（概率论与数理统计专业论文）应用tikhonov正则化方法度量局部波动率函数.pdf

槲皤0j，自#。￥，p 1 0 j 3 原创性声明 y 18 删3 嬲 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 要竖 日 期：型 翌：! 兰：! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：工竖导师签 # 自i ， ，；，i， 。l i h 山东大学硕士学位论文 目录 中文摘要 英文摘要 l 引言 2 样条差值表示嘏，t ) j 及d u p i r e 方程离散化 2 1 样条差值 2 2 d u p i r e 离散化 3i e 贝, j 化方法 9 ， 戎 一 3 1t i k h o n o v 正则化9 岛 3 2l - b f g s 算法1 2 。 謦 4 局部波动率的生成 1 4 4 1 参数的选取1 4 4 2 模型的检验2 4 5 结论 附录 参考文献 致谢 2 8 3 0 4 8 5 0 ；宣 如 1 4 4 6 e i 山东大学硕士学位论文 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t e n g l i s ha b s t r a c t 1i n t r o d u c t i o n i i i i v 1 毛 2 s p l i n er e p r e s e n t a t i o no fa ( s l ，t ) a n dd i s c r e t i z a t i o no fd u p i r e e q u a t i o n 4 2 1 s p l i n er e p r e s e n t a t i o n 4 2 2 d u p i r ed i s c r e t i z a t i o n 6 3 r e g u l a u r i z e do p t i i i l i z a t i 。ns t r a t e g y 9 务 3 1t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n 9 3 2i 广b f g sm e t h o d 1 2 4l o c a lv o l a t i l i t yi m p l e m e n t a t i o n 1 4 4 1c h o i c eo fp a r a m e t e r 1 4 4 2m o d e lt e s t 2 4 5c o n c l u s i o n a p p e n d i x b i b l i o g r a p h y a c k n o w l e d g e m e n t 2 8 3 0 4 8 5 l o 孚 ： 逝 4 山东大学硕士学位论文 摘要 在金融衍生品定价中，一般使用几何布朗运动刻画标的资产的价格，此时 标的资产价格的波动率成为影响相关衍生品定价的重要参数之一。如何 利用可观测到的市场数据来获得一个能够很好反映资产波动情况的波动 率函数，并有效利用此函数制定相关衍生品价格和对冲策略等，这些都 是金融数学领域的重要研究课题。 基于以上研究背景，本文旨在通过观测现有的欧式看涨期权( s p x ) 市 场价格数据，应用三次样条插值，l b f g s 及t i k h o n o v 正则化等方法实现 对s p 5 0 0 指数价格局部波动率函数的度量，并应用得到的局部波动率函 数预测期权价格中重要的g r e e k 参数d e l t a 及g a m m a 。事实上，由于我们 的主要目标是使由局部波动率函数和d u p i r e 方程模拟得到的期权价格与 观测到的市场价格之间的差距达到最小，因此在使用三次样条插值和线 性插值刻画波动率函数时，首先我们采用t i k h o n o v 正则化法则构造一个 消耗函数，然后利用这个消耗函数和l - b f g s 算法获得差值方法中所需要 的最优节点值。 本文主要使用c + + 及v b a 等编程软件数值化实现了上述方法，并应 用c + + 及v b a 间的接口程序使得到的结果在e x c e l 中可视化更强，为得到 局部波动率函数开发了一个良好的软件界面。 关键词：局部波动率，三次样条插值，t i k h o n o v 正则化，d u p i r e 方 程，l b f g s 算法，欧式看涨期权价格 山东大学硕士学位论文 a b s tr a c t w h e np r i c i n gaf i n a n c i a ld e r i v a t i v ep r o d u c t ，ag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n i so f t e nu s e dt od e s c r i b et h eb e h a v i o ro fu n d e r l y i n g sp r i c e b a s e do nt h i s m o d e l ，t h ev o l a t i l i t yp a r ti sa l w a y sa ni m p o r t a n tp a r a m e t e rw h i c ha f f e c t s t h ep r i c e so fd e r i v a t i v e s s oh o wt ou s et h eo b s e r v e dm a r k e tp r i c e st og e t t h ev o l a t i l i t yv a l u ew h i c hc a l lf a i r l yr e f l e c tt h eu n d e r l y i n g sf l u c t u a t i o n ， w h i c hc a nb eu s e dt og e tr a t i o n a lp r i c e sf o rr e l a t e dd e r i v a t i v e sa n dl o o k f o rt h eh e d g i n gs t r a t e g i e si so f t e na l li m p o r t a n ts u b j e c ti nm a t h e m a t i c a l f i n a n c er e s e a r c h t h i sp a p e ra i m st oc a l i b r a t et h el o c a lv o l a t i l i t ys u r f a c ew i t hh e l po fs o m e o b s e r v e dm a r