（应用数学专业论文）一类具有脉冲的积分微分方程系统的正周期解.pdf

摘要 本文利用重合度理论中的连续性定理研究了一类具有无限时滞的脉 冲积分微分方程所描述的多物种生态竞争系统 rnn 瓠o ) = 虮 ) l 一句( ) 一n t f ( t ) 谚u ( t ) 一b l j ( ) 谚，( t 一孔， ) ) l j = tj = t n + 弦n1 一叼( ，u ) 泸( t u ) d u 一d , j ( t ) y i ( t ) y j ( t 一白( 圳， j = l6j = l j t t k ， a y i ( t ) = y i ( t + ) 一玑0 一) = ( 6 让+ h i k ) y i ( t 一) ，t = “， 正周期解的存在性，建立存在正周期解的充分性判据，推广并改进了文献 中已有的相关结果。 本文内容具体安排如下：第一章简要地阐述了所研究问题的历史背景 及目前研究现状；第二章证明本文的主要结果，建立所研究系统存在正周 期的充分性判据；并将主要结果应用到一些更为具体的具有脉冲作用的生 态竞争系统，研究表明本文的结果更为广泛，推广并改进了文献中已有的 相关结果 关键词： 竞争系统，脉冲微分方程，周期解，重合度 i i a b s t r a c t t i l ep r i n c i p l ea i mo ft h i sp a p e ri st oe x p l o r et h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n so fag e n e r a l i z e de c o l o g i c a lc o m p e t i t i o ns y s t e m sg o v e r n e d b yi m p u l s i v ei n t e r g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n f i n i t ed e l a y s i n n 犰( t ) = 仉( t ) i q ( t ) 一a l j ( t ) y j “( t ) 一6 l j ( t ) 谚” 一，o o ) ) l j = l j = 1 n + 尸 n 卜，( t ，札) 矽( t u ) d u 一d , j ( t ) y t ( t ) y j ( t 一白( t ) ) 1 j = l6 j = l l t t k ， a v , ( t ) = y d t + ) 一玑0 ) = ( b 让+ 让) 玑( t 一) ，t = t 七 e a s i l yv e r i f i a b l es u f f i c i e n tc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e d t h em a i nr e s u l t s w h i c h i m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e t h et r e eo ft h i sp a p e ri st h ef o l l o w i n g c h a p t e ro n ef o c u s e so nt h e b a c k g r o u n do ft h ep r o b l e mb e i n g i n v e s t i g a t e d c h a p t e rt w oe s t a b l i s h e se a s - i l yv e r i f i a b l es u f f i c i e n tc r i t e r i af o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s o ft h eg e n e r a l i z e de c o l o g i c a lc o m p e t i t i o ns y s t e mw i t hi m p u l s ea n di n f i n i t e d e l a y i nt h i sc h a p t e r ，a p p l i c a t i o n st os o m ef a m o u s c o m p e t i t i o nm o d e l sa r e a l s op r e s e n t e d t h ei n v e s t i g a t i o ns h o w st h a tt h i sr e s u l ti s m o r ee x t e n s i v e a n di m p r o v e ss o m er e s u l t ss t u d i e di nt h el i t e r a t u r e