（信号与信息处理专业论文）非高斯alpha稳定分布环境下cdma系统干扰抑制研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 传统的通信系统中，接收机通常是在假设信道中附加噪声是高斯白噪声的情况下设 计的。此时，接收机是最佳的。但是在现实的通信系统中，许多自然的以及人为的噪声 却是非高斯脉冲的。噪声的非高斯性，常常引起高斯假设下设计的最优接收机的性能显 著退化。当高斯假设所引起的误差不能接受时，就必须考虑非高斯噪声模型，并设计更 加合理的处理系统。 在非高斯脉冲噪声模型中，对称口稳定分布( s o t s ) 能够比较准确地描述许多类型 的脉冲噪声。口稳定分布( 0 a 2 ) 不存在有限的方差，因此，基于有限方差的信号 处理工具( 例如，功率谱和最小二乘法) 将退化，甚至给出错误的结果。但是由于口稳 定分布存在p ( p 口) 阶矩，因此可以使用p 阶矩的概念来实现a 稳定分布过程的自 适应滤波。 本文正是在这种背景下，利用误差的加权累积p 范数作为代价函数，提出了适用于 口稳定分布噪声的动最l m p 算法i ：利用误差的加权平均p 范数作为代价函数，提出 了动量l m p 算法i i 。模拟实验表明，两种新动量l m p 算法的收敛速度要优于l m p 算 法，同时计算量与l m p 算法具有相同的数量级。 传统上解调d s i c d m a 信号所使用的是匹配滤波器 m f ) 接收机。然而m f 接收 机不能消除远近效应。当信道中附加噪声为高斯白噪声时，可以使用m m s e 接收机消 除远近效应。但是在非高斯脉冲噪声下，m m s e 接收机不再适用，m d 接收机是一种较 好的选择。m d 接收机通过使估计误差的分散系数最小实现自适应滤波。m d 接收机的 应用受到了l m p 算法收敛速度慢的限制。因此，本文使用两种动量l m p 算法来实现 m d 接收机。模拟实验表明，基于本文提出的两种动量l m p 算法的m d 接收机在性能 上与基于l m p 算法的m d 接收机基本是一致的，但两种动量l m p 算法在收敛速度上远 远快于l m p 算法。 实际上，当扩频增益n 很大时，接收机接收到的每个码片的能量非常小，想要使 m d 接收机的自适应滤波器系数收敛到m d 解很困难。为了解决这个问题，本文在最后 给出使用少量滤波器系数的自适应干扰抑制方法。 关键词：自适应滤波；a l p h a 稳定分布；l m p 算法；动量l m p 算法：m d 接收机 大连理工大学硕士学位论文 s t u d yo ni n t e r f e r e n c es u p p r e s s i o nf o rc d m as y s t e m s i nn o n - - g a u s s i a na l p h a - - s t a b l ed i s t r i b u t i o ne n v i r o n m e n t s a b s t r a c t i nc o n v e n t i o n a lc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，r e c e i v e r s8 1 eu s u a l l yd e s i g n e di nt h ep r e s e n c e o fa d d i t i v eg a u s s i a nn o i s e s i nt h i si n s t a n c e ，t h er e c e i v e r sa r eo p t i m a l b u tt h en u m e r o u s m a l l - m a d ea n dn a t u r a ln o i s e si nm a n yc o m m u n i c a t i o nc h a n n e l sa r en o n - - g a u s s i a na n d i m p u l s i v e s u c hn o n - g a u s s i a n i t yc a u s e st h eo p t i m a lr e c e i v e r sd e g e n e r a t es i g n i f i c a n t l y w h e n t h ee r r o ri n v o l v e db yg a u s s i a na s s u m p t i o nc a n n o tb et o l e r a t e d ，m o r ea c c u r a t en o i s em o d e l s a n dr e a s o n a b l ep r o c e s s i n gs y s t e m sh a v et ob ec o n s i d e r e dt oa v o i ds i g n i f i c a n tp e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n a m o n