 厂6 f ( t ) a j a ， ( 2 ) = ， ，口 z 。坝坍“小坍， ( 3 1 6 ，( t ) 哥一6 ，。) 公， 厶坍一小坍， ( 4 ) z 6 ，( t ) = z 。，( t ) + 6 ，( t ) ， ( t ) a ， ( t ) v ， 第二章基本定义和基本理论 v = 小凋+ 厶啊， o ) 9 0 ) = ， ) 夕( t ) 吃一，( 盯( t ) ) 9 ( t ) ， v ( t ) g o ) v = f ( t ) g ( t ) l b a 一，( p o ) ) 9 v ( t ) v 定理2 8令a ，b t ，a 1 pq 8 6 6 6 z z z 、， 5 ，、 的厂止厂止厂止厂厶 t k x h x 于0 h 关 s 第二章基本定义和基本理论 定理2 1 2( h 6 1 d e r 不等式) 设口，b t ，g c ( t k ) ，则 舢咖i v ( 肌圳p v ) ；( 舢圳口v ) ；， 其中p 三十石1 = 1 ，p l 9 第三章极限点型，极限圆型 第三章极限点型，极限圆型 在这一章主要讨论方程 一y v + q ( x ) y = a y ，z 【0 ，o 。) nt ，0 t ( 3 1 ) 的解的性质，其中q ：_ c 是连续函数，入c 引理3 1令t o 是廿上一个固定点，c o ，e l 是两个给定常数，则方程( 3 1 ) 具 有唯一解满足 y ( t o ) = c o ，可( t o ) = c 1 引理3 2 方程( 3 1 ) 的任意两解的w r o n s k i a n 行列式为常数 定理3 1 对于每个复数入，方程( 3 1 ) 至少有一个非平凡解属于l 2 ( v ) 证明：给定a 0 ，2 丌】，设y l ( x ，入) ，y 2 ( x ，入) 是( 3 1 ) 的两个解 满足初值条件 y l ( 0 ，入) = s i n q ，y l ( o ，入) = 一c o s 口， y 2 ( o ，入) = c o s o c ，斧( o ，入) = s i n a ( 3 2 ) 因为w r o n s k i a n 行列式恒等于1 ，所以y l ( x ，入) ，y 2 ( x ，入) 是方程的基本解组 假设入= p + 砒| ，0 令p 0 ，2 7 r 】，b ( 0 ，。) n ，取 y ( x ，a ，m ) = y l ( x ，入) + m y 2 ( x ，入) ，( 3 3 ) 令y ( x ，a ，m ) 满足 y ( b ，入，m ) c o s p + 可( 6 入，m ) s i n p = 0 ，( 3 4 ) 这时 r f t 一- 堕c o t 卢堕y 2 ( 盟b , a 止) + 企y 2 a ( 唑b , a ) ， ( 3 5 ) 一 l j b j 1 0 第三章极限点型，极限圆型 取z l ，x 2 【0 ，o o 】n t ，有 ”们毋：可铽一 勘可伊 = 剪可层一y v 矿， 可可l ：一 z 2i 可v1 2 v + 。2 ( a q ) i 可1 2 v ：o ( 3 6 ) ，z 1t ，z 1 令y ( x ，入) = y 2 ( x ，入) ，x l = 0 ，x 2 = b ，取( 3 6 ) 虚部得 i m 瓯硎( 6 ，入) 】= 一i y 2 ( s ，入) 1 2 v 0 ，扩0 ， ( 3 7 又可得 - m c 黜，= 等掣舢 8 ， 下面证( 3 5 ) 的定义是合理的，即证明c o t 卢y 2 ( b ，a ) + 谚( 6 ，a ) 0 假设 c o t p y 2 ( b ，入) + 影拿( 6 ，入) = 0 ， 则 堕a 鼎b ：一c o tp r ， ( 3 9 ) y 2 ( b ，入) 一 7 这与( 3 8 ) 矛盾，所以c o t y 2 ( b ，入) + 谚( 6 ，入) 0 ，( 3 5 ) 定义合理 取映射 u = 丝c z 旦+ d ，z c ， u2 z u 其中u = m ，z = c o t ，a = 一y l ( b ，a ) ，b = 一3 ，拿( 6 ，a ) ，c 三y 2 ( b ，a ) ，d = 诊( 6 ，a ) ( 3 1 0 ) 因为当u = 。时 名= = 一黜喁 所以这时u 将名平面实轴映成一个圆 又当 0 时，有 i m 一扩锵 。