（技术经济及管理专业论文）非对称双指数跳跃扩散模型的贝叶斯分析.pdf

中文摘要 非对称双指数跳跃扩散模型是由k o u 提出的一种简单的跳跃扩散模型。该 模型可以为资产收益的有偏尖峰特征和“波动微笑”提供解释，对于许多的期权定 价问题，它也可以比较容易的得到解析解。但k o u 在提出该模型的时候并没有 对模型的参数进行估计，基于此，本文以马尔可夫蒙特卡罗( m c m c ) 方法为工 具对模型进行了估计。 本文首先总结了自b s 模型问世以来金融资产收益连续时间模型的发展及主 要成果，讨论了迄今连续时间模型参数估计的主要方法。并在文章中重点论述了 参数估计的m c m c 方法，讨论了使用m c m c 方法对模型参数进行估计的一般 过程。 最后，本文使用m c m c 方法估计了非对称双指数跳跃扩散模型。该方法是 使用e u l e r 方法对非对称双指数跳跃扩散模型进行离散化，用离散过程的似然函 数作为模型参数的近似似然函数，然后，使用v c + + 语言开发了适合包含隐含变 量的连续时间模型估计的基于m h 算法的m c m c 方法，并对模型参数进行了估 计。通过对模型参数的估计，证明了m c m c 方法对于处理像非对称双指数跳跃 扩散模型这种含有隐含变量的多参数模型的估计是十分有效的，同时表明非对称 双指数跳跃扩散模型能够体现资产收益分布的尖峰厚尾以及有偏等特征。 关键词：非对称双指数跳跃扩散模型贝叶斯分析马尔可夫链蒙特卡罗方法 m h 算法 a b s t r a c t t h ea s y m m e t r i cd o u b l e e x p o n e n t i a lj u m p - d i f f u s i o n m o d e lp r o p o s e d b y k o u ( 2 0 0 2 ) i sas i m p l ej u m p d i f f u s i o nm o d e l 1 1 1 em o d e lc a l lp r o v i d ee x p l a n a t i o nf o r a s y m m e t r i cl e p t o k u r t i cf e a t u r e sa n dv o l a t i l i t ys m i l e ，a l s oi tc a np r o d u c ea n a l y t i c a l s o l u t i o n sf o rav a r i e t yo fo p t i o n - p r i c i n gp r o b l e m s h o w e v e r ，k o ud i dn o te s t i m a t et h e a s y m m e t r i cd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m p - d i f f u s i o nm o d e lw h e nt h em o d e lw a sp u t f o r w a r d ，t h u st h ep a p e ru s e sm a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ( m c m c ) m e t h o dt oe s t i m a t e t h em o d e l f i r s tt h i sp a p e rs u r v e y sa n da s s e s s e st h ed e v e l o p m e n ta n dm a i nf r u i to f c o n t i n u o u s t i m ee q u i t yr e t u r nm o d e l ss i n c et h eb sm o d e lc a m eo i lt h es c e n e ，a n d e s t i m a t i o nm e t h o d so ft h e s em o d e l sa r ed i s c u s s e d t h e nm c m cm e t h o di sm a i n l y s t u d i e di n t h i sp a p e r , a n dh o wt ou s em c m cm e t h o dt oe s t i m a t ec o n t i n u o u s t i m e e q u i t yr e t u r nm o d e l si si n t r o d u c e d a tl a s t , t h em c m cm e t h o di su s e dt oe s t i m a t ep a r a m e t e r so ft h ea s y m m e t r i c d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m p - d i f f u s i o nm o d e l t h ea p p r o a c hi sb a s e do ne u l e rs c h e m e a n di tu s e st h el i k e l i h o