gm a n yn o n g a u s s i a nn o i s em o d e l s ，t h es y m m e t r i ca l p h a - s t a b l e ( s a s ) p r o b a b i l i t y d e n s i t yf u n c t i o n sc a na c c u r a t e l ym o d e ll a r g ec l a s s e so fi m p u l s i v en o i s e s t h e 口一s t a b l e d i s t r i b u t i o nw i t h0 口 2d o e sn o te x i s tf i n i t es e c o n do r d e rs t a t i s t i c s c o n s e q u e n t l y m a n y s t a n d a r ds i g n a lp r o c e s s i n gt o o l s ( e g p o w e rs p e c t r u ma n dt h el e a s t - s q u a r et e c h n i q u e s ) w h i c h a r eb a s e do na s s u m p t i o no ff i n i t ev a r i a n c ew i l lb ec o n s i d e r a b l yw e a k e n e da n dm a yi nf a c t g i v em i s l e a d i n gr e s u l t s t h ep t ho r d e rm o m e n t ( p a ) f o rd - s t a b l ed i s t r i b u t i o ni sf i n i t ea n d i tc a nb eu s e di na d a p t i v ef i l t e r i n g b a s e do nw e i g h t e da c c u m u l a t e dl e a s tp n o r m ，am o m e n t u ml m p a l g o r i t h mi sp r o p o s e d i nt h i st h e s i s ；b a s e do nw e i g h t e da v e r a g el e a s t p n o r m ，a n o t h e rm o m e n t u ml m p a l g o r i t h mi s p r o p o s e d t h es i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tt h ep e r f o r m a n c e so ft w om o m e n t u ml m p a l g o r i t h m sp r o p o s e di n t h i st h e s i s a r eb e t t e rt h a nl 皿。s o t h e ra d v a n t a g eo ft h et w o m o m e n t u ml m pa l g o r i t h m si st h a tc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yi st h es a m ea st h a to fl m p a l g o r i t h m c o n v e n t i o n a ld i r e c t s e q u e n c ec o d e d i v i s i o nm u l t i p l e - a c c e s s ( d s c d m a ) s y s t e m su s e m a t c h e df i l t e r ( m f ) r e c e i v e r s h o w e v e r ，t h em fr e c e i v e ri ss u b j e c tt ot h en e a r f a rp r o b l e m t h em i n i m u mm e a ns q u a r e de r r o r ( m m s e ) r e c e i v e r sh a v es h o w e dt ob en e a r - f a rr e s i s t a n ti n a d d i t i v eg a u s s i a nn o i s ec h a n n e l s t h em m s er e c e i v e r sc a nb er e p l a c e db ym i n i m u m d i s p e r s i o nf m d ) r e c e i v e r si na d d i t i v en o n g a u s s i a ns a sn o i s e s t