（运筹学与控制论专业论文）高维半线性双曲方程的精确能控性问题.pdf

摘要 在这篇文章中，我们得弼了j # 线性函数在羌穷远处超线瞧增长时一类裔 维半线性澈曲方程的整体精确能控性。我们通过对具无界势的线性( 高维) 双 蓝方程建立了一个重要的显式的能观性估计来实现的。而能观性估计是通避 一令逐熹镰谤秘一令双麓微分篓子戆熬漆c a r l e m a n 嫠焦谤戆续会，及关于辅麓 最优控制闷题的最优解的正翼q 性韵分析得到的。 关键谰：精确能控，半线性双曲方程，超线性增长，能观性，熬体c a r l e m a n 烈 估计。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eo b t a i nt h eg l o b a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rac l a s so fm u l t i d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n sw i t has u p e r l i n e a rn o n l i n e a r i t y f o rt h i s p u r p o s e , w ee s t a b l i s hac r u c i a le x p l i c i to b s e r v a b i l i t ye s t i m a t ef o r t h el i n e a r ( m u l t i d i m e n s i o n a l ) h y p e r b o l i ee q u a t i o nw i t ha l lu n b o u n d e dp o t e n t i a l s u c ha ne s t i m a t e i so b t a i n e db yac o m b i n a t i o no fap o i n t w i s ee s t i m a t ea n dag l o b a lc a r l e m a ne s t i m a t ef o rt h eh y p e r b o l i cd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，a n da l la n a l y s i so nt h er e g u l a r i t yo f t h eo p t i m a ls o l u t i o nt o 孤a u x i l i a r yo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m k e yw o r d s e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y , s e m i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n ，s u p e r l i n e a rg r o w t h ，o b s e r v a b i l i t y , g l o b a lc a r l e m a ne s t i m a t e 1 1 致谢 本文是在导师张旭教授的悉心指导下完成的在三年的学习生活中，导师 在学习、生活、研究等方面给予了作者很多帮助、教诲和鼓励。在此，作者向 他表示深深的谢意。 本文还得到了国家自然科学基金( 编号：1 0 3 7 1 0 8 4 ) 和全国优秀博士学位论 文作者专项资金资助项目( 编号：2 0 0 11 9 ) 的资助，在此一并致谢。 四川大学硕士学位论文 运 l 孳l 砉 令r 0 ，q c 料枷n ) 是个给定的有界区域，它的边界r 垒勰c 2 。 e = ( 0 ，t ) xq ，= ( 0 ，t ) f 令是q 的一个适当的非空开子集，记地为。的特征函数。今膝，对任何集合 m c 囊妒窝5 0 ，我销运 v d m ) = z 觥ii 嚣一z 7 i 0 ， 8 巧( 。) 