（概率论与数理统计专业论文）在带利率风险市场上保险公司的最优投资.pdf

我们考虑的是一个由复合泊松过程刻画的风险过程，在 有利率的资本市场上，保险公司可以通过适当的投资，使得 风险过程的破产概率最小。本文中，我们首先给出了一个 b e l l m a n 方程从而求得了保险公司的一个适应的投资策略，并 证明了它的最优性，然后文章给出了b e l l m a n 方程解的存在 性，且讨论了几种特殊情况。最后我们由b e l l m a n 方程得到 了带利率无投资的风险模型的破产概率的l a p l a c e 变换解析 式。这是我们的一个意外的结果，且它与s u n d t t e u g e l s ( 19 9 5 】 结果一致。 关键词：随机控制；b e l l m a n 方程；破产概率；投资策略 中图分类号：0 2 1 1 0 2 2 4 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sar i s kp r o c e s s m o d e l e da sa c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s i na r i s k y m a r k e tw i t h i n t e r e s t ，t h er u i np r o b a b i l i t y i sm i n i m i z e d b y t h ec h o i c eo fas u i t a b l e i n v e s t m e n ts t r a t e g y t h eo p t i m a ls t r a t e g yi s c o m p u t e du s i n g t h eb e l l m a n e q u a t i o n w e p r o v e d t h ee x i s t e n c ea n d o p t i m a l i t y o fa s m o o t hs o l u t i o n a tl a s tw ed i s c u s st h er u i n e s t i m a t e su n d e ri n t e r e s tf o r c e k e y w o r d s ： s t o c h a s t i c c o n t r o l ； b e l l m a n e q u a t i o n ；r u i np r o b a b i l i t y ； i n v e s t m e n t s t r a t e g y a m s ( 2 0 0 2 ) ：6 0 k 9 9 ；9 0 8 3 0 ；4 9 j 1 0 主要记号及其意义 ( t )泊松过程。 s ( t )复合泊松过程。 r t ：经典风险过程，它表示保险公司保险业务的现金流。 c 保险费率，它表示保险公司单位时间收到的保费。 五，i = 1 ，2 ，：索赔变量，独立同分布。 a 泊松过程的强度。 盯 风险系数。 b t布朗运动。 “索赔变量均值( 数学期望) 。 。 金融市场中证券的收益率。 b 金融市场中证券的波动率。 r 金融市场中利率。 t ( t )保险公司的余额过程，即保险公司投资业务及保险业务的现金流。 仉( t )投资在第i 种股票的份数。 最第i 种股票的价格。 a保险公司投资在股市的资金。 口( t )保险公司投资在股市的份额 q索赔变量分布。 1 背景 二十世纪7 0 8 0 年代，保险公司巨灾风险索赔的出现使得保险数学受到了很大的影 响，它为9 0 年代保险数学的发展提出了新问题，新方向。这主要表现如下两个方面：首 先，随着社会发展水平的提高，保险公司对风险管理要求也随之提高，他们需要对风险 有一个更全面、更精确的估计，这就要求有新的数学和统计方法。从极值理论到数学金 融都被引入到保险数学中，极大地丰富了经典的保险理论和方法。其次，通过迅速发展 的金融市场，保险公司投资有了新的可能。如何投资使得保险公司风险最小收益最大， 如何有效地对市场做出及时地反应，已经成为一个新兴的课题，因为这对保险公司的生 存有着决定性的作用，而且也已经引起了很多学者的关注，而随机分析和随机控制为保 险数学的研究提供了一个很好的有效工具。 随机控制理论是在金融数学中得到很好的应用和发展，它作为一种工具用来解决保 险问题是很自然的，但是直到最近几年才发展起来。很明显，市场中有很多控制变量可 以随我们所用，如再保险，分红合作保险，证券投资，或者用一些新的方法( 如发行公司 债券融资等) 。