（光学专业论文）基于单周期脉冲的阈上电脑和高次谐波产生的理论分析.pdf

浙江大学研究生学位论文独创性声明 山fil l r ll l ll ri lip pi j jiirffijijo,|ll,nlgiij m n | n l l y 18 9 3 810 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文储虢谚t 葱喀字隰押，年易月伽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构 送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：”c 年 导师签名： 签字日期：m ，日 月 g， ， 国日 ， 加 协移月 ，穸 浙江大学硕士学位论文 摘要 摘要 随着超快激光技术的发展，人们已经在实验室中，在多个波段上，获得了单 周期甚至亚周期的激光脉冲。单周期脉冲及其与物质的相互作用过程也因此渐渐 成为一个理论热点问题。我们利用由复点源方法推导得到的单周期脉冲光束 ( s c p b ) 的解析表达式，对单周期脉冲与物质的相互作用过程做了较系统的研究。 与相对较长的脉冲相比，单周期脉冲具有内禀啁啾，自蓝移等特性。这些特性都 将对阂上电离、高次谐波产生、总电离率以及电离率空间分布的不对称性等产生 直接的影响。 我们通过数值求解含时薛定谔方程，模拟了超强单周期脉冲与氢原子的相互 作用过程，并对其中的高阶谐波产生过程，总电离率以及电离率空间分布的不对 称性与脉冲参数之间的关系进行了研究。在数值求解过程中，我们建立了c o s - 1 型 的吸收边界，用来吸收原本会被边界反射的几率波。利用虚拟时间演化的方法求 解了包括基态波函数在内的若干个本征态。并且对计算电离率的两种方法本 征态方法和概率流方法，做了较为详细的探讨。 通过对比在不同包络的脉冲作用下得到的高次谐波，我们发现，脉冲包络的 形式，对亚周期脉冲高阶谐波产生的影响要远大于少周期脉冲。另外，在亚周期 范围内，随着脉宽的不断减小，相互作用后产生的高次谐波的截止能量也不断减 小。截止能量随脉宽的这种移动被认为与脉冲中心频率随脉宽的蓝移有关。 另外，我们分析了氢原子的总电离率随初始位相变化的情况。通过和强场近 似下的a d k 电离理论的比较，我们发现，随着脉宽进入亚周期，a d k 理论所预言 的总电离率与数值模拟的结果有较大差异。这说明强场近似在亚周期范围不再适 用。进一步的分析表明，在亚周期范围内，更多的本征态参与了电离过程，这种 非绝热效应使得实际的电离率超过了a d k 理论的预言。 此外，我们还研究了不同初始位相下的电离率空间分布的不对称性。发现在 亚周期范围内，随着脉宽的变化，不对称曲线零点会发生显著的移动。并且移动 量随脉宽的增大逐渐变小。在脉宽到达几个周期的情形下，电离率不对称零点就 不再随脉宽显著变化了。对此现象产生的原因，有待进一步的分析。 关键词：高次谐波不对称性单周期脉冲含时薛定谔方程数值模拟 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t m ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h eu l t r a f a s tl a s e rt e c h n o l o g y t h es i n g l e c y c l eo r e v e ns u b 。c y c l el a s e rp u l s eh a sb e e nr e a l i z e di nt h el a b o r a t o r ya tv a r i o u ss p e c t r u m b a n d s t h eg r e a tp r o g r e s si n e x p e r i m e n t s h a v ea r o u s el o t so fi n t e r e s t s i nt h e t h e o r e t i c a lr e s e a r c hi n1 a s e rm a t t e ri n t e r a c t i o ni nt h es i n g l e c y c l er e g i o n t h ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o no fas i n g l e c y c l ep u l s e db e a m ( s o p b li si n t r o d u c e dw h i c hi sa ne x a c t s o l u t i o no fm a x w e l l se q u a t i o n sd e d u c e dw i t h 也ec o m p l e x s o u r