（应用数学专业论文）广义超弹性杆方程在neumann边界条件下解的相关问题.pdf

学位论文版权使用授权书 m i i iii iii ii l l ll ll l i il 18 9 4 6 6 5 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密砂。 学位论文作者签名：i 磬搏 驯年月b 日 指导教师签名： 汕| l 武 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解 的相关问题 t h e s t u d yo f s o l u t i o n st og e n e r a l i z e d h y p e r e l a s t i c r o de q u a t i o nw i t hn e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n 姓 2 0 1 1 年6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究广义超弹性杆方程的n o u m a n n 问题，主要讨论了广义 超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下的弱解，给出定义并加以证明， 以及弱解的唯一性；广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下的局 部解和整体解的存在以及三种不同情况下解的爆破。 全文分为四部分： 第一部分介绍背景、现状及本文主要结果的概述； 第二部分研究广义超弹性杆方程n e u m a n n 问题弱解的存在与唯 一： 第三部分讨论广义超弹性杆方程局部解与整体解的存在性； 第四部分证明三种情况下解的爆破。 关键词：广义超弹性杆方程，n e u m a n n 边界，弱解，局部解，整体 解，爆破解 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 a b s t r a c t 江苏大学硕士学位论文 目录 第一章绪论。1 1 1 背景和现状1 1 2 超弹性杆波动方程和广义超弹性杆方程4 1 3 预备知识5 1 4 本文的主要结果9 第二章广义超弹性杆方程的弱解1 1 2 1 广义超弹性杆方程1 1 2 2 基本引理1 1 2 3 弱解的存在与唯一1 2 第三章广义超弹性杆方程的整体解1 9 3 1 预备知识1 9 3 2 相关引理及主要结果2 0 3 3 定理证明2 2 3 3 1 方程局部解的存在性的证明2 2 3 3 2 方程整体解的存在性的证明2 7 第四章广义超弹性杆方程的爆破解3 0 4 1 解的爆破3 0 第五章结束语3 4 参考文献 致谢 3 8 攻读硕士学位期间论文情况3 9 i i ! 江苏大学硕士学位论文 1 1 背景和现状 第一章绪论 偏微分方程作为数学的一个分支始现于1 8 世纪，自此至今一直都是数学研 究的中心领域之一。在近代，得益于数学在物理等其他学科和工程方面的应用， 非线性方程的发展则尤为突出。 随着对偏微分方程研究的深入，在理论上取得了巨大的成就，并用于解决了 许多实际生活中的问题，尤其在力学、量子力学、连续介质力学、电磁理论等方 面的基本规律，都被表达为偏微分方程的形式，并用偏微分方程的理论得出了这 些物理系统研究的新结果，极大地推动了偏微分方程理论的发展。近些年来，人 们将偏微分方程应用于化学、生物学、经济学以及社会学等学科领域，涌现出许 多偏微分方程的新类型，其中非线性发展方程、无穷维动力系统和非线性随机偏 微分方程成为当今非线性偏微分方程研究的重要领域。 近两百年来，力学家、数学物理学家们利用动量守恒定律、质量守恒定律和 变分原理建立了许多流体运动的物理数学模型，在这些模型中，大多数都是用非 线性发展方程进行表示的，其中经典的就有n a v i e r s t o k e s 方程。n a v i e r s t o k e s 方程用各种数学方法进行展开，获得了不同的流体运动方程，特别是浅水波方程， 如k d v 方程、b u r g e r s 方程、b b m 方程等。 