（运筹学与控制论专业论文）无限对策nash平衡点的稳定性.pdf

摘要 在本文，我们集中讨论了纯策略集是无限的，人连续非合作对 策n a s h 平衡的稳定性主要包括无限对策n a s h 平衡点集的通有稳定 性以及无限对策n a s h 平衡点集本质连通区的存在性 全文共分三章： 第一章简要介绍本文将用的一些基础知识及相关结果，包括拓 扑空间的子集集合上的拓扑，紧度量空间上的测度和积分以及集值映 射的概念及相关结论 第二章对l c w y - p r o h o r o v 距离做了改进，在紧度量空间上的所有 测度的集合上重新定义了一种距离，并证明了这种距离所诱导的拓扑 与弱拓扑等价 第三章研究了紧度量策略空间上的、支付连续的、人非合作 对策的混合策略n a s h 平衡的稳定性问题首先在图像拓扑意义下讨 论了无限对策n a s h 平衡点的通有稳定性，然后我们通过在第二章中 重新定义的一种l 6 v y - p r o h o r o v 距离，利用不动点集本质连通区的存 在性定理和统一的本质连通区的存在性定理，得到了在最佳回应扰动 下无限对策n a s h 平衡本质连通区的存在性 关键词：l 6 v y - p r o h o r o v 距离，n a s h 平衡点，无限对策，最佳回应 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so nd i s c u s s i n gt h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so f n o n - c o o p e r a t i v eg a m e s w i t hi n f i n i t e l ym a n yp u r es t r a t e g i e s ，i n c l u d i n gt h e g e n e r i cs t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fi n f i r f i t e l ym a n yp u r es t r a t e g i e sa n dt h e e x i s t e n c eo ft h ee s s e n t i a lc o m p o n e n t so ft h es e t so fn a s he q u i l i b r i u m p o i n t so f i n f i n i t eg a m e s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1w e r e c a l ls o m en o t i o n sa n dr e s u l t su s e di no u ra n a l y s i si n t h i st h e s i s ，i n c l u d i n gt o p o l o g yo nc l o s e ds u b s e ts p a c e s ，m e a s u r ei n t e g r a l o nc o m p a c tm e t r i cs p a c e s ，c o n t i n u i t yo fs e t - v a l u e dm a p p i n g so nt o p o l o g y s p a c e s c h a p t e r2w e d e f i n i t ean e wd i s t a n c ei m p r o v i n gu p o n1 6 v y - p r o h o r o v d i s t a n c eo na l lm e a s u r es e to fc o m p a c tm e a s u r es p a c e ，a n dw ep r o v et h e e q u i v a l e n c eo ft h et o p o l o g ya n dw e a k l y + t o p o l o g yw h i c ht h ed i s t a n c e d e d u c e c h a p t e r3w es t u d yt h es t a b i l i t yo ft h es e to fm i x e dn a s he q u i l i b r i u m p o i n t so f n - p e r s o nn o n - c o o p e r a t i v eg a m e sw i t l lc o m p a c tm e t r i cs p a c e so f i n f i n i t ep u r es t r a