（计算数学专业论文）无网格法的理论研究及其在helmholtz问题中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 无网格法是目前计算科学和近似理论中的热点研究课题之一无网格法采用基于点 的近似，可以彻底或部分地消除网格，不需要网格的初始划分和重构，克服了有限元法 在形成函数近似时需要预先划分网格的缺点在过去的几年里，无网格法在人工智能、 计算机图形学、图像处理和各种类型的偏微分方程数值解等领域的应用研究已经展开 h e l m h o l t z 问题在物理、力学、工程等许多领域中有广泛的应用背景因此，研究 其数值解不仅有实际意义，也有理论价值 本文第一章介绍了有限元法等传统数值方法的基本原理及其局限性，阐明了无网格 法的产生背景，系统地阐述了无网格法的发展历史和研究现状，总结了无网格法的优点 和存在的问题第二章探讨了无网格法求解过程中的有关理论，主要介绍了几种不同的 节点生成算法，几种常用的离散微分方程的方法及它们各自的特点和求解代数方程组的 g m r e s 算法第三章对目前流行的几种构造无网格形函数的方法做了详细的分析，就 h e l m h o l t z 问题的特殊性改进了传统的点插值法所用的基函数，采用三角函数作为基函 数，形成基于三角函数的点插值法，给出了一维情况下基于三角函数插值法的无网格形 函数及其导数的图像通过具体的函数拟合算例与移动最小二乘近似的形函数进行比 较，显示了点插值法应用于配点型无网格法的优越性在第四章，采用基于三角函数点 插值的配点型无网格法求解h e l m h o l t z 问题，通过对不同类型的h e l m h o l t z 问题的研究， 验证了采用基于三角函数点插值的配点型无网格法求解h e l m h o l t z 问题的可行性和适应 性第五章，针对用配点型无网格法求解具有导数边界条件的微分方程的不稳定性，总 结了目前已有的各种处理导数边界条件的技术，并提出了新的导数边界条件处理技术， 分析了新的导数边界条件处理技术的优越性，通过数值算例验证了对导数边界条件的特 殊处理可以提高配点型无网格法的数值精度 关键字：无网格法；h e l m h o l t z 问题；点插值法；配点格式；导数边界条件；积分插值 无网格法的理论研究及其在h e l m h o l t z 问题中的应用 r e s e a r c ho nm e s h l e s sm e t h o d sa n di t sa p p l i c a t i o ni nh e l m h o l t zp r o b l e m s a b s t r a c t r e c e n t l y , t h em e s h l e s sm e t h o di sa l la c t i v et o p i ci nt h ea r e a so fc o m p u t a t i o n a ls c i e n c ea n d a p p r o x i m a t i o nt h e o r y b a s e do nt h ea p p r o x i m a t en o d e s ，t h i sm e t h o dc a ne l i m i n a t em e s h e s c o m p l e t e l yo rp a r t l y , a n dn e e dn o ti n i t i a t o r yp l o ta l o n gw i t hr e b u i l do fm e s h e s ，a l s oc a l l h a n d l et h ed i s a d v a n t a g eo ft h ea p p r o x i m o t ef u n c t i o no ft h ef i n i t em e t h o d o v e rp a s td e c a d e s ， m e s h l e s sm e t h o d sh a v ea p p l i e di nm a n yd i f f e r e n ta r e a sr a n g i n gf r o ma r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e ， c o m p u t e rg r a p h i c s ，i m a g ep r o c e s s i n ga n do p t i m i z a t i o nt ot h en u m e r i c a ls o l u t i o no fa l lk i n d s o f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h e h n h o r zp r o b l e m sh a v eb e e nu s e dw i d e l yi nm a n yf i e l d s ，s u c ha sp h y s i c s ，m e c h a n i c s ， e n g i n e e r i n g ，a n ds oo