（计算数学专业论文）静态图像压缩标准—jpeg2000分析与应用.pdf

摘要 现代信息技术的发展，极大地改善了人的生活质量，尤其是计算机多媒体技术的发 展，给人们的生活带来无穷乐趣。图像压缩技术在多媒体技术领域中占有重要的位管。 目前，最常用的j p e c - 图像压缩标准，在中高码率时表现很好，然而在低码率的条件f ， 重构图像存在者严重的方块效应，不能很好的适应网络化传输的需要。为了解决上述问 题，国际标准化组织( i s 0 ) 制定了下一代的图像压缩标准：j p e g 2 0 0 0 ( 编号为1 5 4 4 4 ) 。由 于该标准系列还没有最终完成，本文根据已经成型的i s 01 5 4 4 4 1 进行分析和研究。并 提出了该标准在身份证件二维条码系统中的应用。 本文共分三个部分。第一部分主要是介绍图像压缩技术的历史和研究现状和 j p e g 2 0 0 0 的理论基础。第二部分详细介绍了i p e g 2 0 0 0 涉及到的各种算法。并重点对 e b c o t 算法和感兴趣区域算法做了阐述和分析。然后给出j p e g 2 0 0 0 与j p e g 压缩效果等 方面的对l - h 分析。最后是针对身份证明二维条码系统中的人肩图像压缩，提出了应用 j p e ( ；2 0 0 0 算法的解决方案。第三部分介绍一种达到c 1 光滑的曲面细分格式的编程实现 问题。 关键词：j p e c , 2 0 0 0 小波变换e b c o t 编码二维条码 i i a b e t r a c t w i t ht h e d e v e l o p m e n to fi n f o r w a t i o nt e c h n o l o g y ，t h el i v i n gc o n d i t i o ni s e n h a n c e d i np a r t i c u l a f ，w u l t i w e d i u wt e c h n o l o g yb e c o m e sm o r eo r e a t i v e t h e 1 m a g ec o w p r e s s l o nt e c h n o f o g yp 1 a ya i m p o r t a n tr o l e i nt h em u l t i m e d i u ma n d n e t w o r k i n gt e c h n o l o g y a tp r e s e n t ，t h e p e gs t a t i o n a r yp i c t u r ec o w p r e s si o n s t a n d a r dh a sag o o dc o m p r e s s i n ge f f e c to nm i d d l ea n dh i g hc o m p r e s s l o dr a z e ，b u t t h e r ee x i s t sas e t i o t i sd i a m o n de f f e c ta tl o wc o m p r e s s i n gr a t eo nt h es i d e t h e , j p f f gs t a n d a r dc a nn o tv e r yw e i lm a k et h en e e d st r a n s w i t t i n gm a g e sb yn e t w o r k i n g a tl o wc o m p r e s s i n gr a t e i no r d e rt os o l v et h ew e n t i o n e da b o v e i s s u e ，t h e i n t e r n a t t o n a ls t a n d a r d o r g a n i z a t i o n ( i s o ) h a s l a i dd o w nt h en e w g e n e r a t i o n s t a t l o n a r yp i e t u r ec o w p r e s s i o ns t a n d a r d ，t h ej p e g 2 0 0 0 ( s e r i a ln u m b e ri s l s ( ) 一1 5 4 4 4 ) o w in g t o m a n yp a r t s o ft h es t a n d a r ds e t i e ss t i l la r en o t1 ，0b e i n t e r n 3 z i o n a is t a n d a r d t h i st h e e i sa n a l y z ea n dr e s e a r c h i s o1 5 4 4 4 一l t h ach a s b e e nf o r m e dt h ei n t e r n a t i o n a ls t a n d a r da n de w p l o v i n