t e g i e sa n dc o n t i n u o u sp a y o f ff u n c t i o n s f i r s t ，w ed i s c u s s t h eg e n e r i cs t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fi n f i n i t ep u r es t r a t e g i e si nt h eg r a p h t o p o l o g yc a s e ，t h e nw eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t so f t h ep e r t u r b a t i o n so fb e s tr e p l yc o r r e s p o n d e n c e sw h i c hi sd e d u c e df r o m t h en e wd e f m i t e d1 6 v y p r o h o r o vd i s t a n c ei nc h a p t e r2a n dt h ee x i s t e n c e o fe s s e n t i a lc o m p o n e n t so ft h es e t so ff i x e dp o i n to nt h em i x e ds 仃a t e g y p r o f i l es p a c e s k e y w o r d s ：1 6 v y 。p r o h o r o vd i s t a n c e ，n a s he q u i l i b r i u mp o i n t s ，i n f i n i t e p u r es t r a t e g i e s ，b e s tr e p l yc o r r e s p o n d e n c e 舳舌 作为运筹学的一个重要分支，博弈论( 也称对策论) 开始于1 9 4 4 年，v o n n e u m a n n 和0 m o r g e n s 却r n 的出版书中的一重要结果，即最大最小定理证明了博 弈平衡点的存在性这是一部伟大的奠基性著作，此书宣告了博弈论的诞生 1 9 5 0 年和1 9 5 1 年，n a s h 研究了n 人有限非合作博弈( 局中人为一个，每个局中 人纯策略集均为有限个，均考虑混合策略) ，应用b r o u w e r 不动点定理和k a l c u t a n i 不动点定理分别证明了平衡点( 即n a s h 平衡点) 的存在性由于n a s h 模型是在每 个局中人都是完全理性这一般假定的基础上建立的，而且实际对策又通常因 n a s h 平衡点的多重性而面临选取的问题因此，s e l t e n 引入了子对策来完美n a s h 平衡的概念，来反映人非理念的一面，并对n a s h 平衡进行精炼而h a r s a n y i 则奠定 了信息经济学的分析基础，他们三人因而共同获得1 9 9 4 年的n o b e l 经济奖 1 9 5 2 年，i c yf a n 和g l i c k s b e r g 同时证明了局部凸空间中不动点存在性定理， 并应用于非合作对策理论中的研究 1 9 6 2 年，我国学者吴文俊和江嘉禾对，z 人有限非合作博弈提出了本质平衡和 本质对策的概念，并证明了有限博弈都可以用一列本质博弈来任意逼近关于本质 连通区( 分支) 的研究，江嘉禾在1 9 6 3 年证明了任一n 人有限非合作博弈，在n a s h 平衡点集的连通区( 分支) 中至少有一个是本质的1 9 8 6 年，k o h l b e r g 和m e r t e n s 对 n a s h 平衡点的稳定性做了更加深入的工作他们得出结论：一般还不能将n a s h 平 衡点精炼为单点集，它是集值的，即是所谓的本质连通区( 分支，c o m p o n e n t ) 并且他 们进一步证明了任一n 人有限对策的n a s h 平衡点集的连通区必为有限个，而至少 一个是本质的h i l l a s ( 1 9 9 0 ) 和m e r t e n s ( 1 9 8 9 ) 将他们的工作做了改进和推广上 世纪末，俞建教授及其研究小组把本质解和本质连通区的概念广泛地引入各种非 线性问题的研究，取得了丰硕的成果 在经济生活中有许许多多的纯策略是无限的、支付函数是连续的或非连续的 人非合作对策，如经典的b e r t r a n d ( 1 8 8 3 ) 二人垄断竞量模型、h o 据e i n g ( 1 9 2 9 ) 二人垄断竞量模型以及生产竞争、保险市场、拍卖市场等诸多无限对策的例 子1 9 8 6 年，d a s g u p t a 