（应用数学专业论文）半变系数模型的估计.pdf

太原卑t 大学硕十研究生学俯论文 半变系数模型的估计 摘要 h a s t i e 和t i b s h i r a n i ( 1 9 9 3 ) 所提出的变系数模型( v a r y i n gc o e f f i c i e n t m o d e l s ) ，其定义如下 ， p 一 。 y = a i ( u ) x t + s ， i = 1 其中( 以x 1 ，。砀，玛) r 为给定的协变量向量，y 为响应变量，随机误差 独立于( 以x 1 ，恐，玛) t 且满足e ( ) = o ，、k ( ) = 仃2 由于该模型比线 性模型具有更好的灵活性和适用性，在许多领域都获得了广泛的应用。 在实践中，人们希望知道变系数模型中函数系数是否真正变化，从而 引出检验某些函数系数是否为常数的问题，即检验原假设h a ：啦( u ) = 觑， 对某些i 是否成立。在对某些i 原假设凰成立的条件下，变系数模型被 称为半变系数模型( s e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s ) ，其定义如下 其中y 是响应变量，随机误差g 独立于协向量( 以x 1 ，尥，b ， z ”，磊) 且e ( e ) = 0 ，v a r ( e ) = 仃2 ，。( ) 一( e l ( ) ，( ) ) t 是p 维函数系数向量，p = ( 岛，岛) t 是q 维常系数向量。该模型由包含函 数系数 啦( ) ，i = 1 ，2 ，p ) 的非参数部分和包含常系数 岛，j = 1 ，g ) 的线性部分组成。为避免“维数祸根”问题，通常假定u 是一元的。 i e+ 乃易 。触 +恐矿 啦 ，：l l l y 太原理工大学硕士研究生学位论文 半变系数模型是一类比较广泛的模型，例如，当啦( ) 三0 ( i = l ，p ) 时，即为线性模型；当岛= 0 ( j = i ，q ) 时，即为变系数模 型；如果将常系数岛看作函数，半变系数模型又可以认为是变系数模型 的一种特殊情况；当p = 1 ，x 1 三1 时，就成为部分线性模型f p a r t i a l l y l i n e a rm o d e l s ) 本文首先考虑线性约束下半变系数模型的估计问题。假设约束条件为 相容线性方程组 a 口= b 其中a 为仇q 矩阵，且秩为m ，b 为m 1 向量。在f a n 和h u a n g ( 2 0 0 5 ) 想法的基础上，通过改进p l s ( p r o f i l el e a s ts q u a r e s ) 估计，绘出 常系数向量和函数系数向量的约束p l s 估计，并证明了估计的渐近正态 性。 其次，考虑响应变量随机删失时半变系数模型的估计问题。设 m ，1 i 佗) 因随机右删失而不能被完全观察到，仅能观察到 f i t , ，瓯) ，1si 礼 ，其中 正= m i n y i ，y d ，蠡= j ( ksy d ，i = 1 ，2 ，n ， 截断变量 k ，1sis 珏) 独立同分布( i n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ) 且与 ，1 i n 独立。 在响应变量随机右删失的情况下，通过数据变换，并改进z h a n g ，l e e 和s o n g ( 2 0 0 2 ) 所提出的估计方法，采用局部线性方法和平均方法给出了 一i i 太原王旦t 大学硕士研究牛学侍论文 常系数的估计，采用局部线性方法和b a c k f i l t i n g 技巧给出了函数系数的两 步估计，进而证明了该估计的渐近正态性。 最后，考虑广义半变系数模型( g e n e r a l i z e ds e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n t m o d e l s ) 的估计问题。设条件均值和条件方差为 弘( x ，z ，让) = e ( y i x = x ，z = z ，u = u ) ， v a r ( y i x = x ，z = z ，u = “) = 0 2 y p ( x ，z ，t 正) 0 ， 其中y 为给定函数，盯2 为未知的规模参数，以y r ，x 舻，z r q 拟似然函数q ( p ，y ) 通过下式定义 a q ，y )y p a py ( p ) 广义半变系数模型定义为 叼( x ，z ，u ) = 9 p ( x ，z ，仳) ) = o l t ( ) x + 卢t z ， 其中夕( 一) 是一给定的联系函数，a ( 饥) = ( d 1 ( 乱) ，( u ) ) 为未知的函数 系数向量，序= ( 胁，岛) 为未知的常系数向量。 先通过局部拟似然方法可获得广义半变系数模型函数系数的初估计， 并以其代回模型，采用拟似然方法获得常系数的估计，再采用局部拟似然 方法和b a c k f i t t i n g 技巧给出了函数系数的估计。此外证明了该估计的渐近 正态性。 关键词：变系数模型，半变系数模型，广义半变系数模型， 局部线性，拟似然方法，随机删失，约束估计，渐近正态性 一i i i 奎堕翌工丕堂堡主堕壅皇堂焦鲨塞 t h ee s t i m p 汀i o n so ns e m i v a r y i n g c o e f f i c i e n tm o d e l s a b s t r a c t h a s t i ea n dt i b s h i r a n ip r o p o s e dt h ev a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s ，w h i c h a r ed e f i n e da s p y = 啦( u ) 置+ i = 1 w h e r e ( ux 1 ，恐 ，玛) ti st h ev e c t o ro ft h eg