gt h es t a n d a r dt 0s o l v et h e w e l _ l t i o n e da b o v ei s s u eu s i n gt h es t a n d a r d t h jst h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t sa l t o g e t h e r t h eh i s t o r ya n dn o w a d a v s 0 fs t a t i o n a r y p i c t u r ec o w p r e s s i o na n dt h ef o u n d a t i o no ft h e p e g 2 0 0 0a r e d e s c e i b e da tf i r s tp a r t s e c o n dp a r tp r o v i d ea b o u tt h ed e t a i l so ft h ea r t t h w e t i o o ft h e p e g 2 0 0 0 ，e s p e c i a l ya b o u tt h ee b c o tc o d e ca n dr o i ( r e g i o no fi n t e r e s t ) m o r e o v e r ，c o m p a r i n g t h e c o m p r e s s i o n e f f e c tb e t w e e nj p e g a n d p e g 2 6 0 6 a t l a s t t h es c h e m eo fh e a d s h o u l d e rp i c t u r e c o w p r e s s f o nu s i n gt h ej p e g 2 0 0 0 is p r e s e n li ni d e n t i f i c a t i o nc a r dw i t hb a r c o d e t h el a s t p a r t i sa b o u tt h e r e a li z a t i o i lc o u r s eo fas u b d i v i s i o ns u r f a c es c h e m er e a c h i n gc k e y w o r d ：j p e g 2 0 0 0 ，e b c o tc o d e c ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，b a r c o d e i 静态图像压缩标准一j p e g 2 0 0 0 的分析与应用 1 概述 1 1 图像压缩的重要性与可行性 随着计算机技术，现代通信、微电子、网络和信息处理技术的发展，多媒体技术在 社会生活中的作用越来越突出，人们对接受各种信息的要求也越来越迫切。目前，多媒 体技术所涉及的数据源包括：文字、语音、音乐、静止图像、电视图像、电影、动画、 图形。如何处理，组织这些数据，提高处理、传输和存储的效率是多媒体技术所要解决 的重要问题。在这些数据中，图像数据尤其巨大，同时由于通信带宽和存储容量的限制， 所以图像压缩在数字电视、网络多媒体通信、电视会议、可视电话、遥感图像传输、图 像数掘库、自动指纹识别系统的指纹存储等应用中都起着至关重要的作用。因此，图像 压缩技术一直是多媒体信息处理研究中最活跃的领域。 一幅图像中通常含有大量的数据信息，例如一幅大小为5 1 2 5 1 2 2 4 b i t p i x e l 的 彩色型像，数据量约为6 1 0 6b i t ，存储它就需要6 i 0 6 b i t 大小的空间；而在传输时， 如果利用的是9 6 0 0 ( b i t s ) 的调制解调器，它的传输时间大约占用1 1 分钟，给图像的存 储和传送带来巨大的资源浪费，因此图像的存储和传输等所面临的一个非常重要的问 题，就是对图像数据的压缩，以减小图像的数据量。 图像数据的压缩就是以最小的数码量( b i t 数) 表示原始图像。在计算机网络和信息 高速公路等的产生和发展中，图像压缩技术的研究和开发一直是信息技术领域中最为活 跃朐研究方向。现在图像的压缩技术已经有很多成熟的技术和国际标准，例如j p e o 。但 这些标准仍然不能满足现代信息技术的发展的需要，因此不断有新的技术提出来。 j p e g 2 0 0 0 就是新近提出的图像压缩国际标准。 一幅图像虽然含有大量的信息数据，但同时也存在大量的冗余信息。因此，冗余数 据的消除或减少便成为图像数据压缩的理论基础和依据。 图像数据的冗余是指数据间存在的大量相关性，包括时间和空间的相关性。 1 视觉冗余： 图像是人脑对外界景物的印象和认识，而这种印象和认识是允许带有一定的视觉误 差的，也就是经过压缩再重建图像和原始图像之间可以存在人的视觉允许范围内的误 差，而这种误差不已被人的视觉所察觉，人类的这种视觉特性被称为视觉冗余。正是这 种人类的视觉特性成为了图像数据压缩的基本依据。 