k e te u r o p e a nc a l lo p t i o np r i c e sa n du s et i k h o n o vm e t h o dt o r e g u l a r i z et h ec a l i b r a t i o np r o b l e m an a t u r a ls p l i n ef u n c t i o n a la p p r o a c h a n dal i n e a ri n t e r p o l a t i o na r eu s e dt og e tt h el o c a lv o l a t i l i t ys u r f a c ew h e n g i v e ns o m ek n o t sw h o s e v a l u e sa r ed e t e r m i n e db ys o l v i n gan o n l i n e a rr e g - u l a r i z a t i o np r o b l e m t h er e g u l a r i z e ds t r a t e g yi sm i n i m i z i n gt h ed i f f e r e n c e b e t w e e nt h ee u r o p e a nc a l lo p t i o np r i c e sc a l c u l a t e df r o mt h ed u p i r ee q u a - t i o na n dt h ek n o w nr e l e v a n tm a r k e tp r i c e s ，t h el - b f g sa l g o r i t h m si su s e d w h e nd o i n gt h em i n i m i z a t i o n i nt h i sp a p e r ，r e a lm a r k e te u r o p e a nc a l lo p - t i o nd a t ao nt h es p xi n d e xi su s e dt oc o m p u t et h el o c a lv o l a t i l i t ys t l r f a c e a n ds o m eb a c kt e s ta r ed e m o n s t r a t e dt o o d u r i n gt h ei m p l e m e n t a t i o n t h i sp a p e rm a i r a yu s e sc + + a n d v b at o r e a l i z et h ea b o v em a t h e m a t i c a lm e t h o d s ，a p p l y i n gt h ei n t e r f a c ep r o g r a m b e t w e e nc + + a n dv b at h eo b t a i n e dr e s u l t sa r em o r ev i s i b l ei ne x c e l ，a l l t h ep r o g r a m m ec a np r o v i d eag o o ds o f t w a r ei n t e r f a c ef o rg e t t i n gal o c a l v o l a t i l i t yf u n c t i o nn u m e r i c a l l y k e y w o r d ：l o c a lv o l a t i l i t ys u r f a c e ，s p l i n ef u n c t i o n s ，t i k h o n o vr e g u - l a r i z a t i o n ，d u p i r ee q u a t i o n ，l b f g sa l g o r i t h m s ，e u r o p e a nc a l lo p t i o n l v 山东大学硕士学位论文 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h eo p t i o nw o r l d ，w h e nw ea s s u m et h a tt h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c es f o l l o w sas t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n d & = & ( ( r d ) d t + a d 吼) ，t 【0 ，列，t 0 w h e r e 吼i sas t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n ，a n dti saf i x e dt r a d i n gh o r i z o n ， ri st h ee x p e c t e dg r o w t hr a t e ，di st h ed i v i d e n dy i e l d ，盯i st h ev o l a t i l i t y , t h e nt h ev o l a t i l i t yi sa l w a y sa ni m p o r t a n tf a c t o rd u r i n gt h ec a l i b r a t i o n o fa no p t i o np r i c e i nt h es t a n d a r db l a c k - s c h o l e sm o d e lt h ev o l a t i l i t yi s a s s u m e da sac o n s t a n t h o w e v e r ，m u c hr e c e n te v i d e n c es u g g e s t st h a ta c o n s t a n tv o l a t i l i t ym o d e li sn o ta d e q u a t e w em a ya l s oc h o o s et h ei m p l i e d v o l a t i l i t y ac o n s t a n tt h a ts a t i s f i e st h eb l a c k - s c h o l e se q u a t i o nw h e np r i c e i st a k e na sar e c e n tk n o w nm a r k e tp