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山东大学硕士学位论文 无网格伽辽金方法在疲劳断裂中的应用研究 摘要 无网格方法是近年来兴起的一种新的数值计算方法，与传统的有限元法、 有限差分法等数值计算方法相比，无网格方法只需要节点信息和计算域的几何 边界，克服了传统的数值计算方法对网格的依赖。在处理裂纹扩展时，无网格 方法只需要通过自由裂纹面或者裂纹线的延伸来模拟，这大大简化了裂纹模拟 的过程，因此在裂纹扩展问题上无网格方法具有其独特的优势。基于移动最小 二乘近似( m l s ) 理论的无网格伽辽金方法( e f g m ) ，以其精度高、稳定性好和收敛 速度快等特点成为最具有发展前景的一种。 由于m l s 形函数一般不具有常规有限元或者边界元形函数所具有的插值特 性，因而本质边界条件的引入成为e f g m 实施的一个难点。本文将再生核质点方 法中的边界奇异权方法引入e f g m 中，通过对m l s 形函数进行修正实现了本质边 界条件在节点处的精确施加；运用线弹性断裂理论分析裂纹板的应力应变场， 采用围线积分法计算，积分，给出了复合型裂纹板的应力强度因子的无网格伽 辽金方法。 影响半径的选取是e f g m 的一个重要方面，其取值的大小对场函数的近似解 及其导数有着较大影响。当求解域上节点分布均匀时，只需一个统一的影响半 径即可；但对疲劳裂纹扩展问题，节点分布是不均匀的，在求解域内需要采用 不同的影响半径。基于此，本文采用动态影响半径法，通过限制影响域内的节 点个数来调整影响半径的大小，给出了疲劳断裂这类节点分布随意及局部需要 加密问题的影响半径的选取原则。 疲劳断裂是构件失效的重要形式之一。本文将边界奇异权方法运用于e f g m 中，实现了本质边界条件在节点处的精确施加。从能量泛函的弱变分原理出发， 推导了弹性力学平面问题的离散控制方程。通过连续的线性增量模拟裂纹的扩 展，按照最大拉应力准则得到等效应力强度因子幅值，运用p a r i s 法则分析了 循环荷载作用下的疲劳裂纹的扩展速率，给出了疲劳裂纹扩展的无网格伽辽金 方法。以循环荷载作用下单边裂纹板的疲劳扩展为例，给出了疲劳裂纹扩展的 e f g m 模拟过程，以及裂纹扩展的路径和疲劳寿命随裂纹长度的变化规律。 关键词：无网格伽辽金法；边界奇异权法；动态影响半径；疲劳裂纹扩展 山东大学硕士学位论文 t h ea p p l i c a t i o ns t u d yo ft h ee l e m e n t f r e e g a l e r k i nm e t h o dt of a t i g u ef r a c t u r e a b s t r a c t m e s h l e s sm e t h o d s ，w h i c hu s eo n l yas e to fn o d e sa n dab o u n d a r yd e s c r i p t i o no f t h ed o m a i n ，a r eat y p eo fn e wn u m e r i c a lm e t h o dd e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s s i n c e1 1 0 e l e m e n t c o n n e c t i v i t y d a t ai s r e q u i r e d ，b u r d e n s o m em e s h i n g o r r e m e s h i n g c h a r a c t e r i s t i co ft h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d si sa v o i d e d ag r o w t h i n gc r a c kc a l l b em o d e l l e db y s i m p l y e x t e n d i n gt h e f r e ec r a c ks u r f a c e so rf r e ec r a c k l i n e s c o r r e s p o n d i n gt o t h ec r a c k ，w h i c hs i m p l i f i e st h e p r o c e s so ft h ep r o p a g a t i o no f c r a c k s ot h em e s h l e s sm e t h o di sp a r t i c u l a r l ya p p r o p r i a t et os o l v ef a t i g u ec r a c k p r o p a g a t i o np r o b l e m s 雨硷e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f g m ) , w h i c hi sb a s e do n t h em o v i n gl e a s t s q u a r e