2 信息熵冗余，也称为编码冗余。 图像压缩的另外一个也是最重要的理论依据是图像数据存在的冗余度。信息论的创 始，a 、c e s h o n n o n 早在1 9 4 8 年的论文通信的数学原理中就提出了可以把数据看作 是信息和冗余度的组合这一基本原理 2 3 。用i 表示信息量，0 表示数据量，r d 表示冗 余度，则他们的关系是： i = d r d 由信息论的有关原理可知，为表示图像数据的一个象素点，只要按其信息熵的大小 分配相应的比特数即可，然而对于实际图像数据的每一象素，很难得到他的信息熵，因 此在数字化一幅图像时，对每个象素是用相同的比特数表示的，这样必然存在冗余。信 息熵冗余和空间冗余统称为统计冗余，因为他们都有图像的统计特性决定。 3结构冗余。 在有些图像的部分区域内存在着非常强的纹理结构，或是图像的各个部分之问存在 塑查堕! 鍪些堑堡堡二! ! 兰竺! ! ! ! 堕坌塑! 坚旦 着某种关系，例如自相似性等，这些都是结构冗余的表现。 4 知识冗余。 在有些图像中包含的信息与某些先验知识有关，例如在一般的人脸图像中，头，眼 鼻，嘴的相应的位置信息就是些常识。这种冗余称为知识冗余。 根据这些理论，去除或者减少这些冗余，就达到了压缩数据的目的。 l _ 2 图像压缩发展与现状 自1 9 4 8 年提出电视信号数字化后，同时就开始了对图像压缩编码的研究工作，至 今已经有4 0 多年的历史。5 0 至6 0 年代，限于客观条件，仅对帧内预测法和亚取样内插 复原法进行研究，对视觉特性也做了一些极为有限但宝贵的研究。1 9 6 6 年j b 0n e a l 对比分析了d p c m 和p c m 并提出了用于电视实验数据。1 9 6 9 年进行了线性预测编码的实 际试验。1 9 6 9 年举行的首届图像编码会议( p i c t u r ec o d i n gs y m p o s ju m ) 。7 0 年代开始 进行了帧间预测编码的研究。8 0 年代初开始对作运动补偿( m c ) 所用的运动估值( m e ) 进行研究。变换编码是1 9 6 8 年h c a n d r e w s 等人提出来的。采用的是二维离散傅立叶变 换。此后相继出现了用其他变换方法的变换编码，其中包括二维d c t 等。 于1 9 8 8 年形成草案，1 9 9 0 年通过的i t u th 2 6 1 ，是图像编码技术走向实用化的 重要一步。它是图像编码4 0 年研究成果的结晶。9 0 年代初相继提出的m p e g 一1 、m p e g 一2 、 h 2 6 3 都是在h 2 6 l 的基础上发展和改进的。这些国际标准普遍采用的是混合编码技术 足当今最实用的高效编码技术，得到广泛的推广和应用，业已成为当今图像编码方法的 主流。 进入9 0 年代吼来，i t u t 和i s o 制定了一系列的图像编码国际标准，如： 1 ) 1 9 9 0 年为电视会议和可视电话制定的h 2 6 l ； 2 ) 1 9 9 1 年为静态图像编码制定的j p e g 标准( i s o l 0 9 1 8 ) ： 3 ) 1 9 9 1 年为二值图像编码制定的7 b i g 标准( i s oc d l l 5 4 4 ) ； 4 ) 1 9 9 1 年为电视图像数字存储( 数码率高达i 5 m b p s ) 而制定的m p e g 一1 ( 1 8 0 c d l1 1 7 2 ) ： 5 ) 1 9 9 3 年为运动图像及其伴音压缩而制定的通用编码国际标准建议m p e g - - 2 ( 其中视 频部分，即i t 0 一th2 6 2 ，i s o i e c l 3 8 1 8 2 ，1 9 9 3 年草案，1 9 9 4 年底正式通过) 。 6 ) 美国“大联盟”( g r a n da l l l a n c e ，简写g a ) 公布数字h d t v 系统的说明书草案( 1 9 9 3 年草稿，1 9 9 4 年正式文本) 。美国“先进电视系统委员会”( a t s c ) 拟定“数字电视 标准”( 1 9 9 6 年) 。 7 ) 1 9 9 5 年i t u t 为极低码率视频而制定h 2 6 3 标准。 8 ) 1 9 9 8 年制定m p e g 一4 ( i s o1 4 4 9 6 ) 。 9 ) 1 9 9 7 年i s o 1 1 1 u 组织下的i e cj t ci s c 2 9 w g l 开始制定7 p e g 2 0 0 0 图像压缩标准( i s o 1 5 4 4 4 ) 。目前为止共有1 0 个部分( p a r t 卜p a r t l l ，p a r t 7 提议未被通过) 并于2 0 0 1 年制定p a rc l 的国际标准( i s ) 。其余部分现在仍在制定过程中。 这些标准的制定极大地推动了图像编码技术的实用化和产业化。屯视会议等各类使 用图像压缩技术的产品纷纷推出，数字激光唱盘等产品以百万台的数量级走向市场，进 入家庭，从而应来了数字图像通信的黄金时代。另一方面，图像编码技术的产业化进程 岜加快了图像编码技术的发展。 