（概率论与数理统计专业论文）两同型部件组成的冷贮备系统可靠性和参数极大似然估计.pdf

摘要 摘要 本文利用几何过程方法研究了由两个同型部件、一个维修人员、一个转换 开关组成的可修复冷贮备系统的可靠性，并对几何过程的参数a 的极大似然 估计进行了讨论， 这里所考虑的可修复冷贮备系统不是修复如新的，而是系统部件在修复后 的工作时间越来越短，对失效部件的维修时间越来越长。假设观察得到的部件 修复后的连续工作时间来自比为a 的几何过程 ，n = l ，2 ，) ，x 1 的分布 函数为f ( x ) ，在一定的模型假设下，推导出系统可靠性函数r ( t ) 的解析表达 式。在两同型部件冷贮备系统这一前提下，证明了几何过程 ，n = l ，2 ，) 的参数n 的极大似然估计a 。的存在性，同时得到是参数a 的强相合估计。 进而假设x 1 的分布函数f ( z ) 为参数为p 的指数分布，采用一种不同的方法 证明了参数o ，口的极大似然估计，既是强相合性的，并且得到极大似然估计 的渐进正态性 关键词：几何过程冷贮备系统 极大似然估计相合性渐进正态性 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h er e l i a b i l i t yo far e p a i r a b l ec o l ds t a n d b ys y s t e m c o m p o s e do ft w os a l n eu n i t s ，as w i t c ha n dar e p a i r m a nb yag e o m e t r i cp r o c e s s a p p r o a c h w h a t sm o r e ，w ed i s c u s st h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e ( m l e ) o ft h e g e o m e t r i cp r o c e s s p a r a m e t e r i nt h i sc a s e ，t h er e p a i r a b l ec o l ds t a n d b ys y s t e mi sn o ta s g o o da sn e wa f t e r r e p a i r m e n t t h a ti st os a y , t h es y s t e mu n i t s s u c c e s s i v et i m e sa f t e rr e p a i r m e n t b e c o m es h o r t e ra n ds h o r t e r ，t h ef a i l u r eu n i t sr e p a i r m e n tt i m e sb e c o m el o n g e ra n d l o n g e r s u p p o s et h eo b s e r v a t i o nv a l u e so f t h es u c c e s s i v et i m e sa f t e rr e p a i r m e n tf b r m ad e c r e a s i n gg e o m e t r i cp r o c e s sw i t hr a t i oa ，t h ed i s t r i b u t i o no fx li sf ( z ) u n d e r g i v e nm o d e la s s u m p t i o n s ，w eg e tt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o no fr e l i a b i l i t y w ep r o v e t h ee x i s t e n c eo ft h eg e o m e t r i cp r o c e s sr a t i o sm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e 翰a t t h es a m et i m e ，w ek n o wa ni sas t r o n gc o n s i s t e n te s t i m a t e m o r e o v e r ，l e t 置c o m e s f r o ma ne x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，w ec a 4 一l f i n dt h ep a r a m e t e r s m a x i m l l ml i k e l i h 0 0 d e s t i m a t e sa r es t r o n gc o n s i s t e n te s t i m a t e sb ya n o t h e ru s u a lm e t h o d ，a n dw ea t t a i n t h ea s y m p t o t i c a in o r m a l i t y k e y w o r d s g e o m e t r i c p r o c e s s ；c 。