k e yw o r d s ：c o m p e t i t i o n s y s t e m s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e r i o d i cs o l u t i o n ，c o i n c i d e n c ed e g r e e i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加咀标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东 北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：筮硅受 日期： 竺孵纽f 目 学位论文版权使用授权二捧 本学位论文作者完全了解东：l l t ) r l j 范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复e 1 1 4 - t ：年1 1 磁盘，允许论文被查阅和借i ! ；l | 。本人授权东北师范大学可 以将学位沦文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索。可以采刚影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权二 s ) 学位论文作者签名： 1 3 期： 蛐 趔箨细阅 指导教9 t i i g ：准疆 日 期：姓! 月! 旦 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 鸯氆 通讯地址：4 蝉扭至煎：兰最 电话； 邮编： 第一章研究问题的历史背景及现状 众所周知，竞争作用是生态学研究的基本问题之一，竞争关系是种群 间相互作用的基本关系之一，在生态学和数学上被广泛地进行了研究，取 得了丰富的研究成果。 竞争是两个生物种群同时利用相同的资源( 如食物和空间范围等) ，因 相互为争夺资源丽斗争，该种群的数量就会因为这种竞争作用受到影响。 竞争以两种方式进行：( 1 ) 通过问接作用争夺有限的种群资源( 资源利用 性竞争) ；( 2 ) 在种群间通过直接的作用竞争( 相互干涉性竞争) 资源利用 性竞争最典型的例子是动物间由于争夺领地和食物而产生的竞争，例如： l o t k a ，v o l t e r r u 和g i l p i n - a y a l a 竞争系统就是资源利用性竞争的模型。相互 干涉性竞争可能会因为竞争者利用毒素而产生例如，有一些水生的浮游 生物，随着自身的生长会产生一些毒素或刺激物，尽管相互干涉性竞争在 生物学上已经被广泛的研究过，但在数学上很少有人研究 在生态系统中我们经常会观察到周期现象，特别是在种群动力学研究 中通常有三种途径可以刻画周期现象：( 1 ) 在模型中加入更多的种群，考虑 更高维的系统( 像捕食者一食饵的作用m a y 2 8 ) ；( 2 ) 假设相对增长率是依 赖于时间的而且是周期性的；( 3 ) 在种群动力学中考虑时滞的影响( s m i t h 和k u a n g 3 5 ，z ha o i 3 s ) 。尽管这些方法是刻画周期性的好办法然而，如 果只考虑其中某一种方法的话，很多情况下它不足以解释所产生的周期振 荡现象。因此必须综合考虑上述三种途径 在生态学中对周期系统( 特别是种群模型) 周期解存在性的证明已有 许多方法但在这些方法中研究者由于要强调解的稳定性，而使得饵的存 在性条件变得繁琐，苛刻，很难得到满足而应用重合度理论，我们发现时 滞竞争系统的周期解的存在性只需要一些自然可行的条件，并且这些条件 在现实的种群模型中很容易得到 最近，文 9 】利用重合度理论研究了下面的非自治时滞v o l t e r r a 系统： 鲫) = 蜊卜) 一妻吲( t 一啡) ) ， ( 1 1 ) i = 1 ，2 ，一，礼， 这里是时滞，而且r q ( t + u ) = 勺( t ) ， 0 并在文【9 中给出了方程 ( 11 ) 的正周期解的存在条件。 然而，许多学者只是对于具有或不具有时滞的l o t k a - v o l t e r r a 型竞争 系统进行了研究 1 5 ，1 7 ，2 0 ，2 1 ，2 3 1 近来，范猛等f 8 1 研究了一类更加广 泛的具有无限时滞的多物种生态竞争系统： 瓠( ) ：饥( t ) 卜( t ) 一鸯( t ) 谚，( t ) 一墨( ) g 尹。一q ( t ) ) 一喜f q ( 枷) 好谗一乱) d u 一壹d q 纵t ) y j 一白( 嘞1 ， i = 1 ，2 ，一，礼， ( 1 2 ) 系统( 1 2 ) 包含许多生物种群竞争模型作为特例，在1 8 】中已经被详细的研 究过。 