c ep o i n tm o d e l w i t h t h i ss c p bm o d e l w ei n v e s t i g a t e dt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ni n t e n s es i n g l e o rs u b c y c l e p u l s e sa n dh y d r o g e na t o m 1 1 1 es c p b sa r ec h a r a c t e r i z e db yt h ei n t r i n s i c c h i pa n d s e l f - i n d u c e db l u e s h i f iw h e nc o m p a r e dw i t hr e l a t i v e l y1 0 n g e rp u l s e s t h e s ef e a t u r e s w i l lh a v ed i r e c ti n f l u e n c eo nt h ea b o v et h r e s h o l di o n i z a t i o na n dh i g hh a r m o n i c g e n e r a t i o np r o c e s s e s a n da f f e c t st h et o t a li o n i z a t i o ny i e l da n dl e f t r i g h ta s y m m e t r i e s o fe l e c t r o n sa n ds oo n t h ei n t e r a c t i o no ft h es c p b sw i t hh y d r o g e na t o mh a sb e e ns i m u l a t e du s i n g n u m e r i c a li n t e g r a t i o nt e c h n i q u e st os o l v et i m e d e p e n d e n ts c h r 6 d i n g e re q u a t i o n a n d t h eh i g hh a r m o n i cg e n e r a t i o n , t h et o t a li o n i z a t i o ny i e l da n dl e f c - r i g h ta s y m m e t r i e so f e l e c t r o n sa r es t u d i e d t h e r e a f t e r d u r i n g t h ei n t e g r a t i o n , a c o s 一1 一l i k ea b s o r b i n g b o u n d a r yi sa p p l i e dt oa b s o r bt h ep r o b a b i l i t yw a v er e f l e c t i n gf r o mt h eb o u n d a r y t h e i n i t i a lw a v ef u n c t i o na n dw a v e f u n c t i o nf o ro t h e re i g e n s t a t e sa r eo b t a i n e db yi m a g i n a r y t i m ep r o p a g a t i o n t h em e t h o d s e i g e n s t a t em e t h o da n dp r o b a b i l i t ys t r e a mm e t h o d u s e dt oe v a l u a t et h ei o n i z a t i o nr a t ea r ec o m p a r e di nd e t a i l i th a sb e e nf o u n dt h a tt h ee n v e l o pt y p eo fs u b c y c l ep u l s eh a v eag r e a t e ri n f l u e n c e o nh i g hh a r m o n i cg e n e r a t i o nt h a nf o rf e w - c y c l ep u l s e a n di nt h es u b c y c l er e g i o n ，t h e c u t o f fe n e r g yo fh i g hh a r m o n i cs p e c t r ad e c r e a s e sw h e nt h ep u l s ew i d t