n h e n c e ，t h er e s e a r c ho ni t sn u m e r i c a ls o l u t i o n sn o to n l yh a st h e o r e t i c a l v a l u e s ，b u ta l s oh a sp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e s t h eo p e n i n gc h a p t e ri n t r o d u c e st h eb a s i cp r i n c i p l ea n dl i m i t a t i o no ft r a d i t i o n a ln u m e r i c a l m e t h o d ss u c ha st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，d e l i m i t st h e b a c k g r o u n d , d e v e l o p i n gh i s t o r ya n d r e s e a r c hs t a t u so f t l l em e s h i e s sm e t h o d s ，a n ds u m m a r i z e st h ee x c e l l e n c ea n dl i m i t a t i o no f t h e m e s h l e s sm e t h o d s i nt h es e c o n dc h a p t e ro ft h i sp a p e r , t h et h e o r ya b o u ts o l v i n gp r o c e s s e sf o r t h em e s h i e s sm e t h o d si sd i s c u s s e d s e v e r a ln o d e sg e n e r a t i n ga l g o r i t h m sf o rd i s c r e t i o nt h e d o m a i n , s e v e r a lm e t h o d sf o rd i s c r e t i o nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h e i rr e s p e c t i v e c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h eg m r e sa l g o r i t h mf o rs o l v i n ga l g e b r a i ce q u a t i o n sa l ei n t r o d u c e d p r i m a r i l y i nt h et h i r dc h a p t e r , s e v e r a lp o p u l a rm e t h o d sf o rc r e a t i n gs h a p ef u n c t i o n sa r e d i s c u s s e d w i t ht h eu n i q u e n e s so ft h eh e l m h o l t ze q u a t i o n s ，a ni m p r o v i n gp o i n ti n t e r p o l a t i o n m e t h o du s i n gt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n sa st h eb a s ef u n c t i o n si sa d v a n c e d i m a g e sa b o u tt h e s l o p ef u n c t i o n sa n di t sd e r i v a t i v ea l eg i v e ni nt h eo n ed i m e n s i o n a l t h r o u g ht h es p e c i f i c e x a m p l eo ff u n c t i o n sa p p r o x i m a t i o n ，t h ep o i n ti n t e r p o l a t i o ni sc o m p a r e dw i t ht h em o v i n g l e a s ts q u a r em e t h o da n di t ss u p e r i o r i t yi nt h ec o l l o c a t i o nm e t h o di so b v i o u s i nt h ef o u r t h c h a p t e r , t h ec o l l o c a t i o nm e t h o db a s e do nt r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o