（运筹学与控制论专业论文）一阶时变双曲型发展方程.pdf

一阶时变双曲型发展方程 ( 摘要) 在物理学、化学、生物学、经济等领域的许多问题，可以用b a n a c h 空间中 的时变双曲型发展方程来描述。与其相联系的时变双曲型发展系统与一般的算子 半群和时变抛物型发展系统有显著的区别。 本文首先对双曲型发展系统生成条件及性质进行整理和研究，对一阶时变双 曲型线性发展方程引进了介于y 值解与温和解之间的，一种便于应用的广义解一 一强解。并给出了强解存在的若干充分条件，以及强解与y 值解和温和解之间的 关系。 其次，对时变双曲型半线性发展方程的c a u c h y 问题： j d 塑t + a o 扛一，o ，x o ) ) ，o f 5t 0 ) ， ( 1 1 ) u ( x ，0 ) = “。 ) ， q ) ， 其中q r 3 是有界开区域，a q 是光滑的，a 七是q 上实值连续可微函数，且 口七j 。“f ，七 舷咖荣卜，毒) 是强椭圆算子。选择适当的b a n a c h 空间x ，则问题( 1 1 ) 可改写为x 上微分方 程的初值问题： p r 卅，o ，“) ， ( 1 2 ) 卜( o ) = u o ， 其中f ( f ，“) 一厂( f ，石，“，v u ) 。( 见叶其孝，1 9 9 4 ，【1 】) 在问题( 1 2 ) 中，算子a 是x 中强连续半群的无穷小生成元。上世纪，h i l l e 、 y o s i d a 建立了半群的基本理论。在此基础之上，l i o n s 、p a z y 、a h m e d 等人研究 了与问题( 1 2 ) 对应的齐次和非齐次问题的古典解、强解、温和解，进一步还 研究了半线性问题( 1 2 ) 的古典解、强解和温和解( 见a p a z y ，1 9 8 3 ，【4 】： n u a h m e d ，1 9 8 8 ，【2 0 】) 。半群理论还被广泛应用于各种类型的问题，如积微分 方程、脉冲微分方程，及分布参数系统的最优控制( 见又i a n g 等【3 2 】，【3 4 ，【3 6 ， 【3 8 】) 。 然而，在物理学、化学、生物学等领域中有广泛应用的许多偏微分方程，其 系数都依赖于时间t ，此时称为时变发展方程。例如，令x ( r ，t ，y ) 表示时刻f 年 龄为，在空间y 处单种群年龄空间密度，则带年龄结构的脉冲时变种群扩散系统 为： 詈( r y ) + 詈( 知，y ) + 七( 吖) 缸( 啊 。阶 y ，f om y ) 咖) 州啊，y ) w ( r ，) 卜m ( 1 3 ) z ( o y ) 一f ( 喇，y 冷( r , t , y ) d r ，x ( r ，f y ) i 0 4 k 时i 拍一o ， x ( r ，0 ，y ) 一工o ( 厂，y ) ，石( 厂，t f + 0 y ) - x ( r ，t i o ，y ) 一j jr ，y ) 在广义相对论、天文学中有广泛应用的时变对称双曲系统： 卜t + 泓x ) 考小 吐蛆 4 ) i “( o ，x ) = 妒 ) ， 其中石r ”，比( ，) 一0 。v ) ，口( ，) ) 是关于f 和x 的维向量值函数，a j ( ，) 是 nx n 对称矩阵值函数，其中j 一l 2 , - - - , 聊。此外，时变热传导方程、时变波动方 程、时变可压缩流体方程、时变k d v 方程、s c h r s d i n g e r 方程等以及由这些方程 通过适当方式耦合起来的种种耦合方程组，此类问题就不能简单地用半群理论来 解决，但是在一定条件下可以转化为抽象空间中的时变发展方程( 见t k a t o ， 1 9 7 5 ，【2 9 】) 。 让三伍) 表示b a n a c h 空间x 中的线性算子的集合( 未必有界) 。空间z 中的 典型的时变线性发展方程的初值问题： p r + 4 ( 。