i v e nc o v a r i a t e sa n dy i st h e r e s p o n s ev a r i a b l e ，ei si n d e p e n d e n to f ( x 1 ，玛) ? w i t he ( 5 ) = oa n d v 打( ) = 口2 s i n c et h em o d e l sa r em o r ef l e x i b l ea n dm o r ea d a p t a b l et h a n t h el i n e a rm o d e l s ，t h e yh a v eb e e nd i s c u s s e db ym a n yp e o p l ea n da p p l i e d w i d e l yi nm a n yf i e l d s i np r a c t i c e ，r e s e a r c h e r so f t e nw a n tt ok n o ww h e t h e rt h ec o e f f i c i e n t sa r e r e a l l yv a r y i n go rn o t t h i sa m o u n t st ot e s ti fe v e r yf u n c t i o nc o e f f i c i e n ti s c o n s t a n t ，n a m e l y , t e s tt h en u l lh y p o t h e s i sh 0 ：啦( u ) = 危，f o rs o m ei t h e m o d e l su n d e rh 0f o rs o m eiw i l lb ec a l l e ds e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s l v 太原理t 大学醐 研究牛学俯论文 w h i c ha r ed e f i n e da s q q i ( u ) + 岛乃+ j = 1 w h e r e ( 玩x x ，恐，耳，z 1 ) ，扬) i s t h ev e c t o ro ft h e g i v e n c o v a r i a t e sa n dyi st h e r e s p o n s ev a r i a b l e ，e i s i n d e p e n d e n t o f ( 以x 1 ，x 2 ，玛，z 1 一，蜀) w i t he ( e ) = oa n dv 缸( e ) = 仃2 t h e s em o d e l sc o n s i s to fan o n p a r a m e t r i cp a r tt h a ti n v o l v e sc o e f f i c i e n tf u n c t i o n s 啦( ) ，i = 1 ，2 ，p ) a n dal i n e a rp a r tt h a ti n v o l v e sc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s 岛，j = 1 ，q ) d u et ot h e c u r s eo fd i m e n s i o n a l i t y ，w ea s s u m eui s u n i v a r i a t e o b v i o u s l y , i f 啦( ) 兰0 ( i = 1 ， t h es e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sb e c o m el i n e a rm o d e l s i f 岛= 0 ( j = 1 ，g ) ，t h e yb e c o m ev a r y i n g c o e f f i c i e n tm o d e l s a tt h es a m et i m e li ft h ec o n s t a n tc o e f f i c i e n t8 i sv i e w e d a saf u n c t i o n ，t h es e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sc a nb er e g a r d e da sas p e c i a lc a s eo ft h ev a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s o nt h eo t h e rh a n d ，w h e np = 1 a n dx 1 三1 t h em o d e l sb e c o m ep a r t i a l l yl i n e a rm o d e l s f i r s t l y , e s t i m a t i o no ns e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sw i t hl i n e a rc o n - s t r a i n t sa r es t u d i e di nt h i sp a p e r s u p p o s et h a tt h el i n e a rc o n s t r a i n t s a 口= b i sac o n s i s t e n tl i n e a re q u a t i o ng r o u p w h e r eai sam a t r i xo fm qw i t h r a n km a n dbi sav e c t o ro fm 1 u n d e rt h el i n e a rc 6 n s t r a i n t s ，t h ec o n - 一v 一 ，斟 = y 