（概率论与数理统计专业论文）ε代换类先验分布族中分布集的选择.pdf

硕士学位论丈m a s t e r st h e s i s中文摘要b a y e s 统计推断巾的一个重要i 、u j 题是它的稳健性。关于b a y e s 稳健性的分析方法有多种，一般采用的后验稳健性的评价标准是使用传统的b a y e s 风险准则，即令r = 万：万= ( 1 一占) 万0 + 钾，g d ，o 占l ，其中是选中的先验分布，d 为分布集所定义的先验的s 一代换类。若上( 口，口) 是损失函数，p ( 万( 臼ix ) ，口) 为口的后验期望损厂、失，那么我们就用【鳟p ( 万( 秒ix ) ，口) ，辩p ( 万( 臼ix ) ，口) ) 来评价口的稳健性。1 9 7 3 年h u b e r 给出的定理，对后验稳健性的计算是基于d 选所有分布的前提，但文献 3 指出若d 的选择太大会影响后验稳健性的效果。文献 3 选取d 为均匀分布类，得到的后验稳健性比d 取所有分布时好，且讨论了在合理选择的d 下，m l 一先验的后验稳健性。而b a y e s 统计中先验分布的选取有多种方法，其中共轭分布法是常用的一种。本文考虑用共轭分布法选取d ，得到的后验稳健性也比d 取所有分布时要好，且此时所得的m l i i 先验的后验稳健性也非常好。因此考虑用共轭分布法选取d 是合理可行的。关键词：一代换类；b a y e s 统计推断；共轭分布法；后验稳健性；m l i i 估计a b s t r a c ta ni m p o n m tp r o b l e mo fb a y e ss t a t i s t i cc o n c l u s i o ni sp o s t e r i o rr o b u s t n e s s t h e r ea r em 龇l ym e t h o do fp o s t e r i o rr o b u s t n e s sa n a j y s i s 1 1 l ej u d g e m e n t a ls t a n d a r do fr o b u s t n e s si st h et r a d i t i o n a lb a y e sr i s km l e c l a s so fd i s t r i b u t i o n sw h j c hl l a v et h ef o m万= ( 1 一s ) 万o + g g ，b e i n gt h eb a s ee l i c i t e dp r i o r ，qb e i n ga “c o n t a m i n a t i o n a n dsr e n e c t i n gt h ea m o u n to fe r r o rmt h a ti sd e e m e dp o s s i b l e di st l ：l es u b s e to fd i s t r i b u t i o n b a y e s 硒s km l ei st h a t ，( 口，口) i sl o s i n g 向n c t i o n ，p ( 万( 秒lx ) ，口) i sm ep o s t e 栅e x p e c t a t i 。nl 。s s 。f 口，m e nw eu s e ( 鳟p ( 万( 即) ，a ) ，辈p ( 万( 小) ，口) )j u d g i n gt i l er o b u s t n e s so f 口h u b e rg i v e sat 1 1 e s i si nl9 7 3 ，i i lt i l i st h e s i s ，h ed i s c u s s e st 1 1 er o b u s t n e s so f 口o nt h eb a s eo fd = a l ld i s t r i b u t i o n s b u tt h ep 印e r 3 p o i n t so u tt h a tt 1 1 er a n g eo fd = a l ld i s t r i b u t i o n s ) i sb i gt h a ti m p a c to nm er e s u l to fr o