hd e c r e a s e s t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nc u t o f fe n e r g ya n dp u l s ew i d t hh a ss o m e t h i n gt od ow i t ht h e s e l f - i n d u c e db l u e s h i f to ft h ec e n t r a lf r e q u e n c yo ft h es u b c y c l ep u l s e i na d d i t i o n w ea n a l y z e dt h et o t a li o n i z a t i o ny i e l d sv e r s u si n i t i a lp h a s ef o r s u b c y c l ep u l s e sw i t hd i f f e r e n tp u l s ew i d t h t h e r ei ss u r p r i s i n gd i f f e r e n c eb e t w e e nt h e r e s u l to fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sa n dt h ep o p u l a ru s e da d kt h e o r yw h i c hi sb a s e d o nt h es t r o n gf i l e da p p r o x i m a t i o n i ti m p l i e st h a tt h ea d k t h e o r yi sn ol o n g e rs u i t a b l e i nt h es u b c y c l ed o m a i n w ef i n dt h a tm o r ee i g e n s t a t e sh a v eb e e ni n v o l v e di nt h e p r o g r e s so ft h ei o n i z a t i o n t l l i sn o n a d i a b a t i cp r o c e s so f f e r sm o r ec h a n n e l sf o rt h e i o n i z a t i o na n dc o n s e q u e n t l ym u c hm o r ei o n i z a t i o ny i e l d sa r eg e n e r a t e dt h a np r e d i c t e d b v 也ea d k t h e o r y f u r t h e r m o r e w eh a v ea l s od os o m er e s e a r c ho nl e f t r i g h ta s y m m e t r i e so fi o n i z e d e l e c t r o n sv e r s u si n i t i a lp h a s e sf o rd i f f e r e n tp u l s ew i d t h i ti sf o u n dt h a ts y m m e t r i c 浙江大学硕士学位笙奎 一一垒堕! 兰! ：c 一 _ - _ - - - _ _ _ _ - - _ - _ i - _ - _ _ _ - _ _ - i - _ _ - _ _ - _ _ _ l _ l _ _ _ - _ - - - 一一 p o i n ti nt h ea s y m m e t r i e s - p h a s ec u r v es h i f t sw i t h t h ec h a n g i n go fp u l s ew i d t h ，a n dt h e s p e e do ft h es h i f tb e c o m es m a l l e rw i t ht h ep u l s ew i d t hg r o w s i ti sw o r t ho f t h i n k i n g b e c a u s et h es y m m e t r i cp o i n tc h a n g e sl i t t l e f o rf e w c y c l ep u l s e t h er e a s o no ft h i s p h e n o m e n o nn e e d s t oh a v eaf u r t h e ri n v e s t m e n t k e yw o r d s ：h i g h h a r m o n i cg e n e r a t i o n ( h h g ) ，l e f t - r i g h ta s y m m e t r y , s i n g l e c y c l e p u l s e db e a m ( s c p b ) ，t i m e d e p e n d e n t s c h r o d i n g e re q u a t i o n ( t d s e ) ，n u m e r i c a l s i m u l a t i o n 1 1 1 浙江大学硕士学位论文 目录 目录 摘要i a b s t r a c t ：i i 第1 章绪论1 1 1 研究目的和意义1 1 2 目前的研究近况1 参考文献3 第2 章单周期脉冲光束4 2 1 单周期脉冲光束( s c p b ) 精确解4 2 2 单周期脉冲光束( s c p b ) 和载波包络近似表达式的比较5 2 3 单周期脉冲的产生7 参考文献9 第3 章一维类氢原子含时薛定谔方程的数值求解。1 0 3 1 脉冲作用下氢原子的一维含时薛定谔方程1 0 3 2 含时薛定谔方程的离散化1 1 3 2 1 离散方法1 l 3 2 2 离散过程1 1 3 3 边界条件1 3 3 4 初始条件1 4 3 5 电离率的计算1 8 参考文献2 0 第4 章单周期脉冲和原子的相互作用2 1 4 1 任意脉冲与氢原子的相互作用2 1 4 2 高次谐波( h h g ) 2 2 4 3 电离率分析2 6 4 4 不对称性分析3 3 参考文献。3 9 总结4 0 发表或待发表的论文4 1 致谢4 2 浙江大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究目的和意义 随着激光技术的发展，高功率激光得以产生并在实验中获得应用，这使得强 光场与原子的相互作用成了热门的研究领域。其中一个很重要的发现就是，原子 在吸收多光子电离所需的n 个光子后，还需要继续吸收s 个光子才能发生电离， 这一现象称为阈上电离( a t i ) 。它自从1 9 7 9 年被a g o s t i n i 等人发现 1 以来，就 引起了许多学者的研究兴趣。a t i 在实验上的实现需要两个基本条件，一个是具 有高电离能的原子，另一个是超短的脉冲激光。由于飞秒激光技术的迅速发展， 特别是钛蓝宝石( t i ：s a p p h i r e ) 飞秒激光器的发明 2 】，使得我们能轻易地得到与 原子内部库仑强相当的激光场，并将其用于阈上电离( a t i ) 的实验研究。这一 新兴的领域，在实验上获得迅速发展的同时，其相关的理论研究也就显得十分重 要。 1 2 目前的研究近况 早期的多光子电离( m p i ) 实验中，人们在观测电离率时，对于得到的结果， 可以用场与电子相互作用的低阶扰动理论( l o p t ) 很好地进行描述。l o p t 理论 属于非线性光学，它是多光子过程。该理论指出，在多光子电离( m p i ) 中，电 子从原子中电离必须吸收n 个光子。随着光场强度的增加，能级就会发生偏移， 所以电子电离必须吸收s 个光子并且s n 的现象，称为阈上电离( a t i ) 。其理论 己属于强激光与原子物理的范畴。它自从1 9 7 9 年被a g o s t i n i 等人发现 1 以来，强 激光与原子物理就进入了一个新的研究领域。阈上电离( a n ) 可以被认为是强 激光与原子相互作用的基本过程。 在2 0 世纪8 0 年代，科学家考察了在一定强度的激光辐射下的气体介质发 射的光电子的能谱，发现它在激光频率的奇次谐波处呈现峰值 3 ，4 。这个高阶谐 波产生( h h g ) 的能谱有一个平稳段 5 】，低阶谐波转化为高阶谐波后能谱趋于平 稳，平稳段内谐波的强度基本上与它的阶次无关。平稳段在某些阶次截止，这些 阶次被称为截止位。 h h g 的一个简单的半经典模型是由k u l a n d e r 等人 6 和c o r k u m 7 提出的：在 某个时刻，电子因为电离进入连续态。之后，激光的线偏振电场加速电子，使之 远离原子。然而，电场每个周期内都会改变方向。当电场改变方向时，在一定的 浙江大学硕士学位论文 第l 章绪论 初始条件下，部分电子可能会被驱动回到离子，电子与离子复合，辐射出它的所 有的能量它沿着轨迹运动获得的总动i i _ i d 上束缚能量以单个光子的形 式释放出来。这个简单的模型漂亮地解释了平稳段的截止能量，以及当激光场是 椭圆偏振时h h g 现象明显减少的事实。因为当激光场是椭圆偏振时，电子会与离 子错开，不能复合。这个模型经常被称为“单人”( s i m p l e m a n ) 模型。在早期 的多光子( m p i ) 实验中，大多采用调q 激光，它能产生的脉冲持续时间为几个 n s 。锁模技术的发展，尤其是钛蓝宝石( t i ：s a p p h i r e ) 飞秒激光器的发明，使得 我( f i l l 得至1 f s 量级的激光，目前，实验上能得到的最短的激光脉冲持续时间约为 5 f s 8 1 ，己少于两个载波的光学周期( 对中心波长8 0 0 n m 而言) 。