（运筹学与控制论专业论文）一类非线性系统基于有界状态反馈的鲁棒镇定问题.pdf

摘要 本文研究一类菲栽往系统麓于有器狡态反馈的鲁棒镇定阊题，主簧解决 了两个问题：一类非线性离散系统基于有界反馈的奇肄风。控制问题，和一 类菲线性前馈系统基予饱和函数的鲁棒镇定闻驻。 在第二节中主要研究了基于有界控制律的类非线性离散悉统的奇异凰。 控稿 掰遥在系统不满蹩正黧条释静情猿下，分离窭歪翊部分与菲正蠢部分。 我们首先得到了基于有界反馈与二次l y a p u n o v 函数的离散系统奇异五k 闯题 可解羧酶必要条件，然君缭交了系统蒺于有界反馈酶胬鼗系统奇异至k 闻逶 可解性的充分条件，求出的有界控制襻能使得闭环系统在保诞内稳定的条件 下达掰干撬衰滚 在第三节中主要研究基于饱和函数的一类非线性前馈系统的镇定问题用 嵌套镶移控裁箨，寒将类翼鸯交叉臻瓣 线瞧蠢续系统垒是镇定鬟孛予这类 非线性前馈系统不能厢已有的设计方法来镇定，这里我们提供了一种邋用的 控键器来磐决系统翦全局稳定黪闻瑟。这蘸分戆主要缝果是嚣是绘出了系统 稳定所需要的几个引理及其证明，最尉指出系统在控制律下的指数收敛性。 关键运：蠢箨芨绩，毒异魏。控麓，凑教系统，镪霉l 函数，莠摹绩系绞 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e st h er o b u s t l ys t a b i l i t a b l ep r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a r s y s t e m sb a s e do nb o u n d e ds t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a w s ，a n dm a i n l y s o l v e st w o p r o b - l e m s ：s i n g u l a r 如c o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a rd i s c r e t e - t i m es y s t e m s w i t hab o u n d e d c o n t r o l l e r ，a n dr o b u s t l ys t a b i l i t a b l ep r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a r f e e d f o r w a r ds y s t e m s i ns e c t i o n2w em a i n l yd i s c u s st h es i n g u l a r 日o 。c o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so f n o n l i n e a rd i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t hab o u n d e df e e d b a c kc o n t r o ll a w w h e nt h e s y s t e m sd o n ts a t i e j f yt h er e g u l a rc o n d i t i o n ，w ea t t a i no u ra i mb yd i v i d i n gt h er e g - u l a rp a r ta n dt h en o n - r e g u l a rp a r t f i r s t l yw eg e tan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h e s o l v a b l i t i t yo fs i n g u l a r 日矗c o n t r o lp r o b l e m f o rn o n h n e a rd i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t h ab o u n d e d c o n t r o l l e r s e c o n d l yas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es o l v a b l i t i t yo f s i n g u l a r 比c o n t r o lp r o b l e mf o rn o n l i n e a rd