b u s t n e s s do ft h ep 印e r 3 i sm es e to f 砌f o md i 矧b u t i o n s ，m er e s u l to fr o b u s 协e s si sb e 慨rt h a j lh u b e r s f u n h e 彻o r e ，t h ep 印e r【3 】d i s c u s s e s 吐l ep o s t e r i o rr o b u s to ft h e 够p e - i im a x i m u ml i k e l i h o o dp r i o r 谢m i nt h er e a s o n a b l ed h o w e v e rt h e r ea r ema i i ym e t h o d so ft h es e l e c t i n go ft h ep r i o rd i s t r i b u t i o ni nb a y e ss t a t i s t i c ，au s u a lo n eo ft h e mi st h et h ec o 内u g a t ed i s t r i b u t i o nm e t h o d s oi nm i st e x t ，w ec o n s i d e rt os e l e c tdu s i n gt h ec o n j u g a t ed i s t r i b u t i o nm e m o d ，m e nw eg e tab e t t e rp o s t e r i o rr o b u s t n e s s a n dt h ep o s t e r i o rr o b u s to ft h et ) ，p e i il i k e l i h o o dp r i o ri sv e 巧g o o dt o o t h e r e f o r e ，s e l e c t i n gdu s i n gt 1 1 ec o n ju g a t ed j s t l i b u t i o nm e t h o di sl - e a s o n a b l ea n df e a s i b l e k e yw o r d s ：s c o n t 锄i n a t i o nc l a s s ；b a y e ss t a t i s t i cc o n c l u s i o n ；t h ec o n ju g a t ed i s t r i b u t i o nm e t h o d ；p o s t e r i o rr o b u s t n e s s ；t h et y p e - i im a x i m 啪l i k e l i h o o de s t i m a t e硕士学位论丈m a s t e r st h e s i s华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。作者签名：勿钟丞眵日期：加宕年月乒日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。作者签名：酬雅哆日期：如略年歹月p 日孙张呷岛糨日期：加铅年月夕日本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的规定享受相关权益。：回意论塞埕童卮进后；旦圭生；旦二生；旦三生筮鱼!储虢叫钏熏熙日期：沙堙年6 月伊日彩晔售一珂卜年名弛娩枷师期争日硕士学位论文m a s t e r s f h e s l s第一章引言b a y e s 统计推断中的一个重要问题足它的稳健性。b a y e s 方法与经典统计学不同的特点是把臼看作一个随机变量，考虑它在实验前的有关信息，在得到样本观测值后，由样本观测值与先验分布的信息得到后验分布，它综合了样本信息与先验信息，是b a y e s 统计推断的基础。而稳健性问题主要论述在不同的验前分布之下，引起验后的b a y e s 统计推断的差异。不同的先验分布下，b a y e s 统计推断结果是不同的，因此就产生了b a y e s 方法的稳健性问题。