和m a s m n 给出了一类支付非连续的无限对策的混合策略 n a s h 平衡点的存在性定理s i m o n ( 1 9 8 7 ) 进一步改进了d a s g u p t a 和m a s k i n 的工 作 2 0 0 5 年，周永辉等通过对紧度量空间上的所有测度的集合上的l d v y - p r o h o r o v 距离做了改进，并验证了此距离所诱导的拓扑与弱+ 拓扑等价，证明了无限对策 n a s h 平衡点集本质连通区的存在性 在本文，我们对纯策略集是无限的非合作对策的解的稳定性做深入的研究在 周永辉等( 2 0 0 5 ) 的基础上又给出了一个相对来说更简化了的l 百 v y - p r o h o r o v 距离， 而且验证了此距离所诱导的拓扑与弱拓扑也是等价的，并对无限对策n a s h 平衡 点集本质连通区的存在性定理给出了新的证明 第一章预备知识 本章我们简介在本文中将要用到的非线性分析的一些基础知识及有关结果， 主要有拓扑空间的子集集合上的拓扑，紧度量空间上的测度和积分，拓扑空间之 间的集值映射的连续性概念等 1 1 拓扑空间的子集集合上的拓扑 在本节，首先定义上半v i e t o r i s 拓扑、下半v i e t o r i s 拓扑、v i e t o r i s 拓扑，然后 又定义了上半伪度量、下半伪度量和h a u s d o r f f 度量，并讨论了后三种度量所诱 导的拓扑与前三种拓扑的关系最后，给出了网的聚点和极限点的定义以及相关 结论 设z 是h a u s d o r f f 拓扑空间，记2 。为z 的所有非空子集的全体k ( x ) 为z 的所有非空紧子集全体 g + = a r ( x ) l a c g ) ， g 一= a k ( x ) i a n g a ) ， 定义1 1 1 设z 是h a u s d o r f f 拓扑空间 ( 1 ) 由 g + ：g 为x 中任意开集 为基生成拓扑，称为k ( x ) 上的上半v i e t o r i s 拓扑 ( 2 ) 由( g 一：g 为x 中任意开集) 为子基生成的拓扑，称为k ( x ) 上的下半 v i e t o r i s 拓扑 ( 3 ) 由 g 一，g 一：g 为x 中任意开集 为基生成的拓扑，称为k ( x ) 上的 v i e t o r i s 拓扑 设( x ，d ) 是度量空间，对任意的s 0 及a 2 。，记u ( e ，a ) = x x ：存在 口a ，使c l ( a ，力 的一个极限点，如果对包含彳的任一开邻域u ，存在 一个p 人，当口时，以n u a ( 2 ) 称爿2 。是网 以 的一个聚点，如果对包含4 的任意开邻域u ，对任意 卢人，存在一个口，使得以n u a 引理1 1 3 ( 7 5 ，引理2 5 1 7 ) 设x 是一个拓扑空间，k ( x ) 为x 的所有 非空子集全体 以) 。“是k ( x ) 中的一个网，a k ( x ) ，以- - a ( 按v i e t o r i s 拓 扑) 则对任意网( x 。以) 。，存在一个聚点工a 引理1 1 4 ( 7 8 ，引理2 3 ) 设z ，y 是两个拓扑空间，k ( x ) 和k ( y ) 分别是 z 和y 的所有非空紧子集全体设 以吃) 。为k ( x ) x k ( ，) 中一个网，且 以ja k ( x ) ，吃- - - b k ( y ) ( 按v i e t o r i s 拓扑) 则对任意网 ( k ，y 。) a 。吃) ，存在一个聚点属于a x b 1 2 紧度量空间上的测度和积分 下面介绍测度与测度弱收敛，符号测度与符号测度弱收敛及相关结果 定义1 2 1 ( 1 ) 可测空间( z ，b ) 上的一个有限测度，是指为曰上的一个 非负实值的可列可加函数，称三元组( z ，b ，) 为测度空间 ( 2 ) 称为z 上的一个概率测度，如果测度a 满足( z ) = 1 ( 3 ) 设有一个定义在z 上的命题p ，如果存在一个集合a b ，使得4 a ) = 0 ， 且性质尸在z 、a 上均成立，则称尸关于几乎处处成立 ( 4 ) 设a ，y 分别为( z ，功上的两个测度，如果存在b 中的两个不交的非空集 合4 ，b ，使得x = a u b 且满足( 4 ) = v ( b ) = 0 ，则称和y 是奇异的 定义1 2 2 记m 为紧度量空间z 上全体测度所构成的空间称测度序列 “m ) 弱收敛于m ，如果对任意，c ( z ) ，! 受p 咖”= f 脚 定义1 2 3 对任何e a b ，有 y ) ( e ) = v ( 毋) 肚= f 肛( ) r a y 测度 v 称为与y 的乘积 因此，m 也是c ( z ) 上的全体连续线性泛函构成的局部凸弱拓扑空间c ( z ) 的一个非空凸子集记p 为z 上的所有概率测度构成的空间，则p 是m 的一个非 空凸紧子集，进而是c ( z ) 的一个非空凸紧子集 引理1 2 1 ( 1 引理1 1 1 ，定理1 1 6 ) 设m ，则是正则的，即对任意 a b ，任意 0 ，存在z 中的开集g 。