s ( m l s ) a p p r o x i m a t i o n ，i sap r o m i s i n gm e t h o dd u et oi t sh i g h a c c u r a c y , s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e b e c a u s et h em l s a p p r o x i m a t i o nd o e sn o tp a s st h r o u g ht h en o d a ld a t al i k ef i n i t e e l e m e n tm e t h o do rf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，d i r e c ti m p l e m e n t a t i o no ft h ee s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n si ne f g mb e c o m e sd i f f i c u l t i nt h i sp a p e r , t h eb o u n d a r ys i n g u l a r k e r n e lm e t h o di nr e p r o d u c i n gk e r n e lp a i c l em e t h o dh a sb e e na p p l i e dt oi m p o s et h e e s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si ne f g mb yr e v i s i n gt h em l ss h a p ef u n c t i o n t h e s t r e s sf i e l da n dt h ed i s p l a c e m e n tf i e l da r ea n a l y s e db yl i n e a re l a s t i ct h e o r y t h e c o n t o u ri n t e g r a lm e t h o di su s e dt oc a l c u l a t et h ej - i n t e g r a l ，t h e nt h es t r e s si n t e n s i t y f a c t o r so fm i x e d - m o d ec r a c ki s a c q u i r e d t h ec o r r e c t n e s sa n dt h ev a l i d i t yo ft h e m e t h o da r ev a l i d a t e d t h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h a to ff u l lt r a n s f o r m a t i o n m e t h o d t h ei n f l u e n t i a lr a d i u si n f l u e n c eo nt h ef i n a la p p r o x i m a t i o no ft h et r i a lf u n c t i o n a n di t sg r a d i e n tg r e a t l y o n l yt h eu n i f o r mi n f l u e n t i a lr a d i u si sn e e d e dw h e nn o d a l a r r a n g e m e n t sa r ev e r yr e g u l a r i t su n w o r k a b l et ou s et h eu n i f o r mi n f l u e n t i a lr a d i u si f n o d e sa r er a n d o m l ys c a t t e r e d e s p e c i a l l yf o rf a t i g u ec r a c kp r o p a g a t i o np r o b l e m s 1 1 1 e d y n a m i ci n f l u e n t i a lr a d i u s ，w h i c hi sa d a p t e dt oa n yk i n do fn o d ed i s t r i b u t i n g ，i s 山东大学硕士学位论文 u t i l i z e di nt h ep m s e mp a p e r t h ei n f l u e n t i a lr a d i u si sa d j u s t e da c c o r d i n gt ot h en u m b e r o fn o d ei nt h ei n f l u e n t i a ld o m a i n f a t i g u ef