b a y e s 稳健性的研究是考虑的先验分布类，把可能的先验分布的集合用1 1 表示，然后研究一个判决，当先验分布万在1 1 中变动时的稳健性。关于b a y e s 稳健性的分析有几种方法，有运用边缘分布来分析稳健性的方法，是一种定性的分析；还有一种方法，是用先验的s 一代换类的后验分布的k u l l b a c k 一1 e i b l e r 散度和它的曲率来衡量其b a y e s 稳健性。而一般采用的后验稳健性的评价标准是使用传统的b a y e s 风险准则。取r 为的s 一代换类：i = 刀：万= ( 卜s ) 7 r o + 印，g d ，o 占1 ，其中是选中的先验分布，d为一族先验类。若三( 秒，口) 是损失函数，p ( 万( 臼lx ) ，口) 为口的后验期望损失，这里万( 口ix ) 为目的后验密度函数，即p ( 万( 目lx ) ，口) = 乓( 卅，) l 上( 臼，日( x ) ix ) 】，那么我们就、用( 鳟p ( 万( 目ix ) ，口) ，翟p p ( 万( 口ix ) ，口) j 来评价口的稳健性。它给出了后验期望损失的最大范围，若此范围较小则说明口的稳健性较好。在研究后验稳健性中，通过对d 的选择要保证r 中包含所有合理的先验分布，同时排除了不合理的先验分布，因而d 的选择很重要。文 3 中指出，若d 选取的范围过大，如选为所有分布的集合，则由h u b e r ( 1 9 7 3 ) 的定理可知，后验稳健程度不好，她考虑贝叶斯假设，即参数目的无信息先验分布万( 目) 应在目的取值范围内是均匀分布的，故选取d 为均匀分布类，即d = g ：g 为u ( 一后，+ 七) ，后 o ，得出了新的定理，并举例说明了如此选取的d 能得到很好的后验稳健程度。硕士学位论文m a s t e r st i e s i s而贝叶斯假设是无任何先验信息的，考虑先验分布选取原则中的共轭分布法，即认为后验分布密度与先验分佰应为同一个类型的，是合理的。因而本文在选取d 时运用共轭分布法，仍用上面提到的常用的后验稳健性评价标准即b a y e s 风险准则，对占一代换类：r = 石：万= ( 卜s ) + 卵，g d ，o s 1 下的贝叶斯稳健性进行分析，首先选择出了合理的分布集d ，然后讨论了在合理选择的d 下，m l i i 估计君是后验稳健的，也即确定了具体的稳健先验。为了与前文进行比较，本文继续沿用正态分布的例子，给出了具体的选取稳健先验分布的方法及计算结果。当然，先验分布的选取方法有很多种，除了文 3 考虑的贝叶斯假设和本文考虑的共轭分布法以外，还有杰弗莱原则( 不变原理) 、最大熵原则等等。也可考虑这些原则来选取d ，来进行后验稳健性的分析。2硕士学位论文m a s t e r st h e s i s第二章用共轭分布法分析b a y e s 后验稳健性2 1 基本定理令r = 万：万= ( 1 一占) + 钾，g d ) ( o s 1 ) 为占一代换类先验，研究后验稳健性时，通过对d 的选择要保证r 中包含所有合理的先验分布，同时排除不合理的先验分布。引理1n 1 设先验密度万= ( 1 - s ) + 钾，g d ，d 为分布集。若m ( xi 万) o ，则万的后验密度为万( 臼ix ) = 元( x ) ( 秒ix ) + 1 一兄( x ) g ( 口ix )其中五c x ，= 帮= + 踹 c 2 - ，后验密度( 目i x ) 和g ( 臼i 工) 分别是( 口) 和g ( 秒) 的后验密度。且后验风险为p ( 乃( 臼怫口) = 乓( ( 臼，口) = 兄( x ) p ( ( 秒l 石) ，口) + ( 1 一五( x ) ) p ( g ( 口j x ) ，口)当损失函数三( 口，口) 为一示性函数，d 为所有分布组成的集合时，h u b e r ( 1 9 7 3 )给出了下面的定理。定理lh 1 设d为所有分布的集合，上( 臼，口) = l ( 乡) ，则夕( 万( 口l x ) ，口) = 以( 州( 秒c ) 且辨只。研，c 9 c ，= r + 锱 一翟p e 。胡，( 乡c ) = ，一( ，一只) + 辎 。1硕士学位论丈m a s t e r st h e s i s其中咒= 乞( 卅，) ( 臼c )定理1 主要应用于分析可信集的稳健性( c 为可信集) 。