由于许多种群的出生不是连续的，而是在一些固定的时间点( 如某些 野生动物的出生是季节性的) ，可以把在这些点种群的出生看作是对种群系 统的脉冲，因此，为了更精确地刻画种群动力学行为，我们必须建立脉冲 微分方程模型 事实上，脉冲微分方程经常出现在许多自然科学系统中，即在这些系 统中一些固定的时间点受到突然的变化。例如，在种群生态学，化学中的扩 散，热的传导，电磁波的放射，以及一个种群通过瞬间的投入和捕获得以持 续生存等等脉冲微分方程的理论比不带有脉冲的常微分方程更丰富近 来( 参见文献【2 2 ，3 l 】) 脉冲微分方程引起了广大学者的研究兴趣目前， 大部分工作局限于对脉冲微分方程的振动性，渐近行为和稳定性等一些定 性性质的研究然而，很少有人利用拓扑度的方法对于非自治脉冲微分方 程的周期解进行研究。由于在脉冲作用下生态竞争系统周期解的研究仍是 一个起始阶段而且也没有系统的研究过就目前我们所知道的，只有很少 2 的工作【1 9 研究脉冲作用下生态竞争系统周期正解的存在性。 因此，本文研究脉冲作用下系统( 1 2 ) ，即 矾( ) = a y ( t ) = 洲卜一j 量= l 。冰) 黜) 一砉吲) 飒一础) ) 一j 量= l r 0c “( t ，u ) 谚( t u ) d u j 墨= l d t ，( t ) 肌( t ) 蜥。一白( t ) ) l 周期解的存在性这里6 诜和 诹分别表示玑在t 女时刻的出生率和捕获率 ( 或投入率) 。岛表示在时刻t 第i 个种群的死亡率。当 曲 0 时，它表示对玑的投入率。y i ( t 毒) 和y i ( 坛) 分别是在“时玑的右极限和左极限。在本文中，我们假定y ：在t k 是左连 续的 在系统( 1 3 ) 中，我们假设 ( h 1 ) “玎，硒，均是正常数，6 塘是非负的， 。t 是实数且+ h 诸o ； ( h 2 ) 8 玎，6 玎，d l j ，e 。，勺和白是连续的非负u 周期函数； ( h 3 ) 。巧：rxr - - 9 r + 满足c 0 + u ，s + u ) = c ( ，s ) 且肘”c i j ( t ，u ) d u 关 于t 连续； ( h 4 ) 存在正整数q 使得t k + q = t k + u ，以( + g ) + h i ( k + 口) = b i 女+ h m 不失一般性，还假设t k 0 且 0 ，u 】n “) = t 1 ，t 2 ，t m ) ，则q = m 3 第二章正周期解的存在性 2 1 预备知识 为了证明周期解的存在性，我i f 弓l 入重合度理论中的延拓定理 1 1 设 x ，z 是赋范向量空间，l ：d o t a lcx z 为线性映射，n ：x z 为连续映射，如果d i m k e r l = c o d i m l m l 0 引理2 1 3 z + ( t ) 是系统( 1 3 ) 的一个u 周期解当且仅当1 nf z ( m 4 也( t ) = 一e ；( t ) 一j 量= l 。妇( t ) e x p 。 码( ) ) 一暑n b 耐( t ) e x p q o 一功( t ) ) ) 一nf c 。( t ，。) e x p ，y 玎( t u ) d u 一是d i j ( t ) 唧 z i ( t ) + 茁，o 一白( t ) ) ) ， j = 10 j = 1 t t k ， a x 。( z ) = x i ( t + ) 一x i ( t 一) = i n ( 1 + b , k + h i k ) ，t = “， ( 2 1 1 ) 的一个u 周期解。这里i n 矿( t ) ) = ( i n z ：( t ) ) ，i n z ：( ) ) ) 为了应用引理2 1 1 ，我们首先把存在性问题纳入到连续性定理的框架 中。 令 州呲沌沌划= 川一2 ( t ) 在t # t l 。三懑，：磐在 x = z g 1 【o ，w ；t t ，z ，- ，t m 】i z ( o ) = z ( u ) ，| | 。| | c 2 挺s u 【o ，p 。】| | z | | ，z x ) ， 这里是r “中的任意范数，取 z = x r “”，i i z l l z = | | z | 。+ | | l l ，2 = ( 石，y ) zz x ，y r ”“， 为r ”的任意范数则x ，z 分别在范数”i i 。和”眩下为b a n a c h 空间 令 d o t a l = x = ( z c 1 【0 ，u ；t l ，t 。】k ( o ) = z ( u ) ， l ：d o t a l _ z ，l x = ( 圣，z ( t 1 ) ，a z ( t m ) ) ， n ：x _ z 茁= ( ( 咱( t ) 一j 苎= la 水) e x 巾鹕( t ) ) 一j 苎= l b 水) 唧m 椭( t 咱( t ) ) ) 一j c i j ( t ，札) e x p 乍t x j ( t u ) ) 孔 ，= 1 o e n ( ) + 一g j o ) ) ) 1 ，( 1 n ( 1 + b d oe x p x i ( tz j ( t仙+ h i k ) ) 。