o do ft h ed i s c r e d i t e dp r o c e s sa st h ea p p r o x i m a t ep o s t e r i o r l i k e l i h o o d t h e nt h ep a p e ru s e sc + + t oc o m p l e t em c m cm e t h o db a s e dm h a l g o r i t h mw h i c hi sa p p l i e dt o aw i d ec l a s so fm o d e l si n c l u d i n gs y s t e m sw i t h u n o b s e r v a b l es t a t ev a r i a b l e s ，a n de s t i m a t e st h ep a r a m e t e r so ft h em o d e l t h r o u g ht h e s t u d y , w ed e m o n s t r a t et h a tt h em c m cm e t h o dp r o v i d e sau s e f u lt o o li na n a l y s i n gt h e m o d e l si n c l u d i n gs y s t e m sw i t hu n o b s e r v a b l es t a t ev a r i a b l e ss u c ha sa s y m m e t r i c d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m p d i f f u s i o nm o d e l ，a tt h es a m et i m ei ti ss h o w nt h a tt h e a s y m m e t r i cd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m p d i f f u s i o nm o d e le x h i b i t sm a n yo ft h es t y l i z e d f a c t sa b o u ta s s e tr e t u r n sd o c u m e n t e dh 1t h ed i s c r e t e t i m ef i n a n c i a le c o n o m e t r i c s l i t e r a t u r e ，s u c ha sh i g h e rp e a ka n dt h i c kt a i l s k e yw o r d s ：a s y m m e t r i cd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m p d i f f u s i o nm o d e l ，b a y e s i a n a n a l y s i s ，m a r k o v c h a i nm o n t ec a r l o m e t h o d ( m c m c ) ，m e t r o p o l i s - h a s t i n g a l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞叁堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 饭勘扎 签字日期： 工。护7 年月片日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁壅盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 彳至力钆 导师签名： 签字日期： 工卯7 年歹月纾日 签字日期：二- 7 年，月仟e l 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 1 1 1 金融理论的数量化发展趋势 回眸现代金融理论的演进历程不难发现，其不断呈现数量化的发展趋势。金 融界对数理模型的精确定量分析日益依赖，金融理论与各种数理理论与方法的结 合也日益紧密，数量化成为现代金融理论不可阻挡的历史潮流。 随着金融市场的不断发展，也给金融界提出许多复杂的数学问题，诸如金融 变量的数学描述、各变量之间的关系分析、市场风险的计算和控制等等，单纯的 定性分析并不能完全解决这些复杂的数学问题，需要对这些金融问题进行精确的 定量分析。现代金融理论的显著特征是不断在金融经济学中引入数理理论与方 法，用它们来研究金融风险防范与控制、资本市场的运营、资本资产的结构与定 价。 金融理论的数量化趋势最早可以追溯到二十世纪初l o u i sb a c h e l i e r ( 19 0 0 ) 的 博士论文。他建立了一种期权定价模型。在分析期权定价问题时，他提出了对 f o u r i e r 偏微分方程的两种推导，该方程所蕴含的概率密度就是现在著名的w i e n e r 过程或b r o w n 运动，这比e i n s t e i n 的同样发现还早5 年。