h el i m i t a t i o no fa d a p t i v e m dr e c e i v e rw i t hl m pa l g o r i t h mi st h a tt h ea l g o r i t h mc o n v e r g e n c e ss l o w l y i nt h i st h e s i s ， t w on e wm o m e n t u ml m pa l g o r i t h m sa r eu s e dt oc a l c u l a t et h ea p p r o x i m a t em ds o l u t i o n n l e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t 血ep e r f o r m a n c e so fb o t hm o m e n t u ml m pa l g o r i t h m sa r e a n a l o g o u st ol m p sw i t ha f a s t e rc o n v e r g e n c er a t et h a nl 口a l g o r i t h m i np r a c t i c e ，w h e nt h ep r o c e s s i n gg a i nni sl a r g e ，a n dt h er e c e i v e de n e r g yp e rc h i pi sl o w ， 杨志春：非高斯a l p h a 稳定分布环境下c d m a 系统干扰抑制研究 r a p i de s t i m a t i o no ft h ew e i g h t e dt a po ft h em dm a yb ed i f f i c u l t t h i sm o t i v a t e st h es i m p l e i n t e r f e r e n c es u p p r e s s i o ns c h e m e s w h i c hc o n t a i nf b w e ra d a p t i v et a p s k e yw o r d s ：a d a p t i v ef i l t e r i n g ；a l p h as t a b l ed i s t r i b u t i o n ；l m pa l g o r i t h m ； m o m e n t u ml m pa l g o r i t h m ；m dr e c e i v e r i v 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：缢丝盔日期：丝丛：丝：! ： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名叠；垒盘 导师签名；鲤墨盘 2 1 煎：年生月生日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 自适应滤波简介 早在2 0 世纪4 0 年代，人们就对平稳随机信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号 和干扰噪声的统计特性( 自相关函数和功率谱) ，以线性最小均方误差估计准则所设计 的最佳滤波器，称为维纳滤波器。维纳滤波器能够最大程度地滤除干扰噪声，提取有用 信号。但是，当输入信号的统计特性偏离设计条件时，它就不再是最佳的了，这在实际 应用中受到了限制。6 0 年代初，出现了卡尔曼滤波理论，即利用状态变量模型对非平稳、 多输入多输出随机序列作最优估计。现在，卡尔曼滤波器已成功地应用到许多领域，它 既可以对平稳和非平稳的随机信号作线性最佳滤波，也可以作非线性滤波。实质上，维 纳滤波器是卡尔曼滤波器的一个特例。 在设计卡尔曼滤波器时，必须知道产生输入过程的系统状态方程，即要求对信号和 噪声的统计特性有先验知识。但在实际中，往往难以预知这些统计特性，因此实现不了 真正的最佳滤波。 w i d o w 等人于1 9 6 7 年提出的自适应滤波理论，可使自适应滤波系统的参数自动地 调整到最佳状态，而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先 验统计知识。这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波性能几乎如卡尔 曼滤波器一样好。因此，近几十年来，自适应滤波理论和方法得到了迅速发展。 x ( n ) 吠h ) 图1 1 自适应滤波原理框图 f i g 1 1t h ed i a g r a mo f a d a p t i v ef i l t e r i n g y ( n ) 图1 1 给出了一个通用的自适应滤波系统。图中线性系统表示一个可编程滤波器， 它的冲激响应为w ( 疗) ，或称为滤波器系数。自适应滤波器输出信号为j ，( n ) ，所期望的 响应信号为d ( n ) ，误差信号e ( m ) 为d ( 门) 与y ( 一) 的差。