i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t hab o u n d e d c o n t r o l l e r i sg i v e n t h eb o u n d e dc o n t r o l l e rw ea t t a i nc a nl e tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e m sr e a c h d i s t u r b i n gd e c a yi nt h ec o n d i t i o no fi n t e r n a ls t a b i l i t y i ns e c t i o n3w e m a i n l yd i s c u s sr o b u s t l ys t a b i l i t a b l ep r o b l e m o fac l a s so ff e e d f o r w a r dn o n l i n e a rs y s t e m sw i t hs a t u r a t i o nf u n c t i o n i nt h i ss e c t i o nw eu s ean e s t e d s a t u r a t i o ns t a b i l i z e rt om a k eac l a s so ff e e d f o r w a r dn o n l i n e a rs y s t e m s g l o b a l l ys t a - b l e h e r ew es h o wau n i v e r s a lc o n t r o l l e rc a nb eu s e dt os o l v et h e p r o b l e mo fg l o b a l s t a b i l i z a t i o nf o rac l a s sf e e d f o r w a r ds y s t e m st h a tc a n n o tb ea d e q u a t e l yc o n t r o l l e d u s i n ge x i s t i n gm e t h o d s t h i sp a r tc o n c l u d e st h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s s o m el e m - h 1 a sa n dt h e i rp r o o f sa r eg i v e nf i r s t l yw h i c ha r en e c e s s a r yt os h o ws y s t e ms t a b l e f i n a l l yw ea d d r e s st h a tt h es y s t e mi se x p o n e n tc o n v e g e n c e k e yw o r d s ：b o u n d e dc o n t r o ll a w ，s i n g u l a r 如c o n t r o l ，d i s c r e t e - t i m es y s t e m ， s a t u r a t i o nf u n c t i o n ，f e e d f o r w a r ds y s t e m 1 概论 1 1 一类毒 线性离散系统基于有界反馈的奇异五k 控制阉题 避年来，非线性控制已成为人嬲关注的焦点。在许多实际控剑翔题中，被控对象变 得越来越复杂，包含各种不确定性西索，因此就要求在控制系统设计中必须考虑系统的 不确定性系统的不确定性包括：被控对象的模型化误差和求知参数不精确，传感器噪 声帮夕 部予撬等等在控裁系统的设计孛往往希鋈浚诗盘来的控铡器箍在毙较大静藏嚣 内使系统满足所期飘的性能指标要求所谓鲁棒，照指系统预期的设计品戚不因不确定 褒豹存在两遽到玻藜黪特整。售薅按糕纛蕊。控割劐宠分考惑熨系统妁各秘不貔定馕， 他们对于非线性系统理论而青是极其薰要的课题，鼠非线性凰。控制理论则称为解决非 线性系统鲁檫控制最系统化的方法之一。 甄。控镧理论是谶年来十分重要的研究方向，它的研究领域及时不变、线往、集中参 数、连续系统向时变、非线性、分布参数、离散、广义系统发展，从l k 最优控制向点k 超键亿控髑发蓑，及常痰爱馈惠双参数控裁、窘适应控翻、分敬控翻发展，与忿霜簿玩。 优化设计还从理论向实用发怒 本文主要游论非线蛙玛。控剃阕趱在一些 线憾玩。