ni su s e dt os o l v i n g h e l m h o l t zp r o b l e m s t h r o u g ht h es t u d yo fd i f f e r e n tt y p e so fh e l m h o l t zp r o b l e m s ，t h e f e a s i b i l i t ya n da d a p t a b i l i t yo ft h em e t h o di sc e r t i f i e d a g a i n s tw i t ht h et r u s t a b l eo ft h e c o l l o c a t i o nm e t h o dw h e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ed e r i v a t i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，v a r i o u s t e c h n o l o g i e s a r es u m m e d u pa n d n e wp r o c e s s i n g t e c h n o l o g y i s i m p r o v e d i nt h e o n e - d i m e n s i o n a li nt h ef i f t hc h a p t e r t h r o u g hv a r i o u sn u m e r i c a le x a m p l e s ，e v e r yt e c h n o l o g y s a d v a n t a g e sa r eo b v i o u s 大连理工大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d s ；h e l m h o l t zp r o b l e m s ；p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ； c o l l o c a t i o nf o r m u l a t i o n ；d e r i v a t i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ；i n t e g r a li n t e r p o l a t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研 究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含 为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 作者签名：整叠日期：丝丑：笸! f 歹i 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：盘 导师签名： 砬年月日 ， 大连理工大学硕士学位论文 l绪论 1 1引言 随着科学技术的快速发展，微分方程的理论与数值解法在工程技术和科学计算的各 个领域中都得到了深入的研究和广泛的应用许多物理、化学、生物学、流体力学及空 气动力学等问题，可以归结为用微分方程描述的数学模型然而，对于大多数的微分方 程问题，由于其边界和边界条件复杂等原因，获得其解的解析式是十分困难的，因此， 对微分方程进行数值解就成为我们必然的途径寻求有效的数值方法去离散微分方程及 其边界条件并能高效率、高精度求解微分方程是数值求解微分方程的主要目标，好的数 值方法将使得求解过程更加稳定，数值解精度大大提高 目前，发展起来的数值方法有加权残量法、有限差分法、有限元法、边界元法、无 网格法等加权残量法是应用广泛的一种近似求解方法，它可以有效的求解微分方程、 积分方程等普通的加权残量法有着简单直观、计算量小等优点，但同时其缺点也比较 明显，其稳定性差，精度难以控制有限差分法是把微分方程和边界条件近似地改用差 分方程来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程组的问题然而有限差分 法需要规则分布的节点，从而当问题域不规则时处理就有困难 2 0 世纪5 0 年代发展起来的有限元法是逼近论、微分方程和泛函分析等学科的巧妙 结合它使用预先定义好的网格将一个有着无限自由度的连续体离散成为有着有限自由 度的单元集合，通过变分原理和分片插值的离散化处理把原问题转化为代数方程组，把 问题域内的连续函数转化为求解有限个离散点处的函数近似值这种结合不仅使得有限 元法保持了原有变分方法的优点，而且还兼有差分法的灵活性，有限元法已形成了完善 的理论且原理简单，可以处理各种复杂的几何问题域和边界条件，具有灵活、通用的优 点，在工程领域得到了广泛的应用目前，出现了许多成熟、通用的商业有限元软件， 如a n s y s 、s a p 、m a f c 等，从而使得对复杂问题的简单求解成为可能然而有限元 法也有其数值方法上所固有的弱点，即其依赖于一个预先定义的通过节点连接在一起的 网格或单元信息下面列出有限元法的一些局限性： 。