1 ，一e ( ) +一g j 0 ) ) ) 1 ，仙+ 。3 ， j 2 1 n 1 5 z x 易知 k e r l = 。x l z = h r ” ， ，m l = z = c ，c ，c 。，z 1 7 ，c s ，d s + k 量= lc e = 。) ， 因此i m l 在z 中是闭的，l 是指标为零的f r e d o h o l m 算子取 q 。= q c ，c t ，”c m ，= ( 三 7 ，c s ，d s + k 量= l “ ，。，。 显然算子p ，q 是连续投影且使得 j m p 2 k e r l ，k e r q = i m l = i m ( 1 一q ) 。) 因此l 的逆映射k p 存在下面我们来求k e ：i m l - k e r p n d o t a l 取 z = ( f ，e l ，c m ) i m l ，则存在z d o m lcx 满足 即 士( t ) = ，( t ) ，t t a x ( t ) = c k ，t = t k ， = 1 ，2 ，m 8 ( 2 1 2 ) 因为要求口( t ) e r p 所以有，0 。( s ) d s = o ，由该式及( 2 1 2 ) 式得 m 胁出+ 擒c k d t + w x = 。 由上式及( 2 1 2 ) 式得 z ( t ) _ 。f f ( s ) 蚺丕靠0女一言纷捌z 一薹“+ 三薹嘁邝- 。， 6 xzd ，【 z 1 一u | | zp 0z+c 魄 + sd 扣 f， 0，6 i | 0 z 即求得 驴m 灿+ 丕旷三缈抛一k 妻= lc t + 三挚“z m ， 于是 q z = ( ( 一击7 e t c t ，d t 一耋击7 n 玎c e x p t 。玎z ，c ，d t 一，1i b i j oe x p 溉q ( t q ( 伽出 一叠言c 4 j ( t ，珏) e x p 3 q 舭叫胁出 一蓦言d o ( t ) e x p 矧t ) + q ( 一白( 洲) 出 + 当! ：- n ( 1 + b i k h i k ) ) b h i k 。，( 0 k = l，。) 。) ，z x + 击l n (，( ，o ) 。) ，z x 。 蝓( 卜q ) z = ( 汁e l ( s ) 一j 萎= l n 小) e x p q 鹕( s ) ) 一暑b i j ( 8 ) 。p f l t j q ( s q ( s ) ) 一姜fc 玎( s ，札) e x p ( s u ) ) d 札 一盖南( 5 ) 8 x p 蚓s ) + 巧( s 一白( s ) ) ) j d s d 十t 聂h 1 + 叫州 l “， 一( 三7 一e ：c s ，一薹。巧c s ，e x p t 口巧z ，c s ， 一蓦6 玎( 8 ) 。x p ( 岛q ( s 一勺( s ) ) 一暑f6 玎( 舢) e x p 巧( s 一“) ) d u 一暑d 荆8 x p 蚓s ) + ( s 一白( s ) ) ) i d s d t + ：l n ( 1 + 6 诎+ 执) r = 1 一言轰h ( 1 帕h m ) 州 7 ) e x p 血i j x j ( s ) ) 札) 也 白( s ) ) ) 显然，q n 和k p ( 1 一q ) n 是连续算子，设q 是x 中任一有界开集，易 知q n ( f i ) 有界，容易证明k p ( i - q ) n ( f i ) 是紧致集，因此在q 是l 一 紧的。 为了以下讨论的方便，我们使用如下记号： = 三此证三夕啪瑚， = 五1 夕知拙胁出，秘三夕螂减 0 0一j 缸2 ( 乏) 石唧 0 和 8 啦 ， 0 0 i n塾吲神咖叱 刊 洄忡挑 匕搿一 、 s c 5 1 专”佃n。啪岬 o。赳。譬芦m ( 风) 代数方程组 ，( u ) ：r i - 宝( 哼”+ b 尹+ 嵋。+ 而撕) 1 = o ，( u ) ：= ( 哼”+ b 尹+ 嵋。+ 而撕) ) = o j = 1 n 1 ( 日6 ) 在i n t r 革中存在有限个解仳+ 且。s g n j a “+ ) o ；此外，若 nn n ( a i ，；。+ 5 “；v + i 玎；”) + 毛。， 鬻 j = l 则( 1 3 ) 至少存在一个周期正解。 证明： 为了完成证明，我们只需要找到一个合适的有界开集nc x 来满足引理2 1 1 中的要求 考虑算子方程l x = a n x ，a ( 0 ，1 ) ，i e ， 蜊“卜一j 量= la i j e x p o q j 础) ) 一砉吲咖x p z u x j ( t - 啪) ) ) 一三fc f j ( t ，u ) e 印 均q ( t u ) d u ，= lu 一曼d o ( t ) e z p 鼢( ) + q ( t 一白( ) ) ) l ，t t k ， a z f ( t ) = a l n ( 1 + b i k + 危让) ，t = t k ，。