发展方程又称演化方程或进化方程，广义地说，是包含时间参数f 的许多重 要的数学物理偏微分方程的统称，在力学、物理或其他自然科学中用来描述随时 间而演变的状态或过程。狭义地说，它是指可以用半群方法化为一个b a n a c h 空 间中的抽象常微分方程的c a u c h y 问题来解决那些数学物理方程。波动方程、反 应扩散方程、热传导方程、k d v 方程、流体动力学方程组等以及由这些方程通 过适当的方式耦合起来的种种耦合方程组，都属于发展方程的范畴。 非线性发展方程是非线性偏微分方程的重要组成部分，它的研究对象来自物 理、生物、力学等自然科学和工程科学领域，是基础数学研究的主流方向之一， 具有重大的实际和理论意义，非线性发展方程的研究已得到了许多有价值的成 果，对解决各领域的实际问题起了巨大的现实指导作用。 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边乒：条件下解的相关问题 在诸多非线性发展方程的研究中，描述孤波现象的方程的研究成为一小重要 方面，由于h a m i l t o n 结构，孤立子解( 包括尖峰孤立子) ，爆破解( b l o w u p ， b r e a k d o w n ) 等特性，使得k d v 、d g h 、c - h 、d - p 等孤立色散波方程构成了 非线性发展方程研究的重要内容。与这些有限小振幅长波长的方程类似，在超弹 性杆研究中可以获得相似的超弹性杆方程。这些方程作为物理工程等技术领域上 的数学模型都具有普遍而重要的意义，引起了研究者的兴趣。 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d e v r i e s 在研究浅水波运动时，引入了描述具有小振 幅色散的浅水波运动经典模型一敏形方程 u t + 6 u u ，+ “。= 0 ，t 0 ，z r( 1 1 1 ) 其中“( x ，f ) 表示波的高度( 相对于平底) 。该方程与我们所熟悉的线性方程不同， 具有一些有趣的性质如：存在双h a m i l t o n 结构，孤立子解，无穷多个守恒律， 可用逆散射方法求解等，由此引起了非线性完全可积方程研究的热潮。k d v 方 程的孤笾解是光滑的，而c a m a s s a 和h o l m n 3 在研究浅水波运动时发现了另一类 完全f 1 + 积系统的孤立子解是不光滑的，具有一阶导数间断，又一次引起了人们的 极大兴趣。而水波的间断现象( 波的间断现象是指在波的运动过程中，波保持有 界，而其斜率在有限时间内变成无界) 是水波理论研究者长期感兴趣的问题之一。 w h i t h a m 提出了一个相对简单的模型 u t + u u x + e ( x f ) u x ( x f ) d f = o ， 0 , x er ( 1 1 2 ) 其中奇异核 k o ( x ) 2 j 1 e ( 考- ( 1 2 汐蟛 来描述波的间断现象，但数值计算结果表明：方程( 1 1 2 ) 无孤立子解。 1 9 9 3 年，c a m a s s a 和h o l m 用物理方法导出了c a m a s s a h o l m 方程( 简称 c - h 方程) u f 一“就f + 2 k u x + 3 u u z = 2 u 。u 肛+ “麒( 1 1 3 ) 其中k 是一个与浅水波速度有关的常数。方程( 1 1 3 ) 具有h a m i l t o n 结构，也具 有无穷守恒定律。当k = 0 ，即得到通常的c - h 方程 u f 一“埘+ 3 u u ，- - 2 u ，u 搿+ u u x t x( 1 1 4 ) 方程( 1 1 4 ) 是完全可积的非线性偏微分方程，并且是非线性色散波( 具有色散项 2 江苏大学硕士学位论文 “) ，具有双h a m i l t o n 形式，这种双h a m i l t o n 性质可用于将该方程改写成线性 拟谱问题的相容性条件，使得初边值问题可用逆散身4 方法求解。对不可压缩e u l e r 方程的h a m i l t o n 方法渐进展开，保留其高阶项也可以得到( 1 i 4 ) ，去掉高阶项则 得到b b m 方程或相同阶下的k d v 方程。