期望响应信号d ( 即) 可以根据不同 杨志春：非高斯a l p h a 稳定分布环境下c d m a 系统干扰抑制研究 用途来选择，自适应滤波器的输出信号y ( ) 是对期望响应信号d ( n ) 的估计，滤波器系数 受误差信号e ( n ) 的控制并自动调整，使y ( n ) 的估计值，( 力) 等于所期望的响应d ( n ) 。因 此，自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲激响应或滤波器系数是随外部环境的变化 而变化的，经过一段自动调节的收敛时间达到最佳滤波的要求。但是，自适应滤波器本 身有一个重要的自适应算法，这算法可以根据输入、输出及原参量值，按照一定准则修 改滤波参量，以使它本身能有效地跟踪外部环境的变化。通常，自适应滤波器是线性的。 当然，它也可以推广到自适应非线性滤波器。 自适应技术可以用来检测平稳的和非平稳的随机信号。自适应数字系统具有很强的 自学习、自跟踪能力和算法的简单易实现性。目前，自适应信号处理技术在自适应滤波 和逆滤波、系统辨识、自适应均衡、自适应回波抵消、自适应噪声抵消与谱线增强、自 适应谱估计、自适应波束形成、自适应神经智能信息处理和盲自适应信号处理等方面取 得了广泛的应用。 1 2 a l p h a 稳定分布自适应滤波研究的理论意义和应用价值 在传统的通信系统中，接收机通常是在假设信道中附加噪声是高斯白噪声的情况下 设计的。此时，接收机是最佳的。在高斯白噪声假设下，容易得到信号处理问题的解析 解，并且能极大地简化接收机的结构。但是在现实的通信系统中，一些自然的以及人为 的噪声却是非高斯脉冲的。噪声的非高斯特性，常常引起基于高斯假设设计的最优接收 机的性能显著退化，甚至不能正常工作。当高斯假设引起的误差不能接受时，就登须考 虑非高斯噪声模型，并设计更加合适的处理系统。 a 稳定分布( 口，s t a b l ed i s t r i b u t i o n ) 1 1 - 3 】是一类非常重要的非高斯随机分布。这类随 机噪声的概率密度函数有显著的拖尾，从而造成了它比普通的高斯过程有更加显著的尖 峰脉冲。a 稳定分布( 0 d 2 ) 不存在有限的二阶矩，因此传统的基于高斯过程的噪 声抑制算法已经不再适用。但是口稳定分布存在有限的p 阶矩( 0 p 盘) ，称为分数 低阶矩( f l o m ) 1 - 3 1 。相对于高斯过程，口稳定分布随机过程的噪声抑制可以使用分数 低阶矩的概念。近年来，口稳定分布以及相应的基于分数低阶矩的信号处理方法受到国 际信号处理学术界极大地关注和广泛深入地研究，并且在通信【4 j l ，水声及雷达【6 】，生物 医学工程 7 ，8 】以及其它许多领域得到了广泛的应用。 由于传统的c d m a 接收机在高斯假设下是最优的，当信道中的噪声是非高斯脉冲 过程( 可以认为服从对称口稳定分布) 时，接收机的性能会显著退化，甚至不能正常工 作，因此设计基于口稳定分布噪声的最佳接收机就成为一个非常迫切的任务。 大连理工大学硕士学位论文 1 3 国内外a l p h a 稳定分布自适应滤波研究概况及发展趋势 自从1 9 2 5 年l d v y 发现口稳定分布以来，有许多学者开始从事这方面的研究，人们 已经掌握了大量有关口稳定分布的性质。1 9 9 5 年n i k i a s 和s h a o 在总结前人工作的基础 上写了第一本关于口稳定分布的工程专著 2 1 ，书中详细地介绍了d 稳定分布的性质以及 它们在信号处理中的应用。从此之后，口稳定分布的研究有了系统而又详细的理论基础。 人们在研究中发现，许多人为的信号，以及自然中的冰川断裂，雷电和雷达扫频都 有很高尖峰脉冲。研究表明，口稳定分布能够很好的模拟这些过程。因此，发展适用于 a 稳定分布模型的稳健信号处理算法在理论和实践中都具有重要的意义。 1 9 7 8 年s t u c k 首次提出最小分散系数准则【9 】。然而由于他所设计的k a l m a n 滤波器 不是最优的，最小分散系数准则也没有被工程界所重视。1 9 9 3 年，s h a o 和n i k i a s 提出 了适用于口稳定分布过程的自适应噪声抑制算法【l j ，这种算法使用了最小分散系数 ( m i n i m u m d i s p e r s i o n ，简写为m d ) 准则，叫做最小平均p 范数( l e a s t m e a n p n o r m ， 简写为l m p ) 算法。至此，人们才注意到s t u c k 提出的最小分散系数准则。在口稳定分 布过程中，分散系数的意义与高斯过程中方差的意义相似，因此在d 稳定分布过程的自 适应滤波中，可以设计一种算法使得估计误差的分散系数最小，l m p 算法正是在这种 准则下设计的。在使用m d 准则的l m p 算法基础上，人们又先后提出了归一化的l m p ( n o r m a l i z e dl m p ) 算法 1 0 - 1 3 j ，韧性最小平均混合范数( r o b u s tl e a s tm e a nm i x e dn o r m ， 简写为r l m m n ) 算法【“1 ，迭代重加权最小二乘( i t e r a t i v er e w e i g h t e dl e a s ts q u a r e s ，简 写为i r l s ) 算法【l ”，这种算法也称为递归l m p ( r e c u r s i v el m p ) 算法。