1 ) 前处理困难，计算之前要生成网格模型，这使得数据准备的工作量大，尤其对 于比较复杂的结构模型，容易出现畸变的网格 2 ) 精度较低且一般只能保证c o 连续性，因此用它得到的应力场在单元间一般是不 连续的，需要进行应力应变光滑化后处理 3 ) 对于大变形问题，如压膜成型、橡胶变形问题，网格会发生畸变，需要网格重 划对于任意和复杂路径的裂缝模拟及相变问题，需要在计算的每一步都重划 网格网格重划将引入巨大的计算量，同时也将极大地增加程序控制的复杂性， 1 无网格法的理论研究及其在h e l m h o l t z 问题中的应用 降低数值结果的精度 4 ) 重划网格要使连续单元边界与非连续边界保持一致，这在三维情况下是相当困 难的 5 ) 尽管已经发展了很多有限元自适应分析的方法，出现了不少网格自动生成的专 家系统，但是有限元法真正实现自适应分析仍存在技术上的困难，尤其对三维 问题 无网格法是过去十多年兴起的数值方法，该方法是利用一组散布在问题域中以及域 边界上的有限个离散点表示该问题域和其边界，通过几个互不相关离散点上的值拟合出 一个逼近函数，该函数具有较好的光滑性而且导数连续，这样不仅摆脱了网格的束缚， 避免了大量的网格分划，复杂的网格生成及重新划分工作，减小了因网格畸变而引起的 困难，而且提供了连续性好，形式灵活的形函数该方法在场函数的逼近，边界条件的 引入和能量泛函的积分等方面具有一定的灵活性，此外，还具有精度高、前后处理比有 限元法简便等特性尽管在许多无网格法中仍然需要划分网格来计算区域积分，但是在 求解边界移动或非连续问题时不需要重新划分网格，因此，无网格法可以用来处理大量 基于网格单元的计算方法难以求解的问题，具有有限元法和有限差分法不可比拟的优 点无网格法以其新颖的数值思想、先进的数值技术，得到了学术界的认可和广泛关 注近年来，无网格法得到了迅速发展，是目前科学和工程计算方法研究的热点 1 2h e l m h o l t z 问题介绍 h e l m h o l t z 问题在物理、力学、工程等许多领域中有广泛的应用背景，如薄膜振动 问题、弹性波问题、电磁场中的波导问题、散射理论、海洋工程中水波衍射问题、以及 用特征函数法解偏微分方程边值问题等，它在物理上反映振动的定常状态，即所谓稳恒 振动1 1 因此，研究其数值解不仅有实际意义也有理论价值 对于h e l m h o l t z 问题，其微分方程和边界条件可表示为 f a u + 地= 0 在q 内( 1 - 1 ) i o u ：9 2 在r 。上 ( 1 2 ) 1 丽2 9 2础”上 纠 【u = g l在r d 上 ( 1 3 ) 其中，为l a p l a c e 算子，“是位势函数，允为常系数，q 代表微分方程的问题域，l 代表q 具有d i r i c h l e t 条件的边界部分，l 代表q 具有n e u m a n n 条件的边界部分传统 的解h e l r n h o l t z 问题的数值方法一般有边界元法 2 1 、有限元法 3 1 、有限差分法 4 1 、微分 求积法【5 1 等，其中有限元法应用最为普遍但是，求解h e l r n h o l t z 波传播问题的有限元 法的计算精度随着方程波数的增大而急剧降低，这是因为有限元法普遍采用了低阶的 大连理工大学硕士学位论文 多项式作为位势函数的插值近似函数，而低阶多项式不可能对高频振荡的波传播问题 给出很好的近似要想提高计算精度，必须大幅度增加单元网格的数量，一条公认的 原则是，每个波长内至少要划分1 0 个单元才能达到较为满意的精度，这迫使科技工作 者必须开发一些高效的数值方法以减少计算的费用s h uc 和x u eh 用基于多项式和 f o u r i e r 展开技术的微分求积法求解该问题，基于f o u r i e r 展开的方法效率很高，每个波 长内只需2 3 个配点即可得到高精度的解，但该方法较为复杂，不太容易编制计算机 程序，且对二维问题只适用于矩形区域本文将无网格方法引入到h e l m h o l t z 问题的求 解中，考察该方法对h e l m h o l t z 问题的可行性和适用性，分析其收敛性和计算精度等问 题 1 3无网格法的国内外研究历史及现状 对无网格法的研究可以追溯到七十年代初对非规则网格有限差分法的研究，但由于 当时有限元法的巨大成功，这类方法没有受到高度重视1 9 7 7 年，f l ：t l u c y l 6 齐- i g i n g o l d 7 】 等分别提出了基于拉格朗日公式的光滑粒子流体动力学( s p h ) 法，并且成功地应用于 天体物理领域中s p h 法的基础是核估计函数，在这种方法中偏微分方程被转化成积分 方程，核估计函数通过提供逼近函数来估计离散点的场变量，由于是在离散点上计算函 数，因此不再需要使用网格j o h i l s o n l 8 j 等提出了归一化光滑函数算法，提高了s p h 法的 精度，并使其能够通过分片试验，可以正确模拟常应变状态1 9 9 5 年，s w e g l e 9 】等通过 线性方程的差量分析发现s p h 法中存在不稳定性，提出了稳定化方案m o n a g h a n z o 