因此，c 卅方程较b b m 方程和k d v 方 程保留了更多的运动信息，能更好地描述水波运动特征。 c a m a s s a 和h o l m 不仅导出了方程( 1 1 4 ) ，而且发现了方程( 1 1 4 ) 的带尖点 的孤立子解u = 钾_ | 驯，c 为任意常数。该解在石= f ，处不可导，故理解为日1 意义 下的弱解，且是整体解。这个解可用于描述水波的不光滑现象。 由于c - h 方程具有上述重要的特殊性质，使得它成为浅水波理论研究的重 要对象之一，关于其解的各种性质已有许多好的工作：1 9 9 8 年，c o n s t a i n t i n 研 究了c - h 方程周期整体解的存在性，谱与逆谱问题，用几何方法( 测地线思想) 描述了长期波与间断波的存在性扭吲；c o n s t a n t i n 和e s c h e r 研究了c - h 方程 c a u c h y 问题整体解的存在性及解的b l o w u p 性质、解的适定性、弱解的存在性 们；2 0 0 0 年，张平等在特定的条件下，证明了c - h 方程弱解的存在性n ；2 0 0 2 年，刘正荣等研究了一类推广的c - h 方程带尖点的孤波解的存在性n 2 删；高洪俊 等用不动点定理证明了c - h 方程初边值问题局部解的存在性；f o i a s 和h o l m 等 则把c - h 方程推广到三维，证明了整体吸引子的存在性以及粘性系数趋于零时， 其解趋近于n a v i e r - s t o k e s 方程的解，s t r a u s s 等讨论了其孤立子的稳定口钔；田立 新、丁丹平等研究了带耗散项c - h 方程解的存在性、解的爆破及解的全局存在 性n 引；田立新、宋秀迎研究了广义c - h 方程及广义弱耗散c - h 方程，并得到了 一类新的尖峰孤立子解；殷朝阳研究了广义c 坍方程的c a u c h y 问题，得到了 光滑解及爆破解的结果n 引；田立新，张榀等研究了高阶c - h 浅水波方程的整体 存在性【1 7 1 。 人们把c - h 方程、d - p 类方程、超弹性杆方程等n 8 3 们称为c - h 族方程。由 于c - h 族方程在诸如超弹性材料力学等应用科学邻域中有广泛的应用，c - h 族 方程成为目前国内外数学物理学界所关注的一大热点。因此讨论c - h 族方程相 关巾e 质，在准确合理解释自然现象、确定物理材料属性等方面具有极大的应用价 值。 3 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 1 2 超弹性杆波动方程和广义超弹性杆方程 1 9 9 8 年，d a ih u i h u i 4 0 】关于普通超弹性可压缩物质提出了超弹性杆波动方 程， v ，+ q + 盯2 ，+ 盯3 ( 2 v v 劈+ w 籍) = 0 ， ( 1 2 1 ) 其中，v ( f ，r ) 表示对预应态的径向伸缩q 0 ，吒 0 ，仃芦0 是由材料杆的 预应力系数确定的常数。 令f ：3 、厂= - - 0 2f ，孝：同，则方程( 1 2 1 ) 可改写为 0 1 ”“删+ 3 u u x = 他x u x x + u u x = ) ，厂= 鲁 ( 1 2 2 ) 对于方程( 1 2 2 ) ，得出c a u c h y 问题整体解的存在性，周期边值问题整体解的存在 性，解的适定性，解的b l o w - u p ，弱解的存在性等结论，且在y 0 ，0 y 3 情况下( 1 2 2 ) 的行波解问题，并给出了行波解的解析表达式。 2 0 0 4 年，c o c l t e , h o l d e n ，k a r l s e n h 等将d a i 的方程推广到一般形式，即广义超 弹性杆方程 蚱一够删+ g ( 蹦) “x = 厂( 知j + “嬲)( 1 2 3 ) 当7 = 0 ，g ( “) = 2 k u + a 时，方程( 1 2 3 ) 转化成b b m 方程 比，一u x x t + a u x + 七( h 2 ) 上= 0( 1 2 4 ) 当7 = 1 ，g ( u ) = 3 u 时，方程( 1 2 3 ) 转化成( 1 1 4 ) 当7 = 1 ，g ) = ( 6 + o u 时，方程( 1 2 3 ) 转化威p 中方程 u ，一蹦删+ ( 6 + 1 ) u u ，= 2 u 。