静态魁像l 矗缩标准- - j p e g 2 0 0 0 的分析与艘用 1 3 j p e g 2 0 0 0 简介 j p e g 是j o i n tp i c t u r ee x p e r tg r o u p 的缩写，即联合图像专家组。它制定出了第 一套国标静态图像压缩标准：i s oi 0 9 1 8 - 1 就是我们俗称的j p e g 了。i p e g 2 0 0 0 是由 s o i e c j t c l s c 2 9 标准化小组负责制定的。i s o 是我们所熟知的国际标准化组织 ( i n t er n a t l o n a ls t a n d a r do r g a n i z a t i o n ) 。而i e c 是国际电工协会( i n t e r n a 【j o r l a l e l e c t r ot e c h n i e a lc o m m i t t e e ) ，它是一个负责电工技术标准化的委员会，包括器材、 元件及测量方法的标准化。实际上，有许多工程师既是i s o 的成员，又是i e c 的成员。 冈此，它们的很多标准是一样的。而j t c i 就是它们的合作领导d , n 。其中的s c 2 9 负责 j p b g 2 0 0 0 系列标准的制定。 s c 2 9 分w g i 、w g l l 、w g l 2 三个工作小组。w g i 是负责j b i g 和j p e g 标准的制定。j 8 i g 是j o i n tb i n a r yi m a g eg r o u p ，即二值图像的压缩标准。w g l l 负责m p e g 标准的制定。 m p e g 是m o v e 刚c t u r ee x p e r tg r o u p 的缩写，即运动图像专家组。w g l 2 负责m h e g 的制 定。n i t e g 是m u 】l ，l m e d i ah y p e r t e x te x p e r tg r o u p 的缩写，即多媒体超文本专家组。 由于j p e g 优良的品质，使得它在短短的几年内就获得极大的成功，目前网站上百分 之八十的图像都是采用j p e g 的压缩标准。然而，随著多媒体应用领域的激增，传统j p e g 压缩技术已无法满足人们对多媒体图像资料的要求。因此，更高压缩率以及更多新功能 的新一代静态图像压缩技术j p e g 2 0 0 0 就诞生了。j p e g 2 0 0 0 同样是由j p e g 组织负责制 定。直到2 0 0 0 年3 月，规定基本编码系统的最终协议草案才出台。目前j p e g 2 0 0 0 已由 i s o 和l e e ( 国际电工协会) j t c ls c 2 9 标准化小组正式命名为“i s 0 1 5 4 4 4 ”。j p e g 2 0 0 0 的基本部分( p a r t l ) 已经作为i s o 标准公布于世。 顾名思义，j p e g 2 0 0 0 是为2 1 世纪准备的压缩标准。目前，它的总体框架己经完成， 剩f 的工作只是它的细节。j p e g 2 0 0 0 标准提供了一套新的特征，这些特征对于一些新产 品( 如数码相机) 和应用( 如互联网) 是非常重要的。它把j p e g 的四种模式( 顺序模 式，渐进模式，无损模式和分层模式) 集成在一个标准之中。在编码端以最大的压缩质 量( 包括无失真压缩) 和最大的图像分辨率压缩图像，在解码端可以从码流中以任意的 图像质量和分辨率解压图像，最大可达到编码时的图像质量和分辨率。j p e g 2 0 0 0 应用的 领域包括互联网、彩色传真、打印、扫描、数字摄像、遥感、移动通信、医疗图像和电 子商务等等。它的最主要的特征如下： 1 ) 高压缩率：由于在离散小波变换算法中，图像可以转换成一系列可更加有效存储像 桑模块的“小波”，因此，j p e g 2 0 0 0 格式的图片压缩比可在现在的j p e g 基础上再提 高1 0 3 n 而且压缩后的图像显得更加细腻平滑，这一特征在互联网和遥感等 图像传输领域有着广泛的应用。 2 ) 无损压缩和有损压缩：j p e g 2 0 0 0 提供无损和有损两种压缩方式，无损压缩在许多领 域是必须的，例如医学图像中有时有损压缩是不能忍受的，再如图像档案中为了保 存重要的信息较高的图像质量是必然的要求。同时j p e g 2 0 0 0 提供的是嵌入式码流， 允许从有损到无损的渐进解压。 3 ) 渐进传输：现在网络上的j p e g 图像下载时是按“块”传输的，因此只能一行行地 显示，而采片jj p e g 2 0 0 0 格式的图像支持渐进传输( p r o g r e s s i v et r a a s m is s i o n ) 。所 谓的渐进传输就是先传输图像轮廓数据，然后再逐步传输其他数据来不断提高图像 质量。互联网、打印机和图像文档是这一特性的主要应用场合。 静态幽像胜缔标准一j p e g 2 0 0 0 的分析与腰用 4 ) 感兴趣区域压缩：可以指定图片上感兴趣区域( r e g i o no fi n t e r e s t ) ，然后在压缩 时对这些区域指定压缩质量，或在恢复时指定某些区域的解压缩要求。