按貔方法巾，大帮瓣要灞怒 定的光滑条件和正贝条件，艇控制无约束猩实际二l 二程中，许多系统是非光滑的或不满 足正则条件的( 我们称为奇异峨。控制问题) 且控制匙有约束的( 比如簧求控制律有界) 。 在这稀情流下应研究如何避行菲线佼忍。控嵇是雾战往薛闻麓 不失一般性，恻l 表示向量。的欧氏模，l i z l s 淡示相对于正定矩阵s 的岳模( 即 阁| s = ( 繇) ) ，c r 表示短箨g 翡转萋，天掰f o ) 表示瘫簿c 鹣簸大耪翟篷 本文研究一类非绒性离散系统基于有界反馈的奇辩日矗控制问题考虑下面非线性离 教系统： 。t + 1 2 _ 哇瓴十嚣( 执油十露( 观渤 魂= g ( 轨) 轨+ d ( 机) t 、 其中彤为状态向量，档群c 舻为控制律，t t ) t l 2 ( 豫o o ) ，彤) 为干挽信号黻及 z t r v 为输如我们假定且( 一) ，b ( - ) ，a ( ) 和嚣( ) 均为适当维数的连续矩阵值灏数。 2 0 0 3 华程 1 j 申溥沧了d 溆) 满获情况下系统基予鸯界菠馈嚣二次海稳定滟玩。藏裁 问题的可解性在本文中假定存在包含原点的一个联域可，对v x 秽，有如下非正则条 譬成立： r a n k d ( x t ) 一1 7 , ；1 0 ，有 陋( 刚兰p( 1 2 ) 也就是说，“= f r ”：叫l p ) 我j ：f _ i 希望解决系统( 1 1 ) 的奇异臻。控制问题：设计一个有界控制律钍= 妒( z ) 满足( t , 2 ) 及妒( ) ) = o 使得含裔锄，龟的闭环系统在正不变集纯内酶l 2 增益不大于，f 0 ) ，鄯； 对于v x o 毡有醴下条件戚立； ( i ) z q ，v 20 对于磁、8 殴及l 零懿w ；岛( f o ，。) ，搿) ，蕙意圣。隐1 1 2 妒l o l ；w t 1 2 残立， ( i i i ) 当w 淳0 时原点是渐近稳定的。 注l ：( i i ) 中的7 称为系统的五2 增藏。 注2 ：若0 时，j p 0 ，v = $ r p z 使得矿 o ) ，邸：对 于v x o n ，有以下条件成立： ( i ) z en ，v t 0 ( i i ) 对于v t 0 戳及 零憨w t 三2 ( f o ，o o ) ，r q ) ，总杏圣。隔| 1 2 妄7 2 圣o8 啦| | 2 成立。 ( i i i ) 当”污0 时原点是渐近稳定的 注l ：h ) 孛戆聿稼势系统鲍如瑷兹。 注2 ：若t 蜥_ 0 时，jp 0 ，v = ，p z 使得y 0 ，i 5 瓴t o ) 0 【j d ( ) o l ，当忙o | | 6 ( ，t o ) 【i l x o l i d ( e ) l ，对一切t 芝t o ，有 陋辑t o ，o ) | | 5 否则，弥x 一0 是不稳定的， 孚| 璎2 1c 2 3 j 若存在一个正定函数瞑有无穷小上器的正寇匾麴y ( 幻。) ，使得 矿( 嚣4 ) s0 则( 2 4 ) 式的零解稳定i 一致稳定】 霉| 璞2 。2 【2 3 】若存在正定灏数y 蕊。) ，夔褥 y ( z ) h 4 ) 0 则( 2 4 ) 式的零解渐避稳定 引璎2 3 【2 3 】若存在具有无穷小上界的正寇函数y ( t ，# ) ，使得y ( g ) b 4 ) 负定，则( 2 4 ) 式的零解一致渐近稳定 引璎2 4 【2 5 】对给定的对称矩阵 s = 乏) 其中岛1 是r r 维的以下三个条件是等价的： ( i ) s o ； ( i i ) 岛1 0 ，是2 一强1 s 1 2 o ； ( i i i ) 魂2 0 ，s n s 1 2 s 暑岛 o ； 季l 璞2 5 【2 翻，f 2 7 】蠢是n 除可逆矩陈，西y x m 汹。) ，f 是m 簖蕈位短阵。若 v 7 a 一1 u 一非奇异，则a u v t 可逆。且 f a 一矿y r ) 一1 = 一1 一a 一1 u ( v 7 1 a f n v t a 一1 特别地，j 4 是n 阶可逆矩阵，u ，v c “( n m ) ，q 是m 阶可逆矩阵。若y 丁a u q 非奇异，则a u q 。v 7 可逆，且 ( a u 0 1 v t ) 一1 = a 一1 一a 一1 u ( v r a 一1 u q ) 1 v t a 一1 2 3 主要结果 这一部分主要讨论系统( 2 1 ) 基于有界反馈且闭环二次内稳定的奇异日o 。控制问题 的可解性讨论以下系统： x ，t + lm = a ( 、x d x t ：熙u t + e ( 吼) 毗 ( 2 6 ) = g 扣) 现+ d ( 吼) 札t r 7 在第二部分定义以及假定下，我们作变换啦= 卢( 轨) 饥，卢( 觑) = 洒( 吼) 阮( 观) ) ，毗：( 吨t ) 可以将系统( 2 6 ) 改写： x t + l = a ( 魂) 观+ b 1 ( 轨) n + b 2 ( ) ”乳十目( 既) z t = g ( $ ) 。