l ds t a n d b ys y s t e m ；m l e ；c o n s i s t e n c y ；a s y m p t o t i cn o r m a l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名 2 堕：篁：竺 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即； 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：璺i 圣 导师签名：斑日期述：芝：竺 血 第1 章 绪论 1 1 可靠性研究 第1 章绪论 可靠性分析是统计学的重要分支，有很强的应用背景，是统计学研究的内 容之一由于和工程紧密相连，在工程界常称为可靠性工程，而将可靠性分析 作为它的基本数据分析工具。可靠性工程实践可追溯到4 0 年代末或5 0 年代 初期，对控制飞机的忧虑，就是对飞机起飞和降落的安全性的忧虑，促使了对 飞行器的可靠性研究。现代可靠性研究已经不仅仅局限于航空领域，而是遍及 各行各业，制造业和服务业，尤其是电子行业1 9 5 2 年美国国防部成立了电 子设备可靠性顾问委员会( a g r e e - a d v i s o r yg r o u po i lr e l i a b i l i t yo fe l e c t r o n i c e q u i p m e a t ) 5 年后提出的报告称为新学科可靠性工程的基础。a g r e e 报告 最终发展为美国国防部6 5 年公布的可靠性军标m i l s t d 7 8 5 ，该标准和附属 文件成为国防合同的内容依据。5 0 年代末期美国空军在纽约的空军发展中心 成立了研究电子可靠性的分支机构，在可靠性工程中广泛应用的电子系统可 靠性预测手册m i l h d b k 就是根据空军发展中心的数据库编写的，该手册除 电子器件外，还有机械、液压等部件的可靠性，可预测很复杂系统的可靠性 在计算机技术发展的过程中，曾有过所谓的“软件危机”，在软件研制开发过 程中为了解决软件质量问题，软件可靠性呈现在人们面前，可霏性的研究领域 就扩展到了软件领域在科学技术高度发展的今天，几乎人们的活动范围内都 会出现可靠性问题，那么可靠性究竟是怎样一个概念呢? 北京工业大学理学硕士学位论文 定义1 1 ：一系统或产品在特定环境条件和规则下，在某瞬间或时间间隔 内实现某项功能成功的概率就叫该系统或产品在某瞬间或时间间隔内的可靠 性。 可靠性是对一系统或装置在特定环境下和规定时间内完成某些功能的能 力的概率表达，某系统的一次失效并不一定意味着系统不可靠，失效的频率反 映了系统是否可靠，失效频率愈低表明系统愈可靠，换言之，系统从开始工作 到系统出现失效所经历的时间愈长，系统愈可靠，这段时间称为系统的工作时 间。无故障工作时间受各种随机因素的影响不是确定的，而是随机的，是随机 变量，通常叫寿命变量各种可靠性概念是通过寿命变量定义的，描述一系统 或装置的可靠性是复杂的，有的系统可修复后继续运行，两次故障间的时间间 隔就是无故障工作时间，是随机变量有的系统是不可修复或不值得修复的， 从开始工作到失效所经历的时间就是无故障工作时间或寿命。 设x 是随机变量，表示上述意义下的无故障工作时间，通常也称为寿命 变量x 的分布函数设为 f ( t ) = p ( x t ) 则可靠性函数定义为 r ( t ) = p 僻t ) = l f ( t ) 即可靠性r ( o 为系统寿命超过t 的概率。为描述在时刻t 失效的可能性大小， 引入瞬时失效率 ( t ) ，定义为 ，= 鹄焉措= 端 第1 章绪论 其中，( t ) 是f ( ) 的密度函数可见，等誊 铲是系统寿命超过t 的条件下 系统在时间间隔内失效的条件概率，于是 ( t ) 是系统直到t 时刻还没有失 效而在之后时间内失效的变化率。因此， ( t ) 近似地为系统直到t 时刻还 没有失效而在( t ，t + ) 内失效的概率。 