i ( o ) = 。i ( u ) ( 2 2 1 ) 设。= x ( t ) x 是系统( 2 2 1 ) 对应于某个a ( 0 ，1 ) 的解，上式两端从 【0 ，w 】积分得 f 【一e 小) 一j 萎= la o ( t ) e x p 玎q ( ) ) 一。壶( t ) e x p 助( z 一功( f ) ) ) 一暑f 。i j ( t , u ) 8 x p t i j 巧( 。一u ) ) 砒 一萎 e ；( ) + 码。一岛( ) ) ) i + 曼坟+ ：o j 一- - - i a o ( t ) x p x l d t 七= 1l n ( 1q - h i k ) 9 即 暑f8 t j ( ) 。x p a 玎( 。) 池+ 蓦f 6 玎( 砖e x p 岛z j ( t 一匈冲 nu + o o + 暑jj 。舶“) e x p 均。，( 。一u ) 如出 ( 2 删 n + j = lj 如( 。) e x p 蚓t ) + ( f 一白( t ) ) 冲2 叫 从( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 可得， fi 血( ) i d s e l “j + ，a l j ( t ) e x p o q j x j ( t ) d t 0 = 10 + 蓦j 6 巧( 。) 雠p f l i j x j ( t 一7 i j ( t ) ) d t + ，j c ；j ( t ，乜) e x p h j x j ( t 一珏) ) d 乜如 j = l00 7 + j = l e 。f d l j ( 。) e x p ( 。) + x j ( t 一白( 伽出 + i n ( 1 + b i k + 浩) 七= 1 = 2 l n ( 1 + b i k 4 - h 让) 寿= l 因为x ( t ) x ，所以一定存在矗【0 ，u 】使得 鼢( 釉2 txi(。)，2=1，2io n t u 从( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) ，我们得 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) n u j 。“( t ) e x p a i i x i ( t ) ) + 6 i t ( ) e x p 卢i ；戤。一几i ( ) ) ) + 知小x p 侧) 如k i a i ie x 旱 q “孔( 已) ) + b i ie x p f l i , x i ( 专i ) + 色t e x p 7 i 甄( 毫) ) ) “j ( a i l + 如 + 西t ) u e x p a “( 6 ) ) ， 即 州 击1 n i i h i 瓦) ， 因此 叫蛇叫舟弘0 枣t i 1i n 熹) - 2 k 量= l i n ( 1 + b i i + h t k ) = = p ( 2 2 9 ) 从( 2 2 6 ) 和( 2 2 9 1 ，我们得出 。戳雠) l s s u p i1 n 忙尬 ( 2 删) 显然，觚是与a 无关的令m = 量尬+ 慨，其中m o 充分大使得 | l l n u + 州= 忡n u i ) ，1 n u ：) ) t i i = 曼f l n u 引 ，则有俐i 。 耋( a “茑u + b q 硝”十c i i a j “，) + 垂南a t a ，； ；i 1 n圭j ( 酞j b ；i + 己。b ；| + 毛| 骘”) + 妻1 丑| b 。b j ； ；署 1 n 垂( 凹。+ b 四，十勺q “) + 耋& j c , c j ； j 蓍 ”1 则系统( 1 3 ) 至少存在个u 周期正解 证明： 除了( 2 2 5 ) 被下列不等式替换外，这个定理证明与定理2 2 1 的证明相同 吲黝( 去l n 毒) ，吲曲 则代数方程组 n 一( a 蝴+ 殇+ ) u j = o 在兄! 中有唯一的解u 4 = ( “：，u ：) 7 1 且“； 0 由定理2 2 1 和引理2 3 1 ，我们有 定理2 3 1 假设n 0 和 p 喜揣铲p 2k 量= 1 i n ( + b i l e + h i k ) ， j 则方程( 2 3 1 ) 至少有一个严格正的u 周期解 注2 3 1 假设b i j 三0 ，c i j 三0 ，h l k 三0 ，则定理2 3 ，1 是文献 1 9 】中 的定理3 。1 1 ，它推广了文献【1 9 】的主要结果之一， 当n = l 时，系统( 2 3 1 ) 为脉冲作用下具无限时滞的l o g i s t i c 方程 口( t ) = y ( t ) l - e ( t ) 一a ( t ) y ( t ) 一b ( t ) y ( t 一7 - ( t ) ) 一c 0 ) rk ( t u ) y ( u ) d uj l 一。 