f + k ( z ) 口l t 这里， b l ( 砘) = b ( 观) 卢1 ( 观) ，b 2 ( 观) = b ( x t ) 岛( 吼) ，u l t = 卯( 轨u ，= 阿( 娩) 饥 再设控制律v l t = q _ 1 ( 缸) v 3 t ，则系统变成： 这时有 x ，t + 一l = a ( x ，t ) x 。t + b l ( x t 一) q 1r - ，1 ( x t ) ”3 t + b 2 ( 如十酬妣 (27)k(= g ( 轨) 础+ x t ) q 一1 ( ) v 3 盈j j 2 = x t c t ( 茁t ) g ( 规) 观+ 弼p 一1 ( 魏) 爿7 丁( z ) k ( a ) q 一1 ( z c ) v 3 t + 2 运1 0 1 ( ) 耳r ( 轨) e ( 轧) 趣 = x t c t ( z t ) g ( z t ) z + v t q 一1 ( z t ) 彤t ( 茁t ) k ( z t ) q 一1 ( z t ) v 3 = z ，c t ( g ( 轨) 札+ 嵋1 ) 3 t 控制律v t = ( ”五谚) r 且满秩下面我们主要寻找控制律为 仇= ( 芝：) = ( 窆 薹；) = c 乳，1 1 , 1 1 。 2 ) 一( 塞) 咖勰 ( 等二芸：簧茏：塞荨：髫) 。碍一墙r i l 霹风一凰r i l 霹7 。 ( 2 1 2 ) 啊= p 4 一墙何1 礤，= 岛一r 5 r _ 1 r 手，w 3 = r 2 r 5 h i - 1 r 手 ( 2 1 3 ) 即有 而且和w ，3 正定 ( 孵w 3 嚣) 。 皿均 将”代入，整理，记茸= 8 1 一r 5 r 1 8 3 十岛加一r 5 r i - 1 风曲2 ，配方有 2 口( 。) + 蟛t 3 + 2 毋 i + 西( 风一风r i l n ) 2 十2 ；( s 2 r 6 h i - l s 3 ) 一s r i l s 3 = 口扛) + ( 也+ w 3 - 1 习丁w 3 ( 曲3 + w - 1 功一尹w f l ；+ 西彳( r 4 一n 6 n i - 1 礤) 如 + 2 谚( 3 2 一r 6 r i l s 3 ) 一s 手r i l s 3 口( z ) 一矿w 彳1 i + 2 t m 加+ 2 妒 ( s 2 一哦r i l s 3 ) 一s r i l s 3 这时知蹦= 一w 彳1 瓦再将蝣代入，记 1 = w 1 一w w i l = r 4 一j 站r f l 曩f 一( 兄3 一只5 r f l 礤) t ( r 2 一r 5 r f l r ) 一1 ( r 3 一岛r f l 兄手) 1 0 结合( 2 1 2 ) ，由s c h u r 补性质得到矩阵尬正定。 又记i = s 2 一墙r i l s 3 一( r 3 一r 5 r i l 礤) 7 ( r 2 一r 5 何1 r ) 一1 ( s 1 一飚r i l s 3 ) ，整理，有 h ( x ，廿，w 曲) = 盯( z ) + c t m l d p 2 + 2 醒拿一( s 1 一r 5 r f l s 3 ) r 五一1 ( 5 1 一r 5 r f l s 3 ) 一s 手r f l 8 3 = 口( z ) + ( 咖2 + m f l 司7 炳( 咖2 + 叮1 回一扩肘f l i 一( 8 1 一r 5 r f l 8 3 ) r w 了1 ( s 1 一r 5 r f l s 3 ) 一s ；兄f l s 3 盯( 。) 一铲且d r l 拿一( 8 1 一r 5 r f l 8 3 ) t l l 字1 ( 8 1 一r 5 r f l 8 3 ) 一8 3 r r i - 1 s 3 ( 2 1 5 ) 这里有粥= 一m i - 1 置运用逆矩阵引理，且将所设量代入，计算下列矩阵以及向量，得 w 9 1 = ( r 2 一r 5 r i l r ) 一1 = 口+ q 一1 b t ( p p e ( e 丁p e 一, y 2 ) 一1 e t p ) b 1 q 一1 一1( 2 1 6 ) = 口+ q - i b t ( p 一1 一击f e t ) 一1 b l q 一1 】1 乱枷艘一船：罢一- ，1 b t i p - p e ( e t p e 一- 。, 7 2 b t ( p 嘉e e t ) a z d 。