r i c e b u tw eh a v et on o t i c et h a t a ni m p l i e dv o l a t i l i t yi so f t e nd i f f e r e n tf r o mo p t i o nt oo p t i o nw h e nb o t h s t r i k ea n dm a t u r i t yv a r y t l l i sv a r i a t i o ni sk n o w na st h ev o l a t i l i t ys m i l e r e f e r r e dt oa st h es k e wo fv o l a t i l i t ya n dt e r ms t r u c t u r e a l t h o u g ht h eu s e o fac o n s t a n ti m p l i e dv o l a t i l i t ym a yb ea d e q u a t ef o rl i q u i dv a n i l l ao p t i o n s ， b u ti tm a yn o tb ea p p r o p r i a t ef o rm o r ee x o t i co p t i o n sw h e r et h ee f f e c to f v o l a t i l i t ya n db i a so fv o l a t i l i t ys m i l ei sm o r ep r o n o u n c e d s ow h a tk i n d o fv o l a t i l i t yw es h o u l dc h o o s et om o d e lt h es m i l ea n dr e m o v et h eb i a so f v o l a t i l i t ys m i l ea l w a y si sc r u c i a lt ot h ep r i c e s t h e r ea r es e v e r a lw a y st o d e s c r i b et h ev o l a t i l i t yl i k es t o c h a s t i cv o l a t i l i t ya n dj u m p - d i f f u s i o nm o d e l s ， o ru s i n gad e t e r r i f i n i s t i cv o l a t i l i t yf u n c t i o nt oe x p l a i nt h ev o l a t i l i t ys m i l e s i nt h ee x t e n d e db l a c k - s c h o l e sw o r l da n dt h es i m p l e s tw a yt oi st ot h i n ki t a saf i m c t i o ni nf o r mo f ( s ： ，t ) w h i c hi sc a l l e dal o c a lv o l a t i l i t y t h ec o n c e p to fal o c a lv o l a t i l i t yw a so r i g i n a t e db ye m a n u e ld e r m a a a n di r a ik a n ia sp a r to ft h ei m p l i e dv o l a t i l i t yt r e e m o d e l i nt h ed e r m a n - k a n im o d e lt h el o c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o nm o d e l st h ei n s t a n t a n e o u sv o l a t i l i t y w h i c hi su s e da te a c hn o d ei nab i n o m i a lo p t i o n sp r i c i n gm o d e lw h e r et h e t r e ew i l lp r o d u c eas e to fo p t i o nv a l u a t i o n st h a ta r ec o n s i s t e n tw i t ht h e o p t i o np r i c e so b s e r v e di nt h em a r k e tf o ra l ls t r i k e sa n de x p i r a t i o n s - t h a t sa d i s c r e t ev i e wo fl o c a lv o l a t i l i t yi nt i m e t h ek e yc o n t i n u o u st i m ee q u a t i o n s u s e di nl o c a lv o l a t i l i t ym o d e l sw e r ed e v e l o p e db yb r u n od u p i r ei n1 9 9 4 d u p i r e se q u a t i o ns t a t e st h a ta ne u r o p e a nc a l lo p t i o na l w a y ss a t i s f y ： ( 1 ) 。， 筹+ ( r - 班獗o c ( z m 叫t 闱= 互1 0 - 2 ( l 郴2 蒹 s i n c et h ed y n a m i co fa s s e tc a nb ew r i t t e na s ： ( 2 ) d & = & ( p d ) d t + 仃( 亡，s t ) d w t ) ，t 【0 ，刀，t 0 i n t h i se q u a t i o nt h ev o l a t i l i t yp a r tb e c o m e saf u n c t i o no fs ，t - a ( t ，s t ) w h e np r i c i n gt h ee x o t i co p t i o np r i c e sb yt h ed i f f u s i o nm o d e l ( 2 ) ，t h e l o c a lv o l a t i l i t yi st h eo n l yv a r i a b l ew ec o u l d n to b s e r v ei nt h em a r k e t ，o n e p o s s i b l ei d e at oi m p l yt h el o c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o ni sf r o mt h em a r k e to p - t i o np r i c ed a t a i n 【3 】，d u p i r es h o w st h a ti fv a n i l l ao p t i o ni m p l i e dv o l a t i l - i t ya r ea v a i l a b l ef o ra l lc o n c e i v a b l es t r i k e sa n dm a t u r i t i e st h e n0 - ( & ，t ) i s u n i q u e l yd e t e r m i n e d h o w e v e r ，t h em a r k e te u r o p e a no p t i o np r i c e sa r e a l w a y sl i m i t e dt oar e l a t i v e l yf e wd i f f e r e n ts t r i k e sa n dm a t u r i t i e s t h e r e - f o r ed e t e r m i n i n gt h el o c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o nc a nb er e g a r d e da saf u n c t i o n a p p r o x i m a t i o np r o b l e mf r o maf i n i t ed a t as e tw i t han o n l i n e a ro b s e r v a - t i o nf u n c t i o n a la n dd u et oi n s u f f i c i e n tm a r k e to p t i o np r i c ed a t aa n di nt h e s e n s et h a tr e c o n s t r u c t i o no fl o c a lv o l a t i l i t yi su n s t a b l ew i t hr e s p e c tt oe r - r o r si nt h ed a t a ，t h i si saw e l lk n o w ni l l - p o s e dp r o b l e m o n ew a yt os o l v e t h ci l l - p o s e dp r o b l e mo fl o c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o na p p r o x i m a t i o ni st of i n d al o c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o nw h i c hm a t c h e st h el i m i t e dm a r k e to p t i o np r i c e d a t aw h i c hi sk n o w na sa ni n v e r s ep r o b l e mm a t h e m a t i c a l l y , i nt h a tc a s ea r e g u l a r i z a t i o ni so f t e nn e e d e dt os t a b i l i z et h ei n v e r s ep r o b l e m u s u a l l y ，s m o o t h n e s so ft h ef u n c t i o nh a sb e e nu s e da sar e g u l a r i z a t i o n c r i t e r i o nf o rf u n c t i o na p p r o x i m a t i o nw i t haf i n i t eo b s e r v a t i o nd a t a s p l i n e s 2 “ 山东大学硕士学位论文 h a v ek n o w nt op o s s e s sg o o da p p r o x i m a t i o nt h e o r e t i c a lp r o p e r t i e sf o ra m o d e lb o t hw h e nt h ef u n c t i o ni sf i x e da n ds m o o t h ，a l t h o u g ht h ea p p r o x i - m a t i n go fa l o c a lv o l a t i l i t ys u r f a c ef r o ml i m i t e dd a t ai sm o r ec o m p l e x ，；w e ， c a ns t i l lt r yt os e l e c tt h es m o o t h n e s sa sam a i nc r i t e r i o n i nt h i sp a p e r ， t h en a t u r es p l i n ei n t e r p o l a t i o ni su s e dt og e tt h ev o l a t i l i t ys u r f a c e ：al o - c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o ni se x p l i c i t l yr e p r e s e n t e da n du n i q u e l yd e t e r m i n e db y s p l i n ew i t ha 缸e ds e to fs p l i n ek n o t sa n db o u n dc o n d i t i o n sa n dt h es p l i n e i sd e t e r m i n e db ys o l v i n gac o n s t r a i n e dn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e mt o m a t c ht h em a r k e to p t i o np r i c e sa sc l o s ea sp o s s i b