但是，因为当时投机既不 流行也不能获得大量收益，b a c h e l i e r 的工作一直未被人们重视。直到1 9 6 5 年通过 统计学家l j s a v a g e 的介绍，经济学家p a s a m u e l s o n 才使其重见天日。此前，金 融学完全是经济学的一个分支学科，金融领域的工具和当时经济学一样是完全经 验主义的定性分析，基本上是经济学的供需均衡分析。虽然债券价格对利率的敏 感性模型早在1 9 3 8 年就被m a c a u l a y 所建立，但他与b a c h e l i e r 遭到了同样的命运， 并未被人们所重视。 进入上个世纪5 0 年代以数量化为标志的现代金融理论正式形成。m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年建立了资产组合的风险模型【1 】，该模型假设投资者的预期效用函数是具 有均值和方差两变量的函数，从而在分析上具有可处理性，第一次把数理工具引 入金融研究，从而能够进行定量的检验和预测。 6 0 年代投资实务研究的另具有重要影响的理论是s a m u e l s o n ( 1 9 6 5 ) 与 f a m a ( 1 9 6 5 ) 的有效市场假说( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，e m h ) t 2 j 【3 】，这一假说主 第一章绪论 要包括理性投资者、有效市场和随机游动三个方面。该假设成立就意味着，在一 个功能齐全、信息畅通的资本市场中资产价格的动态规律可用( 半) 鞅来描述，任 何利用历史价格及其它信息来预测证券价格的行为都是徒劳的。e m i l 构成了6 0 年代以来证券理论研究的基石，事实上，资产组合理论、期权定价公式、套利定 价理论等现代证券投资理论都是以e m h 为前提条件的，于是随后出现了大量有 关e m h 的实证研究。 2 0 世纪7 0 年代，随着金融创新的不断进行，金融衍生产品的定价成为理论研 究的重点。1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 建立了期权定价模型【4 j ，该模型认为标的资 产价格过程是概率空间上的伊藤过程，并以此关系建立了随机微分方程。通过解 此方程，从而得到期权的定价。期权定价理论是金融理论研究的又一大突破，并 迅速被运用于金融实践。正是在此基础上，金融创新工具的品种和数量迅速增多， 金融市场创新得到空前规模的发展。此后，r o s s ( 1 9 7 6 ) 等人又建立了套利定价理 论( a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ，a p t ) ，研究了多时期证券市场的均衡定价，非对称 信息下的金融市场等问题”j 。 8 0 年代，现代金融创新进入到鼎盛时期，在此期问诞生了所谓的“8 0 年代国 际金融市场四大发明”，即票据发行便利、互换交易、期权交易和远期利率协议。 也正是在这段时间，金融理论的一个新概念一金融工程”诞生了，它的出现为 国际金融市场带来了一片崭新天地，它也因此成为国际金融创新的主要方向和最 新潮流。随着金融工程理论的发展、金融工具的不断完善，金融工程已经成为现 代金融理论的代名词，并在国际金融市场上占据了重要的位置。 9 0 年代至今，金融创新继续保持高速发展的态势，人们努力将已有的金融创 新理论不断丰富完善，并创造性地运用到各个具体问题上，通过一系列的金融创 新工具为整个国际金融市场带来了巨大效益。在这种形势下，金融工程作为一个 新的学科从金融学独立出来。金融工程将工程思维引入金融领域，综合地采用各 种工程技术方法( 主要有数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等) 设计、开 发和实施新型金融产品，创造性地解决各种金融问题。这里的金融产品既包括股 票、债券、期货、期权等金融工具，也包括结算、清算、发行、承销等金融服务。 历史地考察现代金融理论的发展，可看出现代金融理论的数量化趋势日益明 显，现代金融学已经由原来仅仅作为经济学的一个分支而逐步形成了一个单独的 系统的学科体系。 1 1 2 金融市场的复杂性与波动性 金融市场是一个复杂的系统。在经济全球化的浪潮中，由于国际问信息流、 技术流、资金流等的流动性，世界各国经济、金融系统从最初孤立分散系统整合 成为在子系统之间存在较强相互作用的世界经济大系统，各子系统之间的作用机 2 第一章绪论 制错综复杂，金融市场中所面临的风险多种多样。 金融市场一个显著的特征就是它的波动性，无论国内还是国外，金融市场的 波动从来就没有停止过。2 0 世纪8 0 年代以来，国际金融市场经历了前所未有的 迅猛发展，金融业的竞争不断加剧，金融衍生品大量出现，金融全球化浪潮不可 阻挡，造成了世界经济环境的动荡加剧，个人、企业以及金融机构投资的风险空 前加大，全球范围内一些大的金融波动层出不穷。1 9 8 2 年爆发了拉美国家债务 危机、1 9 9 2 年的欧洲货币体系危机、1 9 9 4 年底发生了墨西哥金融危机、1 9 9 7 年 的亚洲金融危机、1 9 9 8 年的俄罗斯和巴西的金融危机等波及了许多国家、地区 和金融机构，这些金融波动无不伴随着汇率动荡、货币贬值、股市大跌、大量公 司银行破产倒闭等现象，困扰着各国和国际社会。 