（应用数学专业论文）圆内零级亚纯函数的奇异点.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本文运用n e v a n l i n n a 值分布理论，研究单位圆内亚纯函数的奇异点。对圆内满 足一定条件的零级亚纯函数定义了零级充满圆序列，并证明了在关于型函数的 b o r e l 点附近该充满圆序列的存在性，作为应用得到相应于h a y m a n 不等式的奇异 点的存在性。至此，圆内充满圆序列的存在性问题得到彻底解决。同时研究了圆 内满足一定条件的零级亚纯函数b o r e l 点的存在性，得到的几个定理推广改进了高 宗升，张学莲等的结果。还研究了圆内有穷正级全纯函数关于微分多项式奇异点 的存在性。 关键词：亚纯函数，单位圆，级，奇异点 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o n ，u s i n gt h en e v a n l i r m av a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y , s t u d i e st h es i n g u l a r p o i n to fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h eu n i tc i r c l e f i r s t l y , d e f i n e st h ef u l lc i r c l ea r r a y w i t hz e r oo r d e r ；t h e np r o v e st h a ti te x i s t sb yt h eb o r e lp o i n tc o n c e r n i n gt h et y p e f u n c t i o n ；a sa p p l i c a t i o n ，p r o v e st h ee x i s t i n go fh a y m a np o i n t t h ep r o b l e mo fs i n g u l a r p o i n to f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i m z e r oo r d e ri sd i s c u s s e d s o m es i n g u l a r i t yt h e o r e m s a t eo b t a i n e d ，g e n e r a l i z e sa n di m p r o v e st h ew o r ko f g a oz sa n dt h ew o r ko f z h a n gxl a tt h es a m et i m e ，s t u d i e st h ee x i s t i n go ft h es i n g u l a rp o i n to fh o l o m o r p h i cf i m c t i o n s c o n c e r n i n gt h ed i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a li nt h eu n i tc i r c l e k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，u n i tc i r c l e ，o r d e r , s i n g u l a rp o i n t 重庆大学硕士学位论文1 引言和主要结果 1 引言和主要结果 1 1 绪论 在整函数与亚纯函数理论中，相应于模分布、正规族、辐角分布这三个研究 领域，有着三个非常基本的定理，这就是p i c a r d 定，m o n t e l 定理以及v a l i o n 关于 b o r e l 方向的存在性的定理。对于p i c a r d 定理与m o n t e l 定理间的联系，b l o c h 曾 提出了一般的原则1 1 j ，后来人们常借以预言新的正规定则1 2 j 。后来杨乐提出对每一 个正规定则是否都有相应的奇异方向存在，对平面上的情形已有许多研究结果。 近年来，许多学者提出相应于平面上亚纯函数( 全纯函数) 的奇异方向存在性， 对单位圆内的亚纯函数( 全纯函数) 是否也能得到相应的结果呢? 即对单位圆内 亚纯函数( 全纯函数) 的奇异点存在性的研究。这不仅能更深一步了解单位圆内 亚纯函数( 全纯函数) 的性质，而且也是对值分布这一研究领域的重要补充。 杨乐、肖修治等人关于单位圆内亚纯函数与其b o r e l 点之间的关系作过重要 的研究i s j 。后来，孙道椿等人在这方面取得许多有意义的结果”引。