， 1 l 第三章极限点型，极限圆型 则说明u 将z 平面上半平面映到u 平面的一个圆外，下半平面映到圆内 下面证明l ， 0 时，圆g 位于u 平面的上半平面 在( 3 6 ) 中取 y ( x ，a ) = y ( x ，a ，m ) ，x l = 0 ，x 2 = b ，0 ，b t ， 由( 3 4 ) 得 而丽户( 6 ，入，仇) = 一c o ti y ( b ，入，m ) 1 2 ， ( s i n 口+c o s 口) ( 一c o s a + m s i n a ) 一言s i n 2 m 一2 ) 一c o s 2 a r e ( m ) + i r a ( m ) ， 上两式代入( 3 6 ) 取虚部得 i m ( m ) = z ，i 可( s ，a ，m ) r 2 v ， ( 3 1 1 ) 可见 0 时，i m ( m ) 0 ，即g 位于u 平面上半平面 下面讨论圆g 的性质，因为 名= 丽b - d w r ，名2 瓦i 可腿， 由z 一乏= 0 得 ( a c 面) ( b d u ) 一( a c u ) ( b d 巧) = 0 ， 解得圆q 的半径 l a d b c i r b 2 2 士ic 2 3 d - c 三d i y l ( b ，入) 可争( 6 ，入) + 秽拿( 6 ，1 ) y 2 ( b ，入) i = - - - - - - - - - - - - - - - - - - ：= = = = = = = = = 一 i y 2 ( b ，a ) 可拿( 6 ，a ) 一y 2 ( b ，入) 争( 6 ，入) i l 1 2 i m y 2 ( b ，入) 谚( 6 ，a ) 】i 1 2 丽百面y 2 ( s 蕊两 2 片i ，入) 1 2 v 可见关于b 严格单调递减且趋于一个大于等于0 的极限 下面证明g 是嵌套的，即b l 0 ，t j t ( u 2 + v 2 ) + 2 u u + 2 v v - fs 】，则点m = 让- t - i v 在圆内 所以m 在g 内当且仅当i m m l ，詹l y ( s ，入，u ) 1 2 v 设b l 王，l y ( s ，a ，u ) 1 2 v i ( s ，入，u ) j 2 v ，( 3 1 3 ) j 0t ，0 可见m 也在q 。的内部，所以当b z 0 ，这种情况下有一个最大的圆盘包含在所有的圆内，这就 是极限圆型，这时 l y 2 ( 8 ，a ) 1 2 v + o 。， 即y 2 ( s ，入) l 2 ( t ) 下面证明极限点型具有唯一形式的解属于l 2 ) ，即证 七 1 ( z ，入) + m y 2 ( x ，a ) 】l 2 ( t ) ，k r 首先证明解的存在性 第三章极限点型，极限圆型 取一序列 k ) ， 0 i m ( m 。) = l ，i y ( s ，a ，m n ) 1 2 v z ，1 秒( s ，入，) 1 2 v ， ，oj o 由一致收敛性有 珈 o i ( s ，入，m ( 入) ) 1 2 v 因为丁是任取的，所以结论成立 还可得结论 i m ( m ( 入) ) = 1 0 l y ( s , 入，m ( 入) ) j 2 v 因为秒( s ，入，m ( a ) ) l 2 ( - ) ，所以对于任意 0 ，存在n 0 ，当n n 时，有 厂。钟v 三， d b 钟v 丢，n 工， 即 ，。，o n，0 0 1 m ( m n ) 一l y l 2 v l = i i m ( j 0m n ) 一j 01 秒f 2 v 一d b n i 1 2 v i p f b ? 1 秒1 2 v l 0 得 1 2 + l - - a o | 2 【呲) 1 2 z 。i u 。( s ) 阳z 阳】 制圳2 z 。i 吣8 ) 1 2 v 小s ) | 2 v ， 用t 替换上式中z 后得 丢小阳t 小( t ) 1 2 v t + a - a o l 2 厅州圳2 卜( s ) 阳s + i a 一, x o l 2 l u 2 ( 0 1 2 l 乱l ( s ) 1 2 v s ) i v ( 8 ) 1 2 v s v t f t ，z ，o ，n 令b ( z ) = m a x 1 u l ( x ) l ，i 札2 ( z ) f 】，a o = b 2 ( s ) v ，j = i u ( s ) 1 2 v ， ，o o， ，0j 口 y ( z ) = i v ( 8 ) 1 2 v j 由( 3 1 6 ) 中l a 一入0 1 2 的系数得 2 y ( z ) z 。( b 2 ( 功z tb 2 ( s ) v ) v 2 y 。) z 。b 2 ( t ) v 】2 ( 3 1 6 ) 这时( 3 1 6 ) 变为 v ( x ) 3 j + 3 i 入一a o l 2 培y ) ，( 3 1 7 ) 取足够大的a ，使得6 i 入一入0 1 2 瑶 1 由( 3 1 7 ) 得对所有z ，有 m ) 2 上i v ( s ) | 2 阢 哆 即v ( x ) l 2 ( - ) 因为u ( z ) 是( 3 1 ) 的任意解，所以所有解属于l 2 ( t ) 】6 第四章m ( 入) 函数 第四章仇( 入) 函数 在这一章我们主要讨论函数 州棚= 焉豢蒋黜 他1 ， 在极限点型情况下，当b 一。