1 删如 ( 2 1 7 ) = q 一1一 一1 、7 = r 3 一凰r _ 1 胃= q b t p 一册( 矿阳一7 2 1 ) e t p b 2 = q - 1 b ( p 一1 一击e e t ) 一1 8 2 = ( 啊一w 2 r w e l w j ) 一1 = ( b 手【( p 一1 一击e e t ) 一1 一( p 一1 一古e e t ) 一1 8 1 q 一1 w 9 1 q 一1 b t i ( p 一1 一专e 上尹) 一1 】b 2 ) 一1 = b t ( p 一1 一击e 矿+ b i q 一1 q 一1 b f ) 一1 b 2 ) 一1 = f b l o b s 一1 盯0 ) 一s 手r f l s 3 = x r ( 一p + g t g ) 茗+ z t a t ( 尸一1 一击e e t ) 一1 a x ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 芎= 8 2 一风r f l s 3 一( r 3 一r 5 r f l r 手) t l 千彳1 ( s 1 一r 5 r f l s 3 ) = 巧 ( p 一1 一专e j 声) 一1 一( p 一1 一击e j 尹) 一1 8 1 q 一1 【j + q 一1 b t ( p l 一击e e t ) 一1 b l o 一1 o 一1 b t 士e e t ) 一1 a z = b t ( p 一1 一士e j 尹+ b i q 一1 q 一1 b t ) 一1 a = b 芗q a x ( 2 2 0 ) 将( 2 ，1 6 ) 一( 2 2 0 ) 代入( 2 i s ) ，可以得到 h 0 ，毋，叫曲) x t ( - p + c r c ) x + 。f 4 r 哼一百b 2 ( b 审b 2 ) 一1 b q i a x( 2 2 1 ) 其中国= ( p 一1 一击e e r + b l q 一1 q 一1 b t ) 一1 结合( 2 1 0 ) ，对于比舀，证得不等式( 2 9 ) 成立 定理2 1 证毕。 口 下面我们证明对任何一个包含原点的区域g 1c 召，对于v x g 1 来说，( 2 8 ) ( 2 9 ) 是闭环系统( 2 7 ) 在工2 增益不大于7 且在有界状态反馈f - 次内稳定的充分条件 定理2 2在区域g 】中，若存在一个正定矩阵p ，存在一个咒类函数n ，使得( 2 8 ) 一( 2 9 ) 对于v x g 1 恒成立如果控制律矿( ) 满足i 妒( 。) 0sp ，v z g lc 可这里 州z ，一( 一。0 譬蒜学搿蒜町，一i 嚣鬻菩广1 ) ( q 剧- 1 b 。) s a z ( 2 2 2 。) 其中s ：= ( p 一击e e r ) ，且m ，w j ，如( 2 1 3 ) 式所示 则闭环系统( 2 7 ) 在三2 增益不大于7 且在有界状态反馈矿( z ) 下是二次内稳定的 证明：由定义2 3 ，我们只需证明： 令 h ( x ，曲4 ( z ) ， ) 兰一a ( i i z l | ) ，v x g i ，v w r 4 - p + ：= ( ) = ( 兰) = 由矩阵 ( 胃r 2 风r 3 ) 正定，又由r 1 负定，利用( 2 1 1 ) 容易验证矿是h 的鞍点，即满足 h ( x ，“+ ， ) h ( x ，“8 ，枷+ ) 为了找出矿( z ) 的具体表达式，我们用初等变换法来找r 一1 - 从而 r 一1 r 2 r 3 r 5 霹r 4 如i i 礤礤r ，i 1 w i l w 2 0 010 何1 碍_ 1 礤j j o r i l 礤 m 3m i 尬m 1 m jm i 孵 何1 礤 0 o l _ i o 耳蟹，i 五i ，霹 孵 1 2 一盱1 w j 町1 m _ l 0 ( 2 2 3 ) f 2 2 4 1 w j0 坼一呀盱1 oi 何，瑶， 啪耻掣 去。 瑶) 0，一：， 。何尬慨州 其中m l = ( 飘一吩甄1 鹦一l 如= 一甄阮一孵町1 瓤) ， m 3 黜( w a w 勺w ，f l w 可) 一l ， 矗= 一w 31 r 5 r r l 一w 彳1 w 2 m 1 ( 吩w 9 1 r 5 r f l 一矗6 r f l ) 捣一( w 1 一孵甄1 弧) 一1 ( 孵甄1 琢珂1 一a 6 r ；- 1 ) 将r 。代入( 2 2 1 ) 式，有 呓= 一( m s q 一1 霹一磁霹) 船z ，噶= 一( 托0 。廖 一硒霹) 5 a x + = 一( r i l 8 3 一r i l 矗和；r f l 礤口；) 显然 矿一( v i ) 这辩整壤，噶芦+ 霉l ( 2 2 3 ) 毒徒入( 2 t 1 ) 式；霹淡褥刭 日c 茁，u 十，w + ，= 盯c 茹，+ 。