太原珲1 = 大学硕士研究生学位论文 s t r a i n e dp r o f i l el e a s t s q u a r e se s t i m a t i o no ns e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s i sd i s c u s s e d ，a n dt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo fw h i c hi si n v e s t i g a t e d s e c o n d l y ，e s t i m a t i o no ns e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sw i t hc e n s o r e d d a t aa r es t u d i e d s u p p o s et h a tr e s p o n s ev a r i a b l e k ，1 i n a r en o tb eo b s e r v e d f u u yf o rr a n d o mc e n s o r e d ，o n ec a no n l yo b s e r v e r d ( 互，国) ，1 i - 曼住) w n e r e 乃= m i n y t ，) ，文= j ( m v 0 ，i = 1 ，2 ， k ，1 i 礼) i i d a n di n d e p e n d e n to f ，1 i n ) b yt r a n s f o r md a t a ，t h et w os t e pe s t i m a t o ro fp a r a m e t r i cc o m p o n e n to n s e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sa r ed e v e l o p e db yl o c a ll i n e a rm e t h o da n d a v e r a g em e t h o d t h ee s t i m a t o ro fn o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n ta r ed e v e l o p e d b yl o c a ll i n e a rm e t h o da n db a c k f i t t i n gt e c h n i c a l a s y m p t o t i cn o r m a l i t i e s o ft h ee s t i m a t o r sa r ei n v e s t i g a t e d f i n a l l y ，t h eq u a s i - l i k e l i h o o de s t i m a t i o no ng e n e r a l i z e ds e m i v a r y i n gc o - e f f i c i e n tm o d e l sa r es t u d i e d s u p p o s et h a tt h ec o n d i t i o n a lm e a na n dt h e c o n d i t i o n a lv a r i a n c eg i v e db y u ( x ，z ，乱) = e ( y i x = x ，z = z ，u = ) v a r ( r l x = x ，z = z ，矿= u ) = 0 - 2 y p ( x ，z ，) ) 0 ， f o rag i v e nf u n c t i o nva n du n k n o w ns c a l ep a r a m e t e r 盯2 ，w h e r euy 一v 1 一 太原珲t 大学硕十研究牛忙论文 r ，x r 9 ：z r 9 t h eq u a s i l i k e l i h o o df u n c t i o nq ( p ，y ) i sd e f i n e dv i a a q ( p ，y ) 一y 一肛 a 肛y ( p ) g e n e r a l i z e ds e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sa 2 ed e f i n e dv l a 7 7 ( x ，z ，“) = g p ( x ，z ，t 上) ) = o l t ( “) x + r i t z ， w h e r e 夕( ) i sag i v e nl i n kf u n c t i o na n da ( ) = ( 。1 ( u ) ，- 一，o 加( “) ) i sa u n k n o w nv e c t o ro fc o e f f i f i e n tf u n c t i o n s ，p = ( 历，岛) i sau n k n o w n v e c t o ro fc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s t h ep r o c e d u r e sf o re s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t r i cc o m p o n e n ta n dt h e n o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n to ng e n e r a l i z e ds e m i - v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s a r