特别是，自孙 道椿与张学莲发表圆内亚纯函数充满圆及应用t 6 一文以来，许多学者利用他 们这篇文章的结果先后证明了相应于平面上某些全纯函数和亚纯函数的奇异方向 的奇异点的存在性。如李纯红i ”，韩润生n 潘少华【。 在证实奇异方向及奇异点的存在性问题时，函数值分布论起着重要作用。为 此，首先介绍亚纯函数的值分布理论。 1 2 n e v a n l i n n a 基本理论 1 2 1 特征函数和j e n s e n 公式 芬兰数学家n e v a n l i n n a 于2 0 世纪2 0 年代创立的值分布论是皿纯函数辐角分 布论的主要研究工具。为此，先扼要介绍n e v a n l i n n a 基本理论( 参考文献 【l o ，1 1 ，1 2 ，i3 ) 。 首先约定，本文总是用c 表示复平面，且c = c u 。o ) 。m ( c ) 表示c 上亚纯函 数全体。n 表示全体正整数，酞表示全体实数，魏+ 表示全体正实数。 对“z ) m ( c ) ，a c ，我们用n ( r ，a ) 表示方程“z ) = a 在iz 喀r 内根的个数， 并记及重数。换言之，几重跟记几次。三( r ，a ) 表示方程“z ) = a 在lz 降r 内根的个 数，但不记重数，换言之重根仅记一次，相应的我们定义： ，f ) _ n ( r ，击 = r 掣( o ，a ) l 叫 重庆大学硕士学位论文 弛玲丙卜去 = i 华机砸，a ) 崦， 分别称为“z ) 的a 一值点密指量及a 一值点精简密指量。类似地可定义“z ) 的极 点( 精简) 密指量( r ，d ：- n ( r ，0 0 ，f ) 佩r ，d i ( r ，。，f ) ) 。 我们约定l o g + x = m a x l o gx , 0 ) ，则我们定义 脚( r ，f ) = 去小s + l f ( r 刮 脚( r ，1 1 = 扣崦+ 南棚，舢 我们称函数t ( r ，d = n r ，f ) + n r ，d 为函数“习的n e v a n l i n n a 特征函数。 定理1 1 ( j e n s e n 公式) 设“z ) 于j z l f 佃内亚纯，则当0 r r ，有 丁( r ，) = 丁( r ， ) + 。s iq 其中，q 是“z ) 在z = 0 邻域内的展开式中最低次幂的系数。 1 2 2n e v a n l i n n a 第一、第二基本公式 定理1 2 ( n e v a n i n n a 第一基本定理) 设“z ) 于l z f s + 内亚纯，a c ，则当0 r r ，有 丁( r ，击) 叫r ，f ) 扎北m ( a ，) 其中，c r 是“z ) 一a 在z = o 邻域内的展开式中最低次幂的系数，且 i s ( a ，r ) l l o g + a + l 0 9 2 。 定理1 3 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设z ) 趔c ) 且不蜕化为常数，a ( j = 1 ，2 , - - - , q ) 为q ( q 2 ) 个判别的复数， 则 ( q - 2 ) r “砷粪n 【，击1 卜( ) 钳( 卅 t 1、 一4r ， 重庆大学硕士学位论文l 引言禾】主要结果 其中n ( r ) = 2 ( r ，f ) 一( r ，f ) + n ( r ，专 ，且当“z ) 为有限级时 j s ( r ，f ) = o ( 1 0 9 r ) ( 卜 0 0 ) 当“z ) 为至多除去一个具有有限测度的集合e 的无限级( r 斗。，盛目时 s ( r ，) = o l o g ( r r ( r ，f ) ) 定理1 4 ( 对数导数引理) 设“z ) 于1 爿 r ( o r _ o o ) 内亚纯，且“o ) 0 , o o ，丘n ，则当0 ， p 0 ，则称“刁为有穷正级亚纯函 毅：若叮：o o ，则称订z 1 为无穷级亚纯函数。 重庆大学硕士学位论文1g l 着利主要结果 1 4 本文主要结果 1 4 1 圆内零级亚纯函数的充满圆序列的存在性 亚纯函数的充满圆序列是值分布论中的重要内容之一，许多定理的证明都要 用到它。对于复平面内有穷正级，无穷级和零级的情形相关结果已由杨乐等获得， 而对于单位圆内的亚纯函数，自1 9 9 1 孙道椿与高宗升在文中曾得到单位圆内无 穷级亚纯函数的充满圆，次年又与张学莲合作在文 6 】中得到圆内有穷正级亚纯函 数的充满圆序列，其定义如下： 定义a 称圆序列f 。= l z 一毋l 也 ，为点，附近的p + l 级充满圆序列，其 中 1 ，1 i m = 1 ，! i 巴8 。= 8 ( o 吒 n 时，恒有 灯。n 灯。= o ( m 口) ，d 。