l e t h ei n t e r p o l a t i o n b yt h es p l i n ea l l o w sa na c c u r a t ea n ds m o o t ha p p r o x i m a t i o no ft h el o c a l v o l a t i l i t ys u r f a c ea n dt h et i k h o n o vm e t h o di su s e df o rr e g u l a r i z i n gt h e c a l i b r a t i o no ft h es u r f a c e d i f f e r e n to f ( 1 】【3 】，d u r i n gt h er e g u l a r i z e dm i n i - m i z a t i o ns t r a t e g y , w em a k ea l lt h em o d e lo p t i o np r i c e sg e tf r o mt h ed u p i r e e q u a t i o nb yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di nt h i sp a p e r ，s i n c et h ed u p i r ee q u a - t i o nc o r r e s p o n d st ot h ec o n c e p to fl o c a lv o l a t i l i t ye x a c t l y i ns e c t i o n2w ed e s c r i b et h en a t u r es p l i n ef o rl o c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o n 盯( s ，t ) a n dt h ea l g o r i t h m so ff i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di nd u p i r ee q u a t i o n i ns e c t i o n3t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o da n di ，b f g sa l g o r i t h m sa r e i n t r o d u c e d a ne x a m p l eo fv o l a t i l i t yi m p l e m e n t a t i o ni sg i v e ni ns e c t i o n4 d u et ot h es p xm a r k e td a t aa n ds o m em o d e lt e s t sa r ed o n ea tt h es a m e t i m e f i n a l l y , i ns e c t i o n5 w ed os o m ec o n c l u s i o n s 蔑“ 山东大学硕士学位论文 _ _ _ _ - h - h - _ - _ _ _ _ _ _ h _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - - _ - _ _ 一 c h a p t e r 2 s p l i n er e p r e s e n t a t i o n o f 仃( 鼠，t ) a n ddi s c r e t i z a ti o no f d u p i r ee q u a t i o n 2 1 s p l i n er e p r e s e n t a t i o n a sw em e n t i o n e db e f o r e ，t h es p l i n er e p r e s e n t a t i o nf o r 仃( & ，t ) h a st h e s m o o t h n e s sp r o p e r t i e sw h i c hc a nm a k et h e 盯( 岛，t ) h a so n ec o n t i n u o u ss p a - t i a ld e r i v a t i v ea tl e a s ta n dc o n t i n u o u si nt i m ea tl e a s tt o o b e s i d e s ，i ta l l o w s l o c a lf u n c t i o n a lv a r i a t i o na n di sr e a s o n a b l yw i t h o u tap r i o r ik n o w l e d g eo f t h ef o r mo f 盯( & ，t ) d u r i n gt h ei n t e r p o l a t i o no ft h ev o l a t i l i t yf u n c t i o n ，t h e r ea r et w od i r e c t i o n sw eh a v et oc o n s i d e rb o t h i nt h ed i r e c t i o no fp r i c ef o re a c hf i x e d t - w h i c hi sc a l l e d s p a t i a l s ，w eg e t 伊( & ，t ) b yap - d i m e n s i o n a ln a t u r a lc u b i c s p l i n e ：f o rs 【溉n 爿w ec h o o s et h epn o d e ss 赢= s o & 一1 = s r ，l w h e r et h ev a l u eo fe a c h 盯( & ，t ) ，i = 0 p 一1i sd e t e r m i n e d ， t h e nt h ev a l u eo fl o c a lv o l a t i l i t ya ts 【溉岛m 】c a nb ep r e s e n t e db y t h en o d e sv a l u e 。