时，m ( a ，b ，p ) 极限存在但与无关为了简化讨 论，不妨取p = 0 ，这时 椰6 ) = 兹筹，6 ( 0 川n ( 4 2 ) 定理4 1 m ( a ，6 ，卢) 是a 的亚纯函数，具有极点k ( 6 ) ，则 r e s ( 钾佗( a ，6 ) ，入n ( 6 ) ) = r 。( 6 ) = 一 1 ，l e k l 1 ，知= 1 ，2 证明：由常数变易法得积分方程 可( z ，入) = c + d x - z z ( 。一s ) ( 入一q ) 可v s ( 4 9 ) m ( x ) = ，粤a x 。i y ( s ，入) i ，0 z 1 0 s 最( 4 1 0 ) 证明：由( 4 8 ) 得 u ( x ，入) 1 2 = i c ( 1 + p 1 ) + d ( 1 + 6 1 2 ) z 1 2 扣i 2 8 l c 矗i z + l a i 2 霸， 当6 6 时，积分得 上1 秒( s ，a ) 1 2 v j o i u ( s ，入) 1 2 v ，do 庶淝1 2 _ 8 俐s 卅s 2 ) v 扣2 汹j c d 5 2 + i 卯 结论成立 定理4 2 若a 互1 7 r ( m o d7 r ) ，入 a i o 石如( | + m ( 入，6 )口1 2 - 8 is i n 口+ m ( 入，b ) c o s a f | c o s 口一m ( 入，b ) s i n 口1 6 + j 1i c d s a m ( 入，6 ) s i n n 降) ( 4 1 1 ) 令i m ( a ，6 ) l = q ( 入) ，is i ni = 吼i c o so l i = 7 0 ，由上式得 q ( 入) 鲁6 王， p 一一y q ( a ) 】2 - 4 盯+ ，y q ( a ) 】h + 盯q ( a ) 】6 + 7 一口q ( 入) 】2 6 2 ， ( 4 1 2 ) 因为e a r g a 7 r 一，所以 = s i n ( a r g 入) i a l s i n e i 入l ， 砸器，一 2 ( 1 a i + q ) 】 且当入_ o 。时 6 _ 第四章仇( 入) 函数 又可得 2 6 样= 2 瓦所以左半部分成立 王，o矿 l l 十口 当 q 时， 6 = ll 且口 历1 高 ( 4 + 俘州炒。 因为6 0 且a 寺丌( r o o d7 r ) ，所以总存在6 ，使得 c o t 咖( 4 + 、铷 这使a 0 成立 可见a z 2 + b x + c = 0 有实根，q 位于两实根之间 当_ o 。时，有6 _ 0 ，可得 ( 7 q 一盯) 2 _ 0 可得 1 i mq ( a ) =i m ( a ，6 ) i = j 口i ，, u m t a n ，、0 0 o 。 因为q ( a ) = i m ( a ，6 ) j 有界，且a c x ) 时，咖_ 0 0 ，所以由( 4 1 1 ) 得 1 i m1 8 i i l a + m ( 入，b ) c o s a i = 0 ， a o o 即 熙m ( 枷) = - t a na ，q 三丌( m 。dn 2 1 第四章 m ( a ) 函数 二二二l = = = 一 又由引理4 2 ，( 3 1 1 ) 得 其中 r ( 入) = i m ( x ，6 ) + t a n a l a ； i m ( 仇( a ，b ) ) l aj 吾d ( a ) c o s 2 础2 ( a ) 一詈d 2 ( a ) i c o sa i m ( a ) 兄( 入) + 西4 “a ( 入) m 2 ( 当入_ o g 时， 由( 4 1 3 ) 得方程 m ) = 嚣，m ( a ) = c o s 口- - r a ( 枷) s i 叫 d ( a ) - - 三以s i n o ，肘( a ) _ i s e c q l ，伊：a r g a ， r 2 _ 讵( 4 s t n 秒十兰s e c 目) s e c 2o r r + 扣2 护s e c 4 0 t = o 必存在两正根，记作r l ( a ，口) ，r 2 ( q ，口) ，r l ( 口) 吾6 ( 1 4 i m ( 入，6 ) 1 6 + 丢l m ( 入，6 ) i z 铲) 令t ( a ) ：j f m ( a ，b ) l ：如上述讨论得，t ( a ) 位于方程 严一( 2 4 + 2 7 c s c e ) t + 3 = 0 