由r ( t ) 和 ( t ) 的定义式可知 坤，= 器= 一学 于是可得到 r t r ( 。) = 。x p 一上6 ( 。) 出 系统的平均寿命为 e x = z ”t ，。) d t = o ”t d f ( t ) = 一f 0 0 。t d r ( t ) 上面提到的可靠性函数、瞬时失效率和平均寿命这几个概念都是基于寿 命变量建立的最基本的参数，是人们比较关心的几个可靠性指标，除此之外像 可用度、平均失效率等具体的可靠性指标也常常被研究 可靠性理论研究的内容非常广泛，概括讲，就是基于数据类型、寿命分布 和要解决的问题给出统计分析的方法和理论根据由于数据类型和分布的多 样性，形成了可靠性研究的复杂性。由于实际问题的复杂性，形成了众多研究 领域。可靠性研究的基本内容包括简单系统的可靠性分析、可靠性增长分析、 贮存可靠性分析、复杂系统的可靠性分析和加速寿命试验分析。 本文所研究的冷贮备系统可靠性就属于复杂系统的可靠性分析实际系 统可以非常复杂，使用一个随机变量描述的系统在实际中是少见的，为此提出 3 一 北京工业大学理学硕士学位论文 了许多可靠性模型，最简单的就是串连系统、并联系统、表决系统、冷贮备系 统、温贮备系统等等对这些复杂系统研究的问题和简单系统一样，研究的问 题仍是对有关可靠性参数的统计推断。不过这时问题要复杂的多，主要是全系 统的数据很少，一系统往往由若干个子系统组成，由于技术和经济原因不能直 接对系统做试验或只能做极少的试验，但可获得较多的子系统试验数据。再者 由于各子系统的寿命分布各不相同，很难确定系统的分布，这些都为如何估计 复杂系统的可靠性指标带来困难由于系统结构的复杂性，以及子系统数据模 型的多样性，又要考虑维修性，使得系统可靠性研究非常复杂关于复杂系统 的可靠性参数的统计推断，一个研究方法就是确定一类系统模型，针对模型 的特点发展统计方法 1 2 几何过程的理论研究 可靠性数学研究的系统包括不可修复系统和可修复系统所谓不可修复 是指组成系统的各部件失效后不对失效部件进行维修不进行维修的原因是 多方面的，有技术上的原因也有经济上的原因，比如说维修起来难度较大或者 不值得进行维修。可修复系统是指系统部件失效后可对失效部件进行维修，延 长部件的使用寿命在实践中为了改善系统的可靠性，经常采用维修手段。可 修系统由一些部件和一个或多个修理设备( 可指维修人员) 组成，修理设备对 失效部件进行修理使其继续工作。比如一部耗资巨大的复杂系统在它的一个 或几个部件失效后是不会轻易放弃该系统的，那么就需要对失效部件进行维 修或用一个新的同样的部件替换它，从而保证系统正常工作。 第1 章绪 论 最初研究的可修系统的维修和替换模型是这样的：系统随机失效，当发生 失效时或者修复系统或者用新的同样的系统替换它使其继续工作，并且假定 系统修复如新，同时忽略系统的维修时间。在这一假定下维修或更换后的系统 连续工作时间来自一个更新过程，所研究的问题是选择一个最优更换策略使 得系统的平均费用率最小 显然这个假设不总成立，因为在实践中系统是很难修复如新的针对这 一情况b a r l o w 和p r o s c h a n 曾研究过对失效系统进行小修。所谓小修( 见文献 【1 ) 是指当部件发生失效时，仅对失效部件作应急处理，这可使典阢复工作， 但是维修后的部件寿命不变。b r o w n 和p r o s c h a n ( 见文献 2 ，3 ) 研究了以概率 p 修复如新，以概率1 - p 小修的情况 在对系统可靠性的研究中，大多研究基于假设失效部件在修复后修复如 新，这样观察系统部件的连续工作时间得到的数据不存在一个趋势，这样的数 据可以用静止点过程或更新过程来描述特别地，如果连续工作时间是独立同 分布的，并且服从指数分布，则可用齐次泊松过程( n o n h o m o g e n e o u sp o i s s o n p r o c e s s ) 来描述。但是事实往往并非如此由于时间因素的影响和积累的疲 劳，系统会逐渐老化恶化这样的系统部件失效后修复不会如新，系统连续工 作时间随机下降，有一个下降的趋势，而连续维修时间上升，有一个上升趋 势。 通常在实际中，系统部件的连续工作时间都会有一个趋势，象这里提到的 系统部件在修复后的工作时间越来越短。对于分析这种有趋势的数据，一种可 行的方法就是用非齐次泊松过程( n o n h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s ) 描述，特 北京工业大学理学硕士学位论文 别地如果连续工作时间是单调的，通常使用c o x - l e w i s 模型和w e i b u l l 过程模 型摧述。