之前的研究己发 现，当脉冲持续时间减小到接近于一个载波周期时，即我们所谓的单周期脉冲光 束，会出现一些不同于多周期脉冲光束的新特性，如时空耦合特性 9 ，自蓝移及 非线性啁啾f 1 0 等。 在阈上电离( a t i ) 的实验中，g g p a u l u s 等人【1 1 发现，当采用某一固定载 波一包络相位的少周期激光脉冲作用于原子时，原子中电子在激光偏振方向上的 电离是不对称的。且该不对称性随载波包络相位的变化作周期性的改变。 理论上，人们通常采用单电子近似( s a e ) 来研究a t i 。它把处于激光场中 的原子用一个同时受到激光场和一个有效势能作用的外层电子来代替。这个有效 势能来自原子内层电子和原子核，它要能够模拟电子的基态或激发态。相关的实 验支持了s a e 的假设，特别是，根据三维含时薛定谔方程( t d s e ) 的数值解求 得的氩原子a t i 能谱与实验得到的能谱惊人的相似。对于氦原子的a t i ，通过比 较总的电离率使得s a e 的假设进一步得到证实。 除了解析的方法外，人们在使用数值模拟来描述强激光场与原子的相互作用 时，一种选择就是经典的蒙特卡洛算法，它是对处于库仑势场和激光场中的电子 的洛仑兹方程进行数值积分。这一方法己在描述高激发态原子和相干的微波场的 相互作用中被成功的应用。但是当量子效应出现时，该模型因过于简化而无法观 察量子现象。近年来，人们普遍采用的一种途径是对一维和三维含时薛定谔方程 进行直接数值积分。它除了很好的数值模拟能力之外，同时也对采用的激光脉冲 的类型没有i 艮1 1 0 ，这也有助于人们对脉冲形状的研究。 在研究光场与原子的相互作用时，当光强小于1 0 1 3 w c m 。2 ，在描述我们观测 到的现象时，微扰理论是适用的。当超过这个强度时，非微扰行为开始出现。这 意味着，我们需要采用非微扰的方法，但是对于大多数体系，其解析解不存在。 而且由于建模本身固有的困难，即使单个原子的反应，许多非微扰分析也还不能 完全包括时间，传播和空间上的效应。所以，虽然大部分半解析的非微扰方法应 用得很好，但是随着激光强度的增加，困难也增加并且结果不可靠。很自然的选 择就是对薛定谔方程进行直接的数值积分。因为没有任何假定而且至少在原理上， 2 浙江大学硕士学位论文 第1 章绪论 对于所有的激光强度和频率，相应的解都能得到。同时，它也没有对用到的激光 类型有所限制，所以我们可以研究脉冲形状的效应。唯一设定的假设就是在求解 标准薛定谔方程中的那些隐含条件，如非相对论性，偶极子占主导地位的无自旋 体系等。 参考文献 1 ea g o s t i n i ，f f a b r e ，g m a i n f r a y , g p e t i t e ，a n dn k r a h m a n ；p h y s r e v l e t t 4 2 ， 1 1 2 7 ( 1 9 7 9 ) 2 d e s p e n c e ，en k e a n , w ：s i b b e t ；o p t l e t t ，1 6 ，4 2 ( 1 9 9 1 ) 3 m c p h e r s o ne ta 1 ；j o p t s o c a m b4 ，5 9 5 ( 1 9 8 7 ) 4 j w i l d e n a u e r ；j a p p l p l a y s 6 2 ，4 1 ( 19 8 7 ) 5 m f e r r ye ta 1 ；j p l a y s b2 1 ，l 3 1 ( 1 9 8 8 ) 6 k c k u l a n d e r ，k j s c h a f e r ，a n dj l k r a u s e ，i n “s u p e ri n t e n s el a s e r - a t o m p l a y s i c s v 0 1 316o fn a t oa d v a n c e ds t u d yi n s t i t u t e ，s e r i e sb ：p h y s i c s ，e d i t e d b yb p i r a u s ，a l h u i l l i e r ，a n dk r z a z e w s k i ( p l e n u m ，n e wy o r k ，19 9 3 ) ，p 9 5 7 p b c o r k u m ；p h y s r e v l e t t 7 1 ，1 9 9 4 ( 1 9 9 3 ) 8 m n i s o l ie ta 1 ；o p t l e t t 2 2 ，5 2 2 ( 1 9 9 7 ) 9 z h a o y i n gw a n g ，q i a n gl i i la n dz h o n g y a n gw a n g ；p l a y s r e v e6 7 ，0 16 5 0 3 ( 2 0 0 3 ) 10 q 1 i 1 1 j z h e n g ，a n dw b e c k e r ；p h y s r e v l e t t 9 7 ，2 5 3 9 0 2 ( 2 0 0 6 ) 3 浙江大学硕士学位论文第2 章单周期脉冲光束 第2 章单周期脉冲光束 2 1 单周期脉冲光束( s c p b ) 精确解 在过去的几十年问，激光技术得到了迅速的发展，对激光脉冲宽度的压缩也 有了长足的进步。