ed e v e l o p e da 8f e l l o w s ：t h ec o e f f i c i e n tf u n c t i o n si nt h en o n p a r a m e t r i e c o m p o n e n to fg e n e r a l i z e ds e m i - v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sa r ee s t i m a t e d v i al o c a lq u a s i l i k e l i h o o dm e t h o dw i t has m a l lb a n d w i d t h a f t e rr e p l a c i n g t h ec o e f f i c i e n tf u n c t i o n si nt h en o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n tb yt h eo b t a i n e d e s t i m a t o r s ，q u a s i l i k e l i h o o dm e t h o di se m p l o y e dt op r o d u c et h ee s t i m a t o r s o ft h ec o n s t a n tc o e f f i c i e n t si np a r a m e t r i cp a r t ，t h e nt h ef i n a le s t i m a t o ro f n o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n ta l ed e v e l o p e db yl o c a lq u a s i l i k e l i h o o dm e t h o d a n db a c k f i t t i n gt e c h n i c a l f o rt h i sp r o c e d u r e ，t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t i e s o ft h ee s t i m a t i o no np a r a m e t r i cc o m p o n e n ta n dn o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n t a r ei n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ：v a r y i n gc o e f f i c i e n t m o d e l s ，s e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n t m o d e l s ，g e n e r a l i z e ds e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s ，l o c a ll i n e a r ，q u a s i l i k e l i h o o d ，r a n d o mc e n s o r e d ，c o n s t r a i n e dp r o f i l el e a s t 。s q u a r e se s t i m a t i o n ， a s y m p t o t i cn o r m a l i t y 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：! 二l 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定。其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的。 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名： 导师签名： t 认、日期-。” 岁巾叶 太原珊丁大学硕十研究乍学位论文 第一章序言 1 1 从参数回归模型到半变系数模型 如果蚓归方程e ( y i = ) = ，( z ；p ) 的函数形式已知，卢为未知的参数，即模犁为 玑= ，( 戤；卢) + 矗， 其中随机误差鼠满足e e l = 0 ，v a r ( e 1 ) = 口2 ，由数据 如，雏) 翟1 估计未知参数p 及其推 断，称为参数回归( 1 , 2 , s l 。当y = ，( z ；卢) + 为真正的模型或非常接近真正的模型时，参 数回归具有计算量小，估计效率高，需要的样本容量小等优点。但参数模型对回归结 构假设比较严格，当假设不成立时就会产生很大的模型偏差，甚至导致错误的结论。 而实际中人们往往很难对模型做出非常具体的假设，从统计学的观点，许多统计学工 作者认为实际中可能根本不存在真正的模型，很可能所有的模型都是错的，但模型有 好坏之分，人们只是寻找一个较好的模型去逼近描述数据，如何建立一个好的统计模 型一直是统计学家努力追求的目标。 随着当今计算技术和计算能力的飞速发展，许许多多复杂的计算得以实现，允 许人们对客观总体的描述提出更高的要求，为了减少参数回归的模型偏差，统计 学家提出一个假设更宽松更自由的模型一一非参数回归模型 4 1 。即假定回归函数 f ( z ) = e ( u i z ) 属于一个广泛的函数类，如光滑函数。模型为 玑= ，( ) + 旬，( 1 1 ) 其中，( z ) ，= 具有某种属性的函数) ，随机误差岛满足e e i = 0 ，v a r ( e i ) = 口2 非参数回归分析的基本目标就是基于数据 瓤，瓠 銎l 估计非参数回归函数f ( z ) 及 其推断。