这是因为小 波在空白j 和频率域上具有局域性，要完全恢复图像中的某个局部，并不需要所有编 码都被精确保留，只要对应它的一部分编码没有误差就可以了。 5 ) 码流的随机访问和处理：这一特征允许用户在图像中随机地定义感兴趣区域，使得 这一区域的图像质量高于其它图像区域；码流的随机处理允许用户进行旋转、移动、 滤波和特征提取等操作。 6 ) 容错性：在码流中提供容错性有时是必要的，例如在无线等传输误码很高的通信信 道中传输图像时，没有容错性是让人不能接受的。 7 ) 开放的框架结构：为了在不同的图像类型和应用领域优化编码系统，提供一个开放 的框架结构在是必须的，在这种开放的结构中编码器只实现核心的工具算法和码流 的解析，如果需要解码器可以要求数据源发送未知的工具算法。 8 ) 基于内容的描述；图像文档、图像索引和搜索在图像处理中是一个重要的领域， m p e g 一7 就是支持用户对其感兴趣的各种“资料”进行快速、有效的检索的一个国际 标准。基于内容的描述在j p e 0 2 0 0 0 中是压缩系统的特性之一。 当然，j p e g 2 0 0 0 的改进还不仅仅这些，如它考虑了人的视觉特性，增加了视觉权重， 在不损害视觉效果的情况下大大提高了压缩效率；你可以为一个j p e g 文件加入加密的 版权信息，这种经过加密的版权信息在图像编辑的过程( 放大、复制) 中将没有损失， 比目自；j - 的- 水印”技术更为先进；j p e g 2 0 0 0 对c m y k 、i c e 、s r g b 等多种色彩模式都有很 好的兼容性，这为我们按照自己需求在不同显示器、打印机等外设进行色彩管理带来了 便利。 1 4 研究内容 本文首先从图像压缩的原理出发，对j p e 6 2 0 0 0 算法的理论基础以及算法的详细分 析进行阐述。特别是针对e b c o t 算法和感兴趣区域算法做了详细的说明和分析。然后将 j p e g 2 0 0 0 与j p e g 相对比。最后提出了j p e g 2 0 0 0 算法在人肩头像压缩中的应用，并给出 了在身份证明二二维条码系统中的应用效果。 本文主要分为三个部分： 第一部分：第一、二章为第一部分。这部分主要是介绍图像压缩技术的历史和研究 现状，d p e 6 2 0 0 0 的理论基础。为下一部分j p e g 2 0 0 0 算法的详细介绍提供参考。 第二部分：第三章，第四章为第二部分。这部分首先详细介绍了j p e g 2 0 0 0 涉及到 的各种算法。并蕈点对e b c o t 算法和感兴趣区域算法做了阐述和分析。然后给出 p e g 2 0 0 0 与j p e g 压缩效果等方面的对比分析。最后是针对身份证明二维条码系统中的 人肩图像压缩，提出了应用j p e g 2 0 0 0 算法的解决方案。 第三部分：第五章。介绍一种达到c 1 光滑的曲面细分格式的编程实现问题。 i 孙态图像压缩标准一j p e g 2 0 0 0 的分析与应用 2 j p e g 2 0 0 0 的理论基础： 2 1 图像压缩的信息论基础 劁像压缩编码是通过减少或者是删除信源中所存在的冗余而实现压缩的目的。其理 论研究开始于s h a n n o n 的信息论 2 31 。1 9 4 8 年s h a n n o n 的经典论文通信的数学原理 中首次提到了信息率一失真函数概念，1 9 5 9 年又进一步确定了率失真理论，从而奠定了 信源编码的理论基础。 从此理论出发，数据压缩的两个基本途经是：其一，设法改变信源的概率分布，使 其尽可能非均匀分布，再用最佳编码方法使平均码长接近信源熵。其二，联合信源的冗 余度也赋予信源问的相关性之中，去除他们之间的相关性，使之成为或差不多成为不相 关信源，其编码算法一般有如下几种： 图2 1 压缩算法举例 混合蝙码 图像的压缩编码根据信息量的损失与否可以分为两类： 1 冗余度压缩编码方法。也称为无损压缩或无失真压缩。 这类的核心是基于统计模型，减少或完全去除数据流中的冗余，同时保持原有的信 息不变，在解码时根据相应的规则将冗余量插入到图像数据中，严格的恢复图像，实现 编码和解码互逆。这类编码方法主要有h u f f m a n 编码和s h o n n o n 编码，主要应用于医学 图像处理等实践中。 2 熵编码。 这是一种以牺牲部分信息量为代价而换取缩短平均码长的压缩编码方法，因此是有 损编码，也就是说编码和解码是不可逆的。 幽像的压缩编码算法还可以分为空间域编码和变换域编码。空间域编码是直接对图 像象紊进行编码，主要有预测编码，如d p c m 技术等。变换编码是首先对图像进行变换， 然后再对变换系数进行编码。 2 1 1 信息量与熵 2 3 在现实生活中人们无时不在接受大量信息，通常信息源由一系列符号构成的，假设 一个信息源所产生的符号系列中的符号取自一个有限符号集。