如z 厂l j f ) ，o fsr 0 ，0 口s1 ，使得对任意s ，t ，f ， 0 ，丁】，有 0 0 0 ) 一么o ) n ) 。1 z ，sl 一s 1 口。 h e r b e r ta m a n n 等人证明了与方程( 1 5 ) 。对应的齐次方程有唯一的抛物型发展系 统，并且发展系统有较好的性质( 如可微性) ( 见a p a z y ，1 9 8 3 ，【4 】；h e r b e r t a m a n n ， 1 9 9 5 ，【1 3 】；n u a h m e d ，1 9 8 8 【2 0 】) 。对于b a n a c h 空间中的c a u c h y 问题( 1 5 ) ， 当算子族臼( f ) i e 1 0 ，r n 满足抛物型假设时，p a z y 、a h m e d 等人研究了其古典解、 温和解，进一步还研究了半线性问题的古典解和温和解。近期，x i a n g , w e i 等人 对于一阶、二阶时变抛物型非线性发展方程解的存在性及其性质进行了深入的研 究，包括积微分方程和脉冲方程。同时还考虑了相应的最优控制问题，取得了丰 硕的结果( 见x i a n g 等 3 3 1 ，【3 5 ，【3 7 】) 。 算子族 a ( t ) l t e 0 ，r 】) 满足抛物型假设时，意味着彳( f ) ( f 0 ，r 】) 是解析 半群的无穷小生成元，此时应用范围相对较为狭小。在流体力学，等离子气体物 3 理学，扩散量子机械学等领域有广泛应用的s c h r s d i n g e r 方程，方程中的无界算 子a ( t ) 通常只是强连续半群的无穷小生成元，而不是解析半群的无穷小生成元 ( 见a n o v i c k c o h e n ，1 9 8 3 ，【5 】；a g l i t v a k ，1 9 7 8 ，【6 】；a n a k a m u r a ，1 9 7 7 ， 【7 】；m g u r t i n 等，1 9 6 8 ，【1 7 】；m a r k u sp o p e n b e r g ，2 0 0 1 “1 8 】；m p o r l o l a b ，1 9 7 6 ， 【1 9 】；r w h a s s e ，1 9 8 0 ，【2 4 】；t s c h l e t g e l m i l c h ，2 0 0 5 ，【3 1 】) 。例如将初值问题 ( 1 4 ) 改写为b a n a c h 空间中的微分方程时，其无界算子也仅是强连续半群的无 穷小生成元。这就促使人们开始研究在较弱条件下，发展系统的存在性，一个典 型的类型是双曲型发展系统。k a t o 等人在一定条件下给出了双曲型发展系统的 存在性及其性质，进而研究时变双曲型发展方程。 关于双曲型发展系统的讨论，经历了一个漫长的时期。k a t o 在1 9 5 3 年首次 研究了无穷维空间中初值问题： jd 塑t = a 似 ，f ( 0 ，列， ( 1 6 ) l z ( o ) 一z o ， 其中a ( t ) 是压缩c 0 - 半群的无穷小生成元，且其定义域与时间t 无关。对于时变 双曲型发展方程的一般形式，即a q ) 生成一般的强连续半群，上世纪7 0 年代末 t k a t o ，g d ap r a t o ，j l l i o n s 等人才完成其奠基性工作算子族的稳定性和 容许子空间的理论( 见e h i l l e ，1 9 5 7 ，【8 】；g d ap r a t o ，1 9 7 6 ，【9 】，1 9 9 2 ，【1 0 】； j l l i o n s ，1 9 7 1 ，【1 4 】；j l l i o n s 等，1 9 7 1 ，【1 5 】；i c y o s i d a ，1 9 7 1 ，【1 6 】；t k a t o ， 1 9 5 3 ，【2 6 ，1 9 7 0 ，【2 7 1 ，1 9 7 2 ，【2 8 】) 。