从根本上说这 些算法都是从最小均方误差( m m s e ) 准则下的适用于高斯过程的各种算法推导而来。 从目前情况来看，口稳定分布过程自适应算法的研究已经取得很多有实用价值的结果。 在以后的研究中，我们可以从提高收敛速度和减少计算量两方面着手，或者应用新的工 具，比如神经网络的方法，实现口稳定分布过程的自适应算法。 目前l m p 算法已经应用到了c d m a 系统中，用来消除远近效应【4 】、进行多用户检 测 1 6 - 1 8 。但是由于l m p 算法的收敛速度很慢1 4 ，因此研究一些收敛更快的算法，如r l m p 算法等，在c d m a 中的应用是下一步研究的发展方向。但是r l m p 算法也有一个非常 明显的缺点，就是它的计算量太大。因此，如何能找到一种收敛速度快，且计算量相对 于l m p 算法又没有显著增加的算法是本文研究的重点。 1 4 本文的主要工作和内容安排 在传统的通信系统中，一般认为信道中附加的噪声为高斯白噪声。人们根据这种假 设设计出了各种最佳接收机，并提出了各种适合于高斯噪声的自适应滤波算法，如l m s 杨志春：非高斯a l p h a 稳定分布环境下c d m a 系统干扰抑制研究 算法，n l m s 算法，r l s 算法以及动量l m s 算法 2 0 t 2 q 。 然而，在文献 2 2 2 4 】中提出，干扰城市无线通信信道的人为电磁噪声是非高斯脉冲 的。这种非高斯脉冲噪声符合对称的口稳定分布( 简记为s a s 分布) 。自从1 9 9 3 年s h a o 和n i k i a s 提出适用于口稳定分布过程自适应噪声抑制的l m p 算法以来，人们相继提出 了n l m p 算法，r l m p 算法。这些算法中，l m p 算法收敛速度慢，r l m p 算法收敛速 度虽然很快，但是计算量太大。正是由于这些原因，本文的目的就找到一种既有较快的 收敛速度，计算量相对于l m p 算法又没有明显增加的算法。 从根本上说适用口稳定分布噪声的自适应滤波算法都是从m m s e 准则下的适用于 高斯过程的各种算法推导而来。本文根据文献 2 0 ，2 1 中的动量l m s 算法，将代价函数 中误差的平方用误差的p 范数来代替，从而得到了两种动量l m p 算法。 本文即是在这样的研究背景下开展研究工作的，具体工作和创新点主要包括以下内 容： ( 1 ) 利用误差的加权累积p 范数作为代价函数提出了一种适用于口稳定分布噪声 自适应滤波的动量l m p 算法。仿真实验结果表明，新算法的收敛速度要快于l m p 算法， 而计算量与l m p 算法的计算量具有相同的数量级，要远远小于r l m p 算法，且新算法 在高斯和分数低阶口稳定分布噪声环境下均具有良好的韧性。 ( 2 ) 利用误差的加权平均p 一范数作为代价函数提出了另一种含有时间参数的适用 于a 稳定分布噪声自适应滤波的动量l m p 算法。仿真实验结果表明，新算法的收敛速 度要快于l m p 算法，而计算量与l m p 算法的计算量具有相同的数量级，耍远远小于 r l m p 算法，且新算法在高斯和分数低阶口稳定分布噪声环境下均具有良好的韧性。 ( 3 ) 将本文提出的两种动量l m p 算法应用到非高斯口稳定分布噪声的c d m a 信 道中，用自适应的方法消除远近效应，从而抑制多址干扰。仿真实验结果表明，应用两 种新的动量l m p 算法，比文献 4 中应用l m p 算法抑制远近效应时，收敛速度有了明显 的提高，但是其它性能基本上与l m p 算法一致。 本文的结构安排如下： 第一章介绍了本文所研究课题的理论意义和应用价值、历史发展趋势以及本文的研 究内容和主要创新点。 第二章介绍了口稳定分布的基础理论，包括d 稳定分布模型定义，a 稳定分布的参 数估计以及分数低阶矩理论。 第三章阐述了已有的适用于口稳定分布过程自适应滤波算法( 包括l m p 算法、 n l m p 算法和r l m p 算法) 的原理以及实现过程，并进行了模拟实验，比较了几种算法 的性能和优缺点。 大连理工大学硕士学位论文 第四章首先介绍了现有的适用于高斯过程的动量l m s 算法，并在此基础上，提出 两种新的适用于口稳定分布过程的动量l m p 算法，给出新算法模拟试验结果并对新算 法的优缺点做了详细讨论。 第五章简单介绍了c d m a 系统的基本原理和m m s e 接收机、m d 接收机结构，并 将本文提出的两种新算法应用于c d m a 系统的m d 接收机中，自适应地消除远近效应， 从而达到抑制多址干扰的目的。 最后对整个论文的工作进行了总结与展望。 杨志春：非高斯a l p h a 稳定分布环境下c d m a 系统干扰抑制研究 2a l p h a 稳定分布 从观测数据中提取所需信息是信号处理研究的基本课题之一，多数情况下，信号是 不确定的或混有噪声的，数学上的统计方法在信号处理中担任了重要角色。