具体分析方法见下面的例子。例1 口1 ：设x ( 目，盯2 ) ，盯2 已知，为( ，f 2 ) ，d 为所有分布的集合三( 臼，口) = ，c ( 臼) ，其中c = ( 以( x ) 一z l 坤厄丽，心( x ) + z l 邶厕)心( x ) ，圪( x ) 为后验分布( 臼l x ) 的期望和方差，z l 一州：为( o ，1 ) 的1 一口2 分位数。求可信集的后验稳健性。带入具体数字计算如下：当仃2 = 1 ，r 2 = 2 ，= o ，占= o 1 。先假设石= ，9 5 的后验密度可信区间为：c = ( ；干9 6 ( ；) v 2 = c 一。9 3 ，2 2 7 ，。由于x = 1 c ，于是可由定理1 算得：赠乞( 翻。) ( 9 c ) = o 8 6s u p 只( 伊c ) = o 9 6石i即当先验万在1 1 中变动时，户( 万( 秒i 工) ，以) 的置信概率在( o 8 6 ，o 9 6 ) 之中。我们可称置信区间c 大约有9 0 的后验稳健性。但当观测值不是x = 1 而是x = 3 ，则此时c = ( o 4 0 ，3 6 ) ，仍有x = 3 c 。则可算得：獬只( 矾，) ( 9 c ) = o 5 5辈) ( 目c ) = o 9 7此时c 的范围较大，后验稳健程度不好。文 3 指出其原因是r 中d 的范围太大了，若d 的选择适当，将会有更好的稳健性。因而文 3 考虑用贝叶斯假设来选取d ，取d 为均匀分布类，得到如下定理。4：硕士学位论文m a s t e r st h e s i s定理2 口3当d = g ：g 为u ( 一尼，+ 七) ，七 o ) ，三( pl 口) = 厶( 口) ，c = ( c l ，c 2 ) ，故p ( 万( 乡ix ) ，口) = 以( 叫( 目c ) ，则：毽e，c臼c，=r+竺主兰一。1关pe。卅，c臼c，=一c一咒，ft+皇薹兰一。1其中，c = ( c ，c ”) ，c + = m a x ( c l ，一七) ，c ”= 血n ( c 2 ，+ 后)下面是用定理2 处理例1 所得的结果：例2 口1 ：仍设x ( 臼，盯2 ) ，盯2 已知，为( ，f 2 ) ，三( 口，口) = t ( 口) ，考虑s 一代换类r 中的d 为d = 吼：吼为【，( 一后，+ 七) ，尼 o )其中u ( 一七，+ 七) 表示( 一七，+ 七) 上的均匀分布。考虑万1 1 ( 即后在( o ，+ ) 内变动) 时，c 的后验概率的范围。由定理2 可算得：当x = l 时，c = ( - 0 9 3 ，2 2 7 ) ，则爱 只( 剜。) ( 乡c ) = o 9 4 5( 七= 3 4 时达到)s u p e ( 川( 9 c ) = o 9 5 6( 尼= o 9 3 时达到)可以看出此时后验稳健程度很好。而当石= 3 时，c = ( o 4 0 ，3 6 ) ，则瑰f 0 ( ( 口c ) = o 9 1 3( 尼= 5 2 时达到)5硕士学位论文m a s t e r st h e s i ss u p 只( 研3 ) ( 臼c ) = o 9 5 8( 后= 3 6 时达到)疗l此时比例1 即选d 为所有分布时要稳健的多。贝叶斯假设是对参数无任何了解即无任何信息时处理问题的好方法，然而，在实际中我们常常能得到参数的信息，因而可以考虑用其他选取先验分布的原则来选取d ，比如常用的共轭分布法，下面我们就来详细论述用共轭分布法选取d 以及此时的后验稳健性分析。2 2 用共轭分布法选取d定义l设样本而，吒对参数目的条件分布为p ( 而，1 秒) ，先验分布万( 秒)称为p ( 五，矗1 秒) 的共轭分布，如果乃( 臼) 决定的后验分布密度办( 9 i 而，) 与万( 臼) 是同一个类型的。例如：( 1 ) 正态分布万( ) ( ( 他，爵) ) 是( ，1 ) 的共轭分布。c 2 ，贝塔分布c 口，6 ， 密度：竺占i 乒 是二项分布b c 刀，臼，的共轭分布。后验密度既与先验分布有关，又与样本对参数的条件分布有关，它是两者的结合，后验分布既反映了过去提供的经验一一参数口的先验分布，又反映了样本而，毛提供的信息。共轭型分布要求先验分布与后验分布属于同一个类型，就是要求经验的知识和现在样本的信息有某种同一性，它们能转化为同一类的经验知识。