非参数方法对模型的结构假设很少，具有稳健( r o b u s t ) 的优点，但相对于 参数模型，非参数模型需要的样本容量较大，计算更复杂。可是由于飞速发展的计算 一】一 太原理丁大学硕十研究生学位论文 技术，已使昔日认为不可能的讨算变得容易，因此非参数方法近来受到人们的普遍关 注。 有关模型( 1 1 ) 中，扛) 的估计方法可以统称为光滑方法，如核估计，局部多项 式估计，光滑样条估计，b 样条估计等。这些估计法，从理论上讲允许模型( 1 1 ) 中 回归变量。是向量，但实际上，多维非参数回归的估计效果是非常差的。这是因为 非参数函数估计方法本质上讲都是局部估计或局部光滑，要想使( x ) 在点z 得到 比较优良的估计，必须使得誓的邻域包含有足够多的数据“，但等营为多维数据时，“ 这个条件难以满足。且由于维数的增加，f ( x ) 的估计收敛到( x ) 的速度缓慢，估计 极不稳定。人们称这种现象为维数祸根( t h ec l l r s eo fd i m e n s i o n ) 但是近代统计 中，人们所面临的常常是高维数据，因此高维数据的回归分析是一个非常热门的话 题。许多统计学工作者都在努力探索，y 与高维变量。之间的回归关系，其最终 目标就是寻找结构简单，易于估计，容易解释的回归模型。总的来说可以把这些工 作分为两大类【6 】：类为降维( d i m e n s i o nr e d u c t i o n ) ，如s i r 回归( s l i c e di n v e r s e r e g r e s s i o n ) i r ，投影追踪同归( p r o j e c t i o np u r s u i tr e g r e s s i o n ) 【8 】，图回归( g r a p h i c a l r e g r e s s i o n ) 【q 等；另一类称为函数近似( f u n c t i o na p p r o x i m a t i o n ) ，如可加模型 ( a d d i t i v em o d e l s ) 1 1 0 ，低维交互模型( l o wd i m e n s i o n a li n t e r a c t i o nm o d e l s ) 1 1 j ，多 指标模型( m u l t i p l ei n d e xm o d e l s ) 1 2 1 部分线性模型( p a r t i a l l yl i n e a rm o d e l s ) 【“， 变系数模型( v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s ) 【1 4 一矧等。其中变系数模型获得了广泛的应 用，其定义如下； p y = 口。( ) 咒+ ， ( 1 2 ) i = l 其中( 以x l ，x 2 ，玛) 丁为已知协变量，y 为响应变量，随机误差e 独立于 ( 蜀，恐，) t 且满足e ( ) = 0 ，v a r ( e ) = 盯2 f a n 和z h a n g 在检验模型( 1 2 ) 中系数函数是否真正变化时【1 8 1 ，提出如下半变系 一2 太原理t 大学砸十研宄牛学俯论文 数模型( s e m i v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s ) ( 13 ) 其中y 是响应变量，随机误差独立于协向量( 以1 ，恐，局，乙，蜀) 上t e ( 4 = 0 ，v a r ( ) = 口2 ，q ( ) = ( t l f l ( ) ，唧( ) ) 7 是p 维函数系数向量，p = ( p - ，岛) 7 是q 维常系数向量。 1 2 半变系数模型的研究现状 h a s t i e 和t i b s h i r a n i1 1 4 1 所提出的变系数模型( 1 2 ) 在环境科学，生物统计，医药统 计等众多领域都获得了广泛的应用。c h e n 和t s a yf l q 在时间序列方面也给出了变系数 自回归模型， ( 1 ，4 ) 其中 k ) 是时间序列，c 仁l = ( k 1 ，k ) ，0 i z 0 ， 其中v 为一给定函数，为未知的规模参数，e y r ，x = ( 五l ，蔑2 ，杨) 彤，z t = ( z , l ，z ，z ) r 4 由于仅给出条件均值和条件方差之间的关系，因此适合于应用拟似然方法1 3 9 一删。 - 5 一 太原理丁大学硕十研究牛学位论文 拟似然函数q ，y ) 通过下式定义 设 塑! 些! 幽：! 兰 a 肛 矿( 肛) 叮( x ，z ，) = 9 p ( x ，z ，“) ) = a t ( u ) x + 卢了1 z 其中g ( 。) 是一给定的联系函数，o ( u ) = ( o - ( u ) ，郇( “) ) 为未知的函数系数向 量，p = ( 风，岛) 为未知的常系数向量。 首先通过局部拟似然方法【3 9 】可获得广义半变系数回归模型函数系数的初估计， 并以其代回模型，采用拟似然方法获得常系数的估计，再采用局部拟似然方法和 b a c k f i t t i n g 技巧获得函数系数的估计。此外证明了该估计的渐近正态性。 1 4 主要基础知识 本文主要结论的证明中要用到下列定理 定理1 1i 勰l ( 独立同分布中心极限定理) 设 丘，k = 1 ，2 ， 为独立同分布非退 化的随机变量序列，且e 眉 0 使e j f 2 + 6 2 ，使得e i i x l l 2 3 o o 和e i i z l l “ o o ，对于e 2 ，使得e i i x l l 2 5 o 。和e i i z l l 2 。 o o ，对于 2 一s ，满足 n h 一1 ，o o 定理3 1 在假设a 3 1 一a 3 ，5 成立的条件下且n h l l o g 1 一o o ，h l 一0 ， h z = o ( h 2 ) 时有 、元( 口一p ) 二n ( 0 ，a 1 ) ， ( 3 4 ) 厩( 卿) 叫“) 一5 硬- 舭) ) _ r ( 。