c 1 ； ( 2 ) m e l 瓦1 ，r 也( 1 - r ) 2 ( 3 ) n _ l 0 9 3 一1 i ( 4 ) 对任意s ( o s p ) ，对充分大的n ，有 巾- a ) 巩。_ ( 击r 其中a c ，为任意复数，至多除去一些复数可含于两个半径为e _ t 卸的球面小圆 内的复数； 一l o g n ( r ，f = a j ) ( 5 ) 擞兰t 一2 p + l ， l o g 。 l 一 其中 a 是一列任意复数，它们中每个都不属于( 4 ) 中各自的两个除外球面小圆。 并且得到如下定理： 定理a 设f ( z ) 是单位圆内的p ( o p m ) 级亚纯函数，点矿是f ( z ) 的一个 b o r e l 点，则在点扩附近存在p + l 级充满圆序列。 本文主要把这一结果推广到单位圆内满足一定条件的零级亚纯函数，为此， 4 重庆大学硕士学位论文1 l 鬲利丰婴掣。粜 1 4 本文主要结果 1 4 1 圆内零级亚纯函数的充满圆序列的存在性 亚纯函数的充满圆序列是值分布论中的重要内容之，许多定理的证明都要 用到它。对于复平面内有穷正级，无穷级和零级的情形相关结果已由杨乐等获得， 而对于单位圆内的亚纯函数，自1 9 9 1 孙道椿与高宗升在文中曾得到单位圆内无 穷级亚纯函数的充满圆，次年又与张学莲合作在文【6 】中得到圆内有穷正级亚纯函 数的充满圆序列，其定义如下： 定义a 称圆序列f 。= l z 一e 吨l 也 ，为点矿附近的p 十l 级充满圆序列r 其 中 1 ，l i m = 1 ，1 1 巴0 。= 0 ( 0 0 。 n 时，恒有 k f 。n 灯。= o ( m 口) ，盯。c 艄 1 ) ( 2 ) s e 1 瓦1 ，r = 札z ( 1 一) 2 ( ，) n k l o g s 击 ( 4 ) 对任意s ( o s p ) ，对充分大的n ，有 n ( r ，f 叫巩。= ”， 其中a c ，为任意复数，至多除去一些复数可含于两个半径为f t 加的球面小圆 内的复数： _ _ l o g 月( r ，f = a j ) 。恤茸邓“， 其中 a 是一列任意复数，它们中每个都不属于( 4 ) 中各自的两个除外球面小圆。 并且得到如下定理： 定理 设f ( 习是单位圆内的p ( o p 。) 级亚纯函数，点矿是f ( z ) 的一个 b o r e l 点，则在点矿附近存在p + 1 级充满圆序列。 本文主要把返一结果推广到单位圆内满足一定条件的零级亚纯函数，为此， 本文主要把选一结果推广到单位国内满足一定条件的零级纯雨数，为此， 4 重庆大学硕士学位论文i 引若和主要结果 我们给出了单位圆内零级亚纯函数充满圆的定义： 定义1 称圆序列r 。= i z 一矿”i 饥 ，为点e 。附近的零级充满圆序列，若该 序列满足以下条件： 1 ，她2 l - l i m o 。= 日( o 日。 2 丌) ，盯竿 ( 1 0 9 u ( 击 b s 爿 l 一l 1 一r 1 一+ 1 当丑充分大时，对任意复数a c ( 至多除去一些复数可含于两个半径为e - 。的 球面圆内) ，有 巾叫岛町k s 剖_ i 相应于定理a ，我们得到： 定理1 设“z 1 是单位圆内的零级亚纯函数，满足条件： l i m r 呻1 = 0 ( 1 2 ) w ( x ) 为其型函数，点矿是f 【z 】荚于兵型函数的b o r e l 点，则在点e 耵附近存在零 级充满圆序列。 1 4 2 圆内零级亚纯函数的h a y m a n 点 3 艺 1 4 】中还得到关于h a y m a n 点的如下定理： 定理b 设f ( z ) 是单位圆内的无穷级亚纯函数，u ( 击) 是它的型函数，则在 圆周上至少存在一点矿( 。蔓e 2 丌) ，使对任意七e n ，se ( 0 三) 及任意复数 业骛瑙稻 重庆大学硕士学位论文 引百和主要结果 a j b ( 6 0 ) ，恒有 辱业塑l o g u 寄剑 ”1 f 土1 定理c 设f ( 习是单位圆内的有穷正级亚纯函数，则在圆周上至少存在一点 扩( 。9 2 丌) ，使对任意丘en ，s ( 。，詈 及任意复数a ，6 ( 6 。) ，恒有 孽垃筠寄剑叫 “ l o g f 上1 定理2 设f ( z ) 是单位圆内的亚纯函数，满足条件( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 习为其 型函数，则在圆周上至少存在一点矿( 0 0 2 t o ) ，使对任意丘e ，se ( 。，兰) 及任 l i m ，_ + 1 一 ( 1 3 ) 王凤竹在文 1 5 】中得到定理c 对于小函数的情形仍然成立，即有如下定理： 定理d 设f ( z ) 是单位圆内的有穷正级亚纯函数，则在l 司= 1 上至少存在点 扩( 。8 2 玎) ，使对任意七，se ( 。