列 s p h 法进行了总结，s p h 法被广泛应用于水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等材料动态相应 的数值模拟等领域 1 9 9 2 年，n a y r o l e s 等在寻求带边值问题的偏微分方程数值解时，将移动最小二乘近 似( m o v i n gl e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o n ，m l s ) 引入到g a l e r k i n 方法中提出了散射元法 【l ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) ，该方法中的节点虽然可以像有限元法一样进行布 置，但其采用了移动最小二乘法来建立形函数而不是采用基于单元的形函数1 9 9 4 年， 美国西北大学的b e l y t s c h k o 等对d e m 法做了进一步改进，在计算形函数导数时保留了 被d e m 法忽略掉的插值函数导数表达式中的部分项，并利用拉格朗日乘子法施加本质 边界条件，提出了无网格g a l e 姚【1 2 j ( t h ee l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e f g ) 法，且 对该方法的误差做了估计随后，b e l y t s c h k o 及其合作者对e f g 方法做了进一步深入的 研究，发表了大量的关于该方法边界条件的施加、形函数的加速计算、不连续问题分析、 收敛性准则的建立、点积分计算、体积闭锁研究等方面的文章并解决了一系列工程和科 学计算问题e f g 比d f m 具有更高的精度和稳定性，是一种非常流行的无网格方法， 在模拟裂缝问题和动态裂纹生长方面具有很大的优势l i u 和b e l y t s c h k o 使用正交基函 数构造移动最小二乘近似形函数，并使用修正变分原理处理本质边界条件，提出了e f g 3 无网格法的理论研究及其在h e l m h o l t z 问题中的应用 方法的另一种实施方案从此，无网格法蓬勃地发展起来了，此后的几年内相继提出了 1 0 多种无网格法 1 9 9 4 年，a m a r a t u n g a f l 3 】等利用小波级数与g a l e r k i n 法对偏微分方程进行离散，提 出了小波g a l e r k i n 法由于s p h 法的核函数在边界上不满足相容条件，s p h 法在边界 处的精度比较低1 9 9 5 年，l i u 等对核函数进行修正，他们利用小波理论和积分再生核 函数思想，提出了再生核质点方法【1 4 ，l 引( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d s ，r k p m ) 随 后，他们又利用小波分析的尺度伸缩平移以及分辨分析等特点，提出了多尺度再生核质 点方法【l6 ( m u l t i s c a l er e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ) 和小波质点法通过利用小 波函数的多尺度分析思想，构造出的一系列可调窗函数，实现了方法的自适应分析，并 利用方法对流体力学、结构力学、大变形问题及工业成型问题等大量的工程问题进行了 数值分析和模拟1 9 9 6 年，l i u 等【l7 】又引入了移动最小二乘法的思想提出了移动最t j 、- - 乘重构核近似方法( m o v i n gl e a s ts q u a r er e p r o d u c i n gk e r n e lm e t h o d ，m l s r k ) 1 9 9 5 年，o d e n 和d u a r t e 等f 1 8 ，1 9 j 利用最小二乘原理建立单位分解函数，并由此构造 出权函数和形函数，然后再通过g a l e r k i n 法建立离散系统方程，提出了基于云团概念的 h p c l o u d s 无网格数值方法，o d e n 等对这种方法进行了严格的数学论证1 9 9 8 年，o d e n 及其合作者利用有限元法的形函数作为单位分解函数，提出了基于云团的新型h p 有限 元方法【2 0 j ( n e wc l o u d s b a s e dh pf e m ) 这种方法借助了有限元网格，使得边界条件的 处理同有限元一样便利虽然网格的使用破了“无网格”的特性，但能很容易进行h p 自 适应分析1 9 9 6 年，l i s z l a t 等采用配点形式，避免了积分计算时所需的背景网格，提出 了h p 无网格云团法【2 1 1 ( m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d s ) 该方法的主要思想是利用了移动最 小二乘原理并借助二阶泰勒展开级数表示场变量近似，是一种纯无网格法 b a b u s k a 等将单位分解法与有限元法结合，利用单位分解的形函数将局部定义的近 似解相连接，构造出总体场函数的近似解，提出了单位分解法1 2 2 j ( p a r t i t i o no