s r ( 兰) 十c 嵋t ”；ru ；丁，r ( 兰) = x t a ? ( 奄一q b 2 ( b 芗q b 2 ) 一1 b t o ) a p 十c r c x 结会( 2 ，9 ) ，( 2 ，2 2 ) 以及袭孚孛| | 矿| | sp ，郄迁褥对v x g 1 ，h ( x ，矿( 。) ，) 一a ( i l x l l ) 成立。 定理2 2 证毕。 口 警最饶控麓律矿黪虢入容许巢g l = 虿对，定壤2 1 积定理2 2 合并麓成了在l 2 增益不大于7 且在有界状态反馈下闭环系统( 2 7 ) 是二次内稳定的充要条件然而当g 1 为舀戆妻子嫠辩，巍善g l 瓣| t 4 , * t | p 残交，当。硪o 1 辩| | 参+ | | p 凌变。这辩耱要 将飘g ，中的控制律进行适当的修正，使得撒制律属于容许隳甜，即为有界控制律柱区 域g 2 ：= 孕8 l 中，设妒( 。) = p l 妙( z ) 歉则虫扩h p ，褥到黻。) 兰1 这对装选择 曲+ ( 。) = p ( ) 曲+ ( )( 2 2 5 ) 羽有| 妙+ ( z ) p ，邵矿c “，这铎我霈j 就达到了西静。 定理2 3 在区域百中，若存在卟正定矩阵p ，存在一个k 类函数n ，使得对v z 百， 专不等式2 8 ) 式戳及下瑟式子讴残立： 茹r ( 4 了s z + p 2 肘孑( ，+ q 一1 b t s b , q 一1 ) m s + s - t o b 2 ( b t q b 2 ) 一1 ( 四尹s b 2 ) ( b t ( 2 8 2 ) 一1 b 尹囝f 一1 一6 t “2 t j 一2 p s 一1 b 2 嚣芗奄b 2 ) 磅+ 期手0 1 s l l s 矗一p + c ? e ) z曼舔。 ( 2 2 6 ) 1 3 箕专醚6 = 曦q 。暌+ 蠼壤 则谯区域搿中，在2 增益不大于1 且在有界反馈庐( 。) 下i 羽环系统( 2 7 ) 魑二次内稳定 翦，其中 弛) = 勰，当。x e 啉g 1 i i , 协2 7 ) 这羼矿( 茁) ，矿+ ( z ) 分舅如( 2 2 2 ) 和( 2 2 5 ) 所示 证明：当g l 时，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 等价，从而由定理2 2 知控制律矿( z ) 寿界且保证 系统的二次内稳定佼下面廷需证明对予v r v ，v z g 2 ，有群( # ，矿， ) 一d ( 1 l x l l ) 即可与定理2 1 计算类似， 日( g ，u ， f f d u ) ：一m a x h ( x ，u ，w ) 嚣榉经过求馨，褥臻= 一霆f 1 ( s 3 十罐瓷 霹目3 ) 由( 2 2 5 ) 式，有 一一( 如q 1 b f 十孵b 手) s a x ， = ( m 2 q 一1 口 十m 1 b t ) s a x ， 将笑代入( 2 。1 1 ) 式，褥囊 经计算 h ( x ，”w 4 , - ) = 盯( z ) 十( 瞒) r ( 嬲) + 2 ( 瞒) t i 十( m 2 ) t 毗( 刖) + 2 ( 瞒) r ( 观一轰鑫嚣f 1 两；一s 蠢f 1 $ 3 = 口 ) + 矿( 嵋) 7 巩喵+ 2 p ( 嵋) 丁芎+ 矿( 口；) r 眦啦 + 2 产( 呓) r ( 嚣2 一丑6 r i l s 3 ) 一喜参置f 1 龅 m 2 q 。壤七醚l 壤一 - ( w 1 - 譬照芝孵町1 q 。霹+ 露)江2 9 ) ( b t q b 2 ) 一1 嬲百s 1 。叫 并设m 6 = 再如q 一1 砑+ 霹璐，这时将喀噶，及( 2 1 6 ) 一( 2 。2 0 ) ，( 2 2 9 ) 代入( 2 2 8 ) ，有 茸知，多“，w e * ) = z r r s ，f m 手( ，十q - t b t s b l q 1 ) 慨十s - 1 百曰。( 蟹 胁) 一1 ( b t s b 2 ) ( 霹百b 2 ) 一1 砑亩s l 一2 a ? 嚣手】一2 p s 一1 q b 2 ( b t o , a 2 ) 一1 嚣手+ m q 一1 b t s a x + 茹r ( p + c r g ) 茹+ 嚣f 建r s a 。 由( 2 , 2 6 ) ，定理2 3 得证 口 1 4 3 一类毒隧笺性前缓系统藜于饱和函数豹鲁棒镇定问题 零章我锻怒嵌套键农控刽昝，寒将一类其蠢交叉域斡菲线性蓑锬系统全妫镇定。对予 这炎非线性前馈系统不能厢已有的设计方法来镇定，这里我们提供了一种通用的控制器 来勰决系统的全局稳定的阐题。 