j t t k ， a y ( t ) = y ( t + ) 一y ( t 一) = ( 6 女+ h k ) y ( t 一) ，t = t k ，k = 1 ，2 ( 2 3 2 ) 这里e ( t ) ，n ( t ) ，6 ( t ) ，c c t ) ，7 - ( t ) 是非负连续的u 周期函数且尼：r + 一r + 是 可积的并满足，k ( s ) d s = 1 推论2 3 1 假设_ 1 l n ( 1 + b k + h k ) 一目 0 ，则方程( 2 3 2 ) 至少 有一个正的u 周期解 注2 3 2 众所周知，在没有脉冲作用下推广的l o g i s t i c 方程，即系 统( 2 3 1 ) 在n = 1 和d l i 兰0 时，文 8 已证明了至少存在一个正的u 周 期解，然而对于系统( 2 3 2 ) ，在脉冲作用下推广的l o g i s t i c 方程并非这种情 形因此我们得出脉冲作用对相应系统的动力学行为有很大的影响 例2 3 2 脉冲作用下g i l p i n - a y a l a 竞争系统 众所周知，l o t k a - v o l t e r r a 系统在竞争作用的研究中是非常有用的 然而，这样的系统也有很大的缺点。其中缺点之一是每个种群的相对增长 率是相互作用种群密度的线性函数正如g i l p i n 和a y a l a 1 2 】中指出的： l o l k a - v o l t e r r a 系统是相对增长率在平衡点线性化的结果 在1 9 7 3 年，a y m a 等翻通过对果蝇的试验测试了十个竞争模型的 可行性，其中如下模型最好的总结了试验的结果 啦t l 趴，1 一( 帮一- ：孙 咖胁 1 一( 薏严咄甜 为了拟合试验的数据和产生出更精确的结果，g i l p i na n da y a l a 1 2 提出了 下列模型 r 面d x i 谁i1 1 _ ( 帮一妻j = l 玎孙，焉 lj 剃j 这里z 是第i 个种群的密度，五是第i 个种群的内禀增长率，是第i 个种群的最大环境容纳量，巩是种群内部相互作用的非线性度量，啦，是 种群闯相互作用的度量 由于g i l p i n a y a l a 型系统的理论和实际的重要意义，许多文章 7 ，8 ， 1 3 ，1 4 ，2 4 】对它进行了研究，但大多数作者忽视了脉冲作用的影响 现在，让我们考虑脉冲作用下两种群的g i l p i n a y a l a 竞争系统 型d t = 。( t ) l ，1 、。，l aw(t)：驰()jdt f ”，j a y l ( t ) = y i ( t 十) ( 2 3 3 ) 这里甄，仇是正常数 e ；( t ) ，a i j ( t ) 是非负连续的u 周期函数 引理2 3 2 假设n 0 ，i ：1 ，2 ，和a 1 2 r l r i 赤，西2 l r 2 r i 者 则代数方程组 ”( 等) 仇吨。惫= 。 1 5 如一( 惫) 如嘞老= 。 靠 l f |门纠l1|l 业鲍邮凰。 曲 0 l n 孔 口 瓠 一 一 心 吼 如 九 、，一、，一 _ 业甄娜可 ，i，(|l 一 一 ， 以 0管、 删 洲蚶 一 一 一 有唯一的正解：，“；) t 和o 乱 笔争，o 弓e x p 2 ：至l n ( 1 舳k + 饥) ) ，i ，j = m e = 1 1 ，2 ，且j 缸( 暑产叫( 乏) 1 丽a 1 2 a 2 1 ， 则方程( 2 3 3 ) 至少有一个正的w 周期解 当n = l 时，系统( 2 3 3 ) 为脉冲作用下的g i l p i n a y a l a 单种群模型 掣= 郎，卜，一( 警) 8 卜地， 皿。啕 a y ( t ) = ( t + i y ( t 一) = ( b + 么) g ( t 一) ，t = t ，七= 1 ，2 ，。 这里k ，口是正常数e ( t ) 是非负连续的u 周期函数 推论2 3 2 假设去i n ( i + b 女+ 矗t ) 一# 0 ， 则方程( 2 3 4 ) 至少有一个正的u 周期解 例2 3 3 脉冲作用下浮游生物异株克生模型 m a y n a r d s m i t hf 2 7 1 通过考虑一个种群产生的毒索或刺激物会影响另 外一个或一些种群的生长，于是在两种群竞争的l o t k a - v o l t e r r a 系统中结 合了毒素物质的影响，把l o t k a - v o l t e r r a 模型修改为 掣：n 1 1 咱1 n 1 _ m 2 n 2 一d 1 2 9 l n 2 ，、 挚；2 肛l 咄2 2 锄1 2 3 5 这里 ，2 表示细胞繁殖率；a l l , a 2 - 分别代表第一和第二个种群的种内竞 争率；a 1 2 ，a 2 2 分别代表两种群的种间竞争率；卫，墨是环境的容纳量( 代 表每升所含细胞的数目) ；d - 2 代表种群2 对种群m 的抑制率，d 2 l 代表 种群l 对种群 k 的抑制率。