，三) 及l 剧 1 内任意两个亚纯函数 a ( 刁，6 ( z ) ，只要满足 丁( ， a ( o ) = o r o - , ，) ，丁( r ，6 ( z ) ) = o 丁( ，) ，6 ( z ) 一a 砷( z ) o 就有： 重庆大学硕上学位论文l 引言和主要结果 a ( z ) ) + n ( m 0s ，f q = b ( z ) ) l ，。s 击 相应于定理d ，本文得到： 定理3 设，( z ) 是单位圆内的亚纯函数，满足条件( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 砷为其 型函数，则在l 司= 1 上至少存在点，( 0 0 2 z ) ，使对任意七，s ( 。，三) 及 d 1 内v 两个亚纯函数a ( 习，6 ( 刁，满足 t ( r ，a ( z ) ) = 。( 巾击 t ( 啪( 护。( u ，。s 击) 6 ( 刁一a ( z ) o 就有： ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 面吐竺生型些：坚竺三型! ：。( ) + 1 。l o g - 1 + l o gw ( x ) 1 4 3 圆内零级亚纯函数的b o r e l 点 张学莲在文【1 6 】中对复平面内的零级亚纯函数给出了b o r e l 点的定义如下： 定义b 设c o = c o ( z ) 是零级亚纯函数，记u o ( r ) = 鼍暑= ( 1 0 9 ，) 1 协( r ) ，如果对 任意给定的占l o 占 。 u o ( ) 对所有的a e 成立，至多除去两个例外值a ，则称方向n ( ) = z ：a r g z = q ，。 为( z ) 的b o r e l 方向。又若将上式换为 7 重庆大学硕士学位论文 1 引占和主要结果 甄型铲 呻。 l o g u i r i 此方向n ( ) 亦称为( z ) 的b o r e l 方向。 并且得到如下定理： 定理e 设= ( z ) 是零级亚纯函数，满足 而r - , 。型l 0 9 2r l o g = o o 甄log竺t(匠r,co)：po(。岛。)l o g l o g - 。”、。7 则存在一个方向a ( ) = z ：a r g z = ，使对任意给定的占( o s 。一 u n f r l 对所有的a e 成立，至多除去两个例外值a 。 定理f 在定理e 的假设下，存在一个方向a ( ) = z ：a r g z = ，使对任意 给定的占( 。 6 三 ，有 甄型铲= -一 l o g u i r l 定理g 设= ( z ) 是c 上的亚纯函数，满足条件 甄掣l o g 一 卜瑚 2 r 则存在一个方向，= z ：a 玛z = ) ，使对任意给定的6 ( 。 o 罂面两一刈 则称点为f ( 句b o r e l , 点。若将上式换为 面logn(r,o,e,f=a)+loglog1 圭r ：1 辫面而r 一引 此点矿亦称为f ( 刁b o r e l 。 相应于定理e ，定理f ，定理g ，我们得到如下定理和推论： 定理4 设f ( z ) 是单位圆内的亚纯函数，满足条件( 1 1 ) ，( 】2 ) ，则存在型函 数w ( 习，使f ( z ) 至少存在一个b o r e l 点。 推论i 设f ( z ) 同定理4 ，则至少存在一点矿( o 日 0 ， 任意复数a ，都恒有 而l o g n ( r , o , s , f = a ) + l o g l o g 三* ：】 辫面可万一刮 至多除去两个例外复数。 推论2 设f ( z ) 是单位圆内的零级亚纯函数，满足条件 一一logt(r,f)log 2 。 ”1 。l 士1 孽稻l o g 一 一2 l 士1 则在单位圆周上至少存在一点矿( 0 0 0 ，任意复数a ，恒有 9 重庆人学硕士学位论文 10 言和主要结果 丽虫! ：! ；! 三型：。 ”。 1 1 1 ! 一 1 一r 至多除去两个例外复数。 1 4 4 圆内零级亚纯函数关于其型函数的b o r e l 点 高宗升在文【1 7 】中给出零级亚纯函数关于其型函数的b o r e l 点的定义如下： 定义c 设f ( z ) 是i 爿 0 ，及任意复数a ( 至多除去两个例外) ，恒有 而! ! 鲤垒! ：! ：! 三1 2 ：1 辫本面丽叫 则称点矿为f ( 亩关于其型函数b o r e l 。 并得到如下定理： 定理h 设，( z ) 是1 4 1 内的亚纯函数，满足条件( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，则至少存在 f ( z ) 关于其型函数的一个胃d 点。 本文推广定理h 到小函数的情形，得到 定理5 设f ( z ) 是h 1 内的亚纯函数，满足条件( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，则在l 爿= 1 上 至少存在一点，( o 日 o 及l 爿 0 1 - _ - 二上 一r 畎习 全多除去两个例外函数。 