（应用数学专业论文）三类极小谱任意符号模式.pdf

中北大学学位论文 摘要 符号模式矩阵是组合矩阵论中当前国际上十分活跃的一个研究课题，其重要原因在于 它在经济学、生物学、化学、社会学、计算机科学等众多学科中具有广泛的实际应用背景。 本文主要刻划7 三类极小谱任意符号模式。 第一章介绍了符号模式矩阵研究的历史，给出了一些基本知识、有关结论及本文的主 要结论。 第二章研究了一类极小谱任意符号模式a l ，如，凡，证明了它们的任意母模式是谱任意 符号模式。并且证明了形如以的符号模式除a l ，a 2 ，如外，其它都不是谱任意符号模式。 第三章讨论了形如c 的符号模式除g ，岛，g ，q 外，其它都不是谱任意符号模式。证明 了砚，q ，g ，q 是极小谱任意符号模式，且它们的任意母模式也是谱任意符号模式。 第四章刻划了极小谱任意符号模式现，其中t = l ，2 ，6 。证明了形如d 的符号模式 除d l ，岛，d 6 外，其它都不是谱任意符号模式，且d l ，d 2 ，d 6 的任意母模式也是谱任 意符号模式。 关键词：符号模式，蕴含幂零，谱任意模式 第1 页 中北大学学位论文 a b s t r a c t s i g np a t t e r nm a t r i xi sav e r ya c t i v er e s e a r c ht o p i ci nc o m b i n a t o r i a lm a t r i xt h e o r y , a n do n eo ft h ei m p o r t a n tr e a s o n si st h a ti th a sw i d ea p p l i c a t i o ni nm a n ys u b j e c t ss u c ha s e c o n o m i c s ，b i o l o g y , c h e m i s t r y , s o c i o l o g ya n dc o m p u t e rs c i e n c e i nt h i sp a p e r ，w ec h a r a c t e r i z e t h r e ec l a s s e so fs i g np a t t e r n sw h i c ha r em i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fd e v e l o p m e n to nt h es i g np a t t e r nm a t r i c e s ， s o m em e t h o di no u rp a p e rh a du s e d ，a n do u rr e s e a r c hp r o b l e m sa n dm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ed i c u s st h a ts i g np a t t e r n sa 1 ，a 2a n da 3a r em i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i - t r a r ys i g np a t t e r n s ，a n de v e r ys u p e r p a t t e mo ft h e mi sas p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n a i sas p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r ni fa n do n l yi fai so n eo ft h es i g np a t t e r n sa l ，a sa n d 以3 i nc h a p t e r3 ，w ed i c u s s 。t h a tci sas p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r ni fa n do n l yi fci s o n eo ft h es i g np a t t e r n sa ，c 2 ，c 3a n dc 4 s i g np a t t e r n sa ，岛，ga n dqa r em i n i m a l l y s p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n s ，a n de v e r ys u p e r p a t t e r no ft h e mi sas p e