如果以过去的经验和现在的样本提供的信息作为历史知识，也就是以后验分布作为进一步试验的先验分布，再作若干次统计试验，获得新的样本后，新的后验分布仍然还是同一个类型的，从这里就不难理解共轭分布的作用。我们先给出下面的定理，然后用它来处理样本服从j 下态分布的情况。定理3当d 为正态分布类，即d = g ：g 为( ，盯2 ) ，仃2 o ，三( p ，口) = 厶( 臼)其中c = ( c 1 ，c 2 ) 故p ( 万( 口l x ) ，口) = 只( 卅，) ( 臼c ) ，贝o ：6硕士学位论文m a s t e r st h e s i s瑰f e ( 即) ( 目c ) 2 异1 +翟p 名( 研，) ( 口c ) = 1 一( 1 一昂)s 口器 0 em 志唧 一击( 帅) 2 卜( 1 一占) 聊( xj )丁占 口器 o e 小击唧 一刍( 帅) 2 卜证明令c 为c 的补集，对任一g d ，令乙( c ) = 工厂( x l 臼) g ( 秒矽( 1 一占) 聊( x) 确( 臼c ) 2 南m 嘞( 即9则由引理1 可得队c ，= 吲寒畿群( 1 一占) 聊( xi ) 圪+ 占乙( c )( 1 一s ) 聊( x i考虑函酬垆赢) + 占乙( c ) + 占乙( e )( 2 2 )当心墨o ，g ( z ) 为正且为z 的减函数时，通过验证( 求导) 可知在z o 时， ( z )为增函数a 此时令k = ( 1 一s ) m ( xl ) 昂，k = ( 1 一占) 所( xl ) ，z = 占乙( c ) ，g ( z ) = 占乙( e ) ，此时式( 2 2 ) 的右端正是办( z ) ，它是z = s 乙( c ) 的增函数，故当z = o即s ( c ) = o 也即上( xj 臼) g ( 臼矽p = o 时，式( 2 2 ) 取最小值。瓤“眦) _ 蒜，焉揣7硕士学位论文m a s t e r st h e s i s( 1 一s ) ，卵( x i) 昂( 1 一s ) m ( x i) 托 。：霸乙( 弓)由z = s 乙( c ) = o ，则g ( z ) = s 乙( e ) = 所( xg ) ( 1 一q ) = s 聊( x f g )嚣 乙( t 口函e 小州臼) d 曰所以毽f 乞( 纠，) ( 臼c ) 2 岛将上式应用于e 就得到1 +s u p e ( 胡，) ( 臼c ) = 1 一( 1 一只)石ls 肚器。 e 巾去唧 0 e m 击唧 一刍睁) 硼( 1 一s ) 朋( 工j )例3 ：仍设x ( 矽，盯2 ) ，盯2 已知，为( ，f 2 ) ，三( 秒，口) = t ( 臼) ，用共轭分布法选取先验分布，则可考虑s 一代换类r 中的d 为d = g ，：吼为( 甜，2 ) ，2 o 。此时口的1 一口置信区问为c = ( c 1 ，c 2 ) ，其中c l = 以( x ) 一z l 一酬：c 2 = 以( x ) + z l 一酬：，圪( x ) = 高冬如1 一口2 分位数，以( x ) = 孑号碧+矿+ f 2盯2 f 2，z f 2 + 仃2，z l 一酬：为( o ，1 ) 的j = 牙一；号( j 一) 。由于仃2 已知时，j 是目的充分统计量，因此以牙代替子样，则牙( 臼，仃2 厶) ，后验分布( 秒i 工) 为( 以( x ) ，圪( x ) ) 。则求当万r ( 即，在( o o ，o ) u ( o ，佃) 内变动) 时，c的后验概率范围。8硕士学位论文m a s t e r st h e s i sp ( 万( i x ) ，口) = 乞( 卅。) ( 臼c ) = 4 ( x ) 昂+ ( 1 一以( x ) ) q ，其中昂= 乞。卅，( 曰c ) = 一口，乃( x ) = + 踹 。1啡i g ，) = i ：巾志e 砷 一专( 胁) 2 p= e 击唧 一刍卜盯 去唧 一击p 妒)= e 去唧 一( 刍+ 刍) 卜q ( 石) = ，( 臼c ) =m ( x | g ，)耵2 + “盯2e x p 一描)，2 + 仃2 2而e 小去唧 一击( 阳) 2 卜fe x p 一【焉h 蔫仃r 辱几仃厂孵则山定理3 可得：鳟乞p l ，) ( 口c )= 只l +( 1 一占) 所( 工i )9寄型p，一21一x一，j _ 一所、rj广一，甜一+! 