u 可+ “m( 1 2 5 ) 2 0 0 6 年，h 舶埘阴和x 尺哆妒口吵研究了更一般的广义超弹性杆波动方程h 2 1 “，一“删+ 厂0 ) 。一厂g ) 。+ ( g ( h ) + 去厂”( u x u x ) 2 ) ，= o ( 1 2 6 ) 当厂0 ) 和9 0 ) 取特定的形式时，可以得到方程( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 。证明了方程 ( 1 2 6 ) c a u c h y f 司题局部解的存在性及全局守恒解的存在性。 近几年，丁丹平，夏良娟，石敏，毕云蕊等1 4 3 】，【删分别探讨了关于广义超弹 性杆方程c a u c h y 问题和初边值问题的行波解、解的局部存在性、解的爆破条件、 精确爆破率及在边界条件下整体解的存在性及其性质等问题。d a v i dc o h e n h 踟将 4 江苏大学硕士学位论文 几何有限差分的方法应用于广义超弹性杆方程中，得到了广义超弹性杆方程全局 能量山q - , 叵和局部对应的辛守恒等几何性质。 n e u m a n n 边界条件给出了未知函数在边界外法线的方向导数。考虑到实际有 限杆长的力学特征，本文研究广义超弹性杆方程如下第二初边值问题 “，一“埘+ 【9 0 ) 】。= 2 u 。h 。+ u u 。，o ，x ) r + xf 2 u ( x ，0 ) = u o ( z ) ( 1 2 7 ) 耽一砌= o 在本文，我们将研究限制在x = u e r ( q ) l a 2 甜| 砌= o ) 空间中。 1 3 预备知识 在数学中，诺伊曼边界条件( n e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 也被称为“第二 类边界条件 。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。 诺伊曼边界条件有如下的形式 a y ( x ) = 厂g ) 比a q d v 这里，表示边界孢处( 向外的) 法向；f 是给定的函数。法向定义为 孚g ) = r e ( x ) v g ) d v 其中v 是梯度算子，圆点表示内积。 定义1 3 1 m 1 ：l p ，r 范数 对于1 p ，定义 q ) ：厂：qjr ，何测且j 1 厂例p d x 0 ，两边同时对( 1 3 2 ) 在【0 ，r 】上积分得到 + = 骖扩 害_ go 弦一，矿，【gg ) 】 d x 占矗 1 2 、 i 叱j 缈 成 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ，2 ) = 一t 肛“h 。+ 了1t ，肛比，2 。0 o。0o 驻c 珈一小飞觇+ 驺。切一m 唧，+ 靠c 却，：0 ( 1 3 4 ) 定义1 3 3 t 4 7 】：如果函数( x ，f ) c ( 【o ，7 1 ) ；日3 ( q ) ) 厂、c 1 ( o ，丁) ；日2 ( q ) ) ，若存 在o 彳 佃，磐s u p m 蹦) i = o o ，l 文中用到的不等式 1 、h o l d e r 不等式【勰1 设1 一k ，一1 ：1 一生，忌m ，则日m ，p 俾一) 是 p nq p 刀 日”l ”( 尺”) 的子空间，且恒等映射是连续的( 这样的恒等映射就称为嵌入映射) 。 2 、勒p ! 格控制收敛定理 定理1 3 2 【4 9 ：设可测集e 上可测函数列 五o ) 满足下述条件：o ) 的 极限存在，厂o ) = l i ml ( x ) ，且有可积函数g ( x ) 使 i ( z ) l g ( x ) ( x e e ；疗) ， 那么，厂可积且有 工，( z ) 叱= 烛工正( x ) 叱 3 、保范延拓定理 定理1 3 3 【蛔：设x 为b a n a c h 空间，x ocx 为它的线性子空间，设兀定义 在x 。