r a c t u r ei so n eo fm o s ti m p o r t a n tf o r mo fs t r u c t u r a li n v a l i d a t i o n i nt h i s p a p e rt h eb o u n d a r ys i n g u l a rk e r n e lm e t h o di su s e di ne f g m t oi m p o s et h ee s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n se x a c t l y t h ed i s c r e t ee q u a t i o n so fp l a n ep r o b l e mi ne l a s t i c i t ya r e a c q u i r e db yw e a kv a r i a t i o nf o r m c r a c kp r o p a g a t i o ni ss i m u l a t e db ys u c c e s s i v el i n e a r i n c r e m e n t sa n dt h ee q u i v a l e n ts t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri sg i v e na c c o r d i n gt on l a x i m u n l p r i n c i p a ls t r e s sc r i t e r i o n t h ep a r i s l a wi sa p p l i e dt oa n a l y s et h ef a t i g u ec r a c kg r o w t h r a t e t h ea p p l i c a t i o no fe f g mt of a t i g u ec r a c kg r o w t hi sg i v e n t h ef a t i g u ec r a c k g r o w t ho fr e c t a n g u l a rp l a t ei sp r e s e n t e ds u b j e c t e dt oc y c l i cl o a d i n g t h ep r o c e s so f f a t i g u ec r a c kg r o w t hi sg i v e nu s i i l ge f g m ，a n dt h e nt h ec r a c kp a t ha n df a t i g u el i f e l i n ea l eg i v e n k e y w o r d s ：e l e m e n t - f r e e g a l e r k i n m e t h o d ；b o u n d a r ys i n g u l a r k e m e l m e t h o d ；d y n a m i ci n f l u e n t i a lr a d i u s ；f a t i g u ec r a c kg r o w t h h 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外；本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 一 论文作者签名： 担蛘 日期：迎基塞：荭 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：担雌 导师签名： 睦! ! 垦日期：z 丝主：篮 山东大学硕士学位论文 1 1 选题背景 第一章前言 断裂、腐蚀、磨损是机械零件和工程构件的三种主要失效形式。其中断裂 是一种“暴发病”，常常招致生命财产的重大损失。据美国商业部国家标准局向 美国国会提出的研究报告，美国每年因断裂及肪止断裂要付出1 1 9 0 亿美元的代 价，相当于国民经济总产值的4 ；而依靠科学技术的力量，有一半的经济损失 是可以避免的。据统计资料显示，绝大多数的断裂是因疲劳而引起的，在某些 工业部门疲劳可占断裂事件的8 0 - 9 0 。在我国，疲劳失效也相当普遍，在能 源、交通等部门还很严重【1 1 。因而在结构的破坏失效预测中，模拟疲劳裂纹的扩 展变得十分重要。目前裂纹扩展模拟的数值计算方法主要有：有限元法、边界 元法以及近年来兴起的无网格法。 有限元法的基本思想是将连续的求解域离散成一组有限个、且按定方式 相互联结在一起的单元的组合体，用单元内的近似来表示全域上待求的未知场 函数。在具体模拟裂纹扩展问题时，又分为节点释放法和运动网格法。在节点 释放法中，裂纹的运动是通过逐渐释放裂纹面上的节点力来模拟的，它研究的 区域一般是静态的。运动网格法中，有限元网格与移动裂尖保持相对静止，即 有限元网格的运动速度与裂纹尖端的运动速度是相同的，这一方法对裂纹尖端 场尤其是准静态裂纹扩展问题的模拟是有效的，它也是弹塑性体静态裂纹扩展 模拟中常用的数值计算方法。