在这样的背景下，各种规避风险的措施以及金融衍生品应运而生，促进了新 兴的金融理论的诞生与发展；另一方面，人们为了了解投资活动所承受的风险， 不仅要知道金融市场的宏观行为，还需要研究各种金融现象的微观基础，特别是 金融波动的原因及其规律。近些年来，为了揭示金融波动的本质，学术界对其进 行了不懈的探索，现代计量经济学方法的发展，为波动性的建模分析提供了基础。 1 1 3 金融风险的时变性与传染性 在对大量的金融时间序列数据的分析中，人们发现经济变量的波动性，也就 是不确定性并非固定不变，而是随时间变化的，即具有时变性。在对波动时变性 的进一步研究中，人们发现波动的时变性又出现了明显的持续性，也就是当前的 波动会持续的作用于未来波动的变化过程。但是，尽管人们已经认识到大量的关 于资本收益的时间序列表现出了明显的波动聚集特征，但直到了2 0 世纪8 0 年代， 人们才开始真正研究基于资本收益的二阶矩和高阶矩的动态建模问题。 而另一方面，在经济全球化的浪潮中，各国金融系统之间的联系空前加强， 证券市场相继开放，这既有利于资源的整合，促进经济发展，也为国际游资在一 国的金融市场上兴风作浪创造了条件，造成一国金融市场的急剧动荡，同时，全 球金融市场之间的相互影响，导致了各个市场之间波动的互动效应，金融风险在 不同市场之间传播，使得全球金融市场的波动性和风险不断加大，稳定性下降， 金融风险和金融危机的国际传染性越来越强。特别是发展中国家，其金融开放程 度越高，受国际金融风险的冲击越大。 1 1 4 金融风险的规避与金融资产定价 由于金融系统波动的层出不穷，金融风险的防范与规避一直是金融理论的重 要课题，这就要求金融理论的研究能够为规避金融风险提供有力的理论依据。 m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年提出用方差来度量投资风险，建立了资产组合的风险模型， 第一章绪论 第一次把数理工具引入了金融领域，从而能够进行定量的检验和预测。在 m a r k o w i t z 工作的基础上，s h a r p e ( 1 9 6 4 ) 、l i t n e r ( 1 9 6 5 ) 、m o s s i n ( 1 9 6 6 ) 各自 独立的研究了任一证券组合收益率与某个共同因子的关系，从而导出了资本资产 定价模型( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ，c a p m ) 。 2 0 世纪7 0 年代，金融风险加剧，为了规避金融风险各种金融衍生品应运而 生。随着金融创新的不断进行，各种金融衍生品的定价成为理论研究的重点。 b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 从证券价格的变化服从几何布朗运动的前提出发，建立 了期权定价模型。期权定价理论是金融理论研究的又一大突破，并迅速被运用于 金融实践。此后，r o s s ( 1 9 7 6 ) 又建立了套利定价理论( a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ， a p t ) ，研究了多时期证券市场的均衡定价，非对称信息下的金融市场等问题。 随着金融风险规避策略和金融资产定价研究的深入，新的金融衍生品不断被创造 出来。这些理论与工具满足了不同投资者的需求，为投资者进行组合投资、防范 金融风险提供了有效的工具。 1 2 研究现状 连续时间金融模型最早由默顿( m e i r t o n l 9 6 9 ) 在6 0 年代末提出，最初应用 于消费和投资组合的动态随机规划中。经过4 0 多年的发展，布朗运动和正态分 布己经被广泛的应用于b l a c k s c h o l e s 期权定价以模拟资产的收益。但是，通过 对经验数据的分析研究，它们在期权定价和资产收益中的应用却存在两个问题， 首先是资产收益分布的尖峰特征，与正态分布相比，它拥有更高的峰以及两个非 对称的厚尾；其次就是期权定价中的波动微笑特征。自从b s 模型问世以来，有 很多的研究都是通过对以上两个缺陷的改进来修正b l a c k s c h o l e s 公式的。 为解决资产定价中的非对称尖峰特征，出现了一系列的模型。第一种，混沌 理论，不规则布朗运动和稳定过程，主要包括m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) u j ，r o g e r s ( 1 9 9 7 ) 【引，s a m o r o d n i t s k y 和t a q q u ( 1 9 9 4 ) 【9 】；第二种，广义双曲线模型，包括对数t 模 型和对数双曲线模型，主要有b a m d o r f f - n i e l s e n 和s h e p h a r d ( 2 0 0 1 ) ii o , b l a a b e r g 和g o n e d e s ( 1 9 7 4 ) ；第三种，时变布朗运动，c l a r k ( 1 9 7 3 ) 【l2 | ，m a d a n 和s e n e t a ( 1 9 9 0 ) 1 3 1 ，m a d a ne ta 1 ( 1 9 9 8 ) ，以及h e y d e ( 2 0 0 0 ) 1 4 】。