和闭集丘。，使得 ( 1 ) k 。c a c g 。： ( 2 ) ( g 。、k 。) 0 及任意a 2 7 ，记u ( e ，彳) = y e 卅存在“爿勘( ”，y ) 0 ，存在占 0 ，使当d ( x ，x ) 0 ，存在j 0 ，使当d ( x ，x ) 0 ，存在艿 0 ，使当a ( x ，x ) s ，其中h 是定义在2 7 上的h a u s d o r f f 度量 注1 3 2 在上述定义中，特别，若所讨论的集值映射是单值映射，则上半连 续性与下半连续性都等价于单值映射的连续性 定义1 3 2 设y 是h a u s d o r f f 拓扑空间，q c y ，如果q 包含一列在】，中稠密 开集的交，则称q 是y 中的一个剩余集 引理1 3 1 ( f o r t ，e 2 8 ) 设x 是度量空间，y 是拓扑空间( b a i r e 空 间) ，f ：y 寸2 x 是y 上的一个u s c o 映射，则存在】，中的一个剩余集( 稠密剩余 集) q ，使对任意y q ，f 在y 是下半连续( 从而连续) 的 引理1 3 2 ( 4 7 ，定理7 1 1 5 ) 设z 是拓扑空间，】，是正则拓扑空 间，f ：z 专2 7 ，若f 是上半连续且闭值的，则f 是闭值映射，即f 的图像g r f 是 x 】，中的闭集，其中g r f = ( x ，y ) x x y ：y f ( x ) ) 引理1 3 3 ( 4 7 定理7 1 1 6 ) 设x ，l ，是拓扑空间且y 是紧的，如果 f ：x j2 7 是闭映射，则f 是上半连续的 引理1 3 4 ( 4 7 定理7 1 1 4 ) 设 只：i d 为一族集值映射，其中 e ：z 呻2 h 定义f ：兀e ：z _ 2 玎。为f ( x ) ：i - i f x x ) ，v x x 如果对任意 i ，只是上半连续且紧值的，则f 是上半连续且紧值的 引理1 3 5 ( 9 ，引理2 8 ( 1 ) ) 设z ，y 和z 是三个h a u s d o r f f 拓扑空 间，f ：y 寸2 。，g ：z 专2 。是两个集值映射设f 是y 上的一个u s c o 映射且存在 一个连续映射t ：z j y 使对每个z z ，有g ( z ) = f ( 丁( z ) ) ，则g 是z 上的一个 b 1 $ c 0 映射 证明：任给z z ，_ y = r ( z ) y 由于g ( z ) = f ( y ) 且f ( y ) 是紧的，所以g ( z ) 也 是紧的 设c ，是x 中的任意开集，u 3 c ( z ) = f ( y ) ，因为f 在y y 是上半连续的，所 5 以存在y 的开邻域o ( y ) ，使对任意y o ( y ) ，u 3f ( y ) 由于r 在z z 连续，故存在z 的开邻域矿( z ) 使对任意 ，v ( z ) ，r ( z 7 ) 0 ( y ) 因此，对任意的一v ( g ) ，y r ( z ) o ( y ) ，从而u f ( y ) = c ( z ) ，这就证 明了g 是z 上的一个上半连续映射 6 第二章对测度空间上的l o v y - p r o h o r o v 距离的改进 2 1 引言 在非合作对策理论的研究及应用中，还令对策论专家棘手的问题往往是 n a s h 平衡点太多一方面，有些n a s h 平衡点是不满足自动实旖的，从而是不稳定 的，另一方面，不同的平衡点对应的对策结果又是不同的因此，需要研究n a s h 平 衡点的选取问题近年来，关于非合作对策n a s h 平衡点的本质连通区的研究得到 了进一步的深入w i l s o n 7 4 直接应用n a s h 平衡点本质连通区于经济模型的分 析g o v i n d a n 和w i l s o n 3 2 ，3 1 深入的研究了有限对策n a s h 平衡点集本质连通 区的性质及求解将有限人非合作对策的研究延伸到一般人非合作对策的 研究，取和x i a n g 7 7 应用非线性分析方法，证明了( 纯策略) n a s h 平衡点集本质 连通区的存在性在这之后， 3 和 7 6 分别对广义对策( 抽象经济) 、多目标对策 和生产经济等的平衡点集，都证明了本质连通区的存在性，而 9 更给出了统一的 本质连通区的存在性定理 在第2 2 节中，在【8 】的基础上又给出了一个相对于【8 】中的距离更简化了的 l 6 v y - p r o h o r o v 距离，而且验证了此距离所诱导的拓扑与弱拓扑也是等价的，并 给出相关结果 