c t r a l l ya r b i t r a r y s i g np a t t e r n i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z em i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n s 鼠，f o ri = l ，2 ，6 di sas p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r ni fa n do n l yi fdi so n eo ft h es i g np a t t e r n s d l ，晚，d 6 ，a n de v e r ys u p e r p a t t e r no f 现，f o ri = 1 ，2 ，6 ，i sas p e c t r a l l ya r b i t r a r y s i g np a t t e r n k e yw o r d s ：s i g np a t t e r n ，p o t e n t i a l l yn i l p o t e n t ，s p e c t r a l l ya r b i t r a r yp a t t e r n 第1 i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：查耋 日期： 渺纩9 方 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名： 导师签名： 签壶 日期： 泓苏一坊 日期：趁堑左! 。垒互 中北大学学位论文 第一章引言 1 1符号模式矩阵研究的历史 组合矩阵论是一个近二十余年来兴起并迅速发展的一个数学分支，它用矩阵论和线性 代数的方法来证明组合性定理以及对组合结构进行描述和分类。同时，也把组合论的思想 和论证方法用于矩阵的精细分析并用以揭示阵列的内在组合性质。组合矩阵论不仅与众多 的数学领域( 数论、线性代数、图论和概率论等) 有密切的联系，而且在信息科学、社会学、 经济数学和计算机科学等许多方面都有具体的应用背景。矩阵理论既是学习经典数学的基 础，又是- f 具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现代 各个科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。特别是随着计算机的 广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。 符号模式矩阵是指元素取自集合 + ，一，0 ) 或 1 ，一1 ，0 的矩阵。对于给定实矩阵b = 【b 】，由的符号s t 夕礼【b 1 为元素组成的符号模式矩阵称为b 的符号模式( s i g np a t t e r n ) 。用q n 表 示全体n 阶符号模式矩阵所组成的集合。对任意a q n ，所有与a 有相同符号模式的实矩阵 组成的集合称为a 所决定的定性矩阵类( q u a l i t a t i v em a t r i xc l a s s ) ，记为q ( a ) 。 符号模式矩阵主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类所具有的组合性质， 即研究实矩阵所具有的仅与其元素的符号有关，而与元素数量大小无关的组合性质。其主 要研究内容涉及线性动力系统的符号可解性问题、符号稳定性，以及具有特定性质的符号 模式矩阵类的组合性质，它与组合矩阵论、图论、矩阵分析、常微分方程、算法理论和经济 学有密切联系。 符号模式矩阵研究起源于2 0 世纪3 0 年代诺贝尔奖获得者p a s a m u e l s o n 为处理当时国际 经济出现的经济问题而提出的经济数学模式一线性动力系统，研究其符号可解性和符号稳 定性。1 9 4 7 年p a s a m u e l s o n 系统总结了他的经济数学理论，写成( f o u n d a t i o n so fe c o n o m i c a n a l y s i s ) _ 书，由哈佛大学出版社出版，并于1 9 7 1 年再版。1 9 7 0 年数学家及生物学家r m m a y ，c j e f i r i e s ，y m s v i r e z e v 和d 0 l o g o f e t 等人先后发现生物学中的生态系统和经济 学中数学模型的许多定性性质是一致的，而符号稳定性概念也在一些化学家( 女1 7 0 年代b l c l a r k e ，j j t y s o n ) 和社会学家( 如8 0 年代y s h i r a k u r a ) 的各自研究领域中出现。