但对于高速冲击等动态问题，显式时间积分的步 长取决于有限元网格的最小尺寸，而网格的扭曲使得时间积分的步长过小，大 幅度地增加了计算工作量；对裂纹的动态扩展问题，由于裂纹的扩展方向事先 不能确定，有限元法为了得到精确解，需要在裂纹尖端进行十分精细的网格划 分，而且旦裂纹发生扩展，相应的网格就需要重新划分，这使得计算精度和 求解效率大为降低。有限元近似基于网格，因此必然难以处理与原始网格线不 一致的不连续性和大变形，而只适用于处理直线型裂纹扩展，或者需要人工干 预。 边界元法只需要把问题所涉及的区域边界离散化，而区域本身并不需要离 散化。由予边界元法把三维问题转化为二维问题，把二维问题转化为维问题， 不仅使计算工作量减少，而且大大减少了数据准备和输入的工作量，因而大大 山东大学硕士学位论文 减少了出错的可能性。在处理裂纹扩展问题时，边界元法只需在边界上或者裂 纹表面布置节点，避免了区域上网格重新划分的问题。与有限元法相比，尽管 边界元法的工作量大为减少，但在求解偏微分方程时需要用到格林函数，因而 在处理多介质问题，复杂非线性问题以及在施工模拟过程中遇到许多困难，这 势必限制了边界元法的应用范围，使得大多数的边界元解只适用于弹性材料各 向同性问题。并且由边界元法得到的方程既不稀疏也不呈现带状，对于大体系 还容易产生病态矩阵，这就阻碍了边界元法在工程问题中的进一步应用。 无网格方法的出现为裂纹的扩展计算开辟了新的途径。基于m l s 近似的无 网格伽辽金方法以其精度高、稳定性好和收敛速度快等特点成为众多无网格方 法中最具发展前景的一种。无网格伽辽金方法只需要节点信息和计算域的几何 边界，避免了大量的单元网格划分工作，并克服了有限元法中由于场函数的局 部化近似所引起的误差闭；位移场的近似采用基于节点的函数拟合，保证了基本 场变量在整个求解域内的连续可导；抗畸变能力强，适合进行自适应分析。在处 理裂纹扩展时，无网格伽辽金方法只需要通过自由裂纹面或者自由裂纹线的延 伸来模拟，这大大简化了裂纹模拟的过程。与有限元法相比，尽管二者基本方 程的数学基础相同，但无网格伽辽金方法不需要网格划分及网格重构，因而在 处理裂纹扩展问题时具有更高的精度和效率。与边界元法相比，由无网格伽辽 金方法得到的离散方程为带状稀疏，对称的，适用于非线性及各向异性材料和 其他复杂问题的求解。所以无网格伽辽金方法兼有边界元法和有限元法特点， 而应用范围更广泛。 1 2 国内外研究历史及现状 对无网格法的研究可以追溯到2 0 世纪7 0 年代对非规则网格有限差分法的 研究，由于当时有限元法的巨大成功，这类方法没有受到重视。1 9 7 7 年l u c y t 等1 3 】提出了种新的数值计算方法一光滑质点流体动力学法( s m o o t h e d p a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ：s p h ) ，该方法在天体物理领域里得到了成功应用。 j o h n s o n 等 4 1 提出了归一化光滑函数算法，提高了s p h 法的精度，并使其能够通 过分片试验，正确模拟常应变状态。n a y r o l e s 等p j 于1 9 9 2 年提出了模糊单元法 ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ：d e m ) ，它首次将移动最小二乘近似用于g a l e r k i n 方法，并用其分析了p o s s i o n 方程和弹性力学问题。t b e l y t s c h k o 掣6 7 j 对d e m 作了部分改进，计算形函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略掉的部分项，并利用 2 山东大学硕士学位论文 拉格朗日乘子法引入本质边界条件，提出了无网格伽辽金法( e l e m e n t f r e e g l e r k i nm e t h o d ：e f g m ) ，给出了误差估计，掀起了无网格方法的研究热潮。尽 管这类方法比s p h 方法计算费用高，但具有较好的协调性及稳定性。 1 9 9 5 年w k l i u 8 9 j 基于再生核( r e p r o d u c i n gk e r n e l ) 思想及小波变换理 论提出了再生核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r i c l em e t h o d ：r k p m ) ，并结 合“小波”分析的伸缩尺度平移，多分辨率等特点，提出了多尺度再生核质点 方法( m u l t is c a l er e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ：m r k p m ) 和“小波 质点方法”( w a v e l e tp a r t i c l em e t h o d ：w p m ) ，并实现了该方法的自适应分析。 j t o d e n 等【1 0 】提出了h p 云团法，该方法利用移动最小二乘原理建立单位分 解函数，进行场量的近似表达，然后通过g a l e r k i n 变分，建立离散代数模型。 