蠡白多薛尸， v 扛，) u x 护 2 j 这里一( l ，靠) 。貔们定义一个微分算予p 如下 p y 垒融( n ”( 譬) 瓤) ， 接下来，我们固定一个函数，( ) c 1 ( r ) ，它满足下面的条件： 面j 坠：0 一。c 8 、l n1 s 四川大学硕士学位论文 注意到上面的函数厂( ) 可以有一个超线性增长。我们考虑下面的具内部局部控 制器u 的受控的半线性双曲方程： lp 可= s ( v ) + ) ( 。( 。) 7 ( t ，茗) 在q 中， y = 0 在上， ( 5 ) l ( o ) = y o ，y t ( o ) = y l 在q 中 在( 5 ) 中，( ( ，) ，玑( ，- ) ) 是系统的状态，1 ( t ，- ) 是系统的控制，它通过q 的子 集u 作用于系统。在本文中，我们选取系统( 5 ) 的状态空间和控制空间分别为 硪( q ) l 2 ( q ) 和l 2 ( ( o ，t ) u ) 。需要指出的是关于这些空间的选取不是唯一 的。但对于双曲方程来说，这是十分自然的。空间弼( q ) l 2 ( q ) 经常被称为有 限能量空间。对任意的( 珈，y 1 ) 日0 ( q ) l 2 ( q ) 和1 l 2 ( ( o ，t ) q ) ，用【3 】中 的方法，在( 1 h 2 ) 和( 4 ) 并且，( ) c 1 ( r ) 的假定下，我们可证明( 5 ) 整体存在唯 一一个弱解y c ( o ，卅；珊( n ) ) nc 1 ( o t j ；l 2 ( n ) ) 。 这篇文章的主要目的是研究( 5 ) 的整体精确能控性问题。确切地说，就是对 任意给定s j ( y o ，玑) ，( z 0 ，2 ：1 ) 础( q ) l 2 ( g t ) ，存在控制7 l 2 ( ( o ，t ) u ) 使 得系统( 5 ) 的相应的弱解y 满足 g ( t ) 一z o ，轨( t ) = z l 在o 中 ( 6 ) 关于线性双曲方程( 例如在( 5 ) 中，( ) 为线性函数或，( ) - - - - 0 ) 的精确能 控性已经研究的相当清楚。( 参见： 1 ，【1 8 】和 2 u ) 关于非线性双曲方程的精确能控性问题的研究开始与6 0 年代。早期的著 作，包括 4 】，【5 】， 7 】等等，主要集【| j 在对局部能控性问题的研究，即在关于初 值或终值的, h f c j 假定条件下证明的能控性。在 2 8 中，对任何n 1 及关- j 二 e 线性项，( ) 的一个非常_ 1 般的假定下( ，( ) 可以满足局部l i p s c h i t z 连续) ，我们 可得到半线性波方程即( 5 ) 中( 护) 。= ，的局部精确能控性。关于拟线性双曲 系统的局部能控忡结果我们可以参考 1 6 1 及其中引用的参考文献。 在假定( n u ) 。= j 以及非线性项，( ) 是整体l i p s c h i t z 连续的情况下，义 2 四川大学硕士学位论丈 3 献【1 2 】和【2 9 】给出了系统( 5 ) 的整体精确能控性结果。近年来，关于问遥( 5 ) 的研 究可以参考【2 3 】9 1 1 2 4 至于，( ) 是次线性增长的情形，系统( 5 ) 的整体精确能 控可以参考【2 2 】。 至于，( - ) 在无穷远处超线性增长的情形，除了一维的情况外( a p n = 1 ) ， 关于半线性双曲方程( 5 ) 的整体精确能控性问题，应该说人1 t t 解的还很肤浅。 对于一维的相关结果我们可以参考 2 】，【6 】，f 1 9 和【3 0 】。据作者所知，仅有文 献【1 5 】讨论了高维系统( 5 ) 的整体精确能控性。通过假定( o 巧) 。= i ，u = o d r ) n n 及对某个6 0 【1 s 】证明了，( ) 在满足( 4 ) 的情况下( 5 ) 是精确能控的。 在这篇文章中，我们将考虑更为一般的情况。而且，本篇文章所采用的方法完 全不同于【1 5 】。 