c h a t t o p a d h y a y 【6 】已经研究了系统( 2 3 5 ) 的稳定性质靳祯和马知恩 1 8 1 ，范猛和王克【8 1 也研究了系统( 2 3 5 ) 非自 治时周期正解的存在性 在现实生活中，一个种群产生的毒索或刺激物影响另外一个或一些种 群的生长，这种现象生物学上称为”拮抗”，这种影响并不是瞬间的，对于 1 6 种群的成熟它需要一段时间于是从这种观点出发m u k h o p a d h y a y 等【3 0 】 修改了m a y n a r ds m i t h 所提出的系统( 2 3 5 ) 简单的说，他们对第一个种 群加入了时滞，因此系统( 2 3 5 ) 变为 ( 2 3 6 ) 这里r 是第一个种群成熟所需要的时间这个时滞也就是从新的幼体到变 为能够产生有毒物质的成体所用的时间在文 3 0 中，m u k h o p m ：l h y a y 等 已经研究了系统( 2 , 3 6 ) 的局部和全局行为一个有相当代表性的种群动 力学行为是种群的周期振动现象但是m u k h o p a d h y a y 3 0 】不能证明系统 ( 2 3 6 ) 的周期振动，然而这种现象在自然界中往往能够被观察到( 例如，文 【5 】) 正如他们在文f 3 0 】中所指出的：这个失败可能是由于模型并没有合理 的说明在现实世界中释放有毒物质的种群和另一个种群的相互关系。 事实上，两种生物种群经常会产生周期振动虽然一个生物种群引入 了时滞，但仍需要一个更现实的方法理解种群动力学。尽管在系统( 2 3 6 ) 对产生毒素的种群引入了时滞，正如m a y 2 9 】所指出的，由于年龄，生物 分解或其它因素的影响，把时滞引入到种群的相对变化率函数中是必要和 现实的 据我们所知，还没有人在浮游生物异株克生模型中考虑时滞和周期振 动及脉冲因素的影响现在我们来尝试一下这个问题 考虑如下脉冲作用下的浮游生物异株克生模型 r2 2 m ( t ) = m ( t ) i _ e i ( t ) 一e 。妇( t ) j ( t ) 一6 i j ( t ) n j 0 一q ( t ) ) 2 q j = 1 t “， m ( ) = m ( 矿) 一 k = 1 2 ( ) k i j ( t 一让) ( u ) d 札一咄l ( t ) n i ( t ) n j ( t 一白( t ) ) i 一 l l ( t 一) = ( b a 。+ h i k ) l ( t 一) ，t = t k i = 1 2 1 7 ( 2 3 7 ) 飓 m m以如 吼 眈 m m 嘶 眈 止m 地 鬻百 为了简洁和方便，我们定义 以j = ( 啄+ 6 j i o f i ) d f l 一嘛+ 6 “+ c , , ) d j l ， 1 白= r l d j l r 商l 一( 丘讲+ b i i 一+ 西f ) ( 6 州+ b ，+ 勃) + ( 动i + 幻i + 白 ) ( 丘t j + b i j + 西，) ， w 0 = n ( 弓j + 幻j + 弓j ) 一r j ( f i i j + 坟j + 6 巧) ，i j ，i ，j = 1 ，2 文：2 ( i 彘) 眈p 2k = l i n ( 1 + “姗 引理2 3 3 假设r 0 和n ( 6 q 十+ ) 如+ d i t s l 3 2 ，i ，j = 鬻 1 ，2 ，i j 对于代数方程组 2 n 一( a 甜+ 5 。+ e i j ) u j 一五l 钍l ? 2 2 = o ，i ，j = l ，2 ， 有下面结论成立 ( i )假设u 1 2s0 和巩1 0 则方程组( 2 3 7 ) 有一个唯一的正解 ( 川t ，) ， ( i i ) 假设u n 0 ，则方i i t ( 2 3 7 ) 有两个正解( 川j ，畅) 和 ( 南，) ， ( 概)假设巩l 0 ，则方程组( 2 3 7 ) 有两个正解( 川j ，睨) 和 ( 矗，妮。) ， 这里 ， 耻垫鸪字塑，= 塑鸪塑 = 塑笔窘坐堋= 塑拦i - - 斧坐 这个定理的证明与文【1 8 1 中引理3 2 中的证明是相似的，从略。 从定理2 2 1 和引理2 3 3 ，我们容易得出 定理2 3 3 假设n 0 和 ， 021 1 1 了 0 以 f 0 一喀 + 白” 一c+ ， 一巩 + 一血 ，l ：缮 r 则方程( 2 3 ，7 ) 至少有一个正的“j 周期解。 注2 3 3 靳祯【1 9 】研究了浮游生物异株克生模型在脉冲作用下的 周期解。