fu n i t y m e t h o d ，p u m ) 1 9 9 6 年，o n a t e 等采用最小二乘插值函数，采用配点格式离散微分方 程，提出了有限点法【2 3 1 ( t h ef i n i t ep o i n tm e t h o d ，f p m ) 该方法不需要背景网格且效 率高，广泛应用于流体动力学等领域 1 9 9 7 年，m u k h e r j e e 等将移动最小二乘逼近与边界积分方程相结合提出了边界点法 瞄j ( b o u n d a r yn o d em e t h o d ，b n m ) 该方法仅仅需要边界上的节点数据，不仅利用了 无网格特性，还通过边界元法的降维优势减小了运算量1 9 9 8 年，a t l u r i 和z h u 将偏微 分方程的等效积分方程建立局部子域上，提出了局部边界积分方程方法【2 5 j ( l o c a l b o u n d a r yi n t e g r a t i o ne q u a t i o nm e t h o d ，l b i e ) ，并在局部边晃积分方程的基础上，利用 移动最小二乘逼近构造局部子域上的权函数和形函数，把整个区域上的求解问题转化为 在各局部子域上求解问题，提出了无网格局部p e g o v g a l e r k i n 法1 2 6 j ( m e s h l e s sl o c a l p e g o v g a l e r k i nm e t h o d ，m i ，p g ) 大连理工大学硕士学位论文 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，r b f ) 常用来进行曲面生成，它也可以用来构 造无网格形函数形成基于径向基函数的无网格法【2 7 ，2 8 捌清华大学的张雄等 3 0 ，3 1 1 基于径 向基函数构造了配点型无网格法，并从加权残量法出发构造了最d , - 乘配点型网格法 3 2 1 2 0 0 1 年，新加坡国立大学的刘桂荣教授和w a n g 教授等使用多项式点插值提出了点 插值无网格法( p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e s h l e s sm e t h o d ，p i m ) 【3 3 1 在国内，无网格法的研究也非常活跃张锁春【3 4 】对s p h 方法进行了综述；贝新源 等p 副将s p h 方法用于高速碰撞问题；刘欣等【3 6 j 将单位分解法用于求解奇异问题；宋康 祖等【37 j 将f p m 用于固体力学的弹塑性分析；李梅娥掣3 8 】对再生核粒子法进行综述，并 给出了其在结构力学、大变形分析、计算流体力学、断裂及损伤力学中的应用；娄路亮、 曾攀【3 9 】在无网格法求解精度等方面做了有益的探讨；蔡永昌、朱合华、王建华d o 利用 v o r o n o i 图和p e t r o v - - - g a l e r k i n 方法相结合提出了一种新的无网格方法，并将其应用于求 解岩土力学问题；龙述尧、许敬晓【4 l j 讨论了弹性力学问题的局部积分方程方法；陈美娟、 程玉民等1 4 2 j 提出了改进的移动最小二乘法；李树忱、程玉民等【4 3 】提出了基于单位分解的 无网格数值流形方法；程玉民、李九红l 4 4 j 提出了复变量无网格方法 无网格法的发展也影响着有限元法、有限差分法的方展，给予它们很多新的启 示b a b u s k a 、m e l e n k 和s t r o u b o u l i s 等将单位分解法和有限元法相结合，形成了单位分 解有限元方法( p a r t i t i o no fu n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p u f e m ) 和广义有限元法 ( g e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，g f e m ) 该方法在标准有限元空间中加入一系列 能够反映待求边值问题特性的函数，并将这些特殊函数与单位分解函数相乘后和原有的 有限元形函数一起构成了新的增广协调有限元空间l i s z k a 、b e n i t o 和l u o 等将泰勒级 数展开和有限差分法相结合，将有限差分法建立在非结构节点上，称为广义有限差分法 ( g e n e r a l i z e df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，g f d m ) 1 4 无网格法的优点和存在的问题 1 4 1 无网格法的优点 无网格法具有以下优点【4 5 】： 1 ) 无网格法的近似函数没有网格依赖性，减少了因网格畸变而引起的困难，适用 于处理高速碰撞、动态断裂、塑性流动、流固藕合等涉及大变形和需要动态调 整网格的各类应用问题 2 ) 无网格法的基函数可以包含能够反映待求问题特性的函数系列，用于分析各类 具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题 3 ) 采用紧支函数的无网格法和有限元法一样具有带状稀疏刚度矩阵的特点，适用 