直到现在还有一些学者从不同角度，采 用不同方法讨论这个问题( 见g r e g o m i c k e l 等，1 9 9 8 ，【1 1 】；h i r o k a z ao k a ，1 9 9 6 ， 【1 2 】；n t a n a k a ，1 9 9 5 ，【2 1 】；s n i c a i s e ，2 0 0 3 ，【2 5 】) 。特别还有学者利用外推 空间构造双曲型发展系统并讨论其性质，试图克服在一般情形下引进古典解的困 难( 见m r a d o n ，2 0 0 4 ，【2 2 ，2 0 0 2 ，f 2 3 】；t e r e s aw i n i n a r s k a ，2 0 0 5 ，f 3 0 】) 。 关于双曲型发展方程的研究之所以进展缓慢，主要困难是：( 1 ) 与抛物型发 展系统相比，双曲型发展系统较复杂，性质较差。( 2 ) 通过引进内插空间的方法， 虽然能够较好的回答双曲型发展系统的存在性以及构造，但在一般情形下，很难 证明古典解的存在性。( 3 ) 尽管引进外推空间，可以克服许多困难，但此方法还 不完善，许多根本性的问题未能得到很好解决。 4 第二节问题提出 设z 和y 是b a n a c h 空间，它们的范数分别是| | i f 和m | y ，】，是x 的稠子空间， 且连续嵌入到x 。对任意f o ，t ，彳( f ) 是x 上强连续半群侮g ) ，s 芝0 ) 的无穷小 生成元。考虑b a n a c h 空间x 中时变双曲型线性发展方程的初值问题： 彳鲁= 么p 皿+ 厂o ) 。 f sf ( 1 7 ) 卜( o ) 一 其中算子族仁( f ) i f 【o ，丁】) 满足双曲型假设) ： ) ：算子族伽o ) l f 【o ，丁】) 是稳定的，其稳定系数是膨，缈， ：) ：对任意f o ，丁】，空间y 是彳o ) 容许，彳o ) 是彳o ) 在y 中的部分，算 子族仁o ) i f 【o ，丁在】，中是稳定的，其稳定系数分别为：m ，历， 忆) ：对任意r o ，丁 ，d ( a q ) ) dyi n i 对a ( ) c ( 【o ，丁】，b ( y ，x ) ) 。 在假设) 下，k a t o 、p a z y 等人研究了发展系统的存在唯一性及其性质， 同时考虑方程( 1 7 ) 的温和解的存在唯一性。鉴于发展系统的性质始终联系着 内插空间y ，通常情况下古典解是不存在的，为此不得不引进比古典解更强的y 值解。加强条件( 日：) 到( h ：) + ： q q ) l t o ，r 】) 是y 到x 的连续可微同构族且 q ( t ) a ( t ) q 。1o ) 一彳o ) + 曰( f ) 其中对任意f 0 ，z ，曰( f ) 是x 上的有界强连续算子。 在假设( ) + ( ( h 1 ) 、( h ：) + 、( 膏，) ) 下，发展系统具有较好的性质，并给 出了y 值解的存在性。进一步加强条件： ( h ：) ：d ( f ) ) = d 与时间f 无关，任意v d ，彳( ) y c 1 ，r l x ) 。 对任意y d ，。一i k l l + 怕( o ) v 0 ，则空间 d ，1 1 - 1 1 。 是b a n a c h 空间。在假设 ) ( ，) 、( ：) ) 下，能够得到问题的古典解的存在性。 5 以时变双曲型线性发展方程的理论为基础，1 9 7 5 年，k a t o 在x 和y 是自反 b a n a c h 空间时的较强假设条件下，研究了双曲型拟线性发展方程 i d x 。a ( t , x o ) 弦+ ，o ) ，0 s fs 丁 口f 初值问题的y 值解的存在性以及解对初值的连续依赖性。而对于半线性方程 x tt a ( t ) x + ：；，x 1 的初值问题，n t a n a k a 于1 9 9 5 年利用预解算子构造发展系统，研究了其温和解， 特殊情形下的古典解( 见n t a n a k a ，1 9 9 5 ，【2 1 】) 。