符号集中的符号s 发生的 概率是p ( s ) ，则其所携带的信息量i 是如下定义的： 静态茸像压缩标准- - j p e g 2 0 0 0 的分析与应用 l = l o g ( 1 | p 、= 一l o g p 2 一l 如信息源某一符号出现的概率大小不受前面符号出现与否的影响，即信息源所发出 的符号相互独立，则该信源称为离散无记忆信源，此时其信息量又称为自信息量。离散 无记忆信源中一个符号所携带的平均信息n 定义为： = y l e ( s ：) l o g p ( s ，) 】 2 - 2 平均信息量h 为信息熵。熵实际上是信源符号集中各符号- 所携带的信息量的数学期 望。 2 1 - 2 香农的无失真编码定理： 定理描述为列于离散信源s ，编码时每个符号能达到的平均码长满足以下不等式： h ( s ) l - 盯2 其中，d 为允许的均方误差，o - 为信号的方差。 在图像编码中，r ( d ) 代表着在均方误差不大于d 时，传输一个象素所需要的平均码 k ( 比特数) 该式还表明：如果d 口2 ，即允许的失真比输入的信号方差还大，此时 即r ( d ) = o ，信息传输已经失去意义。另外由该式也可以看出，所需传输信号的方差越小 允许的失真越大，所需传输的比特率越低。 2 2 图像压缩算法性能评价 矿万 g o ，一2 吼 ，j、，1 j j 、，d ( r 静态图像j 卡缩标准- - j p e g 2 0 0 0 的分析与应用 对于有损图像数据压缩的好坏有一定的评价标准，主要钨 l 压缩比：压缩比采用如下公式计算， 。孙l ，一原始图像数据的比特数 一”“压缩后图像数据的比特数 压缩比越大，则压缩后图像数据所占的比特数也就越少，所需的存储空间也就越小， 从而所需的传输时间也就越少。压缩比越大，则压缩编码算法可能就越好。 2 重建图像的质量： 它是指经过压缩后解码得到的图像的质量。质量越好，则压缩的效果也就越好。对 于图像质量的评价有主观和客观之分。主观是指图像给人的视觉效果，这利用了前面所 述的人眼的视觉特性。客观评价标准可以采用图像的峰值信噪比( p s n r 值) 来衡量。其中 p s n r 值可以采用如f 公式计算： p 黜：1 0 l o g 。型! 堡 2 5 1 。 r o s e 其中： ? r i s e = j l 一，：j 2 6 f _ ， n 表示图像的象素数，和t 分别表示原始图像和重建图像的第f 个象素。p s n r 值 越大，可以认为压缩的效果越好，这是一个客观的评价标准。 3 压缩算法实现： 个好的压缩算法在实现时应具有较少的复杂度和较少的运算量，以及较少的算法 执行时间。这样将会具有很快的编码和解码速度。 上述三个因素之间存在一定的矛盾，一个好的压缩算法应该是压缩比较大，p s n r 值大，重建图像的视觉效果良好，同时算法的实现也应当很容易，并且有较快的运行速 度。因此，编制一个好的图像数据压缩编码算法时，必须根据具体的应用，合理处理好 这= 三个因素的关系。 2 3 变换编码 变换编码是首先对图像进行变换，然后再对变换系数进行编码。去除图像数据空间 相关性的一种更有效的方法就是进行图像变换，使得图像数据在变换域上最大限度的不 相火。目前的大多数图像编码方法都是利用变换编码方法。变换本身并不带来数据量的 减少，但出于变换后，系数问的相关性降低了，因此图像的火部分能量都集中在少数变 换系数上，从而采用适当的量化和熵编码可以有效地压缩图像的数据量，而且图像经过 某些变换后，系数的分布有可能和人的视觉特性相匹配，因此可以利用人的视觉系统的 生理和心理特性来得到较好的编码系统。 一个变换编码算法通常是由正交变换，熵编码等部分组成。 如果将有关联的1 3 个信号样本看作是在一维线性空间中的一个列向量： ：x ( x ，x 。肖。) 。，必然可以找到一个另一个矢量信号y = i ，( ，l r ，) 7 ，且又式 y ：。戗成为：，式中4 为矩阵： 静态吲像压缩标准- - j p e g 2 0 0 0 的分析与应用 a l id 1 2 口2 ja 2 2 ij ， 盯2 ，i 口h 月 则称y 为爿的一个线性变换，4 为变换矩阵。如果线性变换保持n 维空问中的矢量 z 的模不变，则称为正交变换，矩阵爿为正交矩阵。 j _ f 交变换有如下性质： 1 1 熵保持： 归一化正交变换的雅克比行列式的值等于1 。表明通过正交变换并没有丢失信息。 因此，可以对征交变换后的数据进行恢复。 2 ) 能量保持： 对于正交变换，下式成立： 即变换域中能量与原来的能量相等。这说明：当空间域信号能量全部转换到某个变 换域后，有限个空间取样值能完全由有限个变换系数对于基矢量加权来恢复。 3 ) 去相关： 通过正交变换可以使高度相关的空间取样值变为不相关或者相关性很弱的变换系 数。 4 ) 能量集中： 通过坐标系中适当的旋转和平移，能够把散布在各个坐标系上的原始数据，在新的 坐标系中集中在少数坐标轴上，这样就可以用较少的编码位数来表示一组信号样本，实 现高效率的编码。这正是正交变换应用在数据压缩上最重要的优点。 熵编码部分是对变换后的系数进行进一步选择编码的过程。这里涉及到变换的具体 属性，即变换系数的具体性质，例如空间相关性等。这个过程要对变换后的系数进行选 择，也可以足编码顺序的选择。有很多选择系数的方法，例如通过量化的方法，设门限 值，将很多系数去除。