于求解大型的科学与工程问题 5 无网格法的理论研究及其在h e l m h o l t z 问题中的应用 4 ) 无网格法的自适应很强，在自适应分析中不需要重新划分网格，极易实现自适 应分析，若引进小波函数还具有多尺度分析功能 5 ) 无网格法的计算结果是光滑连续的，不必再进行应力光顺化等后处理 6 ) 采用无网格g a l e r k i n 法，即使材料泊松比接近0 5 ，仍可以得到令人满意的计算 结果，不会出现体积死锁 7 ) 在理论和应用的各个环节上均有较高的开放性，便于对其进行控制和扩展无 网格法中基函数、权函数影响半径等的选择有较大的随意性，对一些几何和物 理边界条件的处理也有多种方法 8 ) 在诸如生命科学，纳米技术等新兴研究领域显示了其特有的优点 1 4 2 无网格法现存的问题 和传统的数值方法相比，无网格法是一种新兴的数值计算方法，其计算理论上具有 先进性，并且己有成果初步构成了体系但它的发展还刚刚起步，在处理具体问题时， 缺乏成熟的通用手段，有许多领域尚待开发，不可避免的还存在一些问题，主要表现在 以下几个方面： 1 ) 缺乏坚实的理论基础和严格的数学论证无网格法中的数值积分发展了背景网 格和点积分的方法基于背景网格的无网格法不是真正的无网格法，基于点积 分的无网格法，完全抛开了网格，是真正的无网格法，但点积分还缺乏必要的 理论支持，精度也明显受损尽管有限元的一些理论仍适合无网格法，但需要 更多适合无网格法的理论基础和严格的数学证明，如收敛性、稳定性、一致性、 误差分析等 2 ) 无网格法一般计算量大，效率低实际操作中，有些无网格法常常比传统的有 限元、边界元法等更费时，主要原因是它在每一点都需计算一次形函数及其导 数，这其中都涉及矩阵求逆及多个矩阵的相乘尤其是基于g a l e r k i n 法的无网 格法需要在每个背景积分网格中使用高阶高斯积分以保证计算精度 3 ) 影响无网格法求解精度的因素多应用不同的无网格法求解同一问题必然产生 不同计算精度的结果，即便是对于大多数都采用的基于移动最4 - 乘近似的无 网格法，其计算精度除受到节点的分布密度和基函数的阶次影响外，还受到其 它因素的影响其中权函数的选取、权函数影响域的大小、背景积分域的大小 及边界条件的引入等对计算精度影响都比较大基于径向基点插值近似的无网 格法，各径向基函数的参数对计算精度影响也较大，目前还没有确定这些参数 的理论方法，一般是对这些参数应用数值试探的方法给一个合理的范围，而这 一范围往往又和问题有关 4 ) 引入边界条件困难由于有些无网格法的近似函数不是插值函数，不能精确通 大连理工大学硕士学位论文 过节点变量，因此，本质边界条件的引入比较困难基于点插值的配点型无网 格法，对自然边界条件的引入要做特殊处理才能保证其稳定性和求解精度 5 ) 对于无网格法解决复杂的工程与科学问题的研究不够 6 ) 没有成熟的无网格法商用软件包这大大限制了无网格法的实际应用和推广 尽管无网格法存在着不足，但无网格法处理工程问题有其独特的优点相信随着研 究的不断深入，其理论与软件会日臻完善，得到更广泛的应用 1 5 本文主要工作及其安排 本文分为六章，第一章首先简要介绍了应用于微分方程数值解的加权残量法、有限 差分法、有限元法等传统数值方法，并总结了它们在实际应用中的局限性，从而引出了 无网格法这种新型的数值方法接着介绍了h e l m h o l t z 问题的应用领域、数学模型及研 究现状和意义，并系统地阐述了无网格法的发展历史和研究现状，总结了无网格法的优 点和存在的问题第二章介绍无网格法求解过程的有关理论，主要介绍了几种不同的离 散问题域的节点生成算法，常用的几种离散微分方程的方法及它们各自的特点和用于求 解线性代数方程组的g m r e s 算法第三章首先简单介绍了目前流行的几种构造无网格 形函数的方法及它们各自的特点，重点阐述了点插值法的原理和性质然后就h e l m h o l t z 问题的特殊性改进了传统的点插值法所用的基函数，采用三角函数作为基函数，形成基 于三角函数的点插值法，并给出了一维情况下基于三角函数插值法的无网格形函数及其 导数的图像，结合图像分析了它的性质通过具体的函数拟合算例与相关文献给出的移 动最小二乘近似形函数的拟合结果进行比较，说明了它应用于配点型无网格法的优越 性第四章是本文的重点之一，本章首先介绍了用配点型无网格法求解h e l m h o l t z 问题 的基本过程以及配点型无网格法的程序设计流程然后通过对不同类型的h e l m h o l t z 问 题的研究，验证了采用基于三角函数点插值的配点型无网格法求解h e l m h o l t z 问题的可 行性和适应性第五章是本文的另一个重点，针对用配点型无网格法求解具有导数边界 条件的微分方程的不稳定性，总结了目前已有的几种导数边界条件处理技术，提出了新 的导数边界条件处理技术，并分析了新的导数边界条件处理技术的优越性，通过数值算 例验证了对导数边界条件的特殊处理有利于提高配点型无网格法的数值精度第六章总 结了本文的工作成果，并进一步展望了无网格法在微分方程数值解上的应用前景和发展 趋势 7 大连理工大学硕士学位论文 2 无网格法的基本理论 2 1无网格法的定义与类型 