上有界线性泛函，则存在x 上有界线性泛函厂，满足 i ) f ( x ) = f 0 0 ) v x x o i i ) i l ，l l = r ol 。0 r ol 。表示矗( x ) 在上的范数 4 、迹定理 定理1 3 4 【鸫】：设厂是c 。( - ：) 函数缈( 五，) 到边界毛= o 上的边界值 缈( 西，书0 ) 的映射，则它可连续地扩张到整个h 1 ( 群) 上，且 1 r ( h 1 ( 彤) ) chz ( 群。1 ) 。 8 江苏大学硕士学位论文 1 4 本文的主要结果 本文主要研究了广义超弹性杆方程的n e u m a n n 问题弱解的存在与唯一，局 部解与整体解的存在性，解的爆破及性质，主要分为三部分： 第一部分：设g ( u ) 为定义在三2 ( q ) 上的有界线性泛函( 存在常数c 。使得 s u p i g ( “) l - o ，使得 y = ) ，( ，y o ) c ( 【o ，r ) ；】厂) n c l ( 【0 ，丁) ；x ) 且映射y o 专y ( ，y o ) 是从y 到c ( 【0 ，丁) ；y ) n c l ( 【0 ，丁) ；x ) 的连续映射。 当y o y ，y o g ) 0 令g 0 ) = 3 u u ，一9 0 - 。 gg 涉。出+ + 扣淝+ 扣。：。 ( h 1 ) 割y 0 ：i f 2 l 2 + 2 | 川川k 嘭一上( g o ) ) 。y 。出。 ( h 2 ) 得到了广义超弹性杆方程解的整体存在性。 第三部分：解的爆破 ( i ) 假设一o ，当名。，k o ) | i a l 比。嘭一害i ：时，方程( 1 2 7 ) 的解在有限 9 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 时刻爆破。( 注：此处要求g ( “) 3 “，而整体解的条件要求g ( “) 3 u ) ( i i ) 当。1 i m r i n f 赠【叱( x ，咖) = 一，且y ，那么方程( 1 2 7 ) 的解在有限时间 t + 发生爆破。 ( i i i )设f u o ，。( o ) 0 且对任意的t 【o ，t + ) ，有u ( o ，f ) = 0 ， 则 m l i m 。u x ( o ，) = 埘。 江苏大学硕士学位论文 第二章广义超弹性杆方程的弱解 2 1 广义超弹性杆方程 1 9 9 8 年，d a ih u i h u i 关于普通超弹性可压缩物质提出了超弹性杆波动方程， 得出它的c a u c h y 问题整体解的存在性，周期边值问题整体解的存在性，解的适 定性，解的b l o w u p ，弱解的存在性等结论，且在y 0 ，0 厂 3 情况 下行波解问题，并给出了行波解的解析表达式 2 0 0 4 年，c o c l t e , h o l d e n , k a r l s e n 等将d a i 的方程推广到一般形式，即广义超 弹性杆方程，得到了它c a u c h y 问题整体弱解的存在性，证明了对于日1 俾) 的任 何一个初始函数u n ，方程存在整体弱解，并且方程的c a u c h y 问题的解构成了一 个强连续半群，利用粘性方法给出了解的稳定性的讨论。 2 0 0 6 年，h h o l d e n 和x r a y n a u d y 研究了更一般的广义超弹性杆波动方程， 并证明了方程c a u c h v 问题局部解的存在性及全局守恒解的存在性。 近几年，丁丹平，夏良娟，石敏，毕云蕊等，分别探讨了关于广义超弹性杆 方程c a u c h y 问题和初边值问题的行波解、解的局部存在性、解的爆破条件、精 确爆破率及在边界条件下整体解的存在性及其性质等问题。d a v i dc o h e n 将几何 有限差分的方法应用于广义超弹性杆方程中，得到了广义超弹性杆方程全局能量 守恒和局部对应的辛守恒等几何性质。 2 2 基本引理 引理2 2 1 ：设g ( u ) 为定义在l 2 ( q ) 上的有界线性泛函( 存在常数c o 使得 s u p l g ( “) i - c o k ) 且他0 ) l 础o ，那么有- l l u o 峙成立。 