但是，这些模型都 很难获得期权定价的解析解。 与此同时，也提出了很多模型解决期权定价中的“波动微笑”，这其中主要包 括随机波动和a r c h 模型、例如h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) 1 6 j ，e n g l e ( 1 9 9 5 ) 【j 川，f o u q u e e ta 1 ( 2 0 0 0 ) ，以及c e v 模型和正态跳跃模型等。虽然这些模型可以比较容易获 得期权定价的解析解，但是它们却很难反映资产收益分布的有偏和尖峰特征。 本文所讨论的连续时间模型是由k o u ( 2 0 0 2 ) 【16 j 提出的一种简单的跳跃扩散 4 第一章绪论 模型。该模型可以为资产收益的有偏尖峰特征和“波动微笑”提供解释。模型由两 个部分组成，一个是符合布朗运动的连续部分，另一个是跳跃规模的对数符合非 对称双指数分布，跳跃时间符合泊松分布的跳跃部分。对于许多的期权定价问题， 它也可以比较容易的得到解析解。 另一方面，随着连续时间金融模型的发展，相应的连续时间金融模型的估计 问题成为研究的热门。这一领域中多数贡献都来自于计量经济学的理论。例如有 关矩的理论以及用于估计连续时间金融模型的参数和非参数方法。这一阶段出现 的新的估计方法主要有：d u f f l e 和s i n g l e t o n 的模拟矩s m m ( s i m u l a t e dm e t h o do f m o m e n t s ) 方法、a i t - s a h a l i a 的极大似然m l e ( m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ) 方 法、s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 对仿射过程基于特征函数的估计方法等。尽管近年来有关 连续时间模型的估计也取得了很大的进展，但其一般的估计方法仍然是高度专业 化的，对于未经特殊训练的人来说，也是很难实施的，一些学者也提出过一些替 代的估计程序，主要有l o ( 1 9 8 8 ) 、h a n s e n 与s c h e i n k m a n ( 1 9 9 5 ) 、a i t s a h a l i a ( 1 9 9 6 、 2 0 0 2 ) 、g a l l a n t 与t a u c h e n ( 1 9 9 6 ) 、s t a n t o n ( 1 9 9 7 ) 、b a n d i 与p h i l l i p s ( 1 9 9 8 、2 0 0 0 ) 、 c h a c k o 与v i c e i r a ( 1 9 9 9 ) 以及s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 。 对于连续时间模型的参数估计，如何从离散取样数据中得到连续时问模型有 效推断是参数估计的最大难题。“马尔可夫链蒙特卡罗”( m a r k o vc h a i nm o n t e c a r l o ，o rm c m c ) 模拟方法是数理统计领域近1 0 年来非常热门的研究领域，这种 方法可以有效地处理高维参数及高维隐含变量的估计问题。上个世纪九十年代， p e d e r s e n ( 1将估计问题作为缺失值问题的 方法出现了，虽然这种方法9 9 5 ) m c m c 不能适应隐含因子，但是，m c m c 模拟方法的发展为含有隐含变量模型的参数估 计提供了解决方案。e r a k e r ( 2 0 0 1 ) 对含有隐含变量的扩散模型估计提出了相应的 解决方案，即在用m c m c 的m h 算法从参数的后验分布中抽取每一组参数样本的 同时，运用m c m c 的g i b b s 算法从隐含变量的后验分布中抽取一组隐含变量。目 前，已经有一些质量很好的文章运用m c m c 方法研究一些计量经济模型，效果非 常好。应用m c m c 方法通常需要较强的贝叶斯( b a y e s ) 分析基础，从而可以针对 问题提出高效率的算法；同时m c m c 方法需要较强编程技巧以解决高质量的计算 问题。m c m c 方法具有以下几个优点：首先，m c m c 方法适用于多变量模型， 其可以避免间接推断方法中由于引入辅助模型而所产生的参数数量大规模增加 的问题；其次，在参数估计的同时，还可以解决隐含变量的滤波和预测问题；第 三，m c m c 方法从参数的条件后验分布来模拟参数值时不需要精确的参数后验分 布：最后，在多变量模型中，各个变量可以非同步取样。 在连续时间领域使用m c m c 方法进行模型估计的研究成果在近几年才出 现，吴振翔和缪柏其( 2 0 0 4 ) 用m c m c 方法来估计上证指数收益率线形扩散方 程中的有关参数，同时采用m o n t ec a r l o 方法给出下一个交易曰收益率的分布， 第一章绪论 并用实际数据检验了其有效性。胡素华、张世英和张彤( 2 0 0 6 a ) 对使用基于m h 算法的m c m c 方法估计连续时间模型进行了总结；胡素华、张世英和张彤 ( 2 0 0 6 b ) 使用m c m c 方法估计了非线性模型正态逆高斯模型( n i g ) 的参 数；胡素华、张世英和张彤( 2 0 0 6 c ) 使用m c m c 方法估计了带有跳跃变量的连 续时间模型。