波兰学者l i s z k a 等1 1 1j 提出了h p 无网格云团法( h p - m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ： h p m l m ) ，与h p 云团法不同之处是它采用了配点形式，无需背景网格作积分域， 是一种纯无网格法。刘欣等【12 】结合h p 云团法和数值流形方法，提出了流形覆盖 思想的无网格方法研究。田荣，栾茂田【1 3 】将流形方法有限覆盖思想与无单元 g a l e r k i n 法的无网格技术相结合，提出和发展了一种适用于连续与非连续变形 问题统一的无单元法一有限覆盖无单元法，并将其应用于解决岩土类弱拉型材 料摩擦接触问题、裂纹扩展追踪问题和脆性材料损伤断裂演化行为的细观研究。 b a b u s k a 等 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 】将单位分解法与有限元法相结合，提出了单位分解有限 元法和广义有限元法。该方法在标准有限元空间中加入一系列能够反映待求边 值问题特性的函数，并将这些特殊函数与单位分解函数相乘后和原有的有限元 形函数一起构成了新的增广协调有限元空间。e o n a t e 等i l8 】提出了有限点方法 ( t h ef i n i t ep o i n tm e t h o d ：f p m ) ，这是一种无需背景网格的真正的无网格法， 采用移动最小二乘近似构造形函数，主要用于流体空气动力学领域。l i u 和g u 1 9 1 于2 0 0 1 年提出了基于径向点插值和局部弱形式的局部径向点插值法( l o c a l r a d i a lp o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ：l r p i m ) ，由于径向点插值近似通过节点 数据，因而形函数具有d l e t a 函数性质，本质边界条件可以直接引入。目前这 一方法已成功用于固体力学问题和流形问题的求解。 a t l u r i 和z h u 2 0 i 在局部边界积分方程的基础上，采用局部子域上的积分方 程的等效弱形式和采用移动最4 , - 乘函数进行插值，所有的积分都在规则形状的 子域及其边界上进行。从而得出了一种不需要任何有限元或边界元网格的新的无 网格法一无网格局部伽辽金法( m e s h l e s sl o c a l p e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ： 山东大学硕士学位论文 m l p g ) 。目前这一方法已成功用于弹性力学平面问题、弹性地基梁以及线弹性动 力学平面问题的求解。t z h u 等1 2 l 】提出了无网格局部边界积分方程方法，这一方 法采用移动最d , - 乘( m l s ) 函数作为插值函数，采用局部边界积分方程来表示所 考虑点的未知函数的值并包含该点的影响域内其他点的值。张雄等1 基于最小 二乘法提出了最小二乘配点无网格法和加权最d x - - 乘无网格法。这类方法的计 算精度远高于配点法，而计算量远小于g a l e r k i n 法，兼有g a l e r k i n 法和配点 法的优点。 1 3 无网格伽辽金法在裂纹扩展中的应用 b e l y t s c h k 0 1 2 3 矧等最先用无网格伽辽金法对线弹性材料的静态和动态的裂 纹扩展问题进行研究，采用拉格朗日乘子法引入本质边界条件，计算了疲劳裂 纹扩展和动态裂纹的传播。并指出基于动态应力强度因子模拟裂纹传播的方法 不仅有潜力处理任意裂纹传播路径问蹶，而且容易推广到各项异性和非线性材 料问题中。x u 和s a i g a l l 2 5 j 6 1 对弹塑性硬化和非硬化材料的准静态裂纹扩展以及 i 型裂纹的定常动态裂纹扩展用无网格伽辽金法进行了研究。m f l e m i n g 等1 2 7 1 针对裂尖场的应力振荡，提出了改进裂尖场的两种方案，该方案不仅能减小应 力振荡还能用较少的自由度准确计算应力强度因子。y p c h e n 等 2 s l 研究了非局 部裂纹的动态无网格法。k r y s l p 等f 2 9 】用无网格伽辽金法研究了线弹性材料的任 意三维裂纹的动态裂纹扩展问题。b e l y t s c h k o 等1 3 0 1 在2 0 0 0 年研究了混凝土动态 裂纹扩展的无网格伽辽金法，对混凝土材料进行疲劳过程区模拟( f p z ) 。并对 混凝土动态单轴拉伸破坏失效进行了无网格伽辽金方法模拟。j p p o n t h o t 和 b e l y t s c h k o 3 1 】根据无网格伽辽金法和任意拉格朗日欧拉方程的各自优点，提出 了无网格伽辽金法的任意拉格朗日一欧拉公式，认为这种方法在描述波的传播 以及动态裂纹扩展问题时很成功。b n r a o 等1 3 2 】采用e f g 公式和改进的新型基函 数来捕捉非线性断裂力学中h r r 场的奇异性。m a r co u f l o t 等 捌采用改进权函数 的无网格方法研究了疲劳裂纹扩展，并对等幅周期加载作用下单一裂纹体和复 合裂纹体的疲劳断裂模拟进行了分析。 