m r a d o n 分别于2 0 0 2 年、2 0 0 4 年利用外推空间也讨论了半线性方程的温和解，特殊情形下的古典解( 见m r a d o n ，2 0 0 4 ，【2 2 ，2 0 0 2 ，【2 3 】) 。 由于双曲型发展方程的古典解在通常情况下不存在，因此一般讨论较为苛刻 的y 值解，虽然p a z y 等人对双曲型线性发展方程引进了温和解，但给的信息太 少。本文旨在引进一种介于y 值解与温和解之间，又便于应用的广义解强解， 它的存在性要求比y 值解弱，而提供的信息又比温和解丰富，更易于与实际问题 相联系。 由于双曲型发展系统较为复杂，我们首先对发展系统的生成条件及性质进行 分类整理，为了便于讨论强解，还特别讨论了双曲型发展系统的几乎处处可微性。 在此基础之上，给出了强解存在的若干充分条件，以及强解与y 值解、温和解之 间的关系。 对时变双曲型半线性发展方程的c a u c h y 问题，目前尚少见系统的研究成果。 我们较为系统地研究了y 值解、温和解和特殊情形下的古典解的存在性，在此基 础上引进了强解，对半线性方程的强解即使在非时变的情形下，也较少研究，本 文给出了强解存在的若干充分条件。对一阶时变双曲型发展方程的初步探索，将 为进一步研究和应用打下基础。 第三节本文的组织结构 在第二章中，我们给出了一些数学准备知识。b a n a c h 空间中关于弱连续、 绝对连续、l e b e s g u e 可测和可积等一些基本定义和相关结果；半群的定义、性质 及其生成定理：b a n a c h 空间中非时变发展方程关于解的若干存在性定理等。 6 在第三章，由于发展系统较为复杂，主要是对双曲型发展系统的生成条件及 性质进行分类整理。特别地，为了便于讨论双曲型发展方程的强解，我们讨论了 在双曲型假设) 下，发展系统的几乎处处可微性( 见定理3 2 6 ) ； 在第四章中，在p a z y 等人研究的温和解及y 值解的基础上，首先对b a n a c h 空间x 中时变双曲型线性齐次方程的c a u c h y 问题： 詹刊( 慨吣钉坤， ( 1 8 ) l z ( o ) 一工。 引进强解( 定义4 1 6 ) ，并给出了强解的存在性定理( 见定理4 1 7 、4 1 8 ) 。其 次，对双曲型非齐次发展方程的c a u c h y 问题： 麽刊。净小) ，0 t s t o o , ( 1 9 ) i x ( o ) 一工。 引进强解( 定义4 2 6 ) ，给出了强解存在的若干充分条件( 定理4 2 7 、4 2 8 ，定 理4 2 1 1 、推论4 2 1 2 ) ，并且讨论了y 值解与强解之间的关系，在一定条件下强 解可以由y 值解逼j 丘( 定理4 2 9 ) 。 在第五章中，第一节主要讨论了双曲型半线性发展方程的c a u c h y 问题 - 等- a ( t ) x + 厂o ，石o ) ) ，0 0 ，使得当 0 ，丁 中任 意有限个互不相交的开区问纯，墨) ，f ，1 2 ，咒，满足荟b 一) 6 时，有 则称石为绝对连续函数。 沙 ) 一删， 8 定理2 1 5 l i p s c h i t z 连续函数一定是绝对连续函数。 定义2 1 6 函数z ：m r 呻x 称为强可测的，如果， g ) m 是可测集， ( f f ) 存在阶段函数x 。：m _ x ，刀= 1 , 2 ，使得 l i m x 。( f ) = x ( f ) ，a e t e m 。 定理2 1 7 在k ，卢 上定义的弱连续函数必定是强可测的。 定义2 1 8 函数z ：m r 一x 称为可积的，如果， o ) m 是可测集； 伍) 存在阶段函数：m _ x ，万一1 , 2 ，使得 l a m x 。o ) 一z ( f ) ，a e t e m ， 当m ，l 一+ 时，有 l l l x 。 