给定一个最优化标准和一定的手段( 控制变量) ，通过标准的控制工具即 h j b 方程，最优解可以定义出来，甚至计算出来。值函数的光滑性也可以证明。 早期在研究保险控制问题的文献有g e r b e r ( 1 9 6 9 ) ，b f i h l m a n n ( 1 9 7 0 ) ，d a y a n a d a ( 1 9 7 0 ) 和m a r t i n l s f ( 1 9 7 3 ，1 9 8 3 ；1 9 9 4 ) 。j e a n b l a n c p i c q u s h i r y a e v ( 1 9 9 5 ) 以及a s m u s s e n ， t a k s a r ( 1 9 9 7 ) 考虑了这样一个问题：对一个带漂移的b r o w n 运动，寻找最优的合作策 略，使得贴现股息( 红利) 期望值最大。b r o w n e ( 1 9 9 5 ) 是最早把索赔过程和投资都 考虑在同一个模型中，他得到一个令人惊讶的结果：是最优投资策略是保险公司投资固 定数量的资金在风险市场中。这个结论似乎与现实矛盾，因为我们总认为”富裕”的公 司应该投资更多的资金在风险市场中，而相对”贫穷”的公司应该投资更少。这个看上 去似是而非的结论是最小化破产概率而言的，这本身就是一个极为保守的最优标准，尤 其是对于”富裕”的公司而言。后来p a u l s e n g j e s s i n g ( 1 9 9 7 ) 文中模型也考虑了投资回 报在内，在p a u l s e nf 2 0 0 2 ) 文中他还在同一模型中考虑了股息( 红利) 有偿付能力的约 2 束的情况。h c j g a a r d t a k s a r ( 1 9 9 9 ) 扩展了a s m u s s e n t a k s a r ( 1 9 9 7 ) 的工作，考虑再保 险允许时最优的分红计划( d i v i d e n dp a y o u ts c h e m e ) 。后来h o j g a a r d t a k s a r ( 2 0 0 1 ) 解 决了p a u l s e n g j c s s i n g ( 1 9 9 7 ) 文中更为复杂的模型。这些工作都是和扩散过程有关的， 可以作为一种近似。在a s m u s s e n ，h o j g a a r d t a k s a r ( 2 0 0 0 ) 文中，就把近似成为模型计 算的一部分。 很多学者讨论保险控制问题是用一种非扩散过程的方法，这就是跳和扩散结合的模型 ( j u m p d i f f u s i o nm o d e l ) 。早期在这方面工作主要有g e r b e r ( 1 9 6 9 ) 和b f i h l m a n n ( 1 9 7 0 ) 。 他们的风险过程都是由复合泊松过程刻画的，即经典的风险过程。在b r o w n e ( 1 9 9 5 ) 的基 础上，h i p p p l u m ( 2 0 0 0 a ) 讨论了风险过程为复合泊松过程时保险公司的风险投资最优 策略。他们利用b e l l m a n 方程找到了一种使得保险公司破产概率最小的投资策略，并且 证明了投资策略的最优性和方程解的存在性，s c h m i d l i ( 2 0 0 1 ) 把他们的模型扩展到再保 险控制问题，得到了使得保险公司破产概率最小最优的再保险比例。相关的保险控制问 题还可以参看h i p p p l u m ( 2 0 0 0 b ) 。在h c j g a a r d ( 2 0 0 1 ) 文中，保费费率倚赖于保险公 司业务的规模，他的目的是找到最优保费收缴方案，使得保险公司获利期望现值最大。 本文主要讨论的是在有利率风险市场中，保险公司可以通过投资风险市场，寻求最 优的投资策略使得保险公司的破产概率最小。第二节介绍数学模型；第三节介绍b e l l m a n 方程，并且求出了最优的投资策略；第四节证明了b e l l m a n 方程的最优性；第五节证明 了b e l l m a n 方程的存在性；第六节讨论了几种特殊情况；第七节讨论了在a ( 8 ) 投资策略 的有界性；第八节我们做了一个实例。 3 2 数学模型 数学模型是我们讨论问题的基础，在第一节中我们着重介绍经典的风险过程，第二 节描述了金融市场及其部分性质，第三节中我们还介绍了带利率的风险过程。第四节讨 论了风险市场中保险公司投资模型。 2 1 经典风险过程 一个经典的风险过程中风险是指由投保人风险发生时引起的累积索赔，我们用一个 复合泊松过程s ( t ) ，t 0 刻画， v f n s ( ) = 五 i = 1 其中泊松强度为a ，个体索赔变量x i ，i = 1 ，2 ，独立同分布，索赔分布为q 。