国内对无网格法的研究始于1 9 9 5 年，周维垣1 3 q 对无单元法进行了基本理论 阐述，并结合数值流形法进行了断裂力学的应用研究，在国内首次将其应用于 岩土工程问题的求解。寇晓东等 3 5 , 3 6 1 针对拱坝开裂分析的难点，结合拱坝的受 力特点，进行了一定的简化，利用无单元法便于追踪结构开裂的特点，提出了 4 山东大学硕士学位论文 种拱坝三维开裂分析的近似方法，并对小湾拱坝进行了开裂追踪计算。李卧 东等【3 7 ，j 8 3 9 1 运用无网格伽辽金法模拟岩体介质中的不连续面，计算了压剪复合型 裂纹的应力强度因子，运用不同的断裂准则对裂纹的传播进行了分析模型。袁 振等1 4 0 l 用无网格伽辽金法模拟构件在复合变形作用下疲劳裂纹扩展路径，在计 算过程中采用有限元与无网格元相耦合的方法引入本质边界条件，基于最小应 变能密度因子理论确定裂纹扩展量，并预估了其疲劳寿命。娄路亮等【4 l j 用e f g m 模拟了带中心斜裂纹的t i 一6 a 1 4 v 合金平板中的疲劳裂纹的扩展。 1 4 本文的主要研究内容 在系统研究无网格伽辽金方法的基础上，本文将其应用于疲劳裂纹扩展的 数值模拟，并用算例验证了该方法的正确性与有效性。本文各章的主要内容如 下： 第一章：给出了本文的选题背景，回顾了无网格伽辽金方法的研究历史及 现状，综述了无网格伽辽金方法在裂纹扩展中的应用现状，确定了本文的主要 研究内容。： 第二章：综述了无网格伽辽金法的基本原理，对基函数及扩展基函数的应 用、权函数的选取、不连续性的处理、本质边界条件的施加及g a l e r k i n 法的离 散方案等问题进行了较为详尽的阐述。 第三章：阐述了裂纹的分类、裂尖附近应力应变场位移场及疲劳分类，对 应力强度因子及，积分理论等几个描述疲劳裂纹扩展的力学参量及疲劳裂纹扩 展的规律进行了描述。 。 第四章：采用边界奇异权方法引入本质边界条件，实现了本质边界条件在 节点处的精确施加，从能量泛函的弱变分原理出发，对弹性力学平面问题的离 散控制方程进行了推导；采用动态影响半径法确定节点的影响范围，运用围线 积分法计算，积分，给出了疲劳裂纹扩展过程数值模拟的无网格伽辽金方法。 第五章：为验证本文研究方法的正确性与有效性，采用无网格伽辽金方法 对集中力作用下悬臂梁的位移与应力进行了计算，并对其收敛性进行了比较； 采用边界奇异权方法施加本质边界条件对单边裂斜纹矩形板的应力强度因子进 行计算；对矩形板单边直裂纹的疲劳扩展过程进行了数值模拟，并将计算结果 与其它方法的计算结果进行了比较。 第六章：给出了本文研究的主要结论，对进一步发展无网格伽辽金方法进 行展望。 山东大学硕士学位论文 第二章无网格伽辽金法的基本原理 2 1 移动最d 、- - - 乘近似 移动最小二乘近似( m l s ) 是由n a y r o l e s 5 1 和s a l k a u s k a s ! 蚓等人发展起来 的。该近似方法通过几个互不相关的节点上的值，拟合出一个函数，该函数的 光滑性良好并且导数连续。 2 1 1m l s 基本概念 一在e f g 方法中，场函数“的移动最小二乘近似函数为 “6 ( x ) = 艺乃b ) 口，b ) ：p t g k g ) 工力( 2 - 0 j t l 式中，p t g ) = 扫g l p ：g ) ，p 。g ) 】为完备多项式基函数，m 为基函数的个数， 口0 ) 为系数向量，它是空间变量工的函数 口g ) = q g ) 口：0 ) a m b ) j 。 ( 2 - 2 ) 式( 2 - 1 ) 为全局近似，其对应的局部近似为 矿g i ) = 艺p j 仁) q g ) = p 1 伍k 仁) ( 2 - 3 ) j ；i 为确定口0 ) ，在局部范围内构造带权重的工：范数 ，g ) ，( x ) = n ( x 一一) 矿( 工，葺) - - * ( 一) 2 ( 2 - 4 ) = n ，( x 一一) p 1 ( j 加( 寸一口+ ( - ) 2 ， 式中。x ，为x 周围的节点，共有疗个，称为x 的影响域内的点；w ( x x ，) 为节 点x ，对x 的影响权函数，对影响域外的x ，w ( x - - x ，) = 0 ，对影响域内的x ， 6 山东大学硕士学位论文 ，b x ，) 0 ：p 1 g ，) 为完备多项式基函数在x ，处的取值；h + b ，) 为口在x ，处 的取值。 式( 2 - 4 ) 可写成 - ，g ) ：- - * ) t g x p 口一盯) ( 2 - 5 a ) 式中， p 2 p t g 。) p 2 b ) p 。g 。) p l ( x 。) p 2 0 ：) g ：) p 。g 。) p 2 0 。) p 。g ) j ，。 ，b 一工，) 1 0 2 i l 【0 h= o w c x x 2 ) 0 o - 0 当刖取最，j 、僦由渊- 0 ，得到 式中， 爿0 k g ) 一b ( x ) u = 0 4 b ) = p 7 b ) p b 0 ) = p 1 w ( x ) l w ( x - - x 。) j 。 ( 2 5 b ) ( 2 - 5 c ) ( 2 5 a ) ( 2 6 b ) ( 2 6 e ) 由此得出( 当a 。