进一步的我们给出： 定义3 设f ( z ) 是旧 l 内的零级亚纯函数，w ( 砷为其型函数，若对某复数 a ，有 丽! ! 型坐! ：三生 1 ，“一x + l o g w ( x ) 则称a 为e ( o 关于其型函数的b o r e l 例外值。 并得到： 定理7 设f ( z ) 是旧 l 内的亚纯函数，满足条件( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，若f ( o 有一 有穷的关于其型函数的b o r e l 例外值，则必存在点e 4 ( 0 - 0 o ， 任意正整数k ，及任意复数b ( o ，m ) ，有 一1 0 9 丑( r ，0 ，一砷= b 1 r - - l - x + 1 0 9 w ( x ) 1 4 5 圆内有穷级全纯函数的奇异点 龚向宏在文1 8 1 中得到关于全纯函数微分多项式奇异方向的结果如下： 定理l 设，( z ) 是开平面上p ( 0 p + o 。) 级全纯函数，则存在一条由原点出 发的半直线：a r g z = o 。( 0 日o 2 丌) ，使得对任意的正数s ，任意的正整数力 ( n 3 ) 及任意两个有穷复数a ，b 均有 面l o g n ( r , o o , e , f - a t = b ) ：p =d r - 4 ”l o g f 相应于定理i 本文得到： = 定理8 设f ( z ) 是单位圆内的p ( 0 p 栅) 级全纯函数，则存在一点 毋( 0 - 0 。 2 丌) ，使得对任意的正数s ，任意的正整数丑( n 3 ) ，及任意两个有穷 复数a ，6 均有： 重庆大学硕士学位论文 i 引言和主要结果 - - 等l o g n ( r , o o , e , 丁 - a f ”= b ) ：_ p + l ”。l o g 土 i 2 重庆大学硕士学位论文2 吲内零级亚纯函数充满剧序列存柏一性 2 圆内零级亚纯函数充满圆序列的存在性 2 1 定义和几个引理 2 1 。1 有关记号和定义 对“力m q d 1 ) ，a c ，用( 0 ，s ，a ) 表示在 1z l - , n l a r g z 一0 i - o 及任意复数 a c ( 至多除去两个例外) ，恒有 一l i - - - m ，。g 击l o g n 扎( r , o g , w s , ( f b = 。a 习) = 1 ( 2 1 ) ：_ t 2 li 1j ”。l o g 士+ 1 0 9 w fl o g 士 l r l r ， 定义2 2 称圆序列r 。= i z - 毋l 也) ，为点e 毋附近的零级充满圆序列，若 该序列满足以下条件： 1 ，溉= 1 ，臻= o ( o _ o o 勉) ( 2 2 ) ，k 一也三! 喾 ( 2 3 ) 重庆大学硕士学位论文2 叫内零级亚纯函数充满蚓序列存在性 l o g i l ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 当n 充分大时，对任意复数a c ( 至多除去一些复数可含于两个半径为f “的 球面圆内) ，有 啦刊岛吐b g 割 ( 2 6 ) 2 1 2 几个引理 引理2 1设，( z ) 是单位圆内的零级亚纯函数，满足条件( 1 t ) ，( 1 2 ) ， x = l o g，由v m i n v a n 【1 q 的结果，存在f ( z ) 的型函数w ( 习，具有非减的正值 连续导数，且满足以下条件： w ( 砷了_ ( r ，f ) ，且j 瓦= l 。8 f 1 i ，使得j 呱咒) 丁( ，f ) ( 2 7 ) 里鲤o w ( x ) 呱x + l o g h ) 丘( 五) w ( 砷 u 7 ( x + l o g 由) l ，有 证明：l o g 则有 l i m( 1 0 9 击 w ( 1 0 9 击 = 1 。g 吖。g 击礼s 五 乩s 畋。s 击 l o g h 呻o ，( i ，h ) 引理z 。令u ( 去 = 击。s 去 l 五= = ，“=h u b b s u i 去) 呼蹦一萌l - r =“一2 确一2 萌 _ 1 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 证明：由( 2 1 5 ) 知 + ， 1 ，对( 2 1 6 ) 两边取极限，令n 哼。即证之- 1 - “1 一 1 5 ( 2 1 8 ) = 、一、 由五上h 崦一崦 畋一吖 重庆大：爹硕士学位论文 2 圆内零级亚纯函数充满圆序列存在性 觋由志= 击 ，+ 啦) 卜证。 ( 击) b s 爿 证明：击= 击 ，+ 性 ) 吖 ( 2 1 9 ) 两边取对数得 m g 去i 。s ，+ 乒倒) o ( 1 0 9 u ( 击 1 0 9 去) o 引理2 5 【2 1设函数f ( z ) 于1 爿 r 内亚纯，若 n = 口( 足f = a ) + n ( rf = 卢) + 丑( rf = 7 ) 其中a ，芦，y 为三个复数，且其相互间的球距有一正的下界d ，则对于o r r 和任 意复数a 有 出，一小番x ( + 1 灿g 罟札牵。g 南) 于此而为l 司 、10川 上叶 + ，、l n 同 2 = 重庆大学硕士学位论文 2 圆内零级亚纯函数充满圆序列存在性 q 。： l 爿+ 。 n i a r g z m 吒l 吒) 删，z ，；m - o ，虬斗崦( 去 仁z 。， 这里 司表示不超过曲9 最大整数。 对每一个q 丑，作外接圆f 。，设其半径为也，由( 2 1 6 ) 知 郇确l + l o g u ( 1 1 设兵圆心为0 册，记虹。2 i i z o 劢怿地j 令 = r n i n 倭n ( 2 ka d ) ) ( 2 z ，)n 皿= n n ( 2 r 。，a 。) ( 2 2 1 ) l d = 1j 上式右端的最小值是对所有三个不同复数的组合取的，只要其问的球面距离不小 f il - ! 仁z ：， 由引理2 5 知，在f 。内，f ( z ) 取任意复数的次数不超过 c n 。+ ) ( 2 2 3 ) 可能除去一些复数含于球面半径为2e - 的圆内。设这些球面圆的半径总和为 s ，则 s = z 2 j1 + 1 0 9 了l _ i e - _ + e - d l l n ll 1 “一j j 口- 1 毋型l o g u 。当1 - r o ) 。- v , 陆 嘻志好茹 ( 2 2 4 ) l 1 一j 锅 一2一n 重庆大学硕士学位论文2 圆内零级亚纯函数充满圆序列存在性 因此可取q 0 n 充分大，使n 妻= o 。m 三。 这样可以找到一个复数口，使它不属于从n = q o 起的所有除外球面小圆，且 赡 n ( r ，一剐鹕z i 1 1 ) t - + l - l o gu ( 彳i - r ) ) 任取r e b ，1 ) ，都3 口n ，使r 又因为 舯扣刮 爿c 皇帅 = 1 ( 2 2 5 ) 所以 血( r ，f = 圳a r g j 啬 噶荟( + 孓) 当r 无限接近1 时，又可判断有无数个口。，使 u 乙- u l 皓 否则由( 2 1 6 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) ，( 2 2 6 ) 有 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) n r , f = l l a r g 势p ( i 1 ) ) 1 0 9 爿 h 一1 + l o g l o g ( ，+ u ( i 1j j 卜l - ；再1 ( 2 z s ) 注意到茎r + 1 ，结合( 2 1 8 ) ，可得与( 2 2 5 ) 矛盾的结论。 令 斗。：l l z - r 一 对应不同的p en ，得到一列集合 b ，最后把 耳) 中元素按任意方式排列 编号，使圆心的模分减，且使圆心的辐角趋于零，结合引理即得零级充满圆序列。 推论1 满足条件( 1 1 1 ，( 1 2 ) 的零级亚纯函数存在零级充满圆序列。 重庆大学硕士学位论文 2 圆内零级亚纯函数充满圆序列存在性 证明：由【1 7 】，存在f ( z ) 关于其型函数的b o l e j 点，再应用定理1 即得。对于 扇形内的零级亚纯函数，有完全类似的结论。 重庆火学硕上学位论文 3 圆内零级亚纯函数的i | a y m a n 点 3 圆内零级亚纯函数的h a y m a n 点 3 1 定理2 的证明 3 1 1 主要引理和定义 作为定理1 的应用，可以证明，零级亚纯函数相应于h a y m a n 不等式的奇异点 存在。为此，首先给出h a y r a a n 点的定义。 定义3 1 设f ( z ) 是单位圆内的亚纯函数，满足条件( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，w ( 砷为 其型函数，称点矿是f ( 2 ) 关于其型函数的h a y m 眦点，若对任意七e s e ( 。，三) 及任意复数a ，b ( b o ) ，恒有 ( 3 1 ) 引理3 1 设f ( 句在单位圆内亚纯，若记 n ( 1 ，f = o ) + n ( 1 ，f 砷= 1 ) + 2 = ( 七n ) 则对任意复数a ，有 n ( a ) c c n 1 0 9 州。s 南) n z ) 其中弓是单位圆内一点，l f ( 而) ，8 i 表示f ( 弓) 与a 间的球面距离，c 是至多依赖k 的 常数。 