n 证明：对( 1 2 7 ) 与材做内积可得到 ，“，u d x 一卜“脚d x + ，比k 0 地出= ，2 u ux u 肛d x + 卜2 髓蕊d x qqqqq ( “) 2 卜础= 1 2 旦d tf i 2 矧ld 眦：2 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 g ) = p 删出= 丢卜威= 一i l 沙d 儿2 0 “蕊，“) = p 2 “蹦d x = u 2 u x x l m 一2f u u x u = d r = 一2s u u , u 艇d x 他g ) 】，“) = ， g g ) 】，u d x 0 所以 三2 生d r ( ，+ i ux i l ：2 ) = 虿1 万d 。2 o 即 i i “0 。0 “。l f h 。 # 引理2 2 2 呦1 ：令q r “有限可测，函数 满足j l 。寸h ，i 以i s ( i p 。i ) 且存 在一些p 在口) 上有界( o 目 ) 。s ：尺+ 专r + ，当，一o o 时有l ( 杉j0 ， 那么在口( q ) 上有h 。一h ，其中p 为任意的函数。 引理2 2 3 豳：设y 是自反可分的距离空间，a 是y 专y 。的一个算子，假设 a 是强制的，训l _ o o 时，有箐一且a 矾y 下连续，那么橱l e t 胤4 4 - 2 3 弱解的存在与唯一 由弱解的定义等式( 1 3 1 ) 经过计- 算至u ( 1 3 4 ) 式，即 驰导 一h 。) 矿一了( “一“。) 矽，+ 了丢g 。弦一竹g ( h ) 缈；+ r j t 五1 一+ 髓“。) 缈；= 。 e b ( u ) = “一“。，厂( 比) = i 1 “。2 + u u 属 定理2 3 1 ：假设比。h1 ，且寻0 l h 。i ：24 - i u o * k 2 ) 且g 。 ) l “，g ) 为定 义在l 2 ( q ) 上的有界线性泛函( 存在常数c 。使得s u p i g ( u ) i - c 。i l u l l ：) ，则方程 ( 1 2 7 ) 存在弱解“，比x 。 证明：设 1 2 令g 。( z ) = g ( 瓦( z ) ) ， 则在q 的所有子集中有 定义 ( z ) = 6 g ) b t 七) 一6 ) 。 ( z 肛+ f | 厂 1 5 吃工 p c ： 一专 x 石 p q i i xa p c ： 一 触 x “ = 珥 p c ： = 、， 庇 搿 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 使得 s o = s ( a b ) - - l l a l l + 1 1 6 ( z ) i s ( 矾( z ) ) 且，寸0 1 3 ，l ( r ) r 一0 由引理2 2 2 可知在x 。上有 ( u i ) 哼f ( u 。) 因为 s ( u 。) j 厂g ) 所以 ( “。) 哼厂 ) 又因为 i p 。o j i l l 陋f f + i i b ( u ) l l ，i i 】l 0 “0 + i l ， ) | l ，l g 。( 跏) l c 。i l “l l f 所以对于 v 缈l 2 ( 0 ，t ；h 1 ( q ) n r ( q ) ) 由勒贝格控制收敛定理对( 2 3 1 ) 两端关于七一o o 取极限可知，甜是原方程的弱 解。# 定理2 3 2 ：假设u o h1 ，方程( 1 2 7 ) 存在唯一的弱解u 。 证明：设“，1 ，是原方程的弱解，且“o = ，。1 ( q ) 则u ，v x 分别满足( 1 3 4 ) 式 记 h 。g ) ：p ( y b 。( x - y ) d y c 。( q ) ， o k g ) = 卜( y p 。g y ) a y c 。( q ) n 其忆= 古口( 争磨光算p 1 那z , 当sj0 时有 “。 “x ， k v x 设国= u 占一v 占 那么 1 6 江苏大学硕士学位论文 t o = l i m 国占= n m ( u 占一v ) = u 一 ， 。 