c o x 和l e w i s ( 见文歙【4 ) 曾甩a # 齐次泊松过程分析飞行器上空调的 失效率，b a s s i n ( 见文献 5 ，6 ) 用非齐次泊松过程分析可修复系统，d u r r ( 见 文献【7 】) 曾用同样的数据模型分析海军操作数据。然而一种更为直接的分析这 类有趋势数据的方法就是使用某些随机单调过程，作为最简单的单调随机过 程，l a i n 引进几何过程这一概念( 见文献 8 ) ，并进一步研究了几何过程的性 质( 见文献【9 , 1 0 ) 定义1 2t 非负随机过程 x n ，n = 1 ，2 ，) 称为几何过程，如果存在一个 常数n 0 ，使得 a n - i x n ，n = 1 ，2 ，构成一个更新过程，a 称为几何过程 的比( r a t i o ) 定义1 3 ：给定两个随机变量x 和y ，如果对任意实数a ，都有p ( x a ) p ( y o ) ，则我们说随机变量x 随机大于随机变量y ，记作x “y ， 或者说随机变量y 随机小于随机变量x ，记作y “x 进而，我们说一个随 机过程( 弱，n = 1 ，2 ，) 是随机下降( 上升) 的，如果有x n “( “) 蜀+ 。， n = 1 2 - 由这个定义可以得到下面一个引理； 引理1 4 ：一个几何过程 磊，1 2 = 1 ，2 ，) ，如果。 1 ，这时几何过程 是随机下降的，如果0 1 时 嚣，、 o a e ( ) 2 兰 1 ，则p ( 熙= u ) = 1 ，也就是说- 致n - 给定系统部件连续工作时间的观察值，那如何检验他们来自一个几何过 程? 如果这些数据的确是来自几何过程，那又如何估计参数a ， ，a 27l a x n y e h ( 见文献【1 1 ) 用非参数方法解决了这两个问题，构造了两个统计量来检验是否 一个过程是几何过程，并且采用线性回归方法给出了参数a ， ，o - z 的估计用 几何过程模型分析几个真实的数据集，并把结果与用更新过程模型、非齐次泊 松过程模型、c o x - l e w i s 模型和w e i b u l l 过程模型做比较，因为几何过程的简 单性，在实际中可得到广泛应用，以及拟合值与真实值之间相对较小的误差， 可以看出在对这类有趋势的数据作分析时，几何过程模型是一个很不错的模 型。 l a m y e h ( 见文献【1 2 】) 对于一个几何过程 x 。，n = 1 ，2 ，) ，假设x 1 服 从对数正态分布，研究了几何过程的统计推断问题，用极大似然方法和矩方法 7 北京工业大学理学硕士学位论文 估计了参数o ，a ，c r 2 ，其中a 是几何过程的比( r a t i o ) ， 和铲是x 1 的均值和 方差 l a m y e h ，y a o h u i z h e n g ，y u a n l i n z h a n g ( 见文献【13 ) 设 & = x 1 + - + x n ，n 1 记s 0 = o ，定义 ( t ) = s u p n ：岛计，t 0 于是有s n ( ost 茎s n ( t ) + 1 定义在t 时刻的寿命为 a ( t ) = t s n ( t ) 在t 时刻的剩余寿命为 b ( t ) = 鼢( + 1 一t 在t 时刻的总寿命为 y n ( e ) + l = 5 r ( 砂+ l 一号( t ) = 0 ) + b ( t ) 首先推导出几何过程的w a l d 等式，讨论了关于a ( t ) ，b ( t ) 和粕( 卅l 的极限定 理，还推导出了当n l 时关于品的极限定理。最后，对于有同样的x l 的几 何过程和更新过程，在包括寿命的极限分布、在t 时刻的剩余寿命和总寿命做 了比较。 。 1 3 几何过程的应用性研究 一8 一 第l 章绪论 对可修复系统而言，当构成系统的各部件的寿命分布和失效后维修时间 的分布为指数分布时，只要适当定义系统的状态，这样的系统可以用马尔可夫 过程来描述如果构成系统各部件的寿命和失效后的维修时间不服从指数分 布，这时可以通过补充变量法构造多维马尔可夫过程两部件的串、并联系统 是典型的可修系统l a i n 和y u a n f i n z h a n g ( 见文献 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 】) 就通过构造多 维马尔可夫过程进一步研究了两部件的串、并联系统的可靠性假设系统由两 个部件和个维修人员组成，开始工作时两部件都是新的，系统部件的连续工 作时间来自一随机下降的几何过程，部件失效后的维修时间来自在一随机上 升的几何过程然后在一定的假设条件下，增加变量构造多维马尔可夫过程， 分析了几项关心的可靠性指标，象可用度、可靠度、失效率等等。 