s t a t e sa s ： g i v e nt h es e to fc o o r d i n a t e 【( s o ，口( 岛，) ) ，( 昂一1 ，盯( 昂一1 ，t ) ) 】，w ec a n h a v ： 吼( s ，t ) = 0 t ( s 一& ) 3 + 玩( s 一& ) 2 + 臼( s 一& ) 十d if o rs 【& ，鼠+ 1 】 4 w h e r ei = 0 ，p 一2 ，t h e nw eh a v eo ( s ，t ) 俨( 【岛，昂一1 】) t h ec o e f f i c i e n t s a ，b i ，c i ，d ia r ec a l c u l a t e db yc o n d i t i o n sb e l o w ： 吼( & ，t ) = 盯( & ，t ) = 以一l ( & ，t ) w h e r ei = l ，p 一1 z ( & ，t ) = z ( & 一1 ，t ) w h e r ei = 1 ，：，p 1 ， ， ： ： 。 z ( & ，亡) = z ( & 一l ，t ) w h e r ei = 1 ，p l 。 矗( 岛，t ) = 毒。( 昂一- ，亡) t h i sc u b i cs p l i n ei st h es m o o t h e s to fa l lp i e c e w i s ec u b i ci n t e r p o l a t e si n h e s e n s e 。fm i n i m i z et h ee n e r g yf u n c t i 。n 盘仃；s d s 。 i nt h ed i r e c t i o no ft i m ef o re a c hf i x e ds ，w ec h o o s eqt e m p o r a ln o d e s 0 ：t 。 t 1 二1 二t ，a te a c hs p a t i a ln o d e & ，i = o ，p 一1w e m a k e 仃( & ，亡) ，i = o p 一1t ob ep i e c e w i s el i n e a ri nt i m ew r i t t e na s 盯( & ，t ) =竺堡坠兰若掣(芒一巧)+盯(&，如)，亡【岛，巧+：】 t h e s et e m p o r a ln o d e sa r ec h o s e nu p f r o n ta n dn e e dn o tc o i n c i d ew i t ha n y p a r t i c u l a re x p i r yt i m e s t h u sw ec a ng e tt h ep qa p p r o x i m a t i o nm a t r i xo fl o c a lv o l a t i l i t y a t n o d e s =(耋霎三。，+兰，三二茎三三兰。，) +， w h e r e 玎= 盯( s ，t j ) i = 0 ，p 一1j = 0 ，q 一1d e t e r m i n et h er e p r e - s e n t a t i o no fl o c a lv o l a t i l i t yf u n c t i o nu n i q u e l y t h eo p t i m i z a t i o nw o r ki st o s e l e c tt h em e m b e r so feb yam i n i m i z a t i o nm e t h o d i no u rp r o g r a m m i n g ， e v e r yt i m ew h e nt h en o d e sm a t r i x i sr e - s e l e c t e db yl b f g s ，m o d e lp r i c e s w en e e da r es i m u l a t e dw i t han e wl o c a lv o l a t i l i t yi n t e r p o l a t e db yt h er e n e w s p l i n en o d e se s i n c et h ei n v e r s el o c a lv o l a t i l i t yp r o b l e mi sam i n i m i z a t i o np r o b l e m w i t hr e s p e c tt og e tt h ev o l a t i l i t yv a l u eo fs p l i n ek n o t se t h ec o m p u t e d v o l a t i l i t yf u n c t i o nh a sg r e a td e p e n d e n c eo nt h en u m b e ro fk n o t sp qa n d t h el o c a t i o no f t h ek n o t s ( k ，t j ) ，i = 0 ，p 一1j = 0 ，q 一1t o o t h e 5 山东大学硕士学位论文 c h o i c eo ft h en u m b e ro fk n o t sa n dt h e i rp l a c e m e n ti ns p l i n ea p p r o x i m a t i o n i sg e n e r a l l yac o m p l i c a t e di a s u e ：i td e p e n d so nt h ev a l u e so ft h eu n k n o w n v o l a t i l i t yf u n c t i o ni nt h er e g i o nr + f 0 ，卅b u tc o n s i d e r i n gt h a tt h eo p t i o n p r e m i u md e p e n d sl i t t l eo nt h ev o l a t i l i t y v a l u e sw i t hs m a l lm a t u r i t yt a n d s t r i k ef a rf r o mt h ei n i t i a lp r i c e ，s ow ec a nc o n s i d e rt h a tt h ed e p e n d e n c e o nt h eu n k n o w nv o l a t i l i t yv a l u e si sn o tu n i f o r mi nt h er e g i o n 矿【0 ，卵， i n s t e a d ，t h e r ee x i s t sar e g i o n ( d e n o t e di nf i g2 1 ) c e n t e r e da r o u n d & 礼i t i a f w i t h i nw h i c ht h ev o l a t i l i t yv