3 i l 引吉 目扶t e e l 的工作( 2 1 【4 】) 之后，非线性黼馈系缆的全局谣定同蹶已经引起7 控制界 足够翦重视毡所研究匏翦馈线性系统的形式如下： f 节z i 豢? - 其中“是饱和函数的一个组合( 【2 】) ： 鞋= 一疗h ( 舀；+ 再l - 1 f 赫l 1 + + 玎l f 嚣1 ) ， )f 3 2 1 争f 对于各种前馈系统，众局镇定前馈控制器的设计方法方面已经省大量的结果其中 嵌粪谗帮设诗( 藩，降| ) 莘拜基于l y a p u n o v 黼数静蘸海设诗( 溺f 7 l ，际f 9 l 】f 1 0 】) 是最重簧酶 也魁最有力的设计方法。这些设计方法的优越性在于它们不仅对于众局镇定的前馈控制 律瓣设诗搀供了一个翟】亭豫熬终系，恧量纛凝诗方瓣充努考虑了 线性对系绫懿影滤。 在研究方面基本上都是利用某些三角结构来考虑系统的微分方程绪构的特点可以分为 两类：上三受缩搀魏下三禽结构w ，l i n 秘c q i a n 在1 9 9 9 奄三的工传放宽了他们1 9 9 8 年 工俸中的充娶条件，运霜递归设计穗序来完成小的状态控制律的设计，使褥通过它米对 更广泛的上三角非线性系统进行全局镇定( 9 1 ) f r e d e r i cm a z e n c 和l a u r e n tp r a l y 则是添 鸯l 狡分器来完成对1 ；辇馈系统辩镇定( f l o ；。2 0 0 3 年y e ( i n 研究辩下菲线稳藏馈系统： 鲁裟z 2 + 妒l ( 。3 ，寓n ，札) 案一2 3 + 张扫4 ，“) ： ( 3 , 3 ) 警= 魏十一l ( h j 分一钍 这璧豫在零熹懿馥坞为0 并显关予零熹都艇局部l i p s c h i t z 连续酶，i = 1 ，2 ，1 它所运用的饱和函数“也如( 3 2 ) 所示 1 5 3 2 阉题的提法及基本概念 奁本文中我嚣l 整系缀( 3 3 ) 中黪线黩埂改变为菲线黢凄，虽在后垂嚣线性矮孛麓入交叉 项，即所研究的是如下非线性前馈系统： - ，筠l ，钍， ，z n ，j ； ( 3 4 ) d x l n l _ 一l = 。心一1 ( $ ) + 一1 ( 。，“) 馨= 晶( ”) 这里z = 5 9 1 ，z 2 ，z 。】t r ”是状态向量，最( s ) 在它的定义域照光滑且解析的，对 i 一1 ，2 ，n ，都有趣( o ) = 0 ，且妒t 是连续w 微的它在零点是局部l i p s c h i t z 连续的， 且农零点的值均为零换句话说，郎存在q 和n 使得下面不等式戚立： | ( 。，+ l ，。k ，杠) is 以( | 。“2 i + + | 茹。| + b 1 ) ( 0 + 锄 其中对于i = 1 ，2 ，n ，都有m “ + 1 | ，i 。，川) s 啦 我们簧露一个通曩懿德帮控制缮寒将上述嚣线性翦续系统( 3 ，4 ) 在零点达到全局镇定 令轨= 碍( o ) ，可以得到最( 8 ) = 风s 十， ( 3 ) ，且存在讹和矾使得 | 矗( s ) | 瓠| s 尹，当l s l 瑶对 系统( 3 4 ) 就可以写成： j 爹三芝耋：2 ：耄；：篡墨：i ：窦： l 垂麓f 1 = k 一1 。+ ，n l ( z 。) 十妒。一。( $ 。，“) l 势= 强n + 矗( u ) 令( z 1 ，。 + 2 ，。”，u ) 在 + l 处求导，可以得到 妒i ( j + l ，嚣 + 2 ，。，露”，钍) = x ( x i + 1 ) x ( 2 ；+ 1 ) = 落茹i + l + 五( 嚣 中1 ) 这里五十1 ) 是变量搿件l 的非线性项从噼的特性知，存在黼；和鼠使得 1 7 j ( s ) l 7 藏 s | 2 巍| s f 蠢时 则存在a ：翔照，概使得 f 庐 1 ( z i + 1 ，嚣+ 2 ，_ w “) f n l ( | 吼+ 1 十+ | 。h i + f t 。f ) 趣孤 2 3 江扛魄脚 + 十 曲曲睁睁酸碍 = i | 纽靠訾 8 7 j 鼢 黠i l ，2 ，一l ，都骞m a x l 藏+ l l ，；| 。 ，吲 s 趣躐立 妒i 2 f 茹抖勰+ 3 ，坼；，钍) 建( j 翰十2 | + 。+ | 岛；| + | 珏矜 ( 3 9 ) 对i = l ，2 + ，一l ，都有m “ 陬+ 2 l ，+ ，l 嘲| ，叫) 曼堍成立 于怒鼗翘可璐分别姆毪。，夏( 件1 ) 秘魂。蚺l ，五( 。