对于几何过程更换模型，常常依据两种更换策略( 见文献 1 9 2 6 ) ，即更 换策略t 和更换策略所谓更换策略t 是从系统安装或最后一次更换开 始在系统工作时间达到t 时更换系统的策略。所谓更换策略是从系统安装 或最后一次更换开始在系统失效次时更换系统的策略考虑在更换策略t 和更换策略下的更换问题，导出平均费用率的解析表达式，找到最优更换 策略t + 和胪。并证明了在一定条件下最优更换策略优于最优更换策略 t 4 。 在系统出故障前对系统进行预防性维修是一个极重要的措施y u a n l i n ：h a n g ( 见文献 1 8 】) 研究了在修复如新的预防维修下的几何过程模型，考虑了基于系 统失效数的更换策略，得到了一个最优更换策略”，使平均费用率最低。 并且给出了系统预防性维修的固定时间间隔r ，证明了最优更换策略+ t 比 北京工业大学理学硕士学位论文 没有预防性维修的更换策略+ 好。 许多实际系统在使用过程中往往由于维修性问题考虑不周而使维修费用 大大超过系统本身费用许多倍，特别是突发性事故常造成巨大的经济损失。很 多文章利用几何过程方法研究了在不同条件下，一些可修复系统的最优更换 模型，取得了很好的效果因此对于可修复系统的研究，通过建立几何过程模 型，考虑两种更换策略下的平均费用率，是一种非常实用的方法。 以上粗略介绍了用几何过程研究可修复系统的情况，从中可以看出这些 研究都是基于给定的一定条件而进行的。由于实际情况的复杂性，不可能面面 俱到的考虑问题的每一个方面，只能在给定的条件下作出更为合理的分析。 由于众多研究人员的不懈努力，给定的研究条件越来越切合实际，研究的结果 越来越合理但是用几何过程研究可修复系统仍有许多工作要做，还有很长一 段路要走理论只有经过实践检验才更有力，对于可靠性的研究同样如此，经 过理论研究得到的结果，只有得到实践验证后才能说明理论成果的价值，将其 投入到生产中去才更有意义 第2 章冷贮备系统的可靠性 曼! ! ! ! ! 皇! ! ! ! e l ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 皇! ! ! ! ! ! ! 皇! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 兰! 第2 章冷贮备系统可靠性 2 1 冷贮备系统介绍 在可修复系统中除了串，并联系统之外还有冷贮备系统、温贮备系统等 等。而且在某些环境条件下冷贮备系统是非常适用的，比如配置在远洋轮船中 的系统，在高温潮湿的环境下，系统部件失效后必须马上用另外的同型部件替 换失效部件使系统继续工作，但是更换需要一定的时间，在这种情况下冷贮 备系统就非常管用目前研究冷贮备系统可靠性的文章很多，但是没有引进几 何过程进行分析。从系统本身和几何过程的性质来看，建立几何过程模型分析 冷贮备系统可靠性是很有意义的事情那么冷贮备系统究竟是怎样的一个系 统呢? 冷贮备是指部件在贮备期间不失效也不劣化，贮备期的长短对以后使用 时的工作寿命没有影响。 定义2 1 ：一个系统被称为冷贮备系统，如果构成该系统的一些部件工作 而另外一些部件作冷贮备，当工作部件失效后，贮备部件立即代替失效部件 开始工作，并且在贮备过程中贮备部件不发生失效。 冷贮备系统包括不可修冷贮备系统和可修冷贮备系统。不可修冷贮备系 统由n 个部件和转换开关组成，初始时刻一个部件开始工作，其余n 一1 个作 冷贮备，当工作部件失效时，贮备部件逐个去替换，直到所有部件失效，这时 系统失效在实际中，冷贮备系统的转换开关很可能会失效，转换开关的好坏 北京工业大学理学硕士学位论文 是影响系统可靠度的一个重要因素，转换开关的失效一般有两种类型：开关 寿命0 - 1 型和开关寿命指数型。可修冷贮备系统包括由砧个部件、一个转换开 关和一个修理人员组成的冷贮备系统，有优先权的两部件冷贮备系统等前者 在初始时刻所有部件都是好的，一个部件工作，其余部件作冷贮备，当发生失 效时，贮备部件之一立即替换它转为工作状态，同时维修人员立即对失效部 件进行维修，当维修人员正在维修某个失效部件时，其他失效部件必须等待维 修，而修好的部件或进入冷贮备状态或立即进入工作状态，并假定开关转换是 瞬时的后者部件l 比部件2 有优先权，如果部件1 维修完，这时部件2 在工 作，则部件l 立即进入工作状态，部件2 转入贮备状态，如果部件1 故障，部 件2 正在维修，则部件2 暂停维修转入待修，而对部件1 进行维修 对于冷贮备系统可靠性的研究很多，e d m o n dj v a n d e r p e r r e ( 见文献 2 7 ) 研究了有一个维修人员的，工作时间是独立同分布的随机变量，完好维修的，每 一个部件有常数失效率的多部件冷贮备系统的可靠性y