设保险 公司的风险余额过程为r ( t ) ，它满足： d r ( t ) = c d t d s ( t ) ，r ( o ) = u 这里c 是保险费率，u 是保险公司的初始准备金，p ( q ) = fx d q ( x ) 为个体索赔分布的 数学期望。刻画风险过程还有一种方法：借助一个带漂移的b r o w n 运动逼近。 d r t = a d t + a d b t 其中。：c a 卢，口：a e ( x 2 ) ( 参见文献a s m u s s e n t a k s a r l 9 9 7 ，m i c h a l it a k s a r x u n y u z h o u ( 1 9 9 8 ) ) 2 2 金融市场描述 在无摩擦的证券市场中，假设有一种债券和一种股票，债券价格p 0 ( t ) ，股票价格p ( t ) 满足下式： d p o ( t ) = p o ( t ) r ( t ) d t d p l ( t ) = p l ( t ) b ( t ) d t + c r ( t ) d w ( t ) p 0 ( o ) = p o p ( o ) = p ( o ) 4 6 ( t ) 为回报率，o ( t ) 为波动率，r ( t ) 为利率。( 6 ( ) ，仃( ) ，r ( ) ) 确定了，就给定了一个市 场。假设证券投资市场是无摩擦的，即股票债券可分，无交易费税收等，交易时刻和额 度都是连续的，存贷利率相同。假设( 6 ( ) ，a ( ) ，r ( ) ) 有界，即 ( m 1 ) r ( ) c 罗( o ，t ；r ) 6 ( ) w ( o ，t ；r ) 仃( ) ew ( o ，丁；r ) 设( 丌o ( t ) ，”( t ) 是一个投资策略，7 0 ( t ) 表示投资债券的份额，”( ) 表示投资证券的份 额，尸0 ( f ) ，丑( f ) 分别表示债券和证券的价格。 定义2 1 投资方式称为自融资的，如果除了初始投资外，在整个投资过程中既无资金注 入，也无资金撤走。即( 珊( t ) ，”( t ) ) 是自融资的，如果 h ( t ) e 4 t ) i = 0 引理2 2 如果( f r o ( t ) ，丌l ( t ) ) c 梦( o ，丁；r 2 ) r l b 略( 【o ，t ，r 2 ) ，贝1 l 宴只c r 胁灯，= 。j 窑只c r 胁加，= 。 引理2 3 如果( m 1 ) 成立，则v ”( ) c 多( o ，t ；r ) ，存在唯一的7 1 0 ( ) 使得( 7 1 - 0 ( ) ，7 r ( ) ) 是自融资的。 2 3 带利率风险过程 在一个带利率的资本市场中，保险公司将钱存入银行，他会获得利息收入，从而增 3 0 h t 他的资本，破产概率因此变小。在s u n d t t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 文中，他们讨论了没有投资 的情况下保险公司在带利率市场中的破产概率。模型如下 其中r 为银行利率。 n ( t ) d 皿= c d t + r d r t 一x 6 r ( o ) = 札 i = t 5 丁 一 0 ，r 0 是固定的参数，而且一般说来，有a r 。s ( t ) 是标准的 w i e n e r 过程在t 时刻保险公司拥有口( t ) 份市场( 股票) 指数和o o ( t ) 份债券。定义： a t = 目( t ) 只( t ) 为投资在股票的资金流。在h i p p p l u m ( 2 0 0 0 ) 文中，a t ，t 0 满足以下 性质：r ( t ) ，t 0 是一个保险公司的资金流， 最优的投资量a t 是关于现有资金t ( t ) 的函数 a ( o ) = 0 且a ，( s ) 在0 处有极值； 函数a ( s ) 对重尾型的个体索赔分布不一定保持有界性，但是对服从指数分布的个体索 赔保持有界性。 本文考虑的模型是在h i p p p l u m ( 2 0 0 0 ) 的基础上，考虑了更一般的情况，即在带利 率的资本市场中保险公司的最优投资，我们也要求a ( s ) 满足上述三个性质。 6 由引理1 3 可知：如果( 如( ) ，9 ( ) ) 是自融资的，在t 时刻保险公司在t 时刻的总资 产增量为： d t ( t ) = d r ( t ) + p ( t ) d p ( t ) + o o ( t ) d p o ( t ) + p o ( t ) d o o ( t ) + p ( t ) d t ) ( t ) + ( t ( t ) 一p ( t ) e ( t ) 一p o ( t ) o o ( t ) ) r d t = d r ( t ) + 口( ) d 尸( t ) + ( t ( t ) 一p ( t ) o ( t ) ) r d t ，r ( o ) = s 这里r 为银行利率，且我们假设借贷和存款利率相同，因为投资债券和存银行的收 益和风险都是相同的，所以我们主要重视的是投资股票指数的份数。