t ) 一( f ) l 陋 。 定理2 1 9 若函数z ：m r - x 是强可测的，且s u p l l x ( t ) i i ，肼似) ，陋( a ，彳圳丑。j ，s 西= m 万。 为了从耗散角度刻画强连续半群的无穷小生成元的特征，引进耗散算子的定 义， 定义2 2 7 设a 是空间x 中的无界线性算子，其定义域和值域d 似) ，r ( a ) x ， 如果对任意x e d ( a ) ，存在 工，( x ) = pe x ：( 工 , x ) - - i lx1 1 2 ；i i x i i 。2 ) 使得 r e 0 ，血) s0 ， 则称a 为耗散算子。 定理2 2 8 设a 是空间x 中的无界线性算子，其定义域和值域d 似) ，r ( a ) cx 那么a 是耗散的，当且仅当，对任意x d 似) ，a 0 ，使得 i i ( a i - a ) x 忙al ixi l o 定理2 2 9 设a 是x 上的稠定线性算子，其定义域和值域d o ) ，r ( a ) c x 。则 ( i ) 如果a 是耗散的，且存在九 0 ，使得r ( a o l 一彳) 一x ，那么a 是x 中的压 缩包一半群 丁o ) ，tz0 ) 的无穷小生成元； ( i i ) 如果a 是z 中的压缩c 0 一半群 丁o ) ，t 乏0 ) 无穷小生成元，那么彳是耗散的。 本节主要收集整理了b a n a c h 空间x 中非时变发展方程的c a u c h y 问题解的 存在性定理。首先考虑x 中齐次方程的c a u c h y 问题： 麽一俐，f o ， ( 2 1 ) i 工( o ) 一x o ， 其中算子a 是空间x 中的无界线性算子，d o ) ，r ( a ) c x ，x o e x 。 定义2 3 1函数x ： 0 ，) 一x 称为初值问题( 2 1 ) 的古典解，如果满足： ( i ) 、x c ( o ，) ，x ) nc 1 ( ( o ，) ，x ) ， ( i i ) 、对任意r 0 ，x o ) d ( 伪 ( i i i ) 、对任意f o a 出x 一血( f ) ， ( i v ) 、工( 0 ) 一。 定理2 3 2 设空间z 中的稠定线性算子彳，满足p ( a ) 0 。则对任意x o e d ( a ) ， c a u c h y 问题( 2 1 ) 在 o ，) 上有唯一的古典解的充要条件是，a 是x 中c o 一半 群 丁o ) ，t 苫o ) 的无穷小生成元。 特别地，如果a 是x 中的可微半群( 或者解析半群) 的无穷小生成元，那 么对任意x ，初值问题( 2 1 ) 有唯一的古典解。 定义2 3 3 如果a 是x 中c o 半群 丁o ) ，t 2 0 ) 的无穷小生成元，那么对任意 x ，函数x o ) - r ( t ) x o ，t 苫o 称为初值问题( 2 1 ) 的温和解。 其次，考虑b a n a c h 空间x 中的非齐次方程的c a u c h y 问题 怯；雠) + ，( f ) ，刚， ( 2 2 ) l x ( o ) = x o x 定义2 3 4 函数x ： 0 ，) 一x 被称为初值问题( 2 2 ) 的古典解，如果： ( i ) 、x s c ( o ，) ，x ) n c l ( ( o ，o 。) ，x ) ， 1 2 ( i i ) 、对任恿t 0 ，x o ) d ( 爿) ， ( i i i ) 、对任意f 0 ，譬。血o ) + 厂o ) ， 口i ( i v ) 、x ( = x o 。 定理2 3 5 设彳是x 中c 0 半群 丁o ) ，tzo ) 的无穷小生成元，如果c a u c h y 问题 ( 2 2 ) 在 0 ，) 上有古典解x ，则 x ( t ) = t ( t ) x o + j ：丁p f ) ，p 矽f ，之o 。 