为了得到( 5 ) 的( 精确) 能控，通过熟知的对偶理论( 可参见【1 8 】，【1 7 ，p 2 8 2 ， 引理2 4 】帛t 1 1 2 6 ，p 1 9 ，定理3 2 】) ，我们只需要考虑线性化系统( 5 ) 的对偶系统： lp 叫= q w 在q 中， 叫= 0在e 中， ( 7 ) l ( ( o ) ，w t ( o ) ) = ( 3 0 ，w 1 ) l 2 ( q ) j 丁一1 ( q ) 这里口属于某个空间( 一般比l 。( q ) 大的多) 。通过在半群理论( 【2 0 】) 中标准的 插值定理，对于一个适当的q ，比如q l 。( 0 ，丁；l ”( q ) ) ，( 7 ) 在下面的空间中 有良好的定义； h 垒g ( o ，卅；l 2 ( q ) ) ng 1 ( o ，t 】；h _ 1 ( q ) ) ( 8 ) 同【3 0 】和【1 5 】类似，上面的能控性问题可降低为得到系统( 7 ) 的一个显式的能观 性估计。就是说，我们期望可以找到个常数c ( q ) 0 使得( 7 ) 的所有弱解w 满 足 i ( 咖，“砒2 妒1 呲锕n x 一，t f 9 1 v ( w o ，1 1 3 i ) l 2 ( n ) h _ 1 ( q ) 通过q 适当的范数得到的c ( q ) 的显式付l 计是这篇文章r i l 的一个关键成分。类似的 问题对于( n ) 。= j 和有界势q 的情况在【2 3 卜【2 4 】中已讨论。然而，对于现在的 四川大学硕士学位论文 4 情况我们不能假定( 7 ) 中的口是有界的，因为我们没有假定( 5 ) 中的非线性项，( ) 是整体l i p s c h i t z 连续的。为了克服这一点，我们需要结合 1 0 卜【l l 】和 2 3 卜 2 4 】 中的一些想法。 本文余下部分是这样安排的。在第二节，我们叙述本文的主要结果。第三 部分，我们为定理的汪明做了一些准备工作。在第四部分，我们给出具对称 系数的二阶微分算子的一个重要估计，它有着独立的兴趣。这个估计在将在第 五部分我们建立的喇( 0 ) 中的双曲微分算子的整体c a r l e m a n 估计起到重要的作 用。接下来，我们在第六部分中将给出双曲微分算子在更大的空间l 2 ( q ) 中的 一个类似与c a r l e m a n 估计的一个重要的结果。至于另外的一个重要结果，我们 将在第七部分中研究辅助最优控制问题，这里关键的是得到最优解的正则性。 最后，我们将在第八部分和第九部分证明我们的主要结果。 2 主要结果的叙述 首先，我们引入下面的条件： 条件2 1 存在一个函数d ( ) c 2 ( 行) 满足： ( i ) 对任意( z ，) 豆硝，存在一个常数p o o 使得 2 a q ( a i 协) 厂哆。叫扣岛p 。n 幻& 白0 0 ) t j1 7 t j ，i , j ( i i ) d ( ) 在孬中没有临界点，即 m i _ ni v d ( z ) i 0 ( 1 1 ) z es 对于满足条件2 1 的函数d ( ) ，我们引入下面的集合： r + 垒 z ri n 汀址o ) 、0 2 ) t ，j 这里= v ( 石) = ( p l ，比，) 表示区域n 在边界r 上的单位外法线方向。 四川大学硕士学位论文 注意到当( ) 。= i 时，对任何给定的石o 正p 丽，通过选择 d ( z ) = i z x o l 2 ，可知条件2 1 成立，这里伽= 4 ，i i i i f i ( 1 0 ) 成为一个等式。 在这种情况， r + = z rl ( z z 。) p ( 茹) o ) ， 这和整个区域q 的部分边界为通常的星形边界相一致( 【18 】) 。 另一方面，容易验证，如果d ( ) c 2 ( 豆) 满2 ：0 0 ) ，那么对于任何给定的 a 12 n b r ，函数 d = d ( x ) 兰a d ( x ) + b( 1 3 ) ( 数乘和平移d 0 ”仍满足条件2 1 ，用a z o 代替p o ；同时，数乘和平移d ( x ) 不改 变集合r + 。因此，通过数乘和平移d ( z ) ，我们可假定 r i ( 1 0 ) 成立并且p o 4 ， 1 ；等嘶) d ) 搿m ) 掣痧。，恢豆。 