这表明符号 模式矩阵的研究在经济学、生物学、化学和社会学以及理论计算机科学中具有广泛的实际 第1 页 中北大学学位论文 应用背景。 许多国际知名数学家如r a b r u a l d i ( 1 ，8 】) ，v k l e e ，c r j o h n s o n ( 2 ，9 ，2 4 ，2 9 ，3 3 】) ，j s m a y b e e ，c a e s c h e n b a c h ( 2 1 ，2 4 ，2 9 ，3 4 1 ) ，c j e f f r i e s 等都界入了符号模式矩阵这一研究领 域，新成果不断涌现。1 9 9 5 年r a b r u a l d i 和b l s h a d e r ( 8 ，1 1 】) 的专著 m a t r i c e so fs i g n - s o l v a b l el i n e a rs y s t e m s ) ) 系统总结了至u 1 9 9 5 年为止这一领域中所取得的研究成果，将本课 题的研究推向一个新的层面。目前国内在这方面的研究尚处于起步阶段，但部分工作已处 于国际先进水平，特别，同济大学邵嘉裕教授，华南师范大学柳泊濂教授( 1 3 1 ) ，中北大学高 玉斌教授( f 1 4 ，1 5 ，2 2 ，2 3 ，3 0 ，3 1 等) 近年来的工作引起了国际同行的广泛关注。 1 2 一般矩阵的基本知识 命题1 2 1 每个佗阶实矩阵b 在复数范围内恰好有佗个特征值( 重根按重数来计) 。 定义1 2 2 将n 阶实矩阵b 的特征多项式定义为如( a ) = i h e s l 。 显然，若将n 阶实矩阵b 的特征值记为入l ，a 2 ，k ( 其顺序是任意的，且重根按其重数 计算) ，贝0 有如( 入) = ( 入一入1 ) ( a 一入2 ) ( a 一入n ) 。 命题1 2 3 设实矩阵b = f 】，则拓( 入) = 一e a ( b ) x 铲1 + 易( b ) 一+ ( - 1 ) 最( b ) x - 一4 - + ( - 1 ) n 玩( b ) ，其中e k ( b ) 为b 的所有阶主子式之和，七= l ，2 ，n 。 显然，置( b ) = h l + 6 船+ + ，风( b ) = l a i 。 定义1 2 4 若存在正整数k ，使得b 七= 0 ，则称实矩阵b 是幂零的。 显然幂零矩阵的特征多项式为厶( 入) = 。 定义1 2 5 如果礼阶实矩阵p 在它的每一行和每一列上正好有一个元素等于1 ，而其余 所有的元素均为0 ，则称p 为置换矩阵。 定义1 2 6 设b 为何阶实矩阵，如果存在n 阶置换矩阵p 使得 广1 p b p t ：i cd i ， | - o e j 其中c 和e 分别是七，f 阶方阵，k 芝1 ，l 1 ，则称b 是可约矩阵( r e d u c i b l em a t r i x ) 。 定义1 2 7 若扎阶矩阵b 不是可约的，则称b 是不可约矩阵( i r r e d u c i b l em a t r i x ) 。 由定义知，每个一阶矩阵都是不可约的。以后如没有特别说明，我们所说的不可约矩阵 都是非零的。 第2 页 中北大学学位论文 1 3符号模式的基本概念及谱任意的有关结论 谱集盯( b ) 是实矩阵b 的所有特征值( 包括重数) 的集合。设a 为n 阶符号模式，若对任意首 一实系数n 次多项式，( 入) ，都存在实矩阵b q ( a ) ，使得b 的特征多项式为，( 入) ，则称符号模 式a 为谱任意符号模式，简记为s a p 。用零替换符号模式矩阵a 的一个或多个非零元得到的 符号模式，记为a ，则称囊为a 的子模式( s u b - p a t t e r n ) ，或称a 为a 的母模式( s u p e r - p a t t e r n ) 。 每个符号模式都是其本身的子模式和母模式。若a 是a 的子模式且a a ，则称a 为a 的真子 模式( p r o p e rs u b - p a t t e r n ) 。若一个谱任意符号模式的任意真子模式都不是谱任意模式，则 称该谱任意符号模式为极小谱任意符号模式，简记为m s a p 。 若存在实矩阵b q ( a ) 是幂零的，则称符号模式矩阵a 蕴含幂零，简记为p n 。对于一 个n 阶符号模式矩阵a ，若每个实矩阵b q ( a ) 是非奇异的，则称符号模式矩阵a 是符号非 奇异( s i g nn o n s i n g u l a r ) ，简记为s n s 。若每个实矩阵b q ( a ) 是奇异的，则称符号模式矩 阵a 是符号奇异( s i g ns i n g u l a r ) 。 