当一个脉冲光束的持续时间减少到接近于一个光周期时，我们 称之为单周期脉冲光束( s c p b ) 。在以前的研究中，脉冲光束的持续时间往往大 于一个光周期，它通常可用载波和包络函数耦合的乘积来描写。而当脉冲持续时 间达到很少几个周期或者亚周期范围内时，载波一包络近似的表达式不再适用。 而对于单周期脉冲光束，林强等人【1 从理论上提出了基于电偶极子辐射的单周期 脉冲光束的严格解析表达式： 啪石归鬻“矧+ 学酬 ( 2 ，) 4 感1 + f 2 k 砷，y ，z ，f ) = 兰舞害 - f 孝z e x + z e y + ( f 乒训巳】 ( 2 2 ) 4 砍2 1 + f 2 其中 p o ( r ) = p oe x p ( 一希) e x p o 耐+ 冲o ) ( 2 3 ) 且 = ( 1 + 矛i t ) 2 一去( 1 一筹+ 凇) g - _ + 寺( 1 一豢枷) ( 2 4 ) 办= _ ，+ 丽 其中c 是真空中的光速，心是真空中的磁导率；k = 2 万名是波数，五是激光波 长；国是载波圆频率，o 是初始相位，丁是脉冲宽度，岛是偶极矩的峰值强度； t = t - t o + z o c 是复数时间，t 是时间坐标，t o 是脉冲峰值时刻，z 0 = 万以旯 是瑞利距离，是束腰直径；r = 工：+ y 2 + ( z ) 2 ，z = z + 是复数传输距离，x ，y 4 浙江大学硕士学位论文 第2 章单周期脉冲光束 是横向工a a 川- - ；，z 是纵向坐标；巳，勺，巳是偏振轴方向；善表示脉冲的偏振态，当 孝= 0 时，对应于x 方向的线偏振，孝= l 时，对应于圆偏振，善= 时，对应于 y 方向的线偏振。电场的各方向的分量可写为： t - r e 陬厂+ x 尺x g 、1 1 ，b x - r e 卅等办 e y = r e 卸善厂+ x 尺y 川g 、i 。1 ，b = r e 【彳去向】 ( 2 5 ) 妒r e 彳鲁g ，芝- r e 【彳等办】 其中，i = x + z 痧，彳= 8 z o a o p o ( r ) ( p o r i 干乒) ，波印亭矢量 s = r e ( e ) x r e ( h ) ，则e 。= 0 丙，p o = 4 7 砀4 5 ( c 2 k 2 鲳) ， 舒= b + 1 似2 z ；) b ，b = i 一1 ( k z o ) + l ( c 0 2 t 2 ) 在平面波极限( w o 专) 下，x 方向偏振( 孝= 0 ) 时，我们可以得到 1 】 e = r e - e 。 p 。( f ) 风 以( o ) 一以( r ) ) ，b = e c ( 2 6 ) 其中，4 ( r ) = ( 1 + i i l f ) 2 + 石导，f = f 一一z c 。其他方向的场分量消失。所 以式( 2 6 ) 为x 方向偏振的单周期脉冲平面波的解析表达式。 同时，因为单周期脉冲光束( s c p b ) 精确解中的源( 2 3 ) 为高斯型波，所 以，我们可以求得单周期脉冲的半高全宽( f w h m ) 为2 芝i 互丁。在下文中，我 们可以用峰倌的f w h m 来定义单周期脉冲的脉宽。 2 2 单周期脉冲光束( s o p b ) 和载波包络近似表达式的比较 在多周期的脉冲表达式上，人们一般采用载波一包络近似来描述激光脉冲， 其电场分量可以写为： e = 毛( f ) c o s ( c o t + 驴) 瓦 ( 2 7 ) 其中，蜀( f ) 代表了脉冲的包络成分，c o s ( c o t + 妒) 代表了脉冲的载波部分，而瓦 则为脉冲的偏振轴方向。国2 万表示激光的载波频率，而9 表示相位，称为载波 包络相位。载波包络相位也称为“绝对”相位。载波包络相位决定了脉冲的形状。 浙江大学硕士学位论文 第2 章单周期脉冲光束 艄蝴 棚i o棚舢 舢嗍 撕th ( a ) ( b ) 图2 1 ：( a ) 为载波包络近似表达式下描绘的电场图形，其中红线为包络。( b ) 为载波包络 表达式和s c p b 表达式的结果比较，其中红线为s c p b ，黑线为载波包络表达式。 从上面的图形中我们可以明显的看出两种电场表达式的区别。虽然在相同的位相 下，两种情况的峰值相同，但是在s c p b 曲线上，可以看出脉冲在向中间压缩。 