，而u 0q ，- ( 缸) 咪郴“u ) ) ( 3 5 ) 其中 a l = e a 2 2 ( u ) 一q 易( u ) q 矗( u ) q 1 2 ( c ，) 】一1 【r 2 2 ( c ，) 一q 己( 【，) q 矗( u ) r 1 2 ( 矿) 一1 1 己( ) q 1 1 ( u ) q - 2 ( u ) + a r 。( u ) a ；i ( u ) r ，t ( ) q - 1 1 ( ) q 1 2 】p 2 ：( u ) 一q 毛( 矽) n 叠( u ) q ，。( 矿) 】一1 ， 注：如果没有右删失( 即完全数据) ，则可以看作v = ，此时g = 0 ，r 玎= 口2 q 巧，0 ，j = 1 ，2 ) ，贝u 有 、元( 西一p ) 0n ( o ，e 【q 。( u ) 一q 毳( 矿) q i l ( u ) q - 2 ( u ) 】一1 ) ， 佩( 卿) 叫小孙以u ) ) ( 。 ，( f f 2 。t o ) q “u ) ) 显然证明了z h a n g ，l e e 和s o n g ：7 1 所给估计的渐近性质。 太原理丁大学硕士研究生学位论文 3 3 定理的证明 引理3 1 设( x 1 ，m ) ，( k ，k ) 为独立同分布随机向量，其中每个m 都为随机 标量，且e l y l 。 ，s u p 。f 川。，( z ，y ) d y o 。，其中，表示( x ，y ) 的联合概率密度函 数，k 为一有界支撑上的有界正函数，满足l i p s c h i t z 条件。则对某个e 0 ， ( 4 1 ) 其中y 为一给定的函数，0 - 2 为未知的规模参数，以y r ，x = ( 咒l ，咒2 ，一，咒，) 彤，z 。= ( z t l z i 2 ，z 幻) r q ( 4 1 ) 式仅给出条件均值和条件方差之间的关系，因此特别适合于采用拟似然方 法。拟似然函数q ( u ，y ) 通过下式定义 a q ( p ，y )g p 万厂2 丽 并假设 ，7 ( x ，z ， ) = g u ( x ，z ，u ) ) ：c ，( “) x + p 7 z ，( 4 2 ) 。2 6 太原理t 大学硕士研究生学仿论文 其中9 f ) 为给定的联系函数，n m ) = 沁，( “) ，q ，( “) ) 7 为未知的函数系数向 量，p = ( 口h ，风) 7 为未知的常系数向量。 显然，如果把模型中常系数岛看作函数的话，广义半变系数模型( g e n e r a l i z e d s e m i - v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l s ) 可以看作广义变系数模型( g e n e r a l i z e dv a r y i n g c o e f f i c i e n tm o d e l s ) 的一种特殊情况。另一方面，当函数系数o t t ( u ) 为常数时，他们又 转化成广义线性模型( g e n e r a l i z e dl i n e a rm o d e l s ) 对于该模型我们提出如下方法来估计其参数部分和非参数部分： 首先，若 q ( ) ，j = 1 ，2 ，p 有连续的二阶导数，那么在u 的附近，则有 ( 矿) a j ( u ) + 嘭( ) ( u 一札) 一aq + b a u u ) ，j = 1 ，p 令( a ，6 ，e ) 关于( a ，b ，c ) 极大化局部拟似然函数 砉q ( t ；p g - i ( a j + c 巩训粕+ e t z 小1 玩c 巩一咄 c a 渤q l + ( 巩u ) ) 粕+ z t ，) 玩( 巩一札) ， ( 4 3 ) i = l ，= 1 其中玩( ) = k ( h ) h ，k 为一核函数，h 为窗宽，a 一( o l ，) t ，b = ( b l ，6 p ) tc = ( e l ，岛) r 则n ( ) 的初估计为a ( 让) = a ( u ) 其次，用所得估计替换模型中非参数部分的函数系数向量，通过拟似然方法估计 其参数部分，即，关于口极大化拟似然函数 q ( g - 1 a r ( “) x + 矿z ；) ，k ) t = 1 西即为卢的最大拟似然估计。 ( 4 4 ) 最后，关于( r ，s ) 极大化局部拟似然函数 茎二q ( g - l 耋邑+ 勺c 阢一扎，粕+ 伊z 。，m 1khi=1 1 。c 以一仳， qi ( 巧+ 勺( 阢一扎) ) 粕+ 伊z 。) ，m ) 。( 以一仳) ， j = 其中h i 为窗宽，r = ( r 1 ，) tb = ( 8 l ，s p ) r 设( ，) 为其极大化解，则得n ( u ) 的拟似然估计为a ( “) = ( u ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 4 2 估计的性质 为简化表示- 我们采用如下记号：令k i = f t k ( t ) d t ，仉= f t 。k 2 ( t ) d t 和q t ( x ，) = ( 嘉) q 0 。1 ( z ) ，可) ，1 = 1 ，2 ，3 ，则有 q t ( x ，y ) = y g - x ( z ) ) p 1 ( z ) ，q 2 ( x ，y ) = 9 g - a ( z ) ) p i ( 。) 一p 2 ( z ) ( 4 5 ) 其中p d z ) = ( 堑) v ( g 一1 ( z ) ) ，f = 1 ，2 显然，g f ( z ，g ) ，z = 1 ，2 为y 的线性函数。 首先表述如下一些假设，它们在证明渐近正态性时要用到。 a 4 1 函数q 2 ( x ，y ) 0 使e ( 1 q l ( 即( x ，z ，u ) ) ，y ) x 1 2 + 6 i v = 仙) 在点的某一邻域内有界。 我们可得到如