我们的目的就是在 所有可容许投资策略e 圭 丁( - ) ，丁c ( o ，t ；f 矿) ) 中选取以，使# 8 , p a t 破产概率最小： 皿( s ) = p j t ，t ( t ) s 时，公司生存概率为0 ，当y s 时，则公司生存概率为垂( s y ) ，所 以如果索赔发生，保险公司生存概率为中( s y ) 1 y s 。) 。 记a b t = b ( t + a t ) 一b ( t ) ，如果没有索赔发生，这种情况发生的概率为1 一a a t ， 则生存概率为： 西 s + e a t + o p d a a t + b a b t + ( s 一目只) ) r t ) 用图表示如下： 垂( 8 ) 由全概率公式有 索赔发生。概率为 t 圣 s4 - c t4 - o p t a a t4 - b a b t 】4 - 陋一日只】r t ) 索赔不发生，概率为1 一a & t 垂( s ) = ( 1 一a t ) 西 s + c t + o p , a i t + b a b t + 【s o r & a t + a a t 西( s y ) 利用i t o 公式，展开并取条件数学期望可得 e ( o ( s ) l p ( t ) ) = e 垂( s ) + a e 圣( s y ) 一西( s ) + 西( s ) c + o p t a + ( s p 最) r + 1 2 西”( s ) ( 巩只) 2 a t + o ( a t ) l p ( t ) 引入a = 目b ，最大化上述等式，我们得到问题的b e l l m a n 方程如下： s u p a e 圣( s y ) 一圣( s ) + 中，( s ) 【c + a 。+ ( s a ) r + 罢圣，( s ) a 2 ) = o ( 3 1 ) a 。 8 如果( s ) o ，令t = i n f t 0 ：b t a + b t 则 p ( t s 0 ， e ( e x p p b t - i p 2 t l 五) = e x p p b 。- i p 2 t ) e ( e x p p b t - p b 。) ) = e x p p b , - i p 2 t ) e x p 譬t i p 2 s ) = e x p p b 。- i p 2 s ) 从而可知e x p p b 。一譬t ) 是鞅。因为l i m _ + 。m t t = m t ，由控制收敛定理可知m t r 县右闭就从而县一致可积腆 f ( 如) = 1 = e ( m t t ，t o 。) + e ( 4 r ，t = 。) = e ( m t ) p ( t o 。1 + 0 辛尸( 丁 o 。) = 面石1 而= e e x p p ( a + b t ) 一i p 2 t ) ) ：f 唧 - p a - t ( 加一嬖) ) ) 取p = b + 晡代入上式，得到 再令_ 0 ，即得 p ( t 0 ，如果日( t ) 是任意一个适 应的投资策略，定义在0 t 0 ，圣：( s o ) = 0 ，表明虫：( s o ) s0 ，从而e 中( s o y ) 一中( s o ) 0 ，这 与西( s o y ) 中( s o ) 对任意的0 0 ， 则v s 0 ) 0t ，a t ( s ) 0 ；反之，如果3 s 【0 ，巩a t ( s ) 0 ，则3 t l 0 ，s ，使得 e + ( a r ) e 2 t 1 + b e 2 b t l 0 p z l r 墨p ( 3 t ，a t ( t ) 0 ) p ( j 1 ，+ ( a r ) e 2 t l + 6 e 2 b t 。 o ，在( o ，o 。) 上，( s ) 0 ， c 1 0 ，2 ，定义 在r 上定义范数 q 。 ” ：= s ，u 。p 0 。；i ”( s ) 一”( o ) s e5 r 。：= v c 1 o ，e 2 ：q i v o 。) v ( s ) = m a x l l v ( 8 ) 怯，l v i ( o ) l ，e q 。m ) 可以证明( r ，”是一个b a n a c h 空间。事实上，设 是( r ，”中的基本序列 ”。一”。忆 0 = i i ”。一”。l i 。，| u 二( o ) 一”。