从统计理论 到信号处理的典型应用，均涉及到用概率模型描述观测到的信号和噪声的问题。在传统 的信号处理文献中，高斯模型一直占据着主导地位，实际上在许多情况下，高斯假设也 的确是合理的。并且，高斯模型符合中心极限定理，这对信号处理来谶，能使分析更加 容易。例如，在通信理论中假设信道中附加的是高斯自噪声，可大大简化接收机的设计 和结构的分析。任何非高斯假设都将对系统引入非线性，从而使处理系统的分析和设计 变得困难。 在实际应用中，许多信号和噪声都是非高斯分布的，并且具有一定的脉冲特性 2 2 - 2 4 。 例如，水声信号，低频大气噪声及其它人为噪声都是非高斯的。在高斯模型假设下，信 号的这些非高斯性会使原来系统的性能产生退化，甚至导致错误的结果。 实际中所遇到的大量的非高斯现象是具有冲激性的。这种情况下的信号和噪声，比 起正态分布的信号，有更多的尖峰或偶然脉冲。它们的概率密度函数在拖尾上的衰减比 高斯概率密度函数更慢 2 2 - 2 4 】。对称口稳定分布为这类信号和噪声处理提供了非常有用的 理论工具。 2 1 高斯分布 在传统的信号处理中，高斯信号模型一直占据着主导地位。根据中心极限定理证明 信号的高斯分布假设是合理的。高斯假设的另一个特点是在该假设基础上设计的信号处 理算法在理论能够容易地进行解析分析。例如，在通信问题中，如果假设加性噪声是白 色的高斯分布噪声，则接收机的设计可以大大的简化并且易于进行理论分析。高斯分布 的概率函数能可以唯一地表示为随机变量彳的均值以和方差盯，2 的函数。 假设一维随机变量服从高斯分布，则其概率密度函数可以表示为 胁，= 志e 斗掣 ，- - o o x c x ， g ， 其中，以和蠢分别为x 的均值和方差。当心= 0 且q = 1 时，此时则称爿服从标准正 态( 高斯) 分布，其概率密度函数为 厶( x ) = 去e x p ( 一萼) ，一o o x 。 ( 2 2 ) 6 大连理工大学硕士学位论文 线。 图2 1 给出了段= o 和= 0 5 ，仃：- - - - 1 0 ，仃：= 2 0 时的高斯分布概率密度函数曲 图2 1 高斯概率密度函数 f i g 2 1p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n sf o rg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n s 尽管高斯分布能够很好的描述一些信号和噪声，但在实际应用中存在着大量非高斯 信号和噪声，例如，水声信号、低频大气噪声、生物医学信号以及很多人为产生的信号 和噪声等。信号和噪声的非高斯特性，常常引起基于高斯假设所设计的最优信号处理系 统的性能退化，严重时甚至不能正常工作。例如，在通信领域中相干接收机的匹配滤波 器通常设计为在高斯分布的白嗓声孛检测确定信号，如果噪声的统计特性偏离所假设的 高斯分布特性，就会引起虚警概率的增加，从而降低系统的可靠性。另一面，如果根据 噪声非高斯分布的统计特性适度进行一些非线性处理，则会得到比基于高斯噪声假设的 匹配滤波器好得多的结果。由此可见，尽管高斯分布模型可以产生简单的算法结构，但 是在有些条件下却不能得到可靠的结果。这样，必须在算法结构的复杂性和计算结果的 精确性可靠性之间进行折衷。当高斯假设所引起的误差不能被接受时，就必须考虑采用 非高斯分布的信号和噪声模型，并设计更加符合信号和噪声特性的处理系统。 杨志春：非高斯a l p h a 稳定分布环境下c d m a 系统干扰抑制研究 2 2 a l p h a 稳定分布 2 2 1 a l p h a 稳定分布提出的原因 提出并发展a 稳定分布概念和理论的第一个原因是因为这种分布是满足广义中心 极限定理的唯一一类分布。常规高斯分布的动因也是中心极限定理，可见5 稳定分布在 理论上的合理性与高斯分布是一样的。d 稳定分布能够描述更加广泛的数据，甚至可以 描述很多不满足中心极限定理的数据，因此具有更普遍的意义。 提出并发展口稳定分布第二个原因是因为这种分布是一种能够保持自然噪声过程 产生机制和传播条件的极限分布。 第三个原因是因为口稳定分布是一种更加广义高斯分布，或者说高斯分布是5 2 稳定 分布的一个特例并保持了口稳定分布的一些特性。用于高斯分布信号的线性系统理论的 许多方法可以直接扩展到a 稳定分布信号的场合。最重量的是所谓稳定特性，即口稳定 分布概率密度函数的卷积是封闭的，且其随机变量的相加也是封闭的。 第四个原因是因为口稳定分布能够非常好的和数据相吻合。s t u c k 等人已经证明， 电话线路中的噪声可以有效地利用口稳定分布描述【2 5 1 。n i k i a s 等人证明了5 稳定分布是 描述大气噪声的非常好的模型 2 】。i l o w 的研究表明5 稳定分布与无线网络中的多径干扰 和雷达系统的反向散射回波相符合f 2 6 】。m a n d e l b r o t 利用口稳定分布对经济时间序列建模 工作也很成功【2 7 】。 2 2 2a l p h a 稳定分布的概念 1 2 稳定分布是一类适用范围很宽并得到广泛应用的随机信号模型，它是由l 6 v y 在 1 9 2 5 年首先发现的，包括高斯分布( a _ 2 ) 和分数低阶口稳定分布( o 口q ) 两种情 况。