由弱解的定义可知t o 满足 r 鼍泌 特别的取够= 彩，便可得到 0 驰肋h ( 砌仇+ 0 黪。物：0nn 0 膀h 一0 册( 蛾+ 0 胁他h ( 砌哆声+ 0 黪p s o ( 2 3 - 2 )q 。qqq 对( 2 3 2 ) 式两边取极限有 l 。i r a 。( r ；f 矗 d _ a - 知，( o ( r 仅与帆l | y 有关) 和问题( 3 1 1 ) 幂1 1 ( 3 。1 2 ) 的唯一解v 使得 v = v ( ，v o ) c ( 【0 ，丁) ；y ) nc 1 ( 【0 ，丁) ；x ) 并且，映射j 吠，) 是从y 到c ( 【0 ，r ) ；y ) n c l ( 【0 ，丁) ；x ) 的连续映射。 1 9 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 f 面月jk a t o 定理来讨论厂义超弹性杆方程解酗局邵仔在任。 设x = 0 上2 ( q ) p “三2 ( q ) ，l 口l 2 ，“，l 扣= 比。i 劬= o ， y = 0 r ( q ) i a 8 “2 ( q ) ，i 口l 0 方程( 3 1 3 ) 的解整体存在。 3 3 定理证明 3 3 1 方程局部解的存在性的证明 命题3 3 1 1 ：x 和y 是h i l b e r t 空间且y 连续的嵌入到x 当中。 证明：由假设我们可知x 和y 分别是h2 ( q ) 和h3 ( q ) 的子集，要证明x 和y 是h i l b e r t 空间，只需证明x 和y 是h 2 ( q ) 和h3 ( q ) 的闭子集即可 即对于v u 。x ， 如果 a “4 a 口“，n o o ， 口2 ， 江苏大学硕士学位论文 那么我们仅斋证明 “，i m = u x x i 锄= 0 。 由迹定理我们可知 护“。一a “k 扩“。一c 3 , 。u 忆一。 依据嵌入定理可得 护比。一a 口甜忆j o 即 s u p l “比。一a “卜。 所以 a 8 “l 讹5a “比。i m 2o l 讹”l m 所以x 和y 是日2 ( q ) 和h3 ( q ) 的闭子集，所以x 和】，是所胁p 形空间。 又因为h 3 ( q ) 连续的嵌入到h2 ) 中，由嵌入的定义可知，存在恒等的映 射，使得血。= h ：且忆k ： k i i u ：k ，( u lh ：分别看作不同的2 ( q ) ，h3 ( q ) 中的 元素，k 为常数) 。而对于映射，v u ，彳，比。y ，有血，= u 4 且批忆：k i l u 。b ， 所以y 连续的嵌入到x 当中。 撑 命题3 312 ：设a ( y ) l ( y ，x ) ，则a ( y ) 是某压缩半群的无穷小生成元，且 对跏，z ，缈y ，有0 ( a ( y ) 一a ( z ) ) 0 j y f l y z z0 缈忆。 证明：先验证a ( y ) 是某压缩半群的无穷小生成元。 记q = 抛。1 y ) ，小l y 嘭 对于七x ，以e y ，若 ( 刀+ a ( y ) ) k = h ， 则 砌。+ a ( y ) h ，= k 即 t h x + ( q y ) h 。= k 。 两边同时乘以h 。，并在q 上积分有 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 五慨嘭一l ( q - l y ) ， ；出= 弘也出。 由h o l d e r 不等式可知， 力i ：一q i ：r h 所以 l r 磐 即 p + 的) ) - 1 忙去。 对v 缈y ， a ( y ) c o 二= 阿1 y ) q 旺 = j 1 ( q 一1 y ) 吱1 2 出+ 月( q 一1 y ) 。q 1 2 d r + j 1 ( q 一1 y ) 1 2 d r + 卫( q 一1 y ) 。石- 0 x2 d x + 2 j 1 ( q 。1 y ) ，i 2 d r + j 1 ( q 一1 y ) 1 2 d x 7 2 x ； 所以 0 a ( y ) o , l l j 锎j ，缈 i 玫l ( a ( y ) - a ( z ) ) 缈忆打0 y z y ，命题得证。 