周彦( 2 0 0 7 ) 使用m c m c 估计了随机波动模型和带有跳跃的随机 波动模型的参数。 1 3 研究意义 连续时间的金融模型是近2 0 多年来金融计量分析中比较活跃的研究领域， 其主要研究内容是为各种金融产品价格及其波动性建立模型，使模型能够很好的 模拟各种金融资产的价格及反映收益分布的特性，从而估计和预测金融产品波动 性，规避金融风险，并应用于期权定价以及其他衍生金融产品的定价。 本文的理论意义在于：为了给金融产品价格建立更加有用的模型并提供有效 的估计方法。本文研究了k o u ( 2 0 0 2 ) 提出的一种简单的跳跃扩散模型。该模型 可以为资产收益的有偏尖峰特征和“波动微笑”提供解释。模型由两个部分组成， 一个是符合布朗运动的连续部分，另一个是跳跃规模的对数符合非对称双指数分 布，跳跃时问符合泊松分布的跳跃部分。对于许多的期权定价问题，它也可以比 较容易的得到解析解。但是k o u 在提出该模型的时候，并没有对模型的参数进 行估计，本文所使用的m c m c 方法是近年来比较热门的研究领域，它对于具有 隐含变量的多参数模型估计十分有效。 本文的实践意义在于：我国股票市场的建立已经有十多年的历史了，从股票 市场获得的数据已经足够研究者进行实证分析，用模型对股指数据进行拟合，使 用m c m c 方法对模型的参数进行估计，验证模型有偏及尖峰、厚尾特征，为投 资者提供一种有效的分析工具。 1 4 本文的研究内容与主要创新点 1 4 1 本文的研究内容 第一章主要介绍了本文的研究背景、研究现状和研究意义。分析了金融数量 化的发展趋势、金融系统本身的特性以及对连续时间模型进行研究的意义。并对 连续时间模型领域现阶段的研究现状做了简单的描述。在本章的最后指出本文的 研究内容和主要的创新之处。 第二章的文献综述系统的总结了目前为止连续时间模型及模型估计方法所 6 第一章绪论 取得的主要成就。对主要的连续时间线形模型和连续时间非线形模型进行了较为 全面的论述；同时讨论了连续时间模型的估计方法，比较传统的方法有极大似然 估计和广义矩估计，以及近十多年来出现的估计方法，像模拟矩估计( s m m ) 、 有效矩估计( e m m ) 、经验特征函数估计( e c f ) 和非参数估计( n p e ) ，并指 出了这些估计方法的适用环境和局限性。 第三章主要对参数估计的m c m c 方法进行了论述。首先讨论了马尔可夫蒙 特卡罗( m c m c ) 参数估计的统计学基础，包括参数先验分布和后验分布的确定； 其次举例说明了如何用e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法对连续时间模型进行模型的离 散化；重点讨论了m c m c 方法的两种不同的取样g i b b s 取样和m h 取样的具体 操作过程，并举例说明了g i b b s 取样方法。最后对如何进行参数抽样结果的收敛 性分析进行了论述。 在第四章中，由于本文所讨论的模型是含有隐含跳跃因子的，因此，传统的 m c m c 方法将无法对模型的参数进行估计。首先，论文讨论了非对称双指数跳 跃扩散模型及其特征；其次，根据e r a k e r ( 2 0 0 1 ) 对含有隐含变量的扩散模型估计 提出的解决方案，解决了本文跳跃因子的模拟问题，即在用m c m c 的m h 算法 从参数的后验分布中抽取每一组参数样本的同时，运用m c m c 的g i b b s 算法从 隐含变量的后验分布中抽取一组隐含变量，并且本文使用上海股市的周综合指 数，对模型的参数进行了m c m c 估计。最后，根据估计所得参数，对股市数据 进行模拟并验证模型的尖峰厚尾及有偏性等特征。 有关非对称双指数跳跃扩散模型贝叶斯分析的总结和展望将在第五章中进 行。本文的结构框架如图1 - 1 所示。 1 4 2 本文的主要创新点 1 系统地总结了连续时间模型和参数估计方法的研究进展。 2 首次使用m c m c 方法对非对称双指数跳跃扩散模型进行了参数估计。并 用该模型对上海股市周综合指数进行了模拟，验证了数据的模拟效果，证明了模 型的尖峰厚尾和有偏性等特征。 3 m c m c 算法的计算量非常大，本文使用v c + + 语言编写程序实现了m c m c 算法在计算机上的模拟。 7 第一章绪论 _ - _ _ _ _ _ 一 图1 1 本文的结构框架 8 第二章文献综述 第二章文献综述 2 1 资产收益的连续时间模型 布朗运动和正态分布已经被广泛的应用于b l a c k s c h o l e s 期权定价以模拟资 产的收益。但是，通过对经验数据的分析研究，它们在期权定价和资产收益中的 应用却存在两个问题，首先是资产收益分布的尖峰特征，与正态分布相比，它拥 有更高的峰以及两个非对称的厚尾；其次就是期权定价中的波动微笑特征。自从 b s 模型问世以来，有很多的研究都是通过对以上两个缺陷的改进来修正 b l a c k s c h o l e s 公式的。 为了解决资产定价中的非对称尖峰特征，提出了一系列的模型。