g ) 存在时) 口g ) ；a t0 ) 曰( x ) ( 2 - 7 ) 每个局部近似式的b ) 都对全局近似式有贡献，将式( 2 7 ) 代入式( 2 一1 ) 中， 一一一一一 7 山东大学硕士学位论文 得到 甜6 仁) = p r g h 。g 净0 沁 ( 2 8 ) 需要指出的是，在x ，处，由式( 2 8 ) 得到的矿0 ，) 即0 ，) ，即由移动最小 二乘近似得到的场函数不通过节点变量。 2 1 2 基函数 式( 2 1 ) 中的p 1 g ) = h g l p ：g l ，p 。g ) 】为完备多项式基，它必须满足以 下特性：( 1 ) p l g ) = l ( 2 ) p l b ) c ) ，f - 1 ，2 ，m ，式中c 。) 是在 口上有1 到s 阶连续导数的函数序列( 3 ) p ，g ) ，i = 1 ，2 ，j - jm ，组成相互 独立的函数列。在二维问题中 线性基为 p r g ) = 【l xy 】，m = 3 ( 2 - 9 a ) 平方基为 p r g ) = i xyx 2 x y y 2j ，m = 6 ( 2 9 b ) 三次基为 p 7 g ) = 0 xyx 2 x yy 2 x 3 x 2 yx y 2y 3 】，m = l o ( 2 9 c ) 当然，基函数不一定采用多项式。由于包含于基函数数组中的任何函数都 可以通过m l s 精确再生，因而为了方便的捕捉裂尖邻域应力场l 7 的奇异性， 减少裂尖场的应力振荡，提高裂纹尖端应力场的计算精度，可在基函数中引入 奇异项，f l e m i n g m 等学者在这方面作了大量工作【2 7 1 ，并提出了如下的基函数： 部分扩展基函数 p r g ) = 6 xy 卅，m = 4 ( 2 - l o a ) 完全扩展基函数 p 7 陆 x y4 7 rc o s ( 罢) 渤( 墨) 石s 文和口石湖( 争口 山东大学硕士学位论文 m = 7 ( 2 1 0 b ) 式中，和口代表以裂纹尖端为原点的极坐标。 针对线弹性断裂力学和非线性断裂力学问题，b n r a o 3 2 1 等提出了两种类型 的完全扩展基函数 z 以功= 卜如c o s 罢加s m 詈, r 尼+ 1 ) s i n 争只r t ) c o s 知田 ( 2 - l l a ) i i ，= ，x i9 x 2 ，r x n + 1 ) c o s 墨, r x 1 ) s i n 黑，s ；n 知只r v ( j + 1 ) c o s 争只 r x n + d s u l 兰s ；n s 只，+ 1 ) c 。s 兰s ；n s 目 ( 2 1 1b ) 但完全扩展基函数使矩阵a 的求逆复杂化、容易产生病态矩阵，并且对于含 裂纹问题，扩展基函数在裂尖附近产生应力奇异性。考虑到裂纹奇异场仅处于 裂尖至o 1 a ( a 为裂纹长度) 的范围内，没有必要在整个求解域内使用扩展基。 b e l y t s c h k o 等叫提出了扩展基与线性基相耦合的两种方法，即在裂尖附近采用扩 展基，远离裂尖处采用线性基。这不仅可以提高裂尖场的计算精度，减轻矩阵 求逆的负担，而且使计算费用大为减少。例如，鲜( 曲和鲜( x ) 分别表示采用一 般基函数和扩展基函数所得到的形函数，则耦合后的有效形函数为： 吼( 功= r 西；( 曲+ 【1 一r ) 西；( x ) ( 2 - 1 2 ) 式中：r 为斜坡函数，在耦合区域中的扩展边界上为1 ，其他边界上为0 。 2 1 3 权函数 e f g 法采用m l s 函数作为形函数，则首先必须选择权函数w ，权函数的选取 对场函数的光滑性、计算工作量的大小和计算结果收敛的快慢都有较大影响。 尽管在计算中权函数的具体形式不一样，但都必须满足以下条件： ( 1 ) w f 0 ，在支持域q ，内； 9 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) 川= 0 ，在支持域q ，外； ( 3 ) 卢嵋锄= 1 ，常态特性； ( 4 ) w 为随着t 单调递减的函数，其中d = i ix x 刈； ( 5 ) 当，0 时，m j ( ，) ，占( ，) 是d i r a cd e l t a 函数，其中_ = 嘶， 为节点影响域半径。 权函数的选取没有理论上的具体规则，目】； 常用的权函数有： a ) 高斯型权函数3 0 】； + 一一 吣一，= ”嵋7j p ”负指数型权函到6 】： fp - ( r d c ) 2 * - e 屯加r ，x - - x ；) = 五鬲两rr ，( 2 - 1 4 a ) 【0 r ， ，肼 式中，o 为样点x 与节点j ，的距离，r ，= 8 x - x ，0 ：，m 为样点x 的影响域半径； c 为控制相对权重的参数， c 2 a c | 2 一z 4 b ) 1 s 口2 ，对大梯度问题，取口接近1 c ，2 翟别l t 一膏，4 ( 2 - 1 4 c ) 式中s j 为x ，的邻近节点组成的最小点集，这些点构成围绕x ，的多边形，对均匀 分布的节点来说，q 为节点间的最大距离。后为正整数，x 6 获k = l 。 