也就是说，脉冲的载波频率是一个变化的值。而c e 情况下，载波频率则保持一 定。除此之外，我们还对这两种电场表达式在不同位相和脉宽下进行直流分量的 比较。如下图所示 摹 1 j 葺 b 董- 卫 七 g 舶 m 4 篮 v 善 童 星 ( a )( b ) 图2 2 ：( a ) 图为不同位相下，两种表达式的直流分量比较，采用的参数是巨= 0 1 ， c o = 0 0 5 7 ，周期数为l ，横坐标表示位相，纵坐标表示电场的积分。红线为c e ，黑线为s c p b 。 ( b ) 图表示在不同脉宽下的情况。其中参数置= o 1 ，彩= o 0 5 7 ，= o 5 n 。横坐标表示脉宽， 纵坐标表示电场的积分。红线为s c p b ，黑线为c e 。 对上面的图形分析，我们可以看出，s c p b 无论在什么情况下，都不会存在直流 分量，而载波包络近似下，当周期数小于2 时，直流分量就会变得非常明显。根 据麦克斯韦理论，直流分量不能在自由空间中传播。所以载波包络近似在少周期 情况下是不适用的。而我们s c p b 则不存在这种限制。 在接下来的理论模拟和实验，我们都会遵照这一个重要的依据，对结果进行 6 的 幛 酗 屯 氟 蕾 浙江大学硕士学位论文 第2 章单周期脉冲光束 分析。无论我们采用g a u s s 、l o r e n t z 或者s e c h 型的包络，都确保我们的电场表 达式的直流分量为0 。只有这样，才是符合理论要求的电场表达式。并且我们在 实验过程中，也会去检验载波频率随时间变化，即所谓的啁啾这一特殊现象。 2 3 单周期脉冲的产生 根据我们传统理论对脉冲的了解，脉冲都可以表示成载波和包络的乘积。虽 然在我们对单周期脉冲理论表达式上可以看到和载波包络近似的区别，但是这对 我们在电路中得到单周期脉冲没有任何冲突。因此在制各单周期脉冲的过程中， 我们需要包络脉冲，载波脉冲信号和乘法器三个部分。 我们选用的包络和载波信号均由r i g o l 公司生产的i o o m h z 的双通道信号发 生器( 图2 3 a ) ，该信号发生器最高能产生i o o m h z 的正弦波和最小脉宽为4 n s 的 脉冲信号。所以基本上我们可以得到亚周期，单周期和多个周期的脉冲。i o o m h z 的载波信号也正好属于微波频段，对于我们实验条件不是很苛刻，可以低成本的 完成。而且该信号发生器的双通道能够同时满足我们的需求，这样一来，我们就 不用担心两个信号之间的位相匹配问题，所以我们最终得到的信号不会随时间的 变化而变化。这样一来，我们可以通过这个信号发生器产生的包络和载波通过乘 法器( 图2 3 b ) 将两个信号相乘，得到我们需要的脉冲信号。我们实验过程中的乘 法器采用的是a n a l o gd e v i c e s 公司生产的乘法器芯片a d l 5 3 9 l a c p z ，通过对 该芯片的了解和试验，我们设计了电路图，加工板材并且自己焊制电路板，经过 多次尝试后基本实现了我们的要求。 ( a ) 图2 3 ：数字信号发生器和乘法器 7 浙江大学硕士学位论文 第2 章单周期脉冲光束 ( a ) ( b ) 图2 4 ：乘法器效果图，图形直接从示波器上拍摄。 从图2 4 中我们可以很明显的看出，该乘法器成功的将两个信号相乘，其中 蓝线表示包络信号，黄线为乘积所得的脉冲信号。我们可以通过改变载波频率或 者脉宽来调节该脉冲的周期数。考虑到天线对脉冲频率的要求，一般在实验过程 中，我们保持载波信号在i o o m h z ，包络信号为l o o k h z 。通过改变脉冲的宽度来 调节周期数。在实验过程中，我们调节脉冲宽度( 包括上升沿和下降沿) 分别为 7 n s ( 亚周期) ，l o n s ( 单周期) ，2 0 n s ( 少周期) 得到三组不同周期数的脉冲。我们将 乘法器输出的信号连接到示波器上，利用示波器的u s b 接口读取波形数据并画图 ( 图2 5 ) ，从图形中我们可以看到3 个波形，其中黑线的脉宽为7 n s ，红线为l o n s ， 绿线为2 0 n s 。从波形上我们可以看出，黑线只有半个多周期，红线恰好为一个周 期，而绿线为2 个周期。而且我们可以从纵坐标上看出各个波形都有明显的直流 偏置。 1 口 口 k u _ u m i u 0 0 2 0 x 1 0 4 4 0 x 1 0 4 6 0 x l 矿 t i m e ( s e c 图2 5 ：利用乘法器得到的亚周期、单周期和少周期脉冲信号。 8 8 7 6 5 4 3 o o o o o o 浙江大学硕士学位论文 第2 章单周期脉冲光束 参考文献 1 q 1 i n ，j z h e n g ，a n dw b e c k e r ；p h y s r e v l e t t 9 7 ，2 5 3 9 0 2 ( 2 0 0 6 ) 2 z h a o y i n gw a n g ，q i a n gl i na n dz h o n g y a n gw a n g ；p h y s r e v e6 7 ，0 1 6 5 0 3 ( 2 0 0 3 ) 9 浙江大学硕士学位论文第3 章一维类氢原子含时薛定谔方程的数值求解 第3 章一维类氢原子含时薛定谔方程的数值求解 我们以氢原子为例，对其在脉冲作用下的一维含时薛定谔方程进行数值求解。 