有关实矩阵的谱的研究，目前已取得很多结果。然而，对于符号模式矩阵的谱，现在知 道的结果很少，主要文献见 9 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 7 1 1 9 。首先j h d r e w e t a l 在【9 】中讨论了以 下反对称三对角模式 咒= 一+ 0 0+ 0 0 0 0 + 。j ! 0 0+ o ，一+ 并证明了当2 佗7 时，死是谱任意模式，即： 定理1 3 1 ( 【9 】) 对于2 n 7 和任意实数r o ，r l ，r n 一1 ，存在厶q ( 死) 使得：i z j a i = z n + 一l z n 一1 + r n 一2 z n 一2 + + r l z + r o 。 猜想1 3 2 ( 【9 】) 当n 8 时，死是谱任意模式。 后来m s c a v e r s e t a l 在【1 2 】中证明了当2 n 1 6 时，瓦是谱任意模式。围绕以上猜 想，j j m c d o n a l d e t a l 在 1 3 1 0 p 提出了n 阶符号模式s ，且其中p 列元素全为正，其余佗一p 列 元素全为负。并给出了 定理1 3 3 ( 1 3 1 ) 5 1 p 扎一1 时，扎阶符号模式s 是谱任意模式。 第3 页 中北大学学位论文 接着，t b r i t z e t a l 在【l o 】中讨论了n 阶符号模式( 七) = 】，唧3 ，0 k ，l 一2 ) ， 其中第一列元素全为正，姚，件1 = + a = 1 ，2 ，七) ，嘶j + l = 一( 歹= 后+ 1 ，k - t - 2 ，n 一 1 ) ，毗，n = - ( i = 1 ，2 ，后) ，w n ，n = 一，并证明了当n 3 ，0 k n 一2 时，n 阶符号模 式( 七) 是谱任意模式，且它们的任意母模式也是谱任意模式。文【1 0 】中最后给出了关于谱 任意符号模式的必要条件的猜想，即： 猜想1 3 4 ( 1 0 1 ) 对n 2 ，任意n 阶谱任意符号模式至少有2 n 个非零元素。 m s c a v e r s e t a l 在f 1 2 】中讨论了一类包含瓦的n 阶符号模式工) n ，( 上k ，2 = ) ， 风，= 其中第一列有r 个元素为负r 2 r 死，并给出了 定理1 3 5 ( 【1 2 】) 当n 2 r 时，风，r 是谱任意符号模式。 定理1 3 6 ( 【1 2 】) 当死2 r 时，d ，v 是极小谱任意符号模式。 定理1 3 7 ( 【1 2 】) 当n 2 ，时，d n ，r 的任意母模式是谱任意符号模式。 g m a c g i l l i v r a y e t a 1 在【17 】中讨论了两类n 阶符号模式历中和碥，它们分别是： = 0 ，+ + + + 一 ： s g n ( - 1 ) n s g n ( - 1 ) 竹_ p 一1 s g n ( - 1 ) n 叩一2 ： + + + 第4 页 0。； o 0 + + 0 + 0 o 一 一 一 0 o 0 + 一 o + 0 o 0 + o o；q一 一 一 一 ； 一 o ； o 中北大学学位论文 k = + + s 9 礼( 一1 ) 铲1 文中并给出了 定理1 3 8 ( 【1 7 】) 当n 3 j t l p n 一2 时，是谱任意符号模式。 定理1 3 9 ( 【17 】) 当n 2 时，k 是谱任意符号模式。 m s c a v e r s e t a l 在【1 l 】中讨论了一类7 2 阶符号模式r ， ，= 其中2 ，礼，最后一行的正元位于第n 一，+ 1 列。并证明了 定理1 3 1 0 ( 1 1 1 ) 当铭 ，2 时，的任意母模式是谱任意符号模式。 定理1 3 1 1 ( 1 1 ) 当n ，- 2 时，j 厶，是极小谱任意符号模式。 上述这些结果将j h d r e w e t a l 猜想又往前推进了一大步，从而构造出了更多的谱任 意符号模式。 目前关于符号模式矩阵的谱，主要研究问题有： 1 对谱任意符号模式进行刻划。 2 找出一个符号模式是谱任意符号模式的必要条件或充分条件。 3 寻找证明一个符号模式是谱任意符号模式的新方法。 4 确定出谱任意符号模式的最d , 爿t - 零元个数。 第5 页 0； 0 o 一 一 一 o 一 0 o 一 ， _ ： 一 o 0 0 一 + o o 一 0 一 o 0 ； ； 0 一 十 + + ； ； + o 中北大学学位论文 1 4本文的主要结论 设n 阶符号模式a 如下，其中n 7 ， a = 一十00 0 ，7 反0+ 0 0 岛00+ ： ； 风 ： +。 ； ； 风一5 00+ 。 j 风一4 风一2 00 00 + ； 0 风一3 00000+0 000a+ ，y 000 0 其中口，7 ，7 + ，一，屈 + ，一) ，其中i = 1 ，2 ，n 一2 。 设佗阶( n28 ) 符号模式c 如r c = 一+00 0叩 历0+ 0 0 统0 0 + ； ；! ； 风一7 ；。 + ； 风一6 00+。； 风一5 风一3 00+ ； 0 风一4 00+。 ； 000 0口+0 0 ，y 1 00 + 3 2 0 00 0 其中q ，饥，3 2 ，7 7 + ，一) ，屈【+ ，一) ，i = 1 ，2 ，n 一3 。 第6 页 中北大学学位论文 设佗阶( n 9 ) 符号模式d 如下： d = 其中口，m ，仇，竹，叩 + ，一 ，屈 + ，一) ，i = l ，2 ，n 一4 。 本文主要研究了以上符号模式a ，c ，d 在什么情况下是谱任意符号模式。证明了三类符 号模式是极小谱任意符号模式，且它们的任意母模式也是谱任意模式。主要结论如下： 1 在第二章中先证明了符号模式a 蕴含幂零当且仅当a 是a l ，a 2 ，a 3 其中之一。然后给出 了符号模式a 是谱任意符号模式当且仅当a 是a 1 ，a 2 ，如其中之一最后得出了a l ，a 2 ，a 3 是 极小谱任意符号模式，且它们的任意母模式也是谱任意符号模式。 2 在第三章中主要证明了形如c 的符号模式除q ，g ，g ，q 外，其它都不是谱任意符号 模式。a ，岛，g ，q 是极小谱任意符号模式，且它们的任意母模式也是谱任意符号模式。 3 在第四章中同样证明了d 是谱任意符号模式当且仅当d 是d l ，d 2 ，d 6 其中之一 最后刻划了极小谱任意符号模式皿，其中l = 1 ，2 ，6 ，且它们的任意母模式也是谱任意符 号模式。 第7 页 刀0；0 + o o + o o 一 十 o + 口 o 一 一 + 0 0 一 一 一 + 0 0 + 。 0 +o； 0 0 0 0 o + o o ； 0 p 卜0 讥 忱o + o o；o趾艮。 讥他。 一 风统；肛趾o o o o 他 中北大学学位论文 第二章第一类极小谱任意符号模式 本章讨论下面的n 阶符号模式a ，其中n 7 ， a = 一+00 0刀 屏 0+0 o 岛 00 + ； 岛 ； + 。 ； ：。： 风一5 0 o + j 风一4 风一2 00 oo+； 0 风一3 00 000 。+ 0 0 o 0口+ 10 0o0 其中q ，y ，7 7 + ，一) ，屈 + ，一 ，其中i = 1 ，2 ，n 一2 。 2 1 蕴含幂零 设b q ) ，不妨设b 有以下形式( 由于相似矩阵有相同的特征多项式) ： b = - 1 1 00 0b d l 01 0。0 d 2 001 ； d 3 ；。1 ； ；。 ； d ，i 一5 001； 厶一4 厶一2 00 001。； 0 如一3 00 000 1 0 0o0a1 c0 o00 引理2 1 1 设厶( a ) = d e t ( a i b ) ，则 ( 2 1 ) ( 2 1 1 ) 第8 页 中北大学学位论文 厶( a ) = a n + 入n 一1 + ，2 入n 一2 + + 厶一l 入+ 厶，其中 证明： = 1 一以， 厂2 = 一n d l 一6 c ， ，3 = a b c + a d t d 2 ( 若礼= 7 ，则，3 = a b c + a d l d 2 一d 5 ) ， 五= 口d f 一2 一吨一1 ，其中 = 4 ，5 ，n 一5 ( n 9 ) ， 厶一4 = a d 一6 一如一2 一d n 一5 ( 竹8 ) ， 厶一3 = 一厶一2 + o 厶一2 一厶一3 一厶一4 + o d n 一5 ， 厶一2 = b c d n i 一厶一3 + a d 一3 + a d n 一2 + a d 一4 ， ，一1 = b c d , , 一3 一a b c d n 一2 + a d n 一3 ， 厶= 一c a b c d , , 一3 。 厶( a ) = a + l - d ； 一d 2 一厶一5 oo 一1 o 入 一1 。 0入一1 一d ，i 一4 厶一20 0 0 一厶一3 0 0 入 一1 。 0a一1 00 oa a - 1 一c0 0o 入 先将上式第i 行的入倍加到第i + 1 行，其中l = 1 ，2 ，n 一3 ，再依次按第三列展开得 知( 入) = 入+ 1 入住一3 ( a + 1 ) 一i = n - 1 4 吨a n 一3 一 o 一c 一1 一厶一3 一厶一2 入 o o 0 一厶 - 16 a n 一3 a n 一1 0入 = c 卜1 + 6 ( a o ) ( 厶一3 + d n 一2 a ) 一6 a n 一3 ( a n ) 】+ a ( a a ) 【( 入+ 1 ) ( 一d n 一3 一厶一2 入) + 入n 一3 ( 入+ 1 ) 一t n ：- 1 4 画 一3 一i 】 = a n + ( 1 一n ) 入n l 一( a + b ctd 1 ) 入n 一2 + a b c $ n - 3持n - 2 5d p , n 一1 一+ 口= ? 