矿，-、一，j-l一2，、，灯2 + “盯2 、c l 一等：21：x 一”) 2、c 2 等r 一+ 盯一一s u p2 万( 盯z + ，z ) e x p 。2 ( 盯2 ) ，11、仃，专+ 一p o ) 、|、卯7 + 7 ，硕士学位论文m a s t e r st h i s i s裂p ( 纠，) ( p c )= l 一( 1 一r ) ll 十，耵2 + “仃2 、，、1( z 一“) 2c 2 等，- 十盯一mc l 等丢等。占s u p2 万( 盯z + ，z ) c x p 。2 ( 盯2 + ，2 ) ，fi1、盯，挣一 睢c ，6 0 、|一、钟、7 + 7 ，同前面的例子，分别计算x = 1 和x = 3 时的具体结果如下( 取甜= 0 ) ：石= 1 时，c = ( _ o 9 3 ，2 2 7 ) ，则黧q 嚣墓：p 地9 哟o )s u p & 研1 ) ( 臼c ) = o 9 6 7、。一，此时，后验稳健程度和d 取均匀分布类时差不多。x = 3 时，c = ( o 4 0 ，3 6 ) ，则獬只( 卅，) ( 目c ) = o 6 6 9翠) ( 目c ) = 0 9 6 5( ，2 = 6 4 时达到)此时，虽然没有d 取均匀分布时稳健程度好，但仍比d 选所有分御时好。可见用共轭分布来考虑d 的选取是可行的。1 0硕士学位论文m a s t e r s1 i l e s i s第三章用共轭分布法考虑先验分布的选取3 1 札一先验占一代换类先验族中的m l i i 先验即在所有的万r 中使朋( zi 万) 最大的先验分布君。由使边际分布m ( xl 君) = 陟( x l 臼) 万( 臼) d 秒极大化得出的先验分布君，有e聊( x l 疗) 聊( 工i ) ，因此得出先验君比先验具有更好的后验稳健性。文 3 中指出，在s 一代换类中，若d 的选择适当，那么r 中的m l i i 先验是后验稳健的，并举了如下具体的算例：例4 口3 ：设x ( 口，仃2 ) ，盯2 已知，为( ，f 2 ) ，占一代换类r 中盆为u ( 一尼，+ 后) ，三( 曰，口) = t ( 秒) ，置信区间c 如例l ，分析c 的稳健性。代入具体数字：盯2 = 1 ，s = o 1 ，为( o ，2 1 9 ) ，即= o ，石= 1 9 6 ，c = ( o ，2 7 ) ，算得：君_ 0 9 ( 2 万2 1 9 ) 叫2e x p 彬2x 2 1 9 ) + 0 1 志铀8 ，2 瑚】( 臼)p ( 刀( 秒i x ) ，口) = 以( 卅，) ( 臼c ) = ，君( 目i 石) d 臼= o 8 9即此时置信区间c 有大约8 9 的后验稳健性。而当为( o ，2 ) ，x = 3 ，则c = ( o 4 ，3 6 ) 时，可得36p ( 万( p i x ) ，口) = 以( 纠，) ( 口c ) = ，君( 秒i x ) d 臼= o 9 1o 43 2 用共轭分布法选取_ l _ 先验本文考虑用共轭分布法选取d ，即d = g ：g 为( “，2 ) ，2 o 。首先找使优( x l ，2 ) =e x p 一揣卜惴，。硕士学位论文m a s t e r st h e s i s令，2 = f ，m ( x l f ) ，对f 求导得：卜去+ ，) 嘞+ 掣p 叫却去p + f ) 帕 e x p 一耦) - o可求得显式解：趔一盯z代入上述数字计算得：x ：1 9 6 时( 令甜：o ) ，：2 6 9故删陬( 2 舢舶) - l 2 唧 一志目2 ) + o 1 ( 2 蒯舶) _ l 2 e 冲 一志9 2 )五c 工，= + ：豢 =1 +o 1 e x pe x p1 9 6 22 3 6 9j1 9 6 2_ 2 3 1 9 j0 9 故万( 口l 工) = o 8 9 9 2 1 ( 臼l x ) + o 1 0 0 7 9 g ( 目i x ) ，其中( 咖) 为(2 1 9 1 9 63 1 9焉如为(2 6 9 1 9 63 6 92 7则p ( 万( 臼l x ) ，口) = 以( 卅，) ( 臼c ) = ，君( 目i x ) d 秒= o 8 9 9 2 1o可看出和d 取均匀分布类时c 的稳健性差不多。而