u a n l i n z h a n g 在( 见文 献 2 s 1 ) 分析了由两个同型部件和个维修人员组成的可修复冷贮备系统，他 假设每一个部件在修复后都不是修复如新的，在这个假设下，利用几何过程 的方法，考虑了部件l 的基于更换次数的更换策略，导出了长期内的单位 时间平均报酬的表达式，并因此得到一个最优更换策略+ ，使得长期内的单 位时间平均报酬最大 2 2 两同型部件冷贮备系统可靠性 本文所要讨论的是由两个同型部件和一个维修人员一个转换开关组成的 第2 章冷贮备系统的可靠性 冷贮备系统的可靠陛，首先作如下假设 假设2 ：初始时刻一个部件( 部件1 ) - r 作而另一个部件( 部件2 ) 作冷 贮备，当工作部件( 部件1 ) 失效后转换开关立即切换到贮备部件( 部件2 ) ， 假设3 ：当一个部件失效需要维修而另一个部件正在维修中，则系统失 假设4 ；设硝为部件i 第n 一1 次维修后的工作时间，x 扎趟“，硝) 相互独立，i = 1 ，2 ，且 硝) ，n = 1 ，2 ，) ：l ，2 构成一个非升的几何过 假设5 ：设x 的分布函数为f ( 。) ，密度函数为，( z ) ，e ( x ： 胁v a r ( 尉) ) = 。2 ，i = l ，2 x 的分布函数为r p ) ，密度函数为厶 假设6 ：设x 为系统无故障工作时间，记x 5 1 = 0 ，弼2 ) = 0 。 定理2 2 ：在上述假设条件下，由两同型部件构成的冷贮备系统的可靠性 r ( t ) _ 。曼& ( t ) 踟) ：1 _ 岳( 6 孚柏宁) 如，郴点_ 【l 一名( 矗；+ “) d z ，n = 2 ，4 ，6 ， 北京工业大学理学硕士学位论文 这里h 。为壹霹1 的密度函数。 i = 1 证明：记 y o = 0 m ：耐1 y 2 = x 1 + x 2 i 3 = x f l ) 十x 2 ) + 硝1 ) y 4 = x 1 + x i 2 ) + x p + x 乎 硷“：k 碰1 ) + k 厶- 1 。，( 2 ) i = i 1 = 1 。 y 2 。：圭( 耐) + 碰。) 又记( t ) = k ，如果h t ，y k 一1 坎 一 0 x p p 言脚 0 圪 p 玩 一 砂 一 一 玖 以 限 尝 = | | 第2 章冷贮备系统的可靠性 n 记晶( t ) = e p ( v k 一1 t ) 一p ( 职 t ) ，则有 k = l n s n ( ) = p ( y k 一1 t ) 一p 陬 t ) k = l = p ( y o t ) + p ( m t ) + p ( y 2 t ) + + p ( 碥一1 t ) 一 p ( m t ) + _ p ( 硷 t ) + + p ( t ) 】 = p ( y o 茚一p ( k t ) = 1 一尸( k t ) 叉磷，i = 1 ，2 ，n = 1 ，2 ，的密度函数为，n ，记 z f i ) = x ) 零= 霉) + 硝) z = 琶i ) + 列2 ) 硝= 理，+ 硝 则z z 乳，z g 的密度函数分别为 1 ( z ) = ，1 h 2 ( z ) = h i ( z ) 厶 h 3 ( z ) = h 2 ( z ) t 南 一毛兰书 m = ” n 吼k譬枷露 卜 + 即时 m咖m咖 叫 以 一 一 ，ii_j(1ili_i、 = 晶 北京工业大学理学硕士学位论文 所以 h 4 ( z ) = h a ( z ) ，4 。一1 ( z ) = h 一2 ( z ) 一l h 。( z ) = h n 一1 ( z ) a p ( ( 墨1 + 划2 ) t ) i = o p ( 碰1 + 砑2 t ) ) i = 0 j = o ， ( k + h n ) d x j 0 ( k + h n - 1 ) d z j 0 t 篙嚣n = 一2 , 4 芝? 从而有r ( t ) = 。期晶( t ) 。 2 3 小结 本章对冷贮备系统作了简要介绍，重点考虑了由两个同型部件、一个维 修人员和一个转换开关组成的可修复冷贮备系统的可靠性首先针对系统做 模型假设，在这里假定系统部件失效后不是修复如新的，然后推导出系统可 靠性的解析表达式在计算机技术高度发达的今天，如果观察到冷贮备系统两 部件连续工作时间的观察值，经验证这些数据来自一个参数为。的几何过程 矗，n = 1 ，2 ，) i = 1 ，2 ，那么在x 1 已知的情况下，就可以运用计算机算 出系统可靠性，而且还可以要求一定的可靠度，看两部件需要维修多少次才能 达到指定的可靠度。 一1 6 第3 章 冷贮备系统参数的极大似然估计 第3 章冷贮备系统参数的极大似然估计 3 1 几何过程参数的极大似然估计的存在性 一、考虑样本为捌“，x 引，硝”，趣孙，硝) ，砰的情形。 