定义2 3 6 设4 是x 中c o 半群 丁o ) ，t 之o 】的无穷小生成元，对任意x ， fe l ) ，x ) ，称连续函数 x ( t ) = r ( t ) x o + f o o t ( t z ) ， 矽f ，o 为初值问题( 2 2 ) 的温和解。 定理2 3 7 2 3 9 是初值问题( 2 2 ) 的古典解的存在性定理。 定理2 3 7设彳是x 中c o 半群 丁p ) ，t 乏o ) 的无穷小生成元，x oe d ( a ) ， ，r ，) ，x ) n c ( ( o ，x x ) ，函数 x o ) 一丁ox o + z 0 ) ，t 之0 是c a u c h y 问题( 2 2 ) 的温和解，其中。 z q ) 5 上丁。一f ) 厂p 矽f ，z o 那么x 是古典解，当且仅当，以下条件之一成立： ( i ) z c 1 ( ( o ，) ，x ) ( i i ) 对任意f 0 ，z p ) d o ) ，彳z e c ( ( o ，) ，x ) 。 定理2 3 8 设4 是x 中c o 一半群 丁p ) ，t 苫o ) 的无穷小生成元，如果x 。e d ( a ) ， 厂c 1 ，) ，x ) ，那么c a u c h y 问题( 2 2 ) 有唯一的古典解。 定理2 3 9 设4 是x 中c o 半群 丁o ) ，t z o ) 的无穷小生成元，如果d 似) ， 厂口( 【o ，o o ) ，x ) ，而且 ( i ) 任慈t 0 ，( f ) d 研) ( i i ) 形r 工x ) ， 那么c a u c h y 问题( 2 2 ) 有唯一的古典解。 下面这个定理给出了问题( 2 2 ) 的温和解与古典解的逼近关系。 定理2 3 1 0 设a 是x 中c o 一半群 r p ) ，t z 0 ) 的无穷小生成元，x 和 厂口( o ，) ，x ) ，那么在 0 ，) 上任何闭子区间 o ，6 】，初值问题( 2 2 ) 的温和解 x 是古典解的一致极限。 迄今为止，讨论了古典解和温和解。事实上，还有另一种应用较为广泛的广 义解强解。 定义2 j 1 1 函数工：r 0 ，) 呻x 称为初值问题( 2 2 ) 的强解，如果满足， ( i ) 工c ，) ，x ) ， ( i i ) x 在 0 ，) 上几乎处处可微，且譬r ) ，x ) ， a t ( i i i ) 塑d t ；血o ) + 厂o ) 口卫f 0 ，) ( i v ) x ( 0 ) 一。 定理2 3 1 2 设彳是x 中c o 一半群 z g ) ，t 2 o ) 的无穷小生成元，x oe p c 4 ) ， ，r ( o ，) ，x ) 。则c a u c h y 问题( 2 2 ) 有强解，当且仅当，以下条件之一成立： ( i ) z 在( 0 ，) 上几乎处处可微，r z r ，) ，x ) ( i i ) z ( f ) d ( 彳) a e f o ，) ，出r 0 ，) ，x ) 。 定理2 3 1 3 设彳是x 中g 半群 丁o ) ，t 之o ) 的无穷小生成元，x o d ( a ) ，如果 以下条件之一成立： ( i ) fe w l 1 工x ) ( i i ) 厂( f ) d 口) a e t e o ，) r ，0 4 x ) 。 那么，c a u c h y 问题( 2 2 ) 有唯一的强解。 1 4 第三章双曲型发展系统 由于双曲型发展系统较为复杂，且是研究双曲型发展方程的基础和前提，在 这一章里，对发展系统的生成条件及性质进行分类整理。为了便于讨论双曲型发 展方程的强解，还特别研究了双曲型发展系统的几乎处处可微性。对于这章的定 义及基本结果的证明可参见文献【4 】和【2 0 】。 第一节容许子空间和算子族的稳定性 为了讨论双曲型发展系统的存在性及其性质，首先引进两个重要概念容 许孑空间和算了族的稳定性，以及关于这两个概念的一些判定定理，所有这些证 明都可以在文献【4 】和【2 0 】中找到。 