本文中，我们引入记号 r 垒罢茅厢，而垒2 i n f 兄id ( ) 满足( 1 4 ) ) ( 1 5 ) z nlj 考虑到( 5 ) 中的控制器u ，我们需要下面的假设： 条件2 2 存在常数d 0 使得 u = 伉( r 十) n q ( 1 6 ) 注意到条件( 1 6 1 可被替换为 u 三f + ，( 1 7 ) 这个条件看上去更弱。实翰；上，“( 1 7 ) 成立时，我 j 可找到一个常数6 ( ) ，使 得 u 仇( r + ) n q 0 8 ) 5 四川大学硕士学位论文 不难看到，如果我们能证明在一个小的控制器u 作用下系统( 5 ) 的能控性，那么 在一个稍大的控制器u ( 满足条件( 1 8 ) ) 作用下结论仍成立。假定( 1 6 ) 是。个等 式仅仅是为了方便起见。 本文的主要结果叙述如下： 定理2 1 令o ( ) c 1 ( 豆) 满足( 1 ) 一( 2 ) ，而且，( ) c 1 ( r ) 满足( 4 ) 。设条件2 ，一 2 2 成立令蜀是( 1 5 ) 中所定义的那么，对任何t t o ，系统( 5 ) 在时刻t 在 空间砩( q ) l 2 ( q ) 中，通过控制器7 l 2 ( ( o ，7 ) u ) 作用下是精确能控的。 在前面我们已经提到，定理2 1 的证明可以转化为( 7 ) 的能观性估计结果： 定理2 2 - 令a i j ( ) c 1 ( 豆) 满足( 1 ) 一( 2 ) ，q l 。o ( o ，t ；l “( q ) ) ，并且条件2 j 一 22 成立。那么对任何t t o ，( 7 ) 的所有弱解训满足估计( 9 ) ，并且能观性常 数c ( g ) 0 有下面的形式 c ( q ) = c e x p ( c r 2 ) ，0 9 ) 这里 r = l q i l * ( 0 ，t ；l n ( n ) ) ( z o ) 3 一些准备工作 我们考虑下面的线性非奇次双曲方程； 汜i ，翌 ， 我们称。2 ( q ) 是( 2 i ) 的一个弱解，如果对任意r t 锘( ( o ，丁) ；h 2 ( f 2 ) n 硎( f2 ” f t ( 。，p 叩) 小( q 1 _ f ( 他，) ，q ( t ，) ) 川( i 2 ) ，h d f j 0 ” 注意到在( 2 1 ) 中，不需要特别的初始条件。类似_ i f 【2 7 ，引理5 1 ，我们r u 证i 归系 统( 2 i ) 有下面的正则性结果。 6 一 里型查堂塑芏焦迨圭 7 _ - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ ，_ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 弓l 理3 1 令o t 1 0 ，q 。o ( o ，t ；l ”( q ) ) ，w o l 2 ( q ) ，l u l 日一1 ( f ! ) 。那 么( 7 ) 的弱解”( ) h 满足闷忆；咒和r 分别由( 8 ) , d ( 2 0 ) 给出j e ( t ) c e ( s ) c 叶，v t ，s ( 0 ，刀 ( 2 5 ) 进一步，与 2 3 ，引理3 4 】类似我们可得到卜面的结果。 引理3 4 令o s l 最 疋 满足( 1 ) ，u ，e ，皿c 2 ( 正寸”) 。令p = e 和 = o u 。则 却1 2 + p t ( ”；+ a j v i 屿) - 2 e n t , j v t 一4 + ( a i 。+ 要) 卅 + 2 a q a i 。岛，仇叼一n 。，+ 口a * 。3 地 一。i如+羞12；3-29tvt糊，( 3 6 ) 地+ & f 触十号 ”2 ， 一 2 ( 鼠+ ( o 玎也) ，一口) ；一4 n “匕刚c + b 2 + p + 2 7 ( 。订幻) j ，_ ( a i j a i j p 出 + 蚶j u i y ， 这里 ( 3 7 ) 皿 也钉 一 l 一2 p 一 峨 一 1 2 一哼 山 一 g a p，l ”r 0 a 2 o l i a = = a b ，ill_-，、【 四川大学硕士学位论文 1 2 特别地，如果 且a ，t 0 ，= ( 0 ，1 ) g t k r ，则 ( 3 8 ) p 印的左边a ( 1 一k ) v ? + a ( ( 七一l 一4 c ) + ( 一锄，一一d i ，+ b 一3 9 + p ( n 。