似然函数 l ( o ；x ) 对数似然函数 n f n l ( 口；x ) = n 伽一1 ) f n 。+ ( 1 n ( a i - 1 趔1 ) + l n f ( a i - 1 捌2 ) ) t = 1 上式对a 求偏导得到 警= 掣+ 妄( 型禁孝型+ 业裟考型) 令笔莘= 0 得到方程 。：，(、f(a“i-lx一。l五)?(一i，-。1。)ai-，l，x。1)-+j雩ii；i乏磐)+：。cs， 设a o 为参数。的真值，则上式变为 妻1 = 1 ( 盟蔫等i - 掣1) + 一 ，( ( 嚣) 一1 耐u ) n ( n 一)1 妻i = l ( 盥蔫i 等- l c t ；- 群) 。一 ，( ( 云)1 x n ( 礼一1 )1 1 一“ 2 巧 。 扩 ， o 一 。触 碰 o 0 ， o o 。曲 = 2 碰 o o ， 砭 q o ， 。汹 一 d | i 北京工业大学理学硕士学位论文 令。矿1 趟1 = z i ，n 扩1 2 ) = k 则磊，k ，i = 1 ，2 ，为独立同分布随机序 列，令蔚a = a ，上式可变为 记 则 娄( 骘档铲+ ! ! 竺：蔓! 竺：! 堡2 伽一1 ) f ( o i 一1 k ) 跏= 喜塔器铲 帅，= 号咎学 1 + l = o( 32 ) r 。 e w l l ( a ) ：w i ( o e ) f ( z i ) d z i j 0 = z 0 。号器掌地，觑 记弘= 矿1 玑w 。= 晰乎 删口，= z 。糍产，c 轰击屯 = z o o 讹，t 万y ij 再1 妣 = 马( 嘶) 这里一= _ 1 表示尺度参数 下面假设b ( m ) = 一a a 4 + ( 4 1 ) ，v a ( 眦) = b 口 ，厚，j 4 ，b 为常数。 事实上许多分布满足这一条件。 1 8 第3 章冷贮备系统参数的极大似然估计 1 设玑服从参数为a 的指数分布，则瞩= 一x y i b ) = 一f o c 。a y ) , e x p ( 孑y ，孑1 e x o 曲b ( 碱) = 一 = j _ 曲 uu =a f o c x 3y e x p ( 一a 孑y ) d ( 一 孑y ) a 2 yae x p ( 一a 兰) 三曲2 = a a 兰) 三曲 j 0 盯盯 ：2 a 2 于是有v a t 。( ) = a 2 ，c v ，= 0 三：1 e x p ( 一卢g ) g 。 晶( - k ) = ( ，y 1 ) 一7 口 v a r ( w i ) = 7 口2 ，c v ，= 0 筌：1 e x p ( 一t p g p ) ) 。 e a ( i 址) = ( 卢一1 ) 一卢口4 1 0 北京工业大学理学硕士学位论文 s ( 扎，n ) 则有 v a t 。( 眠) = p 2 ( 口) 2 口 n 而i i - 1 可( m b ( 碱) ) ( 3 3 ) 定理3 1 ：设眦，i = 1 ，2 ，n 为独立随机变量序列，如果满足 。里军。尸(鬻n2z ) = 圣。，一佃儋赫叫瞩，一j 。 这里的圣( ) 是标准正态分布 证明：设的特征函数为州亡) ，! 差雩耋攀的特征函数为 善舞导一( 眦 绯椭y = 唇n 丽i - 1 2 i i v = e x p ( 一i 易 l = 1 、 n = ( 一i e a ( w t l = 1 、 c m ，赫) 也( 赫t ) ，赫咖( 赫t ) ) 2 0 嚣 呱 器 。湖 t 第3 章 冷贮备系统参数的极大似然估计 将上式在t = 0 处泰勒展开 n 掷，= 耋( 一t 易c 职，赫+ i bc 瞩，端) 十 耋( 甲1 ( 咧赫n 2 + o ( ( 稿戌3 ，) = 耋( 甲1 c 刚赫丹2 州c 赫n 。，) = 一扣薹no ( ( 赫序3 ) 可得。旦= 一 t 2 由随机变量的分布函数与待征函数一一对应可知。_ + l i r a + 。of ( z ) - 圣( 。) ，这里 f ( 。) 为竺毳立霎掣的分布函数 1 僖嚣鹭”。h ( 毗 定理3 2 ：设睨，i = 1 ，2 ，n 为独立随机变量序列，如果满足 薹n 希毒2 哳胍) o 。 则有蓦- - 1 i - 1 t v l l 一日( 碱) ) - o 叫 证明：由定理3 - 1 可知i 蔫舞c 。， 根据圣( ) e x p ( - 譬) 可得 o 。 ，n 圣1 p ( 善淌c 毗n = 2 - l ” 1 2 1 易c 刚雩) 北京工业大学理学硕士学位论文 差p ( 耋淌c m 蚓刚雩) = 薹p ( 等耋嘉南c 砒一日c ，讵丽) 圣志“p ( 一m ) = 薹志 。 