第一种，混 沌理论，不规则布郎运动和稳定过程，主要包括m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) ，r o g e r s ( 1 9 9 7 ) ，s a m o r o d n i t s k y 和t a q q u ( 1 9 9 4 ) ；第二种，广义双曲线模型，包括对数 t 模型和对数双曲线模型，主要有b a m d o r f f - n i e l s e n 和s h e p h a r d ( 2 0 0 1 ) ，b l a a b e r g 和g o n e d e s ( 1 9 7 4 ) ：第三种，时变布郎运动，c l a r k ( 1 9 7 3 ) ，m a d a n 和s e n e m ( 1 9 9 0 ) ，m a d a ne ta 1 ( 1 9 9 8 ) ，以及h e y d e ( 2 0 0 0 ) 。但是，这些模型都很难获 得期权定价的解析解。 与此同时，也有很多模型被提出来解决期权定价中的“波动微笑”，这其中主 要包括随机波动和a r c h 模型、例如h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) ，e n g l e ( 1 9 9 5 ) ，f o u q u e e ta 1 ( 2 0 0 0 ) ，以及c e v 模型和正态跳跃模型等。虽然这些模型可以比较容易的 获得期权定价的解析解，但是它们却很难反映资产收益分布有偏的尖峰特征。下 面首先讨论b s 模型。 2 1 1 资产收益模型( b s 模型) m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 、b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 提出了资产收益模型( b s 模型) ， 模型如下， 譬= l 比d t + a d 彬 ( 2 1 ) 其中，s 为资产价格，彬为标准布朗运动，仃为参数。 x c t - 一个随机过程( 形) ，q 呐) ，它在一个微小时间问隔f 之间的变化为形。 9 第二章文献综述 如果 ( 1 ) = o ； ( 2 ) w ：占石。占是一个服从标准正态分布的随机变量，就是说它是从 均值为0 ，方差为1 的标准正态分布中任意抽取的随机值。 ( 3 ) 对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立，这就是独立增量。 如果满足上面三个条件，就称随机变量( 形) ，e 【呐) 的运动遵循( 标准) 维纳过 程或者布朗运动。 根据b s 模型，可以推倒出买入期权的价格。如果一个买入期权，它允许持 有者在时刻t 以事先确定的价格k 买该证券，那么此期权唯一的无套利价格c 是 c = e - e ( s ( ，) 一k ) + = e 一一e ( s ( o ) e w _ k ) + ( 2 2 ) 其中，w 是一个均值参数为( ，一仃2 2 ) ，、方差参数为t t 2 t 的正态随机变量。最后 可以得到著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 c = s ( o ) ( 国) 一k e ( 国一盯以) ( 2 3 ) 其中， ： 功：rf+a2t12-iog(ks(o) c r 4 t 而中f x l 是标准正态分布函数。 资产收益的模型是在严格的假设下提出的，这些假设包括：第一，股票价格 服从对数正态分布，股票收益的方差是常数；第二，股票不会分红；第三，不存 在套利机会，市场无摩擦，买卖股票和期权没有交易费用等等。但是这些理想情 况与现实情况严重背离，自他们之后，众多的研究者对该模型进行了扩展，主要 是从跳跃、随机波动以及收益波动与资产价格的关系三个方面进行了扩展。 2 1 2 资产收益跳跃模型 用几何布朗运动作为证券价格随时间演化的模型有一个缺点，就是它不允许 价格有向上或者向下的不连续跳跃，然而这样的跳跃在实际中又确实存在，所以 考虑在几何布朗运动中加入一些随机的跳跃，以之作为新的价格模型可能会更加 有益。m e l t o n ( 1 9 7 6 ) 【1 7 】扩展了b s 模型，将跳跃时间符合泊松分布，跳跃规模 是标准正态独立同分布变量的跳跃因子引入模型，模型的微分形式如下 i o 第二章文献综述 a 。s , ：研+ a d w , + k 妃 ( 2 4 ) ) f 其中，g ，是强度为兄的泊松过程；k i i d n ( ，占2 ) 为每次跳跃的规模，其中 蟊和万2 分别为跳跃规模的均值和方差。跳跃的引入可以体现资产收益分布的尖 峰和波动微笑的特征，但是由于假定跳跃规模是独立同分布的正态分布，所以并 不能很好的体现收益分布的有偏性。 2 1 3 方差常弹性模型 c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 ) 和c o x ( 1 9 9 6 ) 【1 明提出收益的波动受到资产价格的影响， 但是收益的波动相对于资产价格的弹性不变，而建立了方差常弹性模型，即c e v 模型 d s , = p s | d t + o s ：d w f c 对于c e v 模型而言，当方差弹性y = 1 的时候，该模型就是b s 模型，因此 对于c e v 模型而言，一般不考虑取1 的情况。