( o ) 叱l q 。i v 。 一q 。 ”。 f 0 我们只要证明 ：= l i m 。_ + o 。的一阶导数存在，且( s ) 一u7 ( o ) i 0 11 1 1 2 二! ! ! ! ：! f ! 垒2 二! ! ! ! 竺! ! ! ! 垒2 二! ! ! 1 2 ! 垫( 1 2 二! ! ! ! hh ( s + h ) 一 。( s + h ) 。( s + h ) 一v n ( s ) v n ( s ) 一 ( s ) nn凡 1 m 坐型二丛! 垒2 n叶o。h ：o ，l i m 型立；盟：o n - + o 。 凡 !i强亟生必：。h _ 0 o l i mi 坐型掣一l i m 。l h 一0 凡 7 。 鲫h - m + o i 熙塑坐h 堂型舰必hi 0 一 l n _ o 。 。 n 叶。 i 一 寺u c 1 o ，e 2 1 4 丛刨丝堕二! 生剑些! ! l 二丛12 s l i m 丝生二盟此o ，l i n - i 世! l 业刘：0 n _ o os 4 n o o s 丛生二堡剑 帅 ( s ) = 一番小) 日( 州v + 南似s ) ( c ) _ c 耶) ) 0 ) 上，且满足( 5 5 ) 。只需证明对s = h ，( 55 ) 仍然 成立。因为( 5 4 ) ，( 5 5 ) 表明：在 0 ，h ) 上u 协) 0 在i o ， ) 上， o ，日 0 ，日0 矛盾。所以“( ) 0 。再设 妒m ( ) = 0 ，由( 5 4 ) 和( 5 5 ) 可知l i m 。 u ，( s ) = 一o 。，又因为q 有有界局部密度函 数，这就暗含了： l i m 砂 吖一番 z “州间g ) d y + u ( o ) 删 + 志) ( c ) 蜘( 旷。州啪 = 番 z “m 刊毗) + 2 邮坝旷即m m b 2 + 商 札7 m ) ( c + r 矗) + r u ( ) 一c h ( ) ) 这与( 5 5 ) ，矽( ) = 0 矛盾，所以妒m ( ) ( 0 。 第三步，证明在 o ，h i 上，满足方程( 55 ) 的解u e 1 ( o ，h in c o ，h i 都可以唯一的延拓 到f o ， + 叫，q 0 。而且在f o ， 十叩) 上，( 5 5 ) 仍然成立。这个证明也是利用b a n a c h 不 动点原理，不同的是我们的b a n a c h 空间改为 + 叩】，i f o o ) ，闭子集为： d ”，一：= 口c h ，h + 叫：”( ) = 让( ) ，i i v u ( h ) l l 。p ) 定义算子： 酬s ) ：= 嘶) + z 。蒜峨”咄蚓九，叫 这里： 嘶) = = 一番耶刊蚺小娜刊由) + i 五 ”( s ) ( c + r s ) 一c f f ( s ) ) 通过一系列基本的运算，可以知道如果q 是足够小，p 足够大，t 从d 。映射到自身 是一个压缩算子( 见附录) 。由b a n a c h 不动点原理可知存在唯一的虬满足给定性质。 第四步，我们证明解在 o ，o o ) 的存在性，记“( o 为【o ，2 上由第一步得到的解，由f 5 4 ) 和( u o ( s ) ) 0 可知：在 o ，e 2 上，满足( 55 ) 。现在我们记h + 为满足( 54 ) 和( 5 5 ) 条件的最大值，唯一性保证了u = u l l o ， 】，对任意的e 2sh 五 + 。因而可以定义 u c 1 ( o ， + ) ng o ，九+ ) ，满足( 54 ) ：在 o ，胪) 上的u ( o 】= 札 ，h 陋2 ， + ) 由它唯一 的延拓到( ，旷) 上。如果 0 ，札 0 ，由( 5 4 ) 表明， 刊= 一端= 丽1 ，0 一番k 一番 e ， 用反证法，设u ( o 。) 0 ，则由( 5 5 ) 可知，当尼- o 。， 妒m ( s k ) 熙鼎2 u 斗一o 。 - + 。 f s ) 。 1 7 这与沙( s ) 一芒舞k 一拦夺矛盾。故甭“( o 。) 2 o 。 。 4 时， 0 r ，则存在一个正的严格凹的b e l l m a n 方程的解 西c 2 ( o ，o 。) n c l o ，) 满足： 酢) = ；+ s 一裂“0 ( s ) 进一步，如果h 在【0 ，o o ) 上有限可积，则西在【0 ，。) 有界。 1 8 6 几种特殊的情况 6 1n = r ，b 0 的情况 如果a = r ，r 0 ，则a ( s ) = 0 ，( 31 ) 转化为下式 a e 西( s y ) 一中( s ) 】+ 西7 ( s ) ( c + r s ) = 0 一 ；耶) 一a - j ( 5 州s 叫脚) 出+ ( c + r s ) 州班。 