也a n 一2 一一 d n 一2 + ( o 厶一2 一厶一2 一如一3 一d ，l 一4 + o d ，l 一5 ) a 3 + ( b c d , , 一2 + n 厶一2 一d n 一3 + 口厶一3 + 第9 页 曲 o；0 入 0 ； o 中北大学学位论文 a d 一4 ) 入2 + ( b c 4 , 一3 一a b c d m 一2 + d 厶一3 ) 入一c a b c 4 , 一3 。 引理得证。 下面介绍三个形如( 2 1 ) 的符号模式a l ，a 2 ，a 3 ，其中礼7 ， a 1 = a 2 = 第1 0 页 一 o； o + 0 o + + 0 + o 0 0 一 一 + 田 o 一 + o o o 一 一 一 一 一 一 o o + o o 0 + o o o 一 一 + 0 o； o + + o 0 一 一 一 ； 一 一 一 o 0 一 +o；：；o + o o + + o +nu n u n u 十b o o + o o + 0 0 0 一 一 一 一 一 一 o o + o o o + 0 0 o 一 “ + 0 0； o + 一 0 0 一 一 一 ； 一 一 一 o o 中北大学学位论文 a 3 = 引理2 1 2 符号模式a 蕴含幂零当且仅当a 是a 1 ，4 2 ，a 3 其中之一。 证明： 必要性。设符号模式a 蕴含幂零，则存在实矩阵b q ( a ) 是幂零的。不妨 设b t d 如( 2 1 1 ) ，此时引理2 1 1 中的 = ，2 = = 厶= 0 ，因为有礼个方程和n + 1 个 未知数，所以可以用d 1 表示出其它的n 个变量。从而可推出口= 1 0 ，d = - 1 二：， “一南 嘁一一瓣 o ，c 一 0 ，6 她+ 1 笼fd x 一- ： 由d 1 的取值范围( d l 一1 ，一1 d l 0 ) 可判断出口，b ，c ，d 2 ，厶一2 的符号。因此符 号模式a 必是a 1 ，如，a 3 其中之一 充分性。设实矩阵b q ( a ) g 有形式( 2 1 1 ) ，若( 口，b ，c ，d l ，如，厶一2 ) = ( 1 ，- 1 ，- 1 ，- 2 ， d 2 ，厶一6 ，一3 ，- 4 ，1 ，2 ) ，武= 一1 ，其中t = 2 ，n 一6 ，则b q ( a 1 ) 是幂零的。若( 8 ，6 ，c ，d l ， 如，奴一2 ) = ( 1 ，l 2 ，一1 ，- 1 2 ，d 2 ，厶一6 ，一3 ，一1 ，一2 ，2 ) ，函= - 1 ，其中l = 2 ，n - 6 ， 则b q ( a 2 ) 是幂零的。若a ，b ，c ，d ld 2 ，d ，i 一2 ) = ( 1 ，2 ，- 1 ，1 ，d 2 ，d ，l 一6 ，一3 4 ，- 1 4 ， - 1 2 ，一1 4 ) ，d l = 一1 ，其中i = 2 ，礼一6 ，则b q ( a 3 ) 是幂零的。引理得证。 第1 1 页 +o：；0 + 0 o + + o l，l + 0 o o + o o + o o o 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 _ 广 一 一 一 一 一 o o + 。 o o o + o 0 o + 0 o； 0 一 一 0 o 一 十 一 一 ； 一 一 一 0 0 中北大学学位论文 2 2 谱任意符号模式的刻划 引理2 2 1 对任意的d 1 ， 证明：对任给的d l ， 翌鲁高差b i c 拿d l 2 措= 铲c 。a ( 口，d ，l 一2 ) 7 一 a c f , ，2 ，f 3 ，厶一1 ，厶) _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ - _ _ - _ _ _ - - - 。- - _ - - _ _ _ _ - _ - _ - _ - - 一：= ： a ( 口，b ，c ，c f 2 ，d ，l 一2 ) 一l 一1 6 c + d l d 2 厶一7 厶一6 厶一5 + 厶一2 厶一4 + d ，l 一3 + 厶一2 厶一3 6 0 厶一2 6 0 厶一3 o c a c 0 0 c a l 2 c d 一3 一a c d 一2 一碱一3 0 - b a b 0 0 b d 2 b d 一3 一曲如一2 - 1 一n 6 厶一3 o 000 0；： - 1 ：； n一1 ； ： a- 1 j i10 口 一1 001 0d 一1一la 一1 0000na 一1 口+ b c 000 ，00b c + 口- a b c 00 000 一口6 c 0 第1 2 页 中北大学学位论文 先将上式第i 行的a 倍加到第i + 1 行：其中l = 2 ，3 ，n 一1 ，再按第一行展开得 a ( ，2 ，3 ，厶一1 ，厶) o ( a ，b ，c ，d 2 ，如一2 ) _ - - 。_ 。_ _ _ 。_ 。i _ _ _ _ 。- _ - _ 。_ _ _ - _ - _ 一= 一 - b 一2 b d 一3 - 1 oo l6 c 6 c0 0o = 6 2 c 3 。 引理得证。 引理2 2 2 ( 9 1 ) 设4 是n 阶符号模式，假设存在某个幂零阵b q ( a ) ，且b 至少有铊个 非零元，记为饥。j 。，b i 。j 。，用变量z l ，z n 替换b 中这n 个非零元得到的矩阵记为x 。如 果x 的特征多项式系数关于变量勋，z n 的雅可比行列式在0 l ，x n ) = 慨。j 。，玩。知) 处 不等于零，则a 的任意母模式是s a p 。 定理2 2 3 符号模式a 是谱任意模式当且仅当a 是a 1 ，a 2 ，a 3 其中之一。 证明：由引理2 1 2 ，2 2 1 和2 2 2 可证。定理得证。 2 3极小谱任意符号模式的刻划 由谱任意的定义可知若4 是谱任意符号模式，则下述命题成立： 1 符号模式a 一定蕴含幂零。 2 符号模式4 既不是符号奇异，也不是符号非奇异。 3 符号模式a 的迹是任意的。 引理2 3 1 ( 1 1 0 ) 一个扎阶不可约谱任意符号模式至少有2 n 一1 个非零元。 引理2 3 2 若a 是谱任意符号模式，则a 是极小谱任意符号模式。 证明：设t = 【t d 】是符号模式a 的一个子模式，且t 是谱任意，则 ( 1 ) t l ，l o r t n l 。 1 0 。否则，t 的迹不是任意的。 ( 2 ) t n , 1 0 ，t i ，件1 0 ，其中i = 2 ，3 ，n 一3 。否则，丁是符号奇异。 ( 3 ) t l ，n 0 ，t n - 2 ，2 0 ，t 1 ，2 0 ，t n - 2 扩1 0 ，t n _ 1 ，n 0 。否则，t 是符号非奇异或符 号奇异。 ( 4 ) 因为t 是谱任意符号模式，所以必存在实矩阵b q ( t ) 是幂零的。不妨设b 形 如( 2 l 1 ) ，由引理2 1 1 中的 = f 2 = = 厶= o - 7 推出： n = 1 。 第1 3 页 “ 如护oi嘛峨。 中北大学学位论文 b c = 一d 1 1 ， d i = 一1 ，其中l = 2 ，3 ，仃一6 ， 厶一4 = - 1 一d n 一5 一d ，i 一2 = 0 ， 厶一3 = d ，l 一5 一d r i 一4 一厶一3 = 0 ， 厶一2 = 厶一4 一d 1 厶一2 = 0 ， 厶一1 = d l 厶一2 + d ，i 一2 一d 1 厶一3 = 0 ， 厶= 一c b c d 一3 = 0 。 ( 4 n ) 显然，喀0 ，其中t = 2 ，3 ，n 一6 。 ( 4 6 ) d l 0 。否则，厶一2 = 靠一4 = 0 ，n 一1 = 厶一2 = 0 ，从而厶一4 = 0 ，如一2 = 0 。此 时丁的非零元个数少于2 n 一1 个，由引理2 3 1 知，t 不是谱任意模式。 ( 4 c ) 厶4 0 。否则，厶一2 = - d l 厶一2 = 0 ，由情形( 4 b ) 知d n 一2 = 0 ，则厶一1 = - d a d 一3 = 0 ，这与情形( 3 ) 中的t n 一2 ，2 0 或情形( 4 b ) 中的d l 0 相矛盾。 ( 4 d ) 厶一2 0 。否则，厶一1 = 一d 1 厶一3 = 0 ，这与情形( 3 ) 中的t n 一2 ，2 o 或情形( 4 b ) 中 的d l 0 相矛盾。 ( 4 e ) 厶一5 0 。否则，厶4 = 一l 一厶一2 = 0 ，从而d ，l 一2 = 一1 。由厶一2 = d n 一4 一d l 如一2 = o - i 得d n 一4 = - d l 。由厶一3 = 一厶一4 一厶一3 = 0 知厶一3 = d l 。因此厶一l = d l 厶一2 + 厶一2 一 d l 厶一3 = 一( 诉+ d l + 1 ) = 0 ，与d l 是实数矛盾。 因此，a 的任意真子模式都不是谱任意模式。引理得证。 定理2 3 3 符号模式a 1 ，a 2 ，a 3 是极小谱任意模式，且它们的任意母模式也是谱任意模 式。 