由b o r e l c a n t e l i 引理可知 蚤蒜南( 一玩( ) ) 一o 。s 定理得证 定理3 3 ：设e ( w d = 一a a # - 4 - ( a 一1 ) ，v a r ，( w d = b a ”，其中a ，b ，肛 为常数，则当n 充分大时，在区间( 每i 焉，再) 内存在方程( 3 2 ) 实根 a 。o s 即l a g 一1 1 百1 n 5 证明； 嘶，= 娄等黑等 = 砉淌e a ( w d + 刮i - 1 ) 、_ w , 圳刚 如果司以证明 1 量未南( 一日( 眦) ) 一+ 0 一 2 蚤杀与b ( 碱) 在扩= 1 + i 1 时小于一 ，在一= 1 一i 1 时大于一。 则定理得证。 首先证明1i = 1 可( 瞰一日( ) ) _ o8 s 第3 章冷贮备系统参数的极大似然估计 = 而bi - ( h ) 2 ( a 2 4 ) ”1 ：器争1 ) ( 川2 吖。3 + 旦n ( n - i ) 2 虹i = i 1 ) ( 泖2 = 器( 扩广1 ) + 器( 静r 。) ：器( 等) “+ 器( 等)2 而i 砰l t 二i 矿+ 而i 币1 = 孑矿， - 令a 2 , b = 1 + i 1 ，当n 一。时有叠蒜；岛y 。r 一( w d = 一( 1 + e ) b 。 令d 2 口：一石，当n _ o 。时有苎蒜i - 奇i 2y r，(w011 ( w o = ( 1 一；) b o 。 令d 2 卢= 一石，当礼_ o 。时有墨 ；奇y r 一 = ( 1 一i ) b o 。 由定理3 2 可知a 2 p = 1 士j 时，耋希与( 嗽一岛( ) ) _ 。们 下面证明第2 点 南只知f 。f 砒1 ：- a a z + f a 一1 ) ， ( w ；) a ( o 一1 ) 口+ ( a 一1 ) ) = 一l 。i - - 1 ，p r l + 竽 = 一蒜喜卜坝瑚+ 孚 = 一蒜c 静叫+ 竽 2 3 甲 引 删一一一 。渤。h 岛 卜 淌淌 。：l。础 北京工业大学理学硕士学位论文 一蒜n ( n 1 ( 孚1 譬) j + 生21 、 一。卢。 a o 口 一礼( n 卢) “一11 一( n p ) ”1 a l 一元万可o 1 _ = i 一+ 币_ 研j + f 令护= 1 + i 1 ，则当n _ 有 喜晶b c 卜鲁一j 1 令= 百a ，当n - 0o 。时有 l 耋端昂c 睁c 一鲁吲1l s - - - - 罢 即量意与毋( 毗) 一；， 可以得到当o z 4 = 1 + 再1n _ o 。时，有s ( n ，a ) o o 时，硐 i = l 堕n ( n 芝- 1 ) 地f ( a i - 幽l z i ) 十等1 ) f 墼( a i 铲) + l 。( 3 a ) 扎( n 一一1 )7 下1 、” p 一， 令。p = l 一；1 ，贝0 当n _ o o 有 娄耥马( ) 呻一罢+ 互1 令e = 一导q - i a ，当n _ 。时有 l 砉满日c 暇h 一鲁+ 互1 ，f 一 ， 可以得到当0 4 = 1 一百1n _ 。时，有s 西，。一； 同理当扩= 1 一i 1 ，n - o o 时，有 耋( 旨憨铲+ 瓮饕铲) 。c s s ， ：三n ( 礼一1 ) ，( a z 一1 z t )忆( n 一1 ) ，( 五西1 眨i j 中1 “ l m a j 由零点定理可知当n 充分大时，在区间( 矿i ，五习内存在方程( 3 2 ) 实根翰，且i a 2 1 1 ，且满足 l - n 寨刨 一2 6 第3 章冷贮备系统参数的极大似然估计 如果e z 1 1 3 。，则有 l i r ap 辱 o 。 如果e z ；“ ) e ( 研+ a ) 妻。慧a 争e 喾然。妻 喾蕊。嚣a 禹 鬲 第3 章冷贮备系统参数的极大似然估计 i l l l 进而有 妻引珈) 喾妻燃。 ) 曼警黑毫n 譬6 o 。 n = l 5 0 = 2 iln = 1 一一 于是由b o r e l c a n t e l l i 引理可得 引理得证。 n 口。i z i - + e ( z 1 ) 口s = l 前面所说的几何过程参数极大似然估计的强相合性是在证明存在性的同 时得到的结论，下面将采取一种通常的方法来证明几何过程参数。和指数分 布参数8 的强相合性 设x 扎t = l ，2 服从参数为0 的指数分布，即 m ) ：j e x p ( 一协z o 【o ，z 。当n 足够大时，( a n eu ( ( ：) ) n a 如果向量函数t s ，”存在反向量函数吼”，2 ( 薹：) 则 ，= 。，= 一贱一。 眠( s ，t