一c h o ) 一a z 8 州s 一。) 即) d 。+ ( c + 州s ) = 。 ( 61 ) 记付。e - r s h ( s ) d s = 扁( r ) 对( 6 1 ) 两边同时乘以e - 舶，并从0 到+ 。积分，得到 c 扁( 妒a 击( 啪( 趴c 击( 卟r 警= 。 ( 6 2 ) 因为上式满足初始条件： r - 0 0 时，击( 固= f 0 * 0 0e 一咒。施( s ) 0 ，所以有 讹) = ；f 。e x p 旷删m 醐州。 ( 6 3 ) 这里z ( ”) = 片【c a 扁( 。) 出 至此，我们完全给出了带利率的风险模型的生存概率密度函数l a p l a c e 变换的解析表 达式。如果模型中国，即个体索赔量随机变量的分布给定，那么我们就可以求出生存概 率密度函数的l a p l a c e 变换，再求其逆变换，积分，我们就可能求出其解析表达式。当 然，它离破产概率还相差一个常数倍。我们寻找n 使他满足a 西( s ) 警1 ， 令r = 0 则： 画( 。) - - - ；，| ：+ 。e x p 一z ( ”) r ) c j j ( w ) d ” 圣( o 。) 一垂( o ) = 1 o + 。e x p 一。( ”) r ) c 矗( ”) d u 西( 。) = - ；：+ 。e x p 一z ( ”) r ) c j j ( ”) d ”+ ； 。圣( 。) = o = f 1 以+ c o e x p 一。( ”) ) c 扁( ”) 如+ ；) = 1 c v = ；z + ”e x p 一茁( ”) r ) c ，j ( ”) a ”+ ；) 一1 壬( 。) = o = ：a = c ；z + 0 。e x p 一z 一) r ) c 矗( t ，) d v + c ) 一1 ( 6a ) 设西( s ) = c 1 + c 2 j - 一1 毒( r ) ( s ) 幽，将( 64 ) 和e ( o o ) = 1 代入，即可求得c 1 ，c 2 。 这与s u n d t t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 文中结论一致的。还有一种更特殊的情况：r = 0 ，由( 6 2 ) 可得： 一c 矗( r ) 一a 击( r ) 矗( r ) 4 - c 壶( 冗) = 0 划耻者 ( 6 s ) 击( 0 ) = 西( 。) 一圣( 0 ) = i 兰 啦，= 高+ ； a ( c 一) 2 1 r 一 叩) = 掣：= 宰 f 复设索赔变量服从参数为i 猖甄分伸，则。 a ( r ) = 厂e - r s e - = 走， 陬驯= 熹上蔫产d r = e x p _ 五1 一 e 坤h 五1 一扣d s = - 焉1 e x p 一 瓦1 一扣 吣) 电一击c 。e x p 一 ：一扣 ，一 一赢。 塑腼r， c 一一 c 一一 西1 ，由常微分方程的比较定理可直接得到。事实上 删= 型号掣 垒里! ( ! ! = 垒皇( 皇! f ! 二! ! 1 2 1 中i ( o o ) ：塑二! 堡f 尘! 生二型 c 西2 ( o c ) = 西l ( o o ) 由常做分万崔的比较定埋口j 得到：在【0 ，o , o ) 区1 日j 上，虫2 【s ) 三中1 ( s ) 。 第三种：无利率资本市场中的风险模型，即有投资无利率模型，其生存概率记为壬。( s ) ， 他满足 s 。pa e ( 圣。( s y ) 一中3 ( s ) ) + 圣；( s ) ( c + a 。) + 昙圣；( 。) a 2 ：o ，圣3 ( o 。) ：1 这时， a = 一黑，将其代入上式得 “一一百五i 面付兴h 八上a 1 。 恻吲s _ y ) 吨( s ) 如”粼- 0 ，吲小1 第四种：有利率资本市场中的风险模型，即有投资有利率模型，其生存概率记为西t ( s ) 他满足 s 。pa e ( 中4 ( s y ) 一垂4 ( s ) ) + 西：( s ) 。+ a ( 。一，) + ，s + 嬖垂：( 。) a z ：o ，中。( ) ：1 a 这时， a = 一生二掣，将其代入上式得 。1 b 2 掣( s 、。、。9 a e ( 雪t ( s y ) 一蕾t ( s ) ) + 西：( s ) ( c + r s ) + 鬻= 。，圣“( o 。) = l 在h i p p p l u m ( 2 0 0 0 ) 文中，他已经讨论了第三种概率和第一种概率的大小关系：在其他 条件相同的情况下有中、( s 1 泌e z l 丁a 2 b 2 e 2 r 蜒竽 p ( s 。