以，) j 一一，i 仇+ 口2 ，一 这里 证明注意到 目( 吼也矗五1 酽i ( 萨吼1 2 + 砰= 别p u l 2 + 辟 在定理4 1 中取m = 1 + n ，和 c 扩，。= ( ：一。巧0 h 。 ( 4 0 ) 通过直接计算，我们得到( 3 6 ) 。通过选择( 3 8 ) ，我们可得至1 j ( 3 9 ) 。 口 惕 7 l ， 一 一 一 础牡 稚 一 一 曲山 配砒 肌 垒 p 筐 )、j，t一训。 俳虹 = 垒 垒 庐 皿 ，_i_fi，、i-_ 机 ， 叱 砧 卜坩 鸵 啦 i州r r o ，州p 删 引一十 d d ， 产 帆蚺例 。 坷 。一 | 砸卜匹| 印 胆 七 砷 t 斗 乎 赴 记 p k 即恤忙獬 砰 膏 一 四川大学硕士学位论丈 s瑞) 空阆中的双曲算予的整体c a r l e m a n 估喜十 回忆0 5 ) 中r l 和的定义。令t t o 愚给寇的。我们可以假定 t2r1+ ( 4 1 ) 由1 ) ，存在一个辩数c 0 ，1 ) 使褥 ( 等) 2 o 及盎慨1 ) ， 我们有 ( a 圳詈m ， ( 4 4 ) 如一l 一4 e ) 一 十c 2 a l j ( a i j 蛾一n 妒画，j 哪十掰 f 。 7 羚 班如 从 净霹 扩 出 妒 厶协f 审 + 讲 o 舻 妻 脚 ，如秽 ； 渺 瓣 删 一 舭 魏 驴峰 + 嘴 + 睡 甄 + 萨 咐洲 扫一 四川大学硕士学位论文 这里 m 垒p t ( ；+ n 巧岫) 一2 删删。 o jt 1 j 却仇+ ( ( a 删如+ 警) ”2 皿垒 ( a i j d i ) j 一2 c 一1 + 七1 ，垒a 西，”垒日u ，口垒e ， t ( 4 5 ) a = a 2 1 4 矿( 。t 2 ) 2 一8 q 反由l + a ( 4 c + 1 一七) ， b = 舻陋十1 一) a i j d i ，由件n ad i ( n 1 。7 哦，d j l i ，j i d i s , j ， 。 一4 ( 6 c + 1 一k ) c 2 ( t t 2 ) 2 1 + o g 2 ) 接下来，固定砖满足4 c 3 0 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 1 4 四川大学硕士学位论文 回忆d 满足( 1 0 ) ，并注意7 = 。，我们发现 p o 巧d 呜 2 毋( 由) ，一岛i j ，。i j 、，d ；由 i j ，i = p “由+ 2 a l j a i j 嘶d t d j 一甲i ji j d i ，吐也 = p a t 3 由函如+ 2 n 奶，d t d j i , j ，i i , j = p d t , d , d j ，+ 2 a i j a i j 屯蛐 i 、j i 。r ( 4 9 ) = p 玎出疵专，十a l j a i j 吐，盔如，+ a i j a j 。d j ，画吐， = 喀( 。d i ，d j a 1 t ，l ， 因此，回忆r 1 和b 分别由( 1 5 ) 和( 4 5 ) 给出，由( 4 9 ) 和( 1 4 ) 的第三个不等式，注意 到( 。玎) 是正定的并且4 c + 1 一k + p o 6 c + 1 一，我们得到 b 2 妒 ( 4 c + 1 一+ p o ) a u d i d j 一4 ( 6 c + 1 一七) 一( 卜吖2 ) 2 + d ( a 2 ) ( 锄 a 3 ( 6 c + 1 一七) f a ：3 c l i d j 一4 c z ( t t 2 ) 2 l + 。( ) 6 c ( 4 r ；一c 2 t 2 ) a 3 + o ( a 2 ) 注意，f 1 于- ( 4 2 ) ，( 5 0 ) 中的常数6 c ( 4 r 2 一c 2 丁2 ) 是j 下的。