与大多数的统计模型不同，除了几种已知的分布情况之外，口稳定分布没有一个概 率密度函数的闭式解。1 9 7 8 年s t u c k 利用特征函数对口稳定分布作了最有效的描述【2 “， 5 稳定分布的特征函数可以表示为 妒o ) = e x p ( j a t y ri 。 1 + j f l s g n ( t ) c o ( t ，口) )( 2 3 a ) 其中 ( 口) = a n ( 甜石7 2 ) 搿4 1 ( 2 。3 5 ) 【( 2 石) l o g ir l 口= l 8 大连理工大学硕士学位论文 = 隆萎 - o o a 0 ，0 口2 ，- 1 口1 ( 2 3 c ) ( 2 3 d ) 可见，通过四个参数：a ，口，p ，y 便可以完全确定一个稳定分布的特征函数。 其中 ( 1 ) 口称为特征指数，它是被唯一确定的。特征指数用来度量分布函数拖尾的厚度。 一个稳定分布的随机变量，其口值越小，表明其拖尾越厚，则偏离其中心值( 均值或中 值) 的样本越多。其口值越大，则越趋向于高斯过程。口- - 2 表示分布为高斯分布。口= 1 ， 卢= o 表示分布为柯西分布。 ( 2 ) ，称为分散系数。其意义与高斯分布中的方差类似，在高斯分布的情况下等于 方差的一半。 ( 3 ) 口称为对称参数，卢= 0 表示分布为对称t 2 稳定分布或称s a s 。 ( 4 ) d 称为位置参数，对于s a s 分布，当1 口2 时，a 为d 稳定分布的均值( m e a n ) 。 当0 a 1 时，a 表示其中值( m e d i a n ) 。 分数低阶口稳定分布的显著特征是它具有比高斯分布的指数( e x p o n e n t i a l ) 拖尾明 显厚的代数( a l g e b r a i c ) 拖尾 2 ，t 2 越小，拖尾越重。这个性质使得分数低阶口稳定分 布可以较为理想地描述某些冲激信号。 ( a ) 塑查壹! 韭墅垒望堕堡塞坌塑至堑! 竺! 坠竺墨堑王垫塑鱼! 堕型一 ( b ) 图2 2 特征指数a 取不同值时的s o t s 分布概率密度函数曲线 ( a ) 整个概率密度曲线( b ) 概率密度曲线的拖尾 f i g 2 2d e n s i t yf u n c t i o n sf o rs o t sd i s t r i b u t i o n sw i t hd i f f e r e n tv a l u e so f t h e c h a r a c t e r i s t i ce x p o n e n t 口：( a ) t h eo v e r a l ld e n s i t i e s ( b ) t h et a i l so f t h ed e n s i t i e s 图2 2 给出了不同的特征指数口下的标准s a s 分布的概率密度函数曲线。从图中可 以看出，a = 2 时的s a s 概率密度函数曲线与零均值方差为2 的高斯分布一致，口= 1 时 与柯西分布一致。同时，s a s 分布的概率密度函数保留了许多高斯分布的特征：光滑， 单蜂分布，关于中值或均值对称的，钟型。对比标准正态分布概率密度函数和s a t s 密度 函数的细节可以看到，非高斯口稳定分布与高斯分布有以下不同：x 的绝对值较小时， s a s 密度函数比正态分布有更尖的峰，对于一些中间值，s a s 分布低于正态分布。最 重要的是，s o t s 分布的概率密度函数有着比高斯分布更厚重的拖尾，口的值越小，拖尾 越厚重。 2 2 3a l p h a 稳定分布的两个重要特性 t 2 稳定分布的两个重要特性是稳定特性和符合广义中心极限定理特性，b r e i m a n 于 1 9 6 8 年提出口稳定分布的稳定特性和广义中心极限定理特性【2 l ： ( 1 ) 稳定特性：一个随机变量石具有稳定分布的充分必要条件为，存在随机变量工， z ：相互独立，且具有与z 相同的参数，对任意常数a ，a ：，有常数a 和b 使等式 d a l x + 口，丘= a x + b 成立。 大连理工大学硕士学位论文 x = y 表示随机变量x 和y 具有相同的分布。利用稳定分布的特征函数，可以得到 更具一般性的结论：如果随机变量蜀，五，z 。是统计独立的，且均为符合相同的 ，) 参数确定的稳定分布，则具有形如2 口的所有线性组合都是稳定分布的， 且具有相同的参数口和卢。 可以得出结论，稳定分布是独立同分布的随机变量和的唯一可能的分布。 ( 2 ) 广义中心极限定理特性：x ，x ：，x 。为独立同分布的随机变量，当 呻c o ， 则它们的极限和最= ( 五十五+ + 五) 一6 。的分布为稳定分布。特别地，如果置 ( 扣1 , 2 ，t 1 ) 是独立同分布的且具有有限方差，那么此极限和的分布为高斯分布。即 一般的中心极限定理。 因此，用口稳定分布作为基本的统计建模工具的理论依据如同高斯分布的情况相 同，均源于中心极限定理。中心极限定理是指，具有有限方差的充分多的独立同分布( i i d ) 的随机变量，他们和的分布近似为高斯分布。