u 。pt ( t e 叫m ( a 叫十c 竿十2 m b e 幢p ( u s 2mbe0t1诬i () s e 7 + 一r ) + c 十) 三s ) 三； s l l pt ( t ) ) u 三三1 a e 一1 p ( y s 矿+ m ( a r ) + c ：= 二d - 2 m b e ) p ( s u pt ( t ) ss e 7 + m ( a r ) + c + 2 m b e ) u 三三l ；a e 一1 p ( y s e r + m ( 一r ) + ce r ，- - 1 + 2 m b e 7 ) p ( y s e r + m ( 。一r ) t c 竿+ 2 胁e ) 丽4 k e e 山 如果y 服从指数分布，则a ( s ) 保持有界性，如果y 服从重尾型分布，则a ( s ) 不保持 有界性。 8 1索赔变量服从参数为l 指数分布 8 实例 本节中，我们着重考虑索赔变量服从参数为1 指数分布时，在带利率的风险市场上保 险公司的生存概率。事实上，如果索赔变量不服从参数为1 指数分布，我们可以改变钱 的单位，就可以得到“= 1 。 在( 5 4 ) 式中，令： 刨( s ) = u ( s ) e 5 ， 则( 54 ) 变换为： f ( s ) 叫s ) 一番小洲v + 南c 们) _ c = 掣，郴) - 1 f 81 1 这个方程很难用一般的方法求出其解析解，但是我们可利用e u l e r 迭代法求出它的数值 解。 下面我们以a a b 1 ，c = 2 ，r = 0 5 为例。 由5 5 1 节中的讨论，我们可以求出相同条件下无投资的生存概率： 郇) = 1 一击e 一丽5 s e 一8 从下页图形中可以看出有无投资的生存概率差别并不是很大，但是我们应该注意到当 8 比较大时，他们的破产概率之比是比较大的。比如当8 = 6 7 3 4 4 时，有投资的破产概 率为0 0 0 0 2 2 ，而无投资的破产概率为0 0 0 0 5 2 。 啮 9 结论 本文讨论了在带利率风险市场中保险公司的最优投资。我们的模型是在h i p p p l u m ( 2 0 0 0 ) 模型的基础上考虑了更为符合实际的情况，即利率存在的情况。首先利用随机控制动态 规划理论，求出了一个关于生存概率和投资控制策略的b e l l m a n 方程；然后证明了满足 b e l l m a n 方程的控制策略( 即投资策略) 的最优性及解( 即生存概率) 的存在性；最后讨论 了几种特殊情况和投资策略a ( 8 ) 的性质，并且对模型拓展进行了进一步的探讨 因为本文的模型比h i p p p l u m ( 2 0 0 0 ) 的模型更为一般，所以前部分本文的结论比他 们的要更为广泛。他们利率不存在的模型即r = 0 的情况，本文在5 5 中已经考虑了 后部分中考虑几种特殊情况时，令a = r ，立即得到了在无投资有利率情况下的生存概 率，这里和s u n d t t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 文中的结论是殊路同归，但是本文的结论更直接自然明 了，而他们花了很大的篇幅才得到结论。最后本文对四种不同的概率进行了归纳性的总 结和比较。 引理1 眈= ”忍：”( 。) = 1 ，”( 。) = 一面a - r ，懈) 一1 怯；，讣 m ) t ( s ) ：= 1 + ：8 丽v ( x ) 2 虹”唾，邙 证明存在e ，m 使得丁( u ) ( s ) 是一个自映射的压缩算子 证明：v v ( s ) d 。，m ，m ( s ) 在( 0 ，e 是连续函数， 嘧州( s ) 3 t ( 0 ) = 1 6 2 c 陋7 ( s ) 一2 s h ( s 2 ) + r 7 ( s ) s 2 + 2 r s v ( s ) 一 6 撕 可= 孑一一一i i 丁m ，( 0 ) = 褊= 一焉 定义( o ) = 一丝a - r ，咖m ( s ) 在 o ，h i 上是连续函数。v q 0 ，j 6 满足 p ( s ) 一c m ( o ) l q 辛，咖【u ( o ) 一7 7 l i 5 p ( s ) 庐一 ( o ) + 1 不妨取q = 一；妒m ( o ) ，e = m i n d ，型挚 咿m ( s ) 刈卜o 蚓 s e ：5 黼训腻篇ke 平1 j 1 下面证明： 刚删( s ) = ；i 黼+ 焉l m q 。i t 州( s ) = l 丽蒜l 攀= 1 蒜而1 i 而而1i | 皇正尘2 1 ( s ! 二：! 