证明：由定理2 2 3 ，引理2 3 2 和2 2 2 可知结论成立。定理得证。 第1 4 页 中北大学学位论文 第三章第二类极小谱任意符号模式 本章讨论下面的n 阶8 ) 符号模式 c = 一+00 0 ， 尻0+00 岛0 0 + ； ； i 风一7 1 。 + 。 ： 风一6 00+ 。 ! 风一5 阮一3 o0+ ； o 风一4 o0+； 00o0q+0 0 讥00 + 倪0 000 其中q ，饥，7 2 ，7 + ，一) ，展 + ，一) ，t = 1 ，2 ，n 一3 。 3 1 蕴含幂零 任取实矩阵b q ( c ) ，由于相似矩阵有相同的特征多项式，不妨设b 有如下形式： b= - 11oo ： ob d l 0l0 0 d 2 0o1 ! ：； “ ； 厶一7 i 1 ； 厶一6 001 ； 厶一5 如一3 001i 0 d n 一4 00 1； 0000 口10 0 v l 0 0l 0 2 00 0o ( 3 1 ) ( 3 1 1 ) 第1 5 页 中北大学学位论文 引理3 1 1 设，b ( 入) = d e t ( m b ) = ”+ 一1 + + 厶一l 入+ 厶，则 = 1 一a ， ，2 = 一n b c 2 一d l ， ，3 = 0 6 c 2 + a d l d 2 ( 若n = 8 ，则 = a b c 2 + a d t d 2 一d 5 ) ， 五= o 喀一2 一d 一1 ，i = 4 ，5 ，n 一6 l o ) ， 厶一5 = a d 一7 一厶一6 一磊一3 ( 钆9 ) ， 厶一4 = 一厶一3 + a d 一3 + 口厶一6 一d ，l 一5 一厶一4 ， 厶一3 = 一如一4 + o 厶一5 + a d 一4 + o 以一3 + b c 2 d 一3 ， 一2 = b c 2 d 一4 一a b c 2 d n 一3 + q 厶一4 一c l ， 厶一1 = 一c l 0 6 c 2 d ，l 一4 ， 厶= b c l c a c 2 。 证明： 如( a ) = a + llo0 06 一d l 入- 10 0 一d 2 0a 一1 ! i； i 一厶一7 i 。一1 ： ； 一厶一6 00入一1 ； 一厶一5 一d n 一3 00 入 一1 1 0 一d n 一4 0 0入一1 ； 000 。 o o 入一口一lo 0 一c 10 0 入- 1 一c 2 0000a 将上式第i 行的a 倍加到第i + 1 行，t = l ，2 ，n 一4 ，再依次按第三列展开，得 拓( a ) = a + l一1o06 夕( a ) - - d , , 一4 一靠一3 入 - 106 a n 一4 00 入一nl 0 0 - - c l 0入一l c 2 000a n 第1 6 页 。中北大学学位论文 其中9 ( 入) = a - - 4 q + 1 ) 一讧n - 1 5 喀 - 4 一，故 拓( a ) = ( 一c 2 ) 1 + b a n - 3 ( 入一a ) + b a ( a n ) ( 一厶一4 一厶一3 a ) 一6 c 1 1 + ( - c 1 ) ( a 2 + a ) + 入2 ( a 一 口) 【( 入+ 1 ) ( 一厶一4 一d 一3 a ) + 9 ( 久) 】 = + ( 1 一口) a n 一1 一( n + 6 c ；2 + d x ) 入n 一2 + ( a b c a + a d , 一d 2 ) a n 一3 + n ：孑也入n 一2 一一 留d i 入舻1 - + ( o 厶一7 一厶一3 一厶一6 ) a 5 + ( 嘛一6 一厶一5 一厶一4 + 口厶一3 一d r i 一3 ) + ( n 厶一5 + a 厶一t d ，i 一4 + a d 体一3 + b c 2 如一3 ) 入3 + ( 6 0 2 厶一4 一a b c 2 d n 一3 + 口厶一4 一c 1 ) 入2 一 ( c 1 + a b e d 一4 ) 入+ b c l c 2 一c 2 。 设n 8 ，下面给出四种形如( 3 1 ) 的符号模式g ，岛，g ，a ， ( 1 ) 口= + ，展= 一，i = 1 ，2 ，n 一5 ，风一4 = 风一3 = + ，讥= 倪= 1 7 = 一，记为q ( 2 ) q = + ，屈= 一，i = 1 ，2 ，n 一4 ，风一3 = 7 2 = + ，y l = ，7 = 一，记为q 。 ( 3 ) a = + ，屈= 一，i = 1 ，2 ，住一6 ，风一5 = 饱= + ，风一4 = 风一3 = 7 1 = 砑= 一，记为伤。 ( 4 ) 口= + ，角= + ，屈= 一，i = 2 ，3 ，n 一3 ，7 1