但他只考虑了收获( 或投放) 的脉冲作用，并未考虑出生脉冲的影 响 1 9 参考文献 1 a l v a r e gc ，l a g e rac ，a na p p l i c a t i o no ft o p o l o g i c a ld e g r e e t ot h e p e r i o d i cc o m p e t i n gs p e c i e sp r o b l e m ，j a u s t r a l m a t h s o c s e r b ， 1 9 8 6 ，2 8 ：2 0 2 2 1 9 2 a n o k h i nav ，b e r e z a n s k yl ，b r a v e r m a ne e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f l i n e a rd e l a yi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l ， 1 9 9 5 ，1 9 3 ：9 2 3 9 4 1 3 a y a l afj ，g i l p i nme ，e h e r e n f e l djg c o m p e t i t i o n b e t w e e ns p e c i e s ： t k e o r e t i c a lm o d e l sa n de x p e r i m e n t a lt e s t s ，t h e o r e t i c a lp o p u l a t i o n b i o l o g y ，1 9 7 3 ，4 ：3 3 1 3 5 6 4 b a i n o vdd ，c o v a c h e vv ，s t a m o v ai s t a b i l i t yu n d e rp e r s i s t e n td i s t u r b a n c e so f i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e ， j m a t h a n a l a p p t ，1 9 9 4 ，1 8 7 ：7 9 0 - 8 0 8 。 5 b e l t r a m ie ，c a r r o l lt o m o d e l i n gt h er o l eo fv i r a ld i s e a s ei nr e c u r r e n tp h y t o p l a n k t o nb l o o m s ，j m a t h b i 0 1 ，1 9 9 4 ，3 2 ：8 5 7 8 6 3 6 c h a t t o p a d h y a yj 。e f f e c to ft o x i cs u b s t a n c e so i lat w o s p e c i e sc o m p e t - i t i v es y s t e m ，e c 0 1 m o d e l l i n g 1 9 9 6 ，8 4 ：2 8 7 2 8 9 7 f a nm ，w a n gk g l o b a lp e r i o d i cs o l u t i o n so fg e n e r a l i z e dn s p e c i e s g i l p i n a y a l ac o m p e t i t i o nm o d e l ，c o m p ，a n dm a t h a p p l ，2 0 0 0 ， 4 0 ：1 1 4 1 - 1 1 5 1 8 f a nm ，w a n gk e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no fac l a s s o fi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a c t am a t h e m a t i e as i n i c a ，2 0 0 1 ，4 4 ： 4 3 7 - 4 4 4 9 f a nm ，w a n gk ，j i a n gd q e x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp o s i n v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fp e r i o d i cn s p e c i e c e sl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i o ns y s t e m sw i t hs e v e r a ld e v i a t i n ga r g u m e n t s ，m a t h e m a t i c a lb i o - s c i e n c e s ，1 9 9 9 ，1 6 0