。 c ) 4 次样条权函数川： ”x - x , ) ：卜时+ 够一s 时，m( 2 1 5 ) l 0 r ， d ) 三次b 样条权函数i 】： l o 山东大学硕士学位论文 w ( x 一工，) = 一4 够+ 4 蚪 一。岛) + 4 时一号时 。昙 z 吾k r m 曲锥形权函剡3 4 1 ： 扯= 禹( - 一甜一p ，曲 【0 1 1 k 式中，占为一正的小值，k 为正整数。k 及占的选取具有一定程度的任意性，但 选取得好可提高计算精度。文【3 4 】取占= 1 0 ，k = 4 ；文【4 4 】取占= o 5 ，k = 4 文【3 4 】提出影响半径r 坩需适当选取，在尽量减少计算量的同时满足式( 2 8 ) 中a 的非奇异性，建议在节点均匀分布时取影响半径为 而i 2 1 面 ( 2 一1 7 ” 式中，m 为基函数的项数，其中册= 3 ( 线性基) ，6 ( 平方基) ，1 0 ( 三次基) ，4 ( 部分 扩展基) ；c 为节点分布密度；口为大于l 的系数，文【3 4 】取口= 4 f )改进的四次样条权函划3 3 1 川( 曲= 蜀( s ) = 6 ，+ 8 ，一3 一：；： ( 2 - t s a ) s ：0 x _ - - x , i i ( 2 - 1 8 b ) r 式中，局为节点f 的影响半径。当连接一和x 的线段被裂纹线截断时，为了表示 位移的不连续性，s 需要做出修正 。：! 睦二兰19 9 兰! 二兰1 9( 2 1 8 c ) 虬 式中，工。为置附近的裂尖坐标。 山东大学硕士学位论文 对于裂尖位移场，文【3 3 】指出，根据试验，下列三种权函数结合使用的效果 较好： k ( x ) ：口万c o s ( 昙) 岛( s ) ( 2 - 1 9 a ) w ，( x ) ：口打l + s i ) 】s ( j ) ( 2 - 1 9 b ) ( 砂：口打l s 坂罢) m ( s ) ( 2 - 1 9 c ) 式中，c ，p ，埘分别表示c o s ，正s i i l 和负s i n ，蜀( s ) 为式( 2 - 1 8 a ) 的四次样条权 函数，正则距离s 由式( 2 - 1 8 b ) 给出，口因子控制着与一般节点的幅值相对应的改 进权函数的幅值，文f 3 3 】认为口= i 效果比较好。 2 1 4 形函数及其导数 将式( 2 - 8 ) 写成 h 6 g ) = 咖g 沁 ( 2 2 0 ) 式中，口0 ) 为无网格伽辽金法的形函数，其表达式为 中0 ) = p r g n 。g 净0 ) = h 伊：吼】 ( 2 2 1 a ) 其中 仍( x ) = p t ( 工) 4 。1 ( x ) 曰( x ) 五= p r ( x ) 4 1 ( x ) p ( _ ) 咋( x ) ( 2 2 1 b ) 对基于m l s 近似的无网格伽辽金法的形函数，周小平1 4 5 删提出了形函数的 物理意义，即对于插值点x ，先由其影响域内的所有插值基点形成代表这一影响 域整体的4 扛) 并求逆，再利用曰g ) 将这一整体信息分配到域内的各插值基点， 就可得到插值点与这些基点问的插值函数值。 形函数中r 工j 的导数为 西( 曲= i v t r 7 k v - u l - - - 1 g 归g 玑 ：，t g l 4 一- g 泗g ) + j p t g n 一- g ) 。占b ) + j p t g n 一一g 净0 ) ，( 2 _ 2 2 a ) 1 2 山东大学硕士学位论文 式中 a 。g ) ，= “- 1 g 0 ) a 。g ) ( 2 2 2 b ) f 代表空间变量工或y 。 由于m l s 形函数一般不满足k r o n e c k e rd e l t a 准则，即e t ( x j ) 8 u 。因而， 本质边界条件不能像有限元法那样直接引入。 2 2 不连续性的处理 e f g m 处理裂纹扩展问题的主要优点为裂纹的扩展可以用裂纹面或裂纹线 的延伸来代替。但在实际计算中，经常要处理场函数不连续或场函数的导数不 连续的问题。对于断裂问题，裂纹两侧的位移场是不连续的，如何处理这种不 连续性是无网格计算的一个关键问题。在有限元法中，处理这类不连续问题的 方法很简单，直接在不连续处设置为单元边界，这样位移函数的插值、能量泛 函的积分都限制在单元内，而e f g m 则不同，其形函数的构造是基于求解域内 节点值的拟合，在遇到不连续问题时需要做相应的处理。目前对场函数不连续 性的处理方法有三种，即可视性准则、衍射准则、透射准则。 2 2 1 可视性准则 ， 可视性准则是处理无网格计算中场函数不连续性最简单的方法【6 ，4 3 1 在该方 法中，物体的边界以及内部的不连续面都被看成是不可穿透的界面。在考虑权 函数的影响区域时，将某点a 到另一点b 的连线看成是一束光线，如果它碰到 不可穿透的界面，则该线中止，即b 点不包含在a 点的影响区内。以具有裂纹 d a 的区域为例，点厶，的影响区域如下图所示。( 初始影响区中的阴影部分将 不包含在实际的影响区域里。) n 图2 - 1 采用可视性法则可能在权函数和形函数中引入不真实的间断性。例如图2 1 中的结点山其权函数与形函数在真实的不连续线