因此，通过选择适当 的a o l ，对任何a ，我们有 b23 c ( 4 b ；一c 2 r 2 ) a 3 ( 5 1 ) 第二步在q 上对( 4 4 ) 积分，利川分部秘分公式，由( 4 6 h 4 8 ) 及( 5 i ) ，寅注 意到在上饥= 嚣魄( 这可由训= o 得出) ，我们有( 回忆：m = m ( t ，x ) t i ( 4 5 ) 1 5 四川大学硕士学位论丈 1 6 给出) a o ( a 2 v + 灯z 谢a i j v i v ，) d x 出 c 上叫p 札1 2 如出+ 上m 茹) 如上m ( 。，z ) 如 ( s z ) * ( 。d 岣) ( 护奶，) 耕揪 v a 独 。山l , ji t , j 1 主1 ( 3 8 ) n 1 ( 4 5 ) ，并注意u ( o ，z ) = u ( t ，z ) ；0 ，可得 m ( o ，z ) = 6 ( 0 ，z ) 归( o ，z ) u t ( o ，z ) 】2 = c r ；q o ( o ，z ) u ( o ，z ) 】2 0 m ( t ，x ) = g t ( t ，z ) p ( t ，x ) u t ( z 茁) 】2 = 一c t a o ( t , x ) u t ( l 。) 2 0 和函数t g ( 0 ，t 】；l 2 ( n ) ) 满足“( o ，z ) = “( z z ) = 0 ，x q 。固定耳 1 ，选取p = 矿( z ) c 2 ( 豆) 满足m 也p ( z ) = 1 使得( 回忆：u 由条件2 2 给出) ， i 1 对z u ， p ( z ) = ( 6 3 ) ik 对d i s t ( z ，“j ) i 壶 接下来，对任何整数t n 3 。令 = 三。定义 u i 三u ( z ) = u ( i h ，窭) 曲l ! 麓( z ) = 西( i ，z ) ，i = 0 ，1 ，一，竹 ( 6 4 ) 令 ( z 未，r i 。，呓。，i ，；mo ( 硪( n ) ( l 2 ( n ) ) 3 ) m + 1 满足下面的系统 = 堡三云二五+ r 。+ a u e 2 k + r ，( 1sz ，n 一1 ) 1 在n 中，( 6 5 ) z ：。= 0 ，( 0 茎ism ) ：在r 中 z 生= 耀= ，鼻。= 喘= r 曼= r ：= 0 ，r o m = r ：，。， 在n 中 1 8 。*学 四川大学硕士学位论文 注意我们不假定r 和r 。消失，相反我们假定r o m = r m 。在系统( 6 5 ) 中， ( r 。，疋。，i ) ( l 2 ( q ) ) 3 ( = 0 ，1 ，m ) 可被视为控制。( 6 5 ) 的容许序列的集 合定义为 a d 垒 ( ( 磊，r i 。，r ，嚷) l 翟。( 明( q ) ( 厶2 ( q ) ) 。) m + 1i ( 磊，r i 。，r ，壤) ) 墨。满足( 6 5 ) 因为 ( o ，0 ，0 ，一a “鲁e 2 1 螺) ) 罂o 4 d ，我们可看到a d d 。 接下来我 f l i 3 l 入代价泛函： l ，( 1 及竹l23 ，( 6 7 ) 存在唯一的解“，呓。岛。， 。ij r n ：o a 。dr 它依赖于删进一步，对 我们有 p 毛三p 二( z ) 垒f ：。( 茁) ，0si 曼，儿 ( 6 8 ) 景= j ：= 碟= p ：= 0 ，且2 ：，群。h 2 ( q ) n 硪( 2 ) 对于l i m 一1 ，( 6 9 ) 1 9 四川大学硕士学位论文 f 弩+ 枣埘螺一。榭， 鲰。， i 靠一p 等e 地礁。 在吨 b 一”b w f 掣- 扎k 渊谢 + e _ 2 1 礁= 0 在q 中， ( 7 1 ) 【 1 茎m 一1 厦 m , - 1 肚抨仆u 2 仆划2 删州如+ h f l 刮2 妪g ，( 7 2 ) 喜上 嗡掣+ 嗡掣+ 唑掣 。刀， + 掣k g 凡t j 证明证明分几步来完成。 第一步令 ( 碥i , j ，冉i r a ，嘲，馏) ) 婆。) 二。ca a 为j ( ) 的个极小化序列。 由代价泛函的强制性并且z 。i , j 满足椭圆方程，可证明 ( z 鬻，嵋磊，r 2 i , 。j ，i , j 川r a ：。) _ ， 在- 。a 中是有界的。