刚) 台并，可以糯寂静得到c - z i + l 和 g l ( x l 十1 ) 这里 盘= 堍十毽 承 z i + 1 ) 一泰( 滞“1 ) + ，i 瓤+ 1 ) 德篦对t l ，2 ，朽，都有岛0 成立 黧襻客啦襁壤，使缮t 汝0 ) | 藏 s 2 姿 s | 竖壤麓 邃麓癌= m 8 x ，蕊) ，壤一m i n 嚣i ，甏 强系统f 3 , 4 ) 获写戏： 警嚣趣鬈2 + g l ( x 2 ) + 黜妒1 1 ( 霉2 ，茹3 ，搿，珏) 十妒1 2 ( z 3 ， 鲁= 句勰+ 魏( 鞠) + 嚣3 张l ( 茹3 ，瓢，搿，髓) + 泡2 ( 瓢， 曼鼋尹= 一l 十如一l ( ) + 茹。1 l ( z # ，狂) 魄一鞠( 嚣) 爱一t + 瓤( ) 褒崧考虑下蠢臻往懋檬交换； 觚= 壶戋酗 ( 3 ，l 秘 ( 3 ；1 1 ) ( 3 1 2 ) 这骥霹一弭熹臻乒t 是拣鬃嚣索。注意封。j z n 一 必号州，。，孙青关，弼辩存在幂袄 赣予s 静爰熬甄；一； 0 ，袋得。 i 孙一 l 弱一羽铷一i + + l y 。1 ) ，i = 0 ，1 ，。，n 一1 0 1 l ? i 姆 譬 一 r警：； ! s 叫盖 l 一 垒7堡?：堡 ； ；| ，。 l “ 磊? 击 ， 筹 i | 、ll，|，ll，l|， 礁；辩；轨 ，。，。，。，。，。， 事实上 一”- + + = ；i ：c “n _ i f c 。n z 。+ + ( c ，, _ l l c 。x n l - - 譬。) + 去z 。 =嵩斋s-“w-xn_i_l+鲨an-i+删2c一未亍铀时十掣0 0 o 痂o 。 = 薹娶南。：薹采南。1 = 轰蒜b s 警岫+ ， 根据( 3 1 1 ) 得到 这里 ( 3 1 5 ) = j 壹= o 鬟譬 = u + 如( u ) + 塞蒜譬 3 杰【者妥岫+ 1 + “+ 装埘。) + 去水)( 3 1 6 ) + c n - 竺j i + l 1 o n z n j 十l 庐( n 一) 1 0 n 一+ l ，。一，+ 2 ，2 n ，“) + 杀芸等去咖( 。吲2 ( z 叫+ 2 ，“) 】 = e 吉( j + 1 十+ ) + u + g n t + 蛋。一i 戗一t = i 1 鲰( “) 十j = l 凹9 鼽一， 和 味t = 喜苦妥【：。n - j + l ) 1 ( 钆川隔一，。) 十圭者妥咿( 铀一训 我们用嵌套饱和函数 其中 “= 一；( + 一1 ( 一1 + + 口1 ( 9 1 ) ) ) a t c z ，= f 。三。，：耋i i z 。l i _ e 。o 。时 寸 5 1 = i 2 = ( j ) “一1 e 。 ( 3 1 7 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 予麓自“稻吼豹定义缮蘩系统( 3 。1 1 ) 改写藏薅下影式； + 3 ”口k ( 掣n 十( 7 n 一】( n l + 十o - 1 ( 轳1 ) - - ) ) 】十c 1 + 垂l y n 乎矗( 蛰；+ 舀；一l ( 鼙n l + + 锄爹1 ) ，- ) 楚+ 弱+ 圣2 褒在我幻约主要髫憨就是要强撬出一个楚褥袭统( 3 2 1 ) 全羼稳定戆标鳖。1 3 3 主要结果 在这一部分，我们曾先给出厝面定理所需的几个关键引理 善| 遴3 。1 潞予i = 0 ，1 ，雄一1 ，热榘 i u i 鬟0 n ，i x n - j + l l s j ，j = 1 ，2 ，i m a x l z n 一+ 1 | ，汪h ，l u t a 。一。 m a x l z n t 十2j ，i 。j ，j j ) s 一l 簌 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 蜥一，苣r 叫2 鲰一j ：，f 曼；e 。一，j = 0 ，1 ，i 一1 ( 3 2 4 ) 簧l 存在两个不藩穰予黪常数矗程毯，霞褥 j ( k i i a e 1 + 杀，i 垂。一i i 鼠e 1 + 鲁 f 3 2 5 1 证嗡： 曾先我霄】来说瞬l 瓯一舀和i 量。菇静宥界性事实上，由( 3 1 0 ) 和强1 7 ) ，褥到 i z 毒魏o ) + i i 耋善孙一1 ( ) + ，十| j 安乳一：( 翰蚌，) | s 嚣阻1 2 + 拯c n _ 1 - - i 誉c n s 童nf z n 1 2 + + c 鲰n - 一i4 , , 口c n e 2 nf 嚣。一件lf 2 ( 3 2 6 ) s 肘j j ( 1 训2 + ：l ”| 2 + 十j i z 。一“1 1 2 ) 其中螈一，一m a x f 器，避c n - l e n ，尝罴 ，j = i ，t 阻t l 蔓睽。：x n 咿1 ) l ，乱卅睽叫。( n ) f + j 靠5 j z ? 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