3 1 2 定理2 的证明 证明：设扩( 0 o ，2 盯) ) 是，( z ) 关于其型函数的b 0 r 酣点，由定理1 ，在矿附 近存在零级充满圆序列 r 。 ，f 。= f z 一毋f 岛 ) ，它们满足定义2 2 ，因此可选 出两组有限复数列 a 。) ， 成) ，它们不属于各自对应的两个除外球面小圆，并且对 充分大的n ，有 f 瑾。一卢。i 去，陋。f 1 0 0 ，i 卢。i 1 0 0 重庆大学硪士学位论文 3 圆内零级亚纯函数的h a y m a n 点 其中 虮向小u 1 一击) n ( r 。f = 卢。) u 。1 i ) 吖击 _ 击( h 击 取定a ，。( a 。) ，作变换e ( z ) = ! 紫 则 丑( ；野a ： 岛忆，向沪u “b n 诅) 叫k 删船u 匕1b 其帆。2 丽a a - - a 属2 簖 注意到 1 a 。，p 。 上面用到了( 3 3 ) 及引理2 4 中的( 2 3 ) ，于是由( 3 2 ) ，有 注意 c k b 甜舶s 击峨，。s 吐击 ) 幽m 即：) 如w j ) ) ( 3 3 ) ：曲似。向a 啦删埘一( 击 ( 3 s ) m = n 0 ，c = o ) + 口( 1 ，耳柚= 1 ) + 2 = n ( 8 f 。，f = c x ) + n ( 8 f 。，f 埘= 6 ) + 2 2 1 垩堕盔堂墼主堂篁笙茎 ! ：堕塑耋丝兰丝里墼箜塑型竺皇 且当i v 充分大时， 故得 l i r a h r 8 f 。c a r g z p l s n 删 。) l i m 上面用到了( 3 5 ) 及引理2 4 中的( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) ，又 即 畋b g 击) 击丁( 等) ，再1 n 1 3 4 r ，：a ) 击 声坐坚! 三生出 d r t n ( r ，口， f = a 1 三 7 4 n ( r 船向) c 击町h 再1 ) ( 3 s ) 又由定理1 4 ( 对数导数引理) 有 t ( r ，f 砷) = 埘( r ，一目) + n ( r f 1 ) 及一组个数不超过的圆( ，) t ，其直径之和斋刍，使当 z 硅( y ) 。，l 爿委时，有 。疆。南( 4 0 9 6 0 ” 一懈崦如g 小。s 日 则存在点磊和亭，i 弓l 丽3 ， 丽3 ，其中磊到，( z ) 在l 剧l 上极点的距离大于 而桶，使对一切复数a ，有 n ( 去，- a h ( n 州k s ( n + n + 2 ) + l + l o g h + 试g i f ( 剖礼s 南 3 2 2 定理3 的主要证明 证明：由文献【1 7 知，在h = 1 上至少存在f ( z ) 关于其型函数的一个b o r e l 点 ，( 0 臼 o ，某个正整数k ，a - i h 1 内两个亚纯函数a ( 刁，6 ( z ) ， 枷( z ) ) = 。( 町崦击) ) “州z ) ) ：。g 击) ， 6 ( 句一a ( 砷( z ) o 使当r 充分靠近1 时，有 n ( 啪，“- a ( z ) ) + 丑( 邶 一叫z ) ) 击( 砷) ( 3 s ) 其中0 r 1 。置 g ( 刁= f ( z ) 一a ( z ) ，妒( z ) = 6 ( z ) 一a 砷( z ) 因为，是g ( z ) 关于其型函数的一个b o r e l 点，根据定理1 可知，在，附近 存在零级充满圆序列 r 。) ，r 。= | z 一毋f 也) ，满足定义2 2 的条件。 取 e = i z - 毋i 6 4 h 。 ，( 口= 1 ，2 ，) ， 当n 充分大时，r ：含于区域 l a r g z o l s n i h 1 内，即 g ：( c ) = 锱；中。( r ) = 妒( 毋+ 6 4 也t ) 它们都在1 爿1 内亚纯，我们记 n 斗赤 = n ( 吲小，赤 = 丑( r ：，f = a ( z ) ) + 丑( r ：，一砷= 6 ( 刁) = 由 2 3 】中定理3 3 ，存在一组个数不超过 叼2 口( ) + 口l ，可1j 的圆( y ) ，其直径之和而1 西，使当f 匹( r ) ，时 2 4 里垦查堂塑主兰垡堡塞 ! ：型塑耋堑垩丝塑堑l 堕坚! ! 竺生 操，。网1 ( 4 0 9 6 e ) 吖 ( 3 9 ) 令 z 2 弓+ a 4 屯r ( f 磊f = ) ，r ( ；， ，f 4 s 圭，f 4 = r 应用p o i s s o n j e n s e n 公式有 1 0 9 卧) 眩胁m k ”) l 瓦蒜南却 + 舻i 裂培崦i 掣l 器= 扣。州叫p 12 r e 一9 了却 + 潴卜。 品蚤尚南 于是当i 4 i 1 ，继( y ) 。