c e v 模型较b s 模型的优点就是 解决了收益分布非对数正态的假定以及体现了期权定价中的波动微笑特征。另外 c e v 模型没有体现资产收益的尖峰厚尾特征，更准确地说，c e v 模型中的资产 收益分布有比正态分布更瘦的右尾。 c o x 、i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 在用广义均衡资产定价模型来研究利率的期 限结构中提出了c i r 模型，c i r 模型是7 = 去时的c e v 模型，c i r 模型形式如公 式( 2 6 ) 所示。 矗s = 孝( 秒一s ) 衍+ 仃d 彬 ( 2 - 6 ) 2 1 4 随机波动类模型 在b s 模型中，资产收益的均值和方差都是常数，但是现实情况并不是这样。 h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) 给出的平方根随机波动模型1 9 1 鲁如叫) 沈+ 厨彤， d h a v , = ( 口一# l n v , ) a t + 刁( 彬f + 、f i l - p 2 d w 2 ，) 其中，磁和形是相互独立的标准布朗运动，k 为波动过程， ( 2 - 7 ) 参数口，7 体 现了收益分布中的高峰特征：参数p 体现了资产收益的非对称性，即杠杠效应， 第二章文献综述 p 0 收益分布右偏；参数刀体现收益分布的厚尾特征。 另外，依据对波动建模的不同，随机波动模型还可以采用对数方差形式建模， d a s , = ( + c k ) 坊+ 廊彤， q ( 2 - 8 ) d r , = ( 口一p c ) d r + 刁厄( 噬 ，+ 1 - , f 2 - t d ，) 各参数的含义同平方根随机波动模型即公式( 2 7 ) 相同。对数方差随机波 动模型在形式上更加接近于标准离散时间随机波动模型，因而可以直接与离散时 间模型进行比较；但是对数方差形式在衍生资产定价数值计算方面没有平方根方 差形式便利。 随机波动体现了资产收益过程中的高峰特征、收益的非对称( 杠杠效应) 以 及厚尾特征。但是s v 模型的峰度随着取样频率的增加而减少，而这正和资产收 益的经验分布特征正好相反，而加入跳跃就能解决这一问题。b a t e s ( 1 9 9 6 ) 将 收益的跳跃和随机波动结合，提出了随机波动收益跳跃模型，即s v j 模型 d 。s , = ( + c k 一五宏) 功+ 巧0 形，+ k 由j , 5 t ( 2 - 9 ) d r , = ( 口一p v , ) d t + ，7 厄彬f + l p 2 d 吸，) 或 d f s , = ( + c k 一五i ) 疵+ 知形，+ k 妃 o r ( 2 1 0 ) d l l l = ( c t - f l i n v ，) d t + r l ( p d w l ，+ s l - p 2 d ，) 其中，吼是服从强度为五的泊松过程，k ；州( 云，6 2 ) 为每次跳跃的规模， 其中矛和万2 分别为跳跃规模的均值和方差。该模型体现了有偏和高峰特征，更 重要的是，该模型改变了s v 模型只能在存在极高波动风险时才能解释波动微笑 的缺点，在s v j 模型中，只要加入合适的跳跃参数就可以解决波动微笑，跳跃 规模方差的增加可以增大收益分布的两个尾部( 左尾和右尾) ，同时跳跃规模均 值小于0 ，说明左尾较右尾更厚，反之则相反。 由于假定跳跃强度允固定不变不能解释股票价格波动的集聚性， a d e r s e n 、 b e n z o n i 和l u r i d 于2 0 0 1 也提出了s v j 模型，但是其假定跳跃强度为兄( f ) 且旯( f ) 是瞬时方差的仿射函数，且跳跃规模k 服从对数正态分布，即 五( ) 。厶+ i(2-11) h a ( 1 + t c , ) - ( b ( 1 + 矛) 一o 5 8 2 , 万2 ) 1 2 第二章文献综述 其中，i 为跳跃规模的均值，万2 为跳跃规模对数的方差。 d u f l a e 、p a n 及s i n g l e t o n ( 2 0 0 0 ) 提出了收益和波动具有跳跃的两个模型， 一个是收益和波动跳跃同时发生、且两者跳跃规模大小相关的模型( s v c j ) ；另 外一个是收益和波动跳跃独立发生且规模也独立( s v i j ) 。e r a k e r 、j o h a n n e s 和 p o i s o n ( 2 0 0 3 ) 考虑了波动和收益的跳跃效应，相应的收益和波动跳跃模型如下 等2 ( 朋掣) 研+ 厨r + 例 ( 2 1 2 ) 彤= ( 口一形) 功+ 7 7 厄( p d 彤，+ 圻二力，) + 群由? 其中，暇和暖是相互独立的标准布朗运动；酊，是跳跃强度分别为彳，五”的 泊松过程，且与彤和不相关；砰，是收益和波动的跳跃规模，为收益跳 跃的均值：假定参数和初始条件能够保证方程( 2 1 2 ) 的解的存在。 s v i j 模型的收益和波动跳跃分别以强度为，a ”的泊松过程随机达到，其 中，跳跃科e x p ( t ，) ，收益跳跃( 以，蠢) 。s v c j 模型的跳跃具有相同的 到达时间， 即q j = q ? = g r ，相应的跳跃规模为群e x p ( ，v ) 、 f l 群- n ( i z ，+ 乃群，) 。 e r a k e r (