通过选择，再对部分或全部的系数，按照一定的顺序进行编码。 通常在选择系数之后，接着进行的是无损编码。例如哈夫曼编码。 2 4 小波变换在图像压缩中的应用 小波变换编码是变换域方法中的一种。由于小波变换具有很多优良特性，如正交性、 方向选择性、多分辨率特性、可变的时间( 空间) 频域分辨率、可调整的局部支集、以 及分析数据量小等 1 - - 2 i ：。因而被广泛的用来处理非平稳信号。小波变换的多尺度分 解特性更加符合人类的视觉机制，与计算机视觉中由粗到细的认识过程十分帽似，更加 适合视觉信号的处理。这种特性被称为“数学显微镜”，使得它在许多领域都得到了成 7 2 d t h l i 力沏 y 塑! 变望! 墨! 兰塑兰：堡二! ! 坠：! ! 竺些坌塑1 1 坚望 功的应用和发展，如图像处理和压缩、模式识别与特征提取、故障诊断、生物物理和数 学物理等领域。 i9 8 9 年m a l1 a t f 5 将小波变换方法引入图像处理领域后，小波变换成为图像处理的重 要工具。这是因为小波变换可以把图像进行多尺度分解，得到不同尺度上的图像信息， 形成予带图像，并且可以有效的去除图像中系数的相关性，并为其它的编码方法提供了 基础。目前已产。生了大量的基于小波变换的优秀算法，如：零树编码方法，塔式劂格量 化方法，分类矢量量化方法等等。这些算法的基本思想都是如何更好的利用小波变换后 的系数来进行编码，有效的降低码率，增强图像压缩后恢复的视觉效果，并提高图像的 p s n r 值，即有效的提高重构图像的质量，同时降低码率。 2 4 1 小波分析简介 首先给出小波的数学定义： 定义2 4 1设y 工! n f 且妒( 0 ) = 0 ，则按如下方式生成的函数族渺。 ： 妒( r ) = 【d r ( 三二旦) ，b 尺，d r o 28 a q 分析小波或连续小波，y 叫基本小波或母小波。 定义中的表示y 的f o u r i e r 变换。条件y l 2 n l l 是为了让y 满足能量是有限的， 也就是l e b e g u e s 可积，并且满足y 可以进行f o u r i e r 变换。条件( 0 ) = 0 等价于 l y ( f ) 出= 0 2 - 9 这是因为y ( o ) 一k 少( f 弦- io t d t = 县i f ，( f ) 加。 函数的连续小波变换定义如下： 定义2 4 2 设f ( t ) r ( r ) ，则它的连续小波变换为： 一-t ( 口，6 ) = ( 厂) ( a ，6 ) = j 矗厂( f ) ( 掣瑚 2 - 1 0 其中v 是小波基函数，满足 a 是尺度参数，b 是定位参数，通过调节“的大小就可以改变小波变换的尺度空间，从 而可以得到不同尺度空间上的频谱信息。 公式2 一1 0 又可以写成 ( 件0 厂) ( 口，b ) = 2 - 1 2 如果一个函数】) f ，r ( r ) ，由它所生成的函数族砂。 满足 斛丌 静态罔像压缩标准- - j p e 0 2 0 0 0 的分析与应用 = 6 | - 1 6 k ? m ，j ，k ，t ，m z 2 - 1 3 则称函数族 虬。 l 2 ( r ) 空间的一个规范正交基。这样x c v f l 2 ( r ) ，都有下式成立 巾) = c j , k y 肚( r ) 2 - 1 4 一 一 上式称为( f ) 的正交小波分解级数，c i 称为小波系数并且满足：。m2 。也 就是由公式2 1 0 计算得到的结果就是f ( t ) 的小波变换系数，在实际应用中，通常使用 正交小波函数对函数进行小波变换。 最简单的正交小波是e a a r 函数： j1 ( ，) = 一1 l0 此外，还有著名的d a u b e c h i e s 正交小波等。 如果在所有尺度d 和时间b 上计算连续小波变换w f ( a ，b ) ，运算花费是相当大的，因 此在实际应用中，通常使用离散正交小波变换和二进正交小波变换。正交二进小波族为 7 p ，女o ) = 2 7 2 少( 2 。r 一后) k z 2 - 1 6 它们构成了l 2 ( r ) 空间的标准正交基，正交二进小波分解级数公式同2 一1 4 。 2 4 2 多尺度分析( m r a ) 设由小波y ( ) 生成的函数族 矿，l ( ，七) z 2 是三2 ( r ) 的r i e s z 基，对与每个固定 的j ，令： 哆= c l o s l 2 2 1 7 即，是 矿女1 k z 由线性张成的闭包，并且有 三2 ( r ) 一o 虻1o o o 21 8 这时则可厂( f ) r ( r ) 都有唯一的分解： f o ) = r + g i ( ) + g o ( t ) + g l ( 0 + 2 一1 9 其_ g j ( f ) 暇，k z 。 记_ 是 髟、( 。jke z 的闭包子空间，则有 ( 1 ) k ic 匕kc ； 1 n 坫 引它 h g 其 叱必 塑查里堡堡墨塑塑! 二! ! 望垫塑塑坌塑兰些旦 ( 2 j 吆+ i = 0 暖； ( 3 ) v ，jj z ) 的闭包就是三2 f r ) 空间； ( 4 ) 并且所有的子空间f 7 ，的交为f o ； ( 5 ) 而目如果厂( x ) 矿，则可推出f ( 2 x ) 矿，。