的两实根之间 所以z ( a ) 有远离0 和的界 ( 4 1 3 ) 第五章结束语 第五章结束语 本文主要研究了时规上的m ( a ) 问题 在第二章，介绍了时规及时规上的微积分理论和一些运算的规则 在第三章，研究了时规上的奇异二阶微分方程 一y v + 口( z ) 秒= 入! ，z 0 ，。) nt ，入c 的解的性质，将 1 2 】中极限点型极限圆型理论在时规上进行了推广，其中 q ：t c 是连续函数 在第四章，讨论了时规上的m ( 入) 函数，在极限点型情况下研究了m ( a ) 在 扇形区域的渐近性 在时规上奇异二阶方程的谱问题，如谱函数的渐近性，谱点的分布仍有 待继续研究 参考文献 参考文献 【1 】s h i g e r ，a n a l y s i so nm e a s u r ec h a i n s - au n i f i e da p p r o a c ht oc o n t i n u o u sa n d d i s c r e t ec a l c u l u s ，r e s u l t sm a t h 1 8 ( 1 9 9 0 ) ，1 8 - 5 6 【2 】r p a g a r w a l ，m b o h n e ra n dd o r e g a n ，t i m es c a l es y s t e m so ni n f i n i t e i n t e r v a l ，n o n l i n e a r a n a l 4 7 ( 2 0 0 1 ) ，8 3 7 - 8 4 8 【3 】m b o h n c r ，a p e t e r s o n ，d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ，b i r k h a u s e r b o s t o n b e r l i n ，2 0 0 1 【4 r p a g a r w a l ，m b o h n e r ，a p e t e r s o n ，i n e q u a l i t i e so nt i m es c a l e s ：as u r v e y , m a t h i n e q a p p l 4 ( 2 0 0 1 ) ，5 3 5 5 5 7 5 r a g a r w a l ，m b o h n e r ，d 0 r e g a n ，a n da p e t e r s o n ，d y n a m i ce q u a t i o n s o nt i m es c a l e s ：as u r v e y ，j c o m p u t a p p l m a t h 1 4 1 ( 2 0 0 2 ) ，1 2 6 6 f m a t i c i ，g s h g u s e i n o v ，o ng r e e n sf u n c t i o n sa n dp o s i t i v es o l u t i o n sf o r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nt i m es c a l e s ，j c o m p u t a p p l m a t h 1 4 1 ( 2 0 0 2 ) ， 7 5 9 9 【7 】b p r y n n e ，l 2s p a c e sa n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nt i m e - s c a l e s ，j m a t h a n a l a p p l 3 2 8 ( 2 0 0 7 ) ，1 2 1 7 - 1 2 3 6 8 】h w e y l ，u b e rg e w s h n l i c h ed i f f e r e n t i a l g l i c h u n g e n m i ts i n g u l a r i t 苞t e nu n dd i e z u g e n h s r i g e ne n t w i c k l u n g e n m a t h a n n 6 8 ( 1 9 1 0 ) ，2 2 0 2 6 9 【9 】e a c o d d i n g t o n ，n l e v i n s o n ，t h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， m c g r a l l ，n e wy o r k ，1 9 5 5 1 0 e c t i c h m a r s h ，e i g e n f u n c t i o ne