设x 是b a n a c h 空间，尺( a ，a ) 表示算子ae l ( x ) 对应a 的预解算子。首先介 绍半群的不变子空间和算子的部分。 定义3 1 1 设y 是b a n a c h 牢- f 7 x 的闭子空间，仁l j f ) ，t 芝o ) 是x 中的强连续半群， 如果对任意f o ，t ( t ) yc _ y ，则称y 为半群仁o ) ，t o ) 的不变子空间。 定理3 1 2 设算子彳是b a n a c h 空间x 中c 0 半群仁o ) ，t 之o ) 的无穷小生成元。 如果y 是x 的闭子空间，那么l ，是半群仁o ) ，t 苫o 的不变子空间，当且仅当，存 在常数，当a 缈时，有尺( a ，彳矿y 。 定义3 1 3 设y 是x 的子空间，s 是x 上的线性算子。若算子j 满足 ( i ) d 侈) 。 x e d ( s ) n yis x y ， ( i i ) 对任意x d ( j ) ，氨；， 则称雪为s 在l ，中的部分。 现给出容许空间的定义及其判定定理。 定义3 1 4 设侈，i i 1 l y 是b a n a c h 空间，y 是b a n a c h 空间x 的稠子空间，且连续 嵌入到x 。如果算子彳是x 中c o 半群 r o ) ，tz o ) 的无穷小生成元，而且 ( i ) y 是半群 丁l j f ) ，t o ) 的不变子空间， ( i j ) 半群 礅f 芑q 在l ，上的限制 砸) k ，f 0 是y 中的c o - 半群， 则称空间y 为a 一容许。 定理3 1 5 设算子爿是空间x 中c o - 半群 丁o ) ，t 之o ) 的无穷小生成元。x 的子空 间y 是a 一容许，当且仅当， ( i ) 对任意a 甜，r ( a ，a ) y y ( i i ) 算子彳在y 中的部分j 是y 上的强连续半群的无穷小生成元。 进一步，若y 是彳一容许，则彳是半群 r o ) i y ，t 芝o ) 的无穷小生成元。 定理3 1 6 空间y 是彳容许，当且仅当， ( i ) 对足够大的a ，y 是尺q ，a ) 的不变子空间， ( i i ) 存在常数m ，当a 时，有 忙“( a ，彳) k 。”s 匹f m _ 万，以= l 2 ： ( i i i ) 对任意a ，只q ，a ) y 是y 的稠子集。 定理3 1 7 假设穸是】，在b a n a c h 空间x 中的闭包，算子s ：y - 矿是同构映射。 则y 是彳一容许，当且仅当，算子4 = s a s - 1 是矿中c o 一半群 互o ) ，t 0 ) 的无穷小 生成元。特别地，有 互( f ) = s r ( t ) s 一。 下面给出算子族的稳定性的概念及有界扰动定理和判定定理。 定义3 1 8 设z 是b a n a c h 空间，对任意t - o , r 】，彳o ) 是x 中c o 半群 忸( s ) ，s 乏o 的无穷小生成元。若存在常数m 乏1 ，甜使得 ( i ) 对任意f o ，丁】，有p p ) ) ( ，) ， ( i i ) 对任意a 埘，和有限序列0s t l s t 2s st tst ，有 1 6 睁仇删卜c 广， 称算子族臼( f ) lf 【o ，r 】) 是稳定的。 定理3 1 9 若对任意固定的f 【o ，f 】，彳o ) 是空间x 中c 0 一半群 墨g ) ，s - o 的 无穷小生成元。算子族臼( f ) it o ，丁】) 是稳定的，当且仅当，存在常数m ，使 得对任意的f 【o ，r l ，有p o o ) ) d ( ，0 0 ) ，且以下条件之一成立 ( i ) 对任意的有限序列05 墨ss 2s s & st ，有 训跗，s 肘e x p - 如) ， ( i i ) 对任意的有限序列05f l - ：t 2 墨；气st 和a 之，有 i 眈。尺o ，彳删蹦，sm m ，( a j - t o ) - 1 。 