一个无网格法的定义( l i ugr ，2 0 0 2 ) 是：“无网格法是在建立整个问题域的离散 系统代数方程组时，不需要利用预定义的网格信息进行问题域离散的方法 对无网格法的最低要求是：不需要利用预定义的网格对场变量进行插值或近似一 个理想的无网格法是在求解一个任意几何形状的、由微分方程和边界条件决定的问题 时，其整个求解过程均不需要网格 一 无网格法利用一组散布在问题域及其边界上的节点表示该问题域和其边界，它们并 不构成网格，即不需任何事先定义的节点连接信息用于构造未知函数的插值或近似表达 式目前，各种名称不同的无网格法已提出1 0 多种，其应用范围不断扩大，并且计算 精度也得到验证和认可这些无网格法的区别在于所使用的形函数( 如移动最小二乘近 似、重构核函数近似、单位分解法、径向基函数、点插值法等) 和微分方程的等效形式 ( 如g a l e r k i n 法、配点法、最小二乘法、p e t r o v g a l e r k i n 法等) ，现将它们总结如表2 1 【4 6 1 表2 1 主要无网格法类型小结 t a b2 1t h em a i nt y p e so fm e s h l e s sm e t h o d s 9 无网格法的理论研究及其在h e l m h o l t z 问题中的应用 2 2 无网格法的求解过程 本节将通过与熟知的有限元法比较的方式介绍无网格法的求解过程 图2 1 给出了有限元法与无网格法两者的求解过程，可以看出： 1 ) 两者在生成网格阶段出现差异 2 ) 两者的形函数构造方法是不同的，有限元法采用预定义网格构造形函数，各网 格的形函数形式是相同的；而在无网格法中，通常仅基于局部节点构造形函数， 特殊节点处的形函数可随该点的变化而变化 3 ) 总体离散系统代数方程建立后，两者的后继过程基本相似，许多有限元法的相 关技术可应用于无网格法 图2 1 有限元法与无网格法的流程图 f i g 2 1 t h ef l o wc h a r to ft h ef m i t em e t h o da n dt h em e s h l e s sm e t h o d 表2 2 列出了有限元法与无网格法的比较h 7 】 大连理工大学硕士学位论文 基本需求 网格需求 形函数构造 形函数形式 形函数性质 数值积分 本质边界条件 计算速度 精确性 刚度矩阵 刚度矩阵带宽 大变形问题 多种材料 后处理 自适应 发展阶段 商业软件 问题域的几何描述和节点 建立形函数不需要网格但数值积分可 能需要网格 基于节点 不固定，需视计算点的位置及其依赖 节点来确定 形函数多为有理函数，非多项式；有 单位分解性；不一定有6 函数性质； 在节点处的函数值可能小于o 基于背景网格，胞元网格或局部子域 依据方法的不同可能需要特别处理 有些方法较有限元慢 较有限元精确 依赖于具体方法，不一定对称 稀疏带状，但带宽很难确定 适合 处理复杂 ( 应力应变等) 光滑连续，无需后处 理 容易，只需要增加节点即可 发展中 几乎没有 问题域的几何描述和单元 建立形函数和数值积分都需 要网格 基于单元 只要单元形态选定，形函数 即确定 形函数为多项式；满足单位 分解性：具有6 函数性质； 在节点处的函数值 o m ( 哆) 1 基于单元 简单而准确 快 较有限差分精确 对称 带状，带宽容易确定 不适合，网格会发生畸变 材料交界面作为单元边界， 处理简单 ( 应力应变等) 全局不连续， 无需后处理 较难 发展成熟 很多 下面各节将按无网格法求解过程的顺序，介绍无网格法求解过程各步骤的基本理论 和相关技术，其中形函数的构造方法将在第三章作系统的介绍 2 3 节点生成算法 在无网格法中，问题域和其边界是通过一组散布在其上的节点加以表示或建模节 1 1 无网格法的理论研究及其在h e l m h o l t z 问题中的应用 点密度取决于计算精度的要求以及可用的计算资源，节点的分布常为非均匀的目前节 点生成算法主要有：手工布置节点、利用网格生成算法生成节点、基于节点密度控制法 和侵入法( b i t i n gm e t h o d ) 等f 4 8 1 ，下面将对几种常用的节点生成算法作简单介绍 2 3 1 手工布置节点 在问题域上先均匀布置适当的初始节点，然后在场变量变化比较大、需要局部提高 精度的区域进行节点加密手工布置节点依赖于具体的几何模型，其实现简单，对于比 较简单的问题域是一种常用的布点方法 2 3 2 利用网格生成算法 这种方法的思想比较简单，就是利用现有网格生成算法，取其节点并抛弃网格信 息例如可以使用b o j a nn i c e n o 博士的e a s y m e s h 网格生成程序得到节点信息 2 3 3 基于节点密度控制法 基于节点密度控制法的产生过程如下： 1 、布置大量规则分布的节点作为初始节点 2 、对于某一初始节点，如果满足下面的两个条件，则将其作为正式节点 ( a ) 在问题域内或边界上 ( b ) 与已有最近的正式节点的距离小于节点的密度控制因子 3 、在边界上布置一定的节点 2 4 离散微分方程的方法 2 4 1无网格法的离散原理一加权残量法 有效地离散微分方程是无网格法的关键步骤，加权残量法是一种用于求微分方程近 似解的通用的、强有力的方法在无网格法