因而存在 ( z 髫，r 能，缘，螂) ) 翟。 i 。，的个序列弱收敛 与( 础( q ) ( l 2 ( n ) ) 3 ) 。1 - p 的某点 ( 磊，碍。，f k ，) 翟。- 4 。d 。因为函数j 是严格凸的，这个点就是( 6 7 ) 的唯一解。 第二步在q 中对任意固定的品。亡2 ( q ) n 明( q ) ，哪。l 2 ) 和霹。 驴( n ) 0 = o ，1 ，2 ，m ) 满足6 3 。= 6 器= 6 = 6 器。io 和观。= 6 k 。 四川大学硕士学位论文 对( a o ，a i ，沁) 正护，置 垒盐笋+ 监掣k m h 2h 2 ” 一妻一。( 磊蛾) ) 一篮净 ，1 j 2 = l 一垡学a 。一磋m - - a 2 呓m - - ) , u 袅e 2 a 螺，ls i 曼m 一1 o = r m m = 0 则 ( 臻+ a o 稚。，f i 。+ a 1 6 i 。，f k + a 2 避。，r 。i 胁r n ：o 。4 “。定义一个正护中的函 数为 g ( a o ， l ，a 2 ) = j ( ( 。a m i + a o 晶m ，f i m + a t j i m ，m + a 2 醴m ，r k ) ) 暑o ) 显然g 在( o ，0 ，o ) t r 最d 、值。因此v g ( o ，0 ，o ) = 0 。由紫= 帮= 0 ，并 注意 【磊，矗。，呜。，镶) ) 翟。满足【6 5 ) 的第一个方程，我们有 一k 喜上壤华蚺喜上。警e 埘锄 一喜上r m 一5 2 扣+ 喜上p 警e 拟镌， 结合( 6 8 ) ，在n 中铝= 0 及6 0 m = 6 j m ，可立即得到( 7 0 ) 。由盟甓盟= o ，我们 得到 m 善- 1 上( k 礁 型二掣一，。象，( 2 ，) + 鲁e 埘靠l 如：o ， 7 4 ) v6 ；。h 2 ( n ) f q 硪( 【2 ) i = 0 ，1 ，m ， 这意味着如= k 吒是( 7 1 ) 的一个弱解。我们可直接验证f 6 9 ) 。 2 l 第三步注意到 o 使得 m 善- 1m 2 e - - 2 e 出+ 上p ( 譬+ 譬) e 刮 + k l i 磊1 2 d x + 上p 警蜒g 喜加降2 出 第四步对 = 1 ，m 一1 ，注意到( 7 1 ) 成立，及p 寮= 臻= 粥= 馏= 0 我们可得到 堑等盟一壹 j l ，血= ij , j 2 蚯等边) + 叠：竺二盗篁兰墨翌：! ：v 竺m ! - 1 二：! 翌m - 21 坠m - 3 4 + 良，：”2 瓯，。 j 1 ，j 2 = l 童嚣e 一2 1 币嚣一2 三嚣一1 e 一2 1 咖：。 0 在n 中 ( - - 2 p r o m - + p r o m - 2 ) ) h 2 7 6 十镏2 6 ：拟嘏。 0 在n 中 四川大学硕士学位论丈 2 3 且埘i = 2 ，m 一2 ， 盛：二缕：监= 篮：盥 一妻屯：( ：以h ( v 翁1 - 2 # 。m + i - 1 j l ，力= i + o 嚣1 e 一2 1 岔1 2 磊e 一2 1 蠊+ 磊1 e 一2 1 口i 1 由( 6 5 ) ，我们发现 0在q 中 。= 喜上( 掣一，t 瓿, j 2 = 1 黜 ， 一鲎卅2 r i m - r i m 。一a - 蛾) 螳名錾盟d z 一下一一。一a 吨e 2 峨一) 坠二案删z 再一次利用壤= j 罢= 碟= p ：= 0 ，我们得到 ( 搿1 2 s 2 + 荔1 ) ( 璐1 - 犏+ 簖1 ) = 喜z 锿虻簪幽如 一z 喜上磊盟等幽如 胁 2 一印翁1 + 薅) h 4 嬷+ 5 p 2 ) + 上笫 d x ( p 嚣2 4 蝣1 + 6 p ：n 一4 东1 + p = 2 ) l ( 5 p 焉一1 4 p ：一2 + p 嚣一3 ) d x ( p 2 1 2 p 麓+ 麻1 ) j 翁1 e 一2 1 口嚣1 2 磊e 一2 1 口；+ i 1 e 一2 a 。= 1卜 ( 7 9 ) ，协 一 镉 上 一试 卜 哳 ，k 一 强 卜 良 。