群 命题3 3 1 3 ：关于方程( 3 1 3 ) 存在s ，使得s a ( y ) s = a ) + b ( y ) ，则 b ( y ) l ( x ) ，在y 的有界集上一致有界，且对v y ，z y ，x 有 i | ( j e i ( y ) 一8 ( z ) ) 缈0 工1 i e z 忆i f 国0 证明：令s = a ，对于，z y ，缈x ，由于 q a ( y ) q 。1 国= q ( ( q 1 y ) ( q c o ) 。) = y ( q 1 国) 。 一2 ( q 。1 y ) 。( q a - c o ) 一( q 1 y ) ( q - 1 缈) 。+ a ( y ) c o 所以 b ( y ) = ( y 一( q - 1 y ) ) o q - 1 + 2 ( q 一1 y ) ，( ，一o _ 1 ) 。 于是对于v y ，z y ，缈x ，口，b r 有 江苏大学硕士学位论文 b ( a y + c z ) c o = ( ( 缈+ c z ) 一( q 一1 ( a y + c z ) ) o q 一1 国+ 2 ( q - 1 ( 掣+ c z ) ) ，( ，一a - 1 ) = ( a y 一( q 。a y ) ) o q - 1 + 2 ( q a y ) ，( ，一q - 1 ) + ( c z 一( q 1 c z ) ) o q _ 1 国+ 2 ( q c z ) ，( ，- a - 1 ) = a b ( y ) e o + c b ( z ) c o 所以b ( y ) 是x 中的线性算子。又因为 i n ( y ) m l l x = i l ( y 一( q 1 y ) ) a ( q o j ) + 2 ( q 1 y ) 。( ，一a 。) 缈忆 l i ( y 一( q q y ) ) a ( q 。1 缈) 8 x + 2 l i ( q 1 y ) ，( i - q 。) 缈0 x ( 店+ 瓜) 删i x 所以有b ( y ) l ( x ) ，且在】，的有界集上一致有界，故 l i ( b ( y ) 一曰( z ) ) 缈忆( ；+ 而) 0 y z h l j ，命题得证。 群 命题3 3 1 4 - 设g ( u ) 有界且关于扰满足局部l i p s c h i t z 连续，则厂：yj y 可 以延拓到x 专x ，厂在l ，的有界集上一致有界，且对v y ，z y 有 炽y ) 一，( z ) 忆a ll y - z l y 对v y ，z x 有 f i f ( y ) 一厂( z ) | i x , u 2 i l y z l x 其中心，心，“仅依赖于m a x 刎y ，r ) ，：仅依赖于m a x y l l x ，x ) 。 证明：因为f ( y ) = 一2 y ( q - 1 y ) ，+ ( 3 0 - 1 y - g ( q - 1 y ) ) ( q 。1 y ) ， 所以厂是y 上的连续线性泛函，由保范延拓定理可知，厂：y y 可以延拓到 xjxo 存在常数c 。，c ：0 使得 0 9 ( q 1 y 帆- c 。ly l l j ，g ( q 。1 y ) i | c 。i l y l l j ， 慨q q 剁x c ：t l z t l x ，l l g ( q 。1 z ) | l y c ：i i z l l y 。 因为 f ( y ) = - 2 y ( q 。1 ) ，) ，+ ( 3 q 。1 ) ，一g ( q 。1 y ) ) ( q 。1 y ) 。 所以 厂( y ) 一f ( z ) = - 2 y ( q 。y ) 。+ 2 z ( q q z ) ， 广义超弹性杆方程在n e u m a n n 边界条件下解的相关问题 + ( 3 q y g ( q 1 y ) ) ( q 1 y ) 。一( 3 0 1 z g ( 0 1 z ) ) ( q 1 z ) ， 因为y ，z x 有 l l - 2 y ( q 1 ) ，) ，+ 2 z ( q - l z ) ，忆 = 卜2 y ( q 1 y ) ，+ 2 z ( q - 1 y ) ，一2 z ( q q y ) ，+ 2 z