定理3 1 1 0 设b a n a c h 空间x 中算子族臼( f ) i f 【0 ，哪是稳定的，稳定系数为 m ，珊。若b ：【o ，刀一联的且存在常数k 0 ，使得对任意的f q q 刀，有i 陬硼耻) s k ， 那么算子族臼( f ) + 曰p ) i f 【o ，r 】) 是稳定的，其稳定系数为m ，w + k m 。 定理3 1 1 1 设忸，| j 1 1 ) 和f ，j i i i y j 是b a n a c h 空间，y 是x 的稠子空间，且连续嵌 x n x 。 q ) i t e 0 ，t i 是从y n x 的同构算子族，且满足下列性质 ( i ) 存在常数c 0 ，使得对任意的f 【0 ，t 】有 1 i a ( ) l l y 川墨c ，l | q 1 叫，z sc ， ( i i ) 映射f - - q ( t ) 是空间b ，x ) 中按照范数1 1 1 l y z 是有界变差。 让任意tg o ，丁】，彳o ) 是x 中的强连续半群的无穷小生成元，算子族 臼( f ) l f 【o ，呵是稳定的，4 ( 0 ，q 皿o ) q ) 。若算子族饥p ) p f 0 ，种在石中 是稳定，则对任意f 【o ，丁】，y 是j o ) 一容许，且算子族仇) i f 【0 7 j 在y 中也是 稳定的。 1 7 第二节双曲型发展系统及其性质 双曲型发展系统的存在性及其性质是讨论双曲型发展方程的基础，为了便 于研究时变双曲型发展方程，我们首先引进发展系统的定义。 定义3 2 1 若b a n a c h 空间x 中的双参数的有界线性算子族 u o ，s ) ，o sssfs r ) 满足 ( i ) 对任意的0sss ，- stst ，有u ( s ，s ) 一，v ( t ，r 渺( ，s ) tu ( t ，s ) ( i i ) 【厂( ，) 在空间x 中是强连续的， 则称算子族 u ( f ，s ) ，o ss fs 丁) 为空间x 中的发展系统。 抛物型发展系统和双曲型发展系统是两类典型的发展系统，本文是讨论应用 比较广泛的双曲型发展系统。这里主要是归类整理双曲型假设和双曲型发展系统 的存在性及其性质。 设x 和】，是b a n a c h 空间，其范数分别是| | | l ，i | i | y ，】，是x 的稠子空间且连续 嵌入到x 。对任意f o ，刁，彳o ) 是x 上c o 半群侮g ) ，s 芑吣的无穷小生成元。 第一组：假设( 日) 、( 膏) + 、 ) ( 1 ) 、假设) ) ： a ( t ) i t e o , 哪是稳定族，其稳定系数是m ， ( h ：) ：对任意f o ，丁】，空间】，是彳o ) 容许，彳( f ) 是彳( f ) 在y 中的部分，算子 族伽) i f 【0 ，刀 在】，中是稳定的，其稳定系数为盾，历， ( 乩) ：对t e 0 ，丁 ，d ( a ( t ) ) d y ，且彳( ) c ( 【o ，丁】，b ( y ，x ) ) 。 ( 2 ) 、假设似) + 。) ：铂( f ) l f 【0 ，刀) 是稳定族，其稳定系数是m ， 饵：) + ：伽) l f 【0 ，和是y 到x 的连续可微同构族，且 q ( t ) a ( t ) q 以o ) 一彳o ) + b o ) 其中对任意固定f 0 ，丁】，曰( f ) 是x 上的有界强连续算子， 1 r ( h 3 ) ：对t 【o ，t 】，d ( 么o ”3y ，且彳( ) c ( 【0 ，丁】，s ( r ，x ) ) 。 ( 3 ) 、假设( s ) ： ( 皿) ：臼o ) i f 【0 ，刃) 是稳定族，其稳定系数是m ， ( 也) ：d 似( f ) ) 一j d 与时间t 无关，对任意 ，d ，彳( 少c 1 ，r l x ) 。对 ，d ， 令l l v l l 。一i i v + l 阻( o ) v 则空间协，i i | i 。 是一b a n a c h 空间