2 2 测度空间上的l 6 v y - p r o h o r o v 距离的改进 设z 是紧度量空间，m 是z 上的所有的测度的集合在m 上，我们通常称 上p 为m 上的l o v y - p r o h o r o v 距离( 见文献 4 ， 1 ) ，即对任意u ，y m ， l p ( 缈) - 妻，1m i n l ，弦舡一矽d y 其中国“ = 为z 上的全体连续函数所组成的空间，c ( z ) 中的一个可数稠子集由 引理i 2 4 我们知道( m ，p ) 是一个可分度量空间，而且工p 在m 中所诱导的拓 扑与弱+ 拓扑等价，即序列舡”m ) 弱收敛于等价于实数列 凹似”，) ) 趋于 0 接下来，我们将对距离函数卯适当予以改进，使得所得到的新的距离函数 7 l p + 在m 上，除了，保持与弱拓扑等价外，还具有很好的度量性质 在每个混合策略空间墨中引入距离函数d i ，对任意的“，y ，s ，定义 4 。彤) ；喜专l g f 咖t 一g p y ，l ，这里序列f 。 g 川i 旧训= 1 ) ：是完备可分 的连续函数空间c i ：x i ) 中的一个可数稠子集 此距离是对l 6 v y - p r o h o r o v 距离的改进 在m 上定义新的距离函数工p ，使得对任意的，v m ， ) = 砉爿拍? 咖一i g d 叫 其e n g i l l g i l l = , ：。为c ( z ) 中的球面量上的一个可数稠子集( 参见 8 2 ) 定理2 2 1 ( 墨，哦) 是一个度量空间，而且4 在s 中所诱导的拓扑与弱拓扑 等价 证明：对任意f ，y f ，丑s 。，由d 。的定义易知d i ( t t i , v 。) 0 ：若“= ，。，则 吐( ，y ) = o ：且哦 。，v ) 吐( 以， ) + 哦( ，y ，) 其次，若吐似i ，v i ) 2 0 ，则lg l e s , ，2j r , g i d v 。，_ ，= 1 2 一 考虑到 g ? i i i g i l l = ：= 。在c ( 置) 中的单位球面占，上稠密，对任意p c ( x ，) 郇t 2 向坝| j p 一咄 当a 2 0 时，显然p ，砒2 p f d v r ，即j r , p ；d l x 。2 p ：咖，一，y s i , 从而 “2 y t ： 觐o 时p 肝p , d v , , i i l l 静一2 舒， 于是fp ：d # ，2 - 【x , p ；d v 。，麒，v 。s ，从而“= v 。 这就证明了d ，是s ，中的距离 下面证明d ，所诱导的拓扑与弱拓扑等价，即来证明群j “( 弱) 当且仅当 d i ( ? ，) 0 ，其中f ，? 墨，n = 1 , 2 ， 充分性：若d ，( 卢? ，“) 哼0 ，则! 塑【g i g # ；= 【g l a # 。，j = 1 , 2 ， tm 8 对仕葸p c ( x j ) ，j2 1 , 2 ， 群抑，2 白e b s 有 咖? 一p j 砒l - k j p i d 醚一k j g j d 磁+ k j g i j u p n t k j g ；稚l + 毫i g ；d 弘i k | p i 鼬 k p ，础? 一l g ? 中? i + | 晶j 叩。n 一g ? 咖，l + l g ? 舡，一p ，私，i o ，取正整数掰，使妻击 1 0 ，b 1 0 ，贝0 吐( 掣f + b y ，a , u ，+ 6 ) 2 b d ( v j ，丑) ( 2 ) 设a 。，b i 是s 。中的凸紧集，h 。是s ，上的h a u s d o r f f 距离 d + 6 = 1 ，a o ，b t 0 ，则h ；( 爿，a a i + b b ) h i ( 4 ，b ) 9 证明：首先注意到，a 1 1 + b y 。s ，吼+ 6 s ，至于( 1 ) 的结论，则直接按 定义验证即可 同样注意到州，+ 蝎是墨中的凸紧集，而要证明( 2 ) ，只需证明：对任意r 0 如果向( 4 ，骂) ，则曩( 4 ，a _ 4 j + 魍) ， 由于红( 4 ，b i ) 0 ，使得吩( 4 ，局) t r 对任意x 墨，记 u ( x ，r ) = 伽墨：哦( x ，) r ) 由吃( 4 ，e ) f ，有a jcu u ( y ，f ) ，马c u ( x ，f ) ye巩ye 对任意x a t ，存在y b i ，使得d 。( x ，y ) t 由于y 置，存在x 4 ，使得吐 ，y ) f 由于4 是凸的，x = a x + b x a i 且由( 1 ) 有 玩( “，z ) = d t ( a x + b y ，+ 6 ) = b d , ( y ，x 7 ) ，v x x 贝l j g r a p h f = d ，由，的定义，工山， 因g r a p h f 是紧集，故，是上半连续且闭值的 下证厂具有n a s h 平衡点，事实上，设( 工：，z ：) g r a p h f 。