反之亦成立，即 f ( x ) y ，岱f ( 2 x ) 矿，十l ； 22 0 现在假没函数( ，) 三2 俾) 生成的函数族埘p 一卯) f 胛z 张成子空间，并且构成 子空间的r i e s z 基，即对任意kj ”刁，2 ，都存在正的常数爿，当，满足 4 牌兆- f i e c , d k ( t 硼日牌) e 2 - 3 1 ， 汜九，i t ) = 2 2 芦( 2 r 一 ) ，则 丸。( ，) ”z ) 是的r i e s z 基。这样还可得到： ( 6 ) 如果厂( x ) ，则有厂0 2 “) ， z ，反之也是 成立的，即 厂( x ) f ( x 2 “) 2 2 2 综上所述，由函数旁( f ) 生成的函数族 丸，。( f ) 七，h z ) 张成三2 ( r ) ，并且生成的子空 删序列 圪j 女z 满足上述6 条，这时我们称函数p ) 生成了上2 ( 月) 的多尺度分析 圪lk z ) ，亦称作多分辨率分析 3 、 4 ，( r ) 称为尺度函数，也称为小波父函数。 圪! k z 就是小波分解的尺度空间。 小波函数实际上也是由尺度函数生成的。如果( f ) e 圪，则由有多尺度分析可知亦 有( ，) 圪“，它当然可以由f 织。( ，) f ”z 线性表示，这样就得到了 = p 。o ( 2 t n ) = 疡。( 2 卜h ) 2 2 3 同样，着v ( 0 畋，则亦有( f ) “，所以又有 妙( ，) = 吼( 2 ，- 胛) = b 。o ( 2 t ) 2 - - 2 4 p e m 式一o - - 2 3 和式2 - - 2 4 合在一起称为二尺度关系。因此，只需知道尺度函数( ，) 即可，由 它可以生成小波函数p ( f ) 。例如对于h a a r 小波函数，它的尺度函数是： 姒垆裂 它的尺度关系是： i ( f ) = ( 2 ，) + 妒( 2 f 1 ) 【少( f ) = ( 2 f ) b ( 2 t 一1 ) 2 2 5 2 2 6 静态幽像压缩标准一j p e g 2 0 0 0 的分析与艇用 这样就可得到式2 一1 5 。 有r 二尺度关系就可对给定的信号作小波变换了。设f ( t ) l 2 ( r ) ，它在子空间圪， _ 卜的投影函数是以+ ( f ) ，在子空f 剧屹上的投影函数是f k ( t ) ，在子空间上的投影函数 是g + ( ，) ，则必有 以+ ，( f ) 2 以( f ) + g 。( t ) 2 - - 2 6 而 厶( f ) = c k , i 驴( 2 ”一1 ) ，g 女o ) = d ，( 2 8 一f ) ， ， 瞳 + l ( r ) = c k + l , 1 妒( 2 “1 一，) 2 - - 2 7 ，= 一 ( 2 f 一，) = z a i2 n o ( x h ) + b j 一2 。y ( z 一”) ) 2 - - 2 8 把2 - - 2 7 和2 - - 2 8 代入2 - - 2 6 就可以得n - 吼一= 口，一2 一吒+ 1 ， 2 - - 2 9 d k 。= 6 ，一2 n c k 十1 1 f 其中，c k 。= 这就是 ( f ) 的小波分解过程，示意图如图2 - 2 所示。 d n m cn m f 乙专c n q 图2 2 f ig2 - 2t h ed e m o n s t r a t i o no fm r a 在实际的小波分解时，通常使用二尺度关系的系数 h 。，2 z ) 和 g 。”z 生 成滤波器，以方便计算，具体为： c ，”= h t 一2 ”c k + 1 123 0 ， d k 。= g m ”c k + 1 ， 其中 h ，一ez 和k 。”e z ) 分别称为低频滤波器和高频滤波器，并且满足 g 。：( 一1 ) n 一。+ i ， 。：2 ， 肜( f 一咒) 庐( 2 f ) 衍 3 3 1 在2 - - 2 9 中的呶。实际上是( ，) 在尺度空间圪上的小波变换系数，当厂( f ) 为离散 采样的时候，为方便计算，在信号的压缩编码时通常取这些离散采样点作为最初的低频 系数。这样，信号的分解过程实际就是信号和低频滤波器、高频滤波器分别作卷积的过 程。 矗 2 如 吼么 d q么 堂查熨堡坐堕塑堡二! ! ! 鱼! ! ! ! 盟! ! 堑兰些生 2 4 3 图像的离散小波变换 在上一节中给出了一维信号的小波分解过程，这一节给出图像的小波分解过程。一 幅图像可以看作是二维信号，因此可以使用张量积形式的小波变换。对于数字图像，山 于它是离散的数据点，因此使用离散的张量积小波变2 d w t 。 设图像信号对应的函数为：( x ，y ) ，则它的小波分解如下： 由一元二尺度关系 f 声1 ( x ) = p ：妒1 ( 2 x n )伊( y ) = p ：矽2 ( 2 y m ) 饥班兰g ：1 ( 2 m ) 及协舻芝g ：双2 y - m ) 卜一3 2 l ，f l “ 得到二维张量积两尺度关系： f