业盥i i1 1 2 v ( s ) ”( s ) b 撕+ ( n r ) 曲( s ) 1 l z ”( s m s ) 峒+ 1 志卜叫州 卅沪未( 一番i t v 胖卜固，出) + 丢( 世学) = i i + 如 旦但丝堕二丝盟! 生型1 1 d 8 ( a r ) 2 s ：蒜堂爿些盟+ 志( _ 2 c 畔) + r 吣 州枷2 瓣万一+ 研r “p p 尸“”叫。 = 1 3 + 1 4 因为1 1 ，厶是有界的，分别记其界为2 ，3 。 ，c b 。”( s ) s v i ( o ) s + ”7 ( o ) 三一”尘2 _ ! ! 盟 1 a2 百j 乎了一一 一生! ! ! ! ! 二垡! ! ) + ! ! 塑) ! 二! ! 1 2 丝尘! ! 一( 口一r ) 2 s 。 s 2 ：蒜f 盟掣+ 盟2 型s 埘( s 2 ) ) 一( 。一r ) 2i s 。 。 、7 j 3 ( 1 + 茁6 a - r 2 ( 2 + 3 ) + 喾日( s 2 ) ) ， 舞瑟； 丁m ，( s ) 一丁m ，( o ) l 1 + 堕蕊( 2 + 3 ) + ；q 出) + ；l h 吣2 ) l m 由此可知，只要m 足够大，足够小，丁m ( s ) 是一个自映射算子。再证t 是个压缩 算子，即证： m a x l l t v ( s ) i | o 。，i t 陋 7 ( o ) ，e q 。【丁 t ， 】) m a x i ( s ) | | 。，l , 0r ( o ) i ，q 。 叫 我们可重新取= m i n 6 ，型掣，击) ，因而有q 。i t ”】 s1 j i t b ( s ) l l 。1s | | ”( s ) | l 。 i t ( o ) l = l v i ( o ) i e q 。【t p 】 1 | i v ( s ) | i o 。 辛l l t v ( s ) lj 。m s ) 忆 得证。口 引理2u c 1 ( 0 ，h nc o ，h 是满足方程( 5 5 ) 的解，在( c h ，h + 叩 ”l i o 。) 中定义闭子 集与算子如下： d q p ：= c h ，h + 卵】：v ( h ) = ( ) ， i 一u ( h ) l l 。p ) ， ? ( s ) ：叫卅z 5 而v ( x 而) 2 慨 这里： 撕s ) = 一番 z h 岫网s 舶+ 小栅训蚺志州s ) ( c 挪) _ c 酬 证明存在q ，p 使得t ( v ) ( s ) 是一个自映射的压缩算子 证明：由于( 5 5 ) 知道：币m ( ) 0 ，且连续。所以，3 5 ，使得x h d 时， i 每阳 ( z ) 一书【 】( ) ；西 ( ) 取q = m i n 协揣) t ( s ) 叫州蚓扣胁m 甜a x 。l z 8 蒜出 = 岫m 卅a x 。 蒜忆户 丁( w ) ( s ) 是一个自映射算子 t ( ”) ( s ) 一丁( ”) ( h ) l i 。“( ) s | | ”| | 。 所“t ( u ) ( s ) 是一个压缩算子。 【1 6 1 7 参考文献 a l f r e dm u u 盯锄dg e o t gp 且u gas n m p t o t i cr u l “p r o b a b i l i t i e s ，0 rr i s kp r o c e s s e sw i t hd e p e n d e n ti n e r e ”2 e ”0 5 、 i n s u r 3 v i c em a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，v o l2 8 ，2 0 0 1 ，3 8 1 3 9 2 ， a s m u s s e n ，sa i l dmt a k s a r c o n t r o l l e dd i f f u s i o nm o d e l sf o ro p t i m a l d i v i d e n dp a y - o u t ，i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 7 、v o l2 0 ，1 - 1 5 a s m u s s e n s bh c j g a a x d ，a n dm t a k s a x o p t i m a l r i s kc o n t r o la n dd i v i d e n dd i s t ? i b u t i o np o l i c i e se x a m p f e o fe 础s s o ll o s sr e l s u m n c e 加叽i n s u r a n c ec o r p o r