，因为每一g 唧帆紧 必有子列( x 二，x 二) 专( x ，x + ) g r a p h f = d 即x 为，的n a s h 平衡点 于是f g 对每个对策厂g 。，用n e ( f ) 表示对策厂的所有n a s h 平衡点的集合，则 n e ( f ) a ，且厂j n e ( f ) 给出了一个从g 。到s 的集值映射 引理3 3 2n e ：g 。一2 3 是个u 3 c o 跌射 证明：因为s 是紧集，由引理1 1 3 ，只需证映射n e 的图像在乘积拓扑 g 。s 中是闭的，即证若对任意序列 ，”g 。) ，任意序列伽”n e ( f ”) ) 使得 k f 矗以d p i k 4 p i d a 。 从而，必有某个纯策略譬x i , 使得l 。z ( # ，。) z 以。 l z 础，组， 如若不然，对每个一置，t z ( 鼍，机，l z 舡，咖。， 于是 l 。【l 。z ( 薯，) 啦，】酬工砒啦。 或工咖；巧f f 一。lz 咖t d a 一与假设矛盾 又因为 i l ，一z “( # ，) 粥一。z ( 柏啦。i j 【z ”( 耳o ，) c 和c 一【z ( # ，c 扛z + ，( # ，) 咖：一lz ( # ，啦，j 哪吼坼- t一f l 。l z ”( 一o ，) 一z ( # ，) i d ，一m ，+ i 一，z ( x ? ，) 咖：一z ( x ? ，) 舡一。i p ( 厂“，) + li ，z ( # ，) c 心+ i ，z ( # ，) 啦。i 0 眦j吼 所以l i m 【，z “( # ，) d ，m ，= lz ( # ，啦， m 吼 从而当m 充分大以后l z ”( # ，) 粥 l z ”d ，r , a 一m 这又与“n e ( f ”) 矛盾 矛盾表明n e 是闭的，从而n e 是上半连续的 又因为n e 是闭的，所以对每个厂g 。，e ( 厂) 是闭的 因s 紧，所以_ 7 v e o o 是紧的这就证明了n e 是淞映射 为给出c g ( x ，2 。) ，c f ( x ，2 。) 上的n a s h 平衡点的稳定性，我们先证明： 引理3 3 3 设x 是赋范空间一紧子集，则c ，( x ，2 。) c g ，从而完备 证明：设五c f ( x ，2 上) ， 山， 于是，g ，即f 为定义在x 上的某一紧子集a 上的上半连续、闭值映射且厂 有a f b 平衡点 1 6 设工：x 寸2 。，押= 1 , 2 ，f ：a - - - 2 。 t i e f 在每一点x x 处有定义由正旦l ， g r a p h f 生_ 钎印矿 任取x x ，必有z 。= 化n ) g r a p h f 由g r a p h f 丝qg ，啤彤及引理1 1 3 ， 必有予列z = ( x ，y m ) 一z o g r a p h f 不妨设y 。_ y ，则z o = ( x ，y ) g r a p h f 故，在x 处有定义 综上，f c f ( z ，2 。) 由c i g ( x ，2 。) c g 及引理3 3 2 ，a t e 是c f ( x ，2 。) 上的u s c o 映射因而我们得 到下面的通有稳定性 定理3 3 ，1 设x 为赋范线性空间的紧子集，则存在一稠密剩余集 q c 矸( x ，2 。) ，使得q 中的每一个厂的n a s h 平衡点都是本质的 特别，当x 是赋范空间的紧凸子集时，可证c g ( x ，2 。) 是完备的；而 c g ( x ，2 。) c 7 - c f ( x ，2 。) c g ，则眦是c 吾( x ，2 。) 上的u s c o 映射 于是我们有 定理3 3 2 设x 为赋范空间的紧凸子集q c c g ( x ，2 。) 使得对每一个 f q ，f 的n a s h 平衡点是本质的 3 4 不动点集的本质连通区 吼= r ：s - - 9 2 5 ：对任意的t z s ，r ) 是非空凸紧集，且r 在处是上半连 续的 对任意的r 吼，由f a n g l i c k s b e r g 不动点定理，存在i z s ，使得 r ( ) 用f ( r ) 表示r 的所有不动点的集合这样，r - - f ( r ) 就给出了一个 从r 斗s 的集值映射 定理3 4 1 ( e g ，引理2 3 ) f ：r 一2 5 是一个珊c d 映射 证明：首先我们来证明集值映射f 是闭的，即要证明对任意的 ) 二c d ，厶斗厂d ，对任意x 。f ( ) ，x 。jx ，则x f ( ，) 记s u p h ( f ( x ) ，厂( x ) ) = 占。，由工专厂，得s 。- - 0 ，且而( ( x 。) ，f