一 ，l 磊 厂 一h j j 四川大学硕士学位论文 接下来，对于o i m ，利用ii r = p 鲁陪= 0 ，我们有 蓦上( ，i 壹, j 2 = 。w 壤) ) ( p 嚣1 一碱+ 蝣1 ) = 喜侈i 妻j 2 ；l 谢啦。掣 由( 7 8 ) _ ( 8 0 ) ，结合( 7 6 ) _ - ( 7 7 ) ，并注意到臻= 馏= 0 ，我们得到 d x ( 8 0 ) 一喜胆盟竺掣 ， + ( 鲎净埘m + a 砩+ 螺) 由命题3 1 及赢= k 镌，我们有 一喜胁盟竺 + 蕞鳢 2 螺+ 壤1 ) h 2 噬三! 辱盛翔出 2 j 2 锿e 一2 h + 备1 e - 2 ) , o = 1 ) 芦一 ( 钴1 ) ( 甜e 一。a 褙1 芦+ 掣h o 垡茎：= 垒e e - 2 , w , i m 。( 鲎二益：竺1 二! ：! ! ：12 2hh + k 学 出 】d e c ( 8 2 ) 嚣1 2 4 厂厶上 一：l础 | | = 四川大学硕士学位论文 2 5 进一步，由( 7 0 ) ，结合命题3 1 ，我们发现 一喜上( 华似e 2 x 蛎+ 绣。) 兰幽出 2 ( 华+ 蚴。砩、三hr k 譬孚一与竽) 出 ( f 掰一端。) ( 碟1 型如 h = 喜上景( 华挑) ( f i 嚣e 一2 1 # 1 一i i 。e 一2 1 靠) ( 砖嚣一鸹。) ( r 2 1 m l e “甜1 n f ；。e - 2 1 螺) e 一2 。 ( 砖嚣一罐。) ( e 一2 1 # 1 一e - 2 砩) 。h h + a m 墨- i 上矧华 + 喜上螽 骘掣e 错卜 + e 2 镌蟹竺：兰塑 2 曲k ( f 嚣一携。) ( e 一2 1 蝣1 一e 一2 1 螺) h h酬卜 d x f 搿 如 ( 8 3 ) 上，厶 一三：l 一 十 = p 一” r ， 枷 卜 j 一 墨肛 搿一 p p 厂厶 一 | | 四川大学硕士学位论文 2 6 由( 8 2 ) 和( 8 3 ) ，并注意到f k = f o m ，“。0 = 0 ，我们有 善上 嗡掣e - 2 a 6 鲁+ 景鸭掣e 埘螺 + 景幽e - 2 , x 螺+ 耳必 1 + 1 i2h2h 2 】。a 4 j 一蓦上牮螳宰塑籼 ( r l m l 一一1 。) ( e 一2 1 # 1 一e 一2 1 螺- ) 危 f 搿如 d x a m 白- 1 厶雨q 二 鱼+ e 2 碱唑竿竺，i 。+ 。q 。d z ( f 鬻一p k ) ( e 一2 坤甚1 二!竺!群嚣如h 2 7 r l ( 8 4 ) 利用h 6 1 d e r 不等式并且注意到西是一个光滑函数，f f t ( 8 4 ) ，可知存在一个不依 赖与m 的正常数g = c ( k ，a ) ，使得 喜上 嗡掣e 埘螺+ 景笔掣 +旦竺美二垒ze-2ab,+a4 h 2k 盟二h 2 型! j ! c m - - 1 上( i 甜+ 2 啪。1 2 删焉1 2 + 蚶) d z + 加 l m1 2 d x ( 8 5 ) 最后，结合( 8 5 ) 和( 7 2 ) ，并回忆g ( 【o ，丁 ；l 2 ( q ) ) ，我们得到期望的估 计( 7 3 ) 。这证明了命题6 1 。口 旦舻 厂厶 一嘲 一 q l 一” ，k 一：i 四川大学硕士学位论丈 7l 2 ( q ) 空间中的双曲算子的整体c a r i e m a n 估计 为了证明定理2 2 ，我们需要下面的结果。 2 7 定理7 1 令c 1 ( 豆) 满足( 1 ) 一( 2 ) 。令条件- 2 1 - 2 2 成立则对于任何的 a a o l ，及任何札c ，( 【o ，t i ；l 2 ( q ) ) 满足u ( o ，卫) = u ( t ，。) = 0 对于z n ， p u h _ 1 ( q ) 和 似，7 却) l 。( 。) = ( p u ，叩) h 一- ( q ) ，拂( 。) ， v 硪( q ) 满足p 叩l 2 ( q ) ，( 8 6 ) 我们有 a u 2 e 2 x d x d t c 0 删备- i ( q ) - i - a 2z 2fu 2 e 2 x d x d t ) ，( 8 7 ) 这里西与5 j 中的一样。