时，m ( 3 8 ) 至( 3 1 1 ) 式，可得 l o g m 墨芸 埘( 蚂) + m ( r 割+ 荔。魄网2 r ( 3 1 0 ) 筹卜小m 峪l o g , 叫1 _ , + ；p ：r ， m ( 蚂) + m ( 足击 + m 黜+ m g ( 4 嘶e ， n ( + s 4 q ，妒) + 丑( + s 。q ，吉) ( 1 0 9 2 + l 0 9 4 0 9 6 0 ) + ， m ( 弓+ s 。岛，妒) + m ( + s 。岛，1 ( 3 1 2 ) 两 墨n 衅丽f 垩堕茎芝! i ! 坐：垡堡苎 ! ：鱼堕耋丝垩丝里茎塑! 垫型竺生 黔2 扣小( 叫 蚺；蚕。网1 + 菇。南 鲰 m ( 鸲) + m 卜圳s 坼崦吖+ 1 ) 2 、，、 j j + 8 1 9 2 吖( 2 1 0 9 叼+ 1 ) 1 川 + s - ，z n ( + s 。吩，妒) + n ( + s 4 也，吉 z 。g n ( i + s 。q ，妒) + n ( i + s 。岛，吉 + c ，s ， 应用引理3 2 于o j ( t ) 和o ( f ) ，其e e i r 崦q 瑚卜州咖) + m ( a q ，矧 + s ，z 力( 。+ s 。q ，妒) + n ( + s 4 q ，吉 2 l o g h 蛳) + n ( 州4 岛捌+ l 0 9 2 + l 0 9 4 0 9 6 + z = o ( r ( 。，p ) ) l o g n ( 。，9 ) ( 其中p 为l 的某正整数) 那么一定存在着岛与，使得 云， 云，岛到q ( f ) 在1 4 1 上的极点的距离均 并且对一切复数8 ，有 1 面面习习 一妒，一妒 吩 q 斗 4 6 6 + + 0 i m m + + 、l， 妒 妒 母 q 。斗 4 6 6 + + 0 m m _，l，l 2 2 7 7 一 ( 一 重庆大学硕士学位沧文 3 圆内零级皿纯函数的i i a y m a n 点 喜n ( f j , g = a j ) 2 喜n 2 南6 4 hj _1，=1 u ij j 杰k ( + 嵋) l 。g ( + 皿( 1 ，g j ) + 2马 + l 品l 南i q ( ) 卜l o 。l q ( 弓) ， 注意到岛的性质及r ( 詈，1 ，南l 兰苕l o g g j ( r e 印) 1 西蒜芒而却 + 孟p 刮矧悟。刮掣 渊扣，瑚叫k 再。南 2 卜啪m ( r 割+ 舻l o g 2 0 4 8 ( 砸矧+ 1 ) 2 脚( 。+ s 。q ，g ) + m ( + s a 岛， + 丑( + s a 岛，g ) l o g ( 2 0 4 8 妇( r - + 6 4 h i ，g ) + 1 ) = o 丁( j ：+ 6 4 h i ，g ) l 。g t ( o + “q ，g ) 岛巾去矿 仁嘲 ，o g l d g l q ( 训南巾去订 ，s ， 言 去士去肚f ( 上1 - r o + 1 0 9 去汀 南 里壅! 二堂墼主堂垡堡苎 ! ：墅生雯丝垩丝堕塑塑! ! ! ! 竺盛 又因为 k s m 。s 去 击) 地击 南吖，。s 去订 ( 岛小去n 哪叫 b 忉 地两 ( 6 4 h i ) 叫0 8 博 融际j b 州 扣1 裔r 。 注意到r ( r ，妒) = o ( 呱习) ，因此： 又因为 1 0 s 际硼1 除去一些半径为e - d 7 2 的小圆，有 击 矿( 0 7 * 2 c ) ( 3 1 8 ) 口 堍 l o gh j - z r ( r j + ，甲) l o gr ( i ：+ ，妒) j = l卢l r 州壶) ) ，( 0 3 t ，b 哟 姜( + 吖) b s ( 啊+ n ( t ，q ) + z ) c 言t 。s _ 啊l o g q 由( 3 8 ) ，当丑充分大时： 喜( 删b g ( 坤g - ) + ：) ( 击叮崦击 卜 r 4 1 ) ( 3 z 。) 于是当n 充分大时，至多除去一些球面半径为e - k 7 2 的小圆外，对一切复数 a ，由( 3 1 4 ) e ( 3 2 0 ) 得 兰墅型兰堑坠竺型塑墼 ! ：囤凼量丝些丝堕塑塑! 型! 竺皇 喜n ( f j , g = a j ) 陆小圳“，( q 4 r s 1 ) 因为满足定义2 2 中( 2 6 ) 的两个除外小圆s n ，甓，的球面半径e h l 及墨的球面半 径都趋于零，故当丑充分大时，存在8 j ( 1 n 。 一r w ( x ) 则称点矿为f ( ob o r e l , 点。 4 2 定理4 的证明 证明：由引理2 1 ，引理2 2 知，存在连续，可微型函数呱砷，使 蓦l i m 罱 x - , 暑- j w 吒岛剐 r 呻rix l 。 7 不妨设岛2 1 ，否则只需以岛呱砑作为新的型函数即可。 故用无限等分圆周的办法可以找到一点e 1 日