3 1 脉冲作用下氢原子的一维含时薛定谔方程( 以下均采用原子单位制 7 i = 聊= e = 1 ) 含时薛定谔方程的普遍形式： f 甲( 厂，f ) = h 甲( 厂，t ) ( 3 1 ) 一维情况下，依据单电子近似( s a e ) ，脉冲中氢原子的哈密顿量可写作 f i = _ 三妄川x , t ) 2 ， 其中g ( x ，f ) = 圪伽肭+ 圪k 批 我们使脉冲的偏振轴方向为x 轴，原子核处于x 轴的原点( 工= 0 ) 。 考虑到在实际的数值模拟中，库仑势一二在原点x = 0 处存在奇点，我们通过 引入软核势的方法来解决这个问题，表达式如下： 圪。翩6 = 一t 亏与( 3 3 ) x s o f t c o r e + x 其中在我们的模拟过程中取s o f i c o r e - - - c o n s t 。s o f t c o r e 的值选择关系到库伦势和 电离能的值，s o f l c o r e 的值越大电离能越大。一般情况下，我们选定s o f l c o r e = l ， 使其渐近线与库仑势相似，能获得一系列里德伯态，同时也保留了好的量子数 1 。 这一势能模型最初由j a v a n a i n e n 等人 2 提出，并已被许多人所使用 3 、4 、5 1 。 哈密顿量中的脉冲作用项，我们以长度计量： v p ，川m = xe ( f ) ( 3 4 ) 它随时间t 和空间变化，并默认原点处为电势零点。 至此，将式( 3 3 ) ，( 3 4 ) 代入式( 3 2 ) 中，我们可以得到脉冲作用下，氢 原子的一维含时薛定谔方程： 1 0 浙江大学硕士学位论文第3 章一维类氢原子含时薛定谔方程的数值求解 f 鲁帅= f q w ( 列) 相应的哈密顿量为 a = 一d 么2d x2 - 肺+ x e ( r ) 3 2 含时薛定谔方程的离散化 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 3 2 1 离散方法 我们采用c r a n k n i c o l s o n 方法【6 来对方程进行离散化。c r a n k n i c o l s o n 方 法是一种对二阶偏微分方程进行离散的有限差分方法。该离散方法在空间上，采 用二阶中心差分，而在时间上采用改进的欧拉方法。 其中，二阶中心差分方法一般可以表现为如下形式 a 2 扰i 一“j 十1 2 u f + 扰f l a x 2 i( a x ) 2 而改进的欧拉方法则大致如下 詈叫 罢，嘉) j 毪= 圭( + 疋) 3 2 2 离散过程 假定我们取x 轴上的 l ，l 】区域作为空间进行模拟，则离散化后，两侧空 间各点可用步数标记为 j , - j + l ，0 j 1 ，j ) ，而各时刻也可用时间步数标记为 1 ，2 ，n ，n ) 。接下来，我们展现具体的离散过程。由式( 3 5 ) 可以得到 甲( x ，f ) = u ( f ，f o ) 甲( x ，f o ) ( 3 7 ) 其中时间演化因子 u ( z 【，t o ) = e x p 一吐i s i ( t ) 砒) ( 3 8 ) 在很短的时间出内，我们对时间演化因子作如下近似 u ( 气+ f ，气) e x p 一z a ( + a 1 t ，a f ) ( 3 9 ) 么 而在c r a n k _ n i c o l s o n 方法中，时间演化因子可继续近似为 浙江大学硕士学位论文 第3 章一维类氢原子含时薛定谔方程的数值求解 exptzh“(to+了at，f，；号詈鼍乏_；黹 c 3 t 。， 将式( 3 1 0 ) 代入( 3 7 ) ，化简后得到 掣= r 一甲 ( 3 11 ) 其中x 门= r i 百三靠甲甩 ( 3 1 2 ) 将式( 3 6 ) 代入式( 3 1 2 ) ，化简后得到 1 + 7 i a t ( 一万d 2 + 2 ) f = 2 甲疗 ( 3 1 3 ) 其中y 肘2 = 一击+ 姬肿“2 l + x 在很小的空间步长a x 内，采用二阶中心差分，可得 d 2 y 刀砰，一2 霉+ 碎t 可以= 万i 一 (314)dx z ( ，z x x ) 2 17 则将式( 3 1 4 ) 代入式( 3 1 3 ) ，进行化简后，我们可以得到 x 川n+ 彳歹“陀x 歹n + x 二l = b 甲多 ( 3 1 5 ) 舯群+ 1 2 - 2 + 2 ( 埘哆抛+ 等一警 我们对两端边界点处的波函数赋值为0 ( 反射边界) ，则式( 3 1 5 ) 在边界处