广义中心极限定理指出，无限多的独立同 分布随机分量，无论是否有有限的方差，它们的和将收敛于稳定分布。因此，非高斯稳 定分布源于随机变量的和，这和高斯分布是一样的。如果观测信号或噪声可被看作很多 独立同分布分量叠加的结果，则由广义的中心极限定理可知，用稳定分布模型建模是合 适的。 上面的内容简单介绍了口稳定分布的基本模型及性质，在实际的应用问题中，我们 往往需要判断给定序列是高斯分布( 口= 2 ) 的，还是分数低阶口稳定分布( 口 2 ) 的， 以便决定采取不同的信号处理方法。判断序歹0 高斯特性的常用方法是计算该序列的动态 样本方差 2 】。若以，j j = 1 , 2 ，n 是一个随机序列，对于1 h n ，其动态样本方差定义 为 霹= i 1 缶n ( 坼一习2 其中 - _ 去砉 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 绘出霹随疗变化的曲线，如果序列为高斯分布的，则其具有有限的方差，对应的鄙 曲线会收敛为一个有限值。反之，若序列为非高斯的口稳定分布序列，则它没有有限的 方差，对应的爵曲线不能稳定的收敛。由此可以粗略判断给定序列是否为高斯分布的序 列。这种方法称为动态样本方差检验。 杨志春：非高斯a l p h a 稳定分布环境下c d m a 系统干扰抑制研究 4 0 0 2 0 0 d 一2 0 0 4 0 0 j l l 。 1 t i ”i 4 0 2 0 0 2 0 j 。j 山j h 【 1 i p 唧1 州”f 7 1 0 5 0 “)( e )( f ) 图2 3a 不同值时s a s 序列的波形及动态样本方差( a ) a = 1 2 时的波形； ( b ) a = 1 5 时的波形；( c ) 口= 2 0 时的波形；( d ) a = 1 2 时的动态样本方差； ( c ) 口= 1 5 时的动态样本方差；( d 口= 2 0 时的动态样本方差。 f i g 2 3t h es t a b l ed i s t r i b u t i o n sa n dr u n n i n gs a m p l ev a r i a n t e sf o rt l l r e ed i f f e r e n tv a l u e so fa ( a ) s t a b l ed i s t r i b u t i o nf o rd = 1 2 ( b ) s t a b l ed i s t r i b u t i o nf o r 口= 1 5 ( c ) s t a b l ed i s t r i b u t i o nf o r 盘- - 2 0 ( d ) r u n n i n gs a m p l ev a r i a n c ef o rd = 1 2 ( e ) r u n n i n gs a m p l ev a r i a n c ef o r 口= 1 5 ( 0r u n n i n gs a m p l ev a r i a n c ef o r 口一2 0 图2 3 给出了口取不同值时随机序列的波形及其相应的拜曲线。从图2 3 中可以看 出，当口值较小时，序列波形中含有许多尖峰脉冲，这些脉冲的幅度远远大于序列中其 他样本的平均幅度，相应的动态样本方差不能收敛到稳定的值。当口增加时，尖峰脉冲 的效应减弱，相应的动态方差的波动减小。当a = 2 时，口稳定分布序列变为高斯序列， 其动态样本方差收敛为一个常数。 2 3a l p h a 稳定分布的参数估计 由2 2 节的论述可知，一个对称口稳定分布( 卢= 0 ) 的随机变量可以由三个参数 确定：特征指数d ；分散系数y ；位置参数a 。其取值范围分别为：0 0 ； 一m 口 o o 。一个实际的问题即是如何从一个对称口稳定分布的随机变量实例中估计出 这三个参数。文献【2 ，2 8 中介绍的方法主要有最大似然估计方法，样本分位数法，样本 特征函数法等。 在介绍这些方法之前，首先我们引出一个新的参数c ，且令c = ，“4 。 大连理工大学硕士学位论文 2 3 1 最大似然估计方法 对参数口和，( 假定口= o ) 的最大似然估计法是由d u m o u e h e l 在1 9 7 1 年提出的口 2 9 1 。 该方法利用了似然函数的近似多项式，具有最大似然估计的一般特性。不过，其计算量 十分可观。 一个标准的对称口稳定分布随机变量x 的密度函数可以表示为： 胁) = 赤一忙。2 v ( 印一“。妒) d 曰澍“l p o ) ( 2 6 ) 其中，v ( 口) 2 五五万1 i 不可。s 【 一1 ) 卅( c o s 目) ”? 柚：并且z ( x ) 5 i 丽1 ； 厶( o ) _ 1 兀r ( ( 口+ 1 ) 口) ；五( 并) = 孺1 8 。“。 因此，可以利用对观测值x 。，x ：，h 求以下对数似然函数最大值的方法来估计参数 口，a 和c 。 nl 。g 兀( z f ) _ l o g a - l o g ( a 1 ) 冗+ 兰( 1 。g ) 一1 ) + 兰l o gr ”v ( 口弦一一”。d 臼( 2 7