（基础数学专业论文）rn中有界对称凸区域内的闸轨道.pdf

这篇论文由三部分组成 在第一部分中，我们对辛道路定义了对应于闸轨道( b r a k eo r b i t ) 边值的m a s l o v 一型指 标，同时我们对闸轨道定义了m a s l o v 一型指标p - 及其对偶指标肛z 以及它们的迭代应用 谱流的想法以及鞍点约化的方法，我们研究了p 】和p 2 与c o n l e y - z e h n d e r - 龙以明定义的 h a i i l i l t o n 系统周期轨道的m a s l o v 型指标之间的关系，进而证明了p l 和芦2 的平均指标的 存在性基于上述理解并运用对偶变分方法我们研究了h a m i i t o n 系统中的闸轨道问题我 们证明当扎2 时，r “中任一有界对称凸区域q 内至少有两条几何相异的闸轨道，且若 q 内恰有两条几何相异的闸轨道，则它们均关于原点对称据我们所知，这是迄今为止非两 面夹条件之下关于闸轨道的多重存在性的第一个结果 在第二部分中，我们研究了在曲面两面夹条件之下，给定能量面上的闸轨道的多重存 在性若对r 2 “中g 1 紧严格凸超曲面，任何z 蕴含d i a g ( 一厶，厶) z ，且原点 在内部则在曲面被另一曲面a 两面夹条件下，以及相应于两面夹紧密程度的条件 ( f 1 ) ( f 2 ) 之下，我们证明上至少有n 条几何相异的闸轨道这里我们并不要求曲面a 关于原点对称 在第三部分中，我们还研究了f i n s l e r2 维球面s 2 上的闭测地线基于龙以明建立 的恒等矩阵出发辛道路的m a s l o v 一型指标的精确迭代公式，以及h 一b 胁d e m a c h e r 和v b a n g e r t 一龙以明关于黎曼流形与f i n s l e r 流形上闭测地线的研究，在假定s 2 上只有有限条 本原闭测地线的前提下我们建立了一个关于其上本原闭测地线的平均指标的恒等式此恒 等式与铲上的具体的f i n s l e r 度量无关，而只与其拓扑有关因此我们相信此恒等式将会 在对f i i l s l e r2 维球面铲上的闭测地线的稳定性的研究中起到重要的作用 关键词：鞍点约化，m a s l o * 型指标，对偶变分，闸轨道，闭测地线 l l a b s t r a c t ih i st h e s i sc o n s i s t s0 tt h r e ep a r t s i nt h e 矗r s tp a r t w ed e 矗n em a s l o v t 、- p ei n d i c e sf o rs y m p l e c t i cp a t h si nb r a k eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s f 0 ra n yb r a k eo r b i t ，w ea l s od e 矗n eam a s l o v t y p ei n d e xp 1 i t sd u a li n d e x 弘2 ，a n dt h e i ri t e r a t i o n s b yt h ei d e a so ft h es p e c t r a l 丑o wa n dt h es a d d l ep o i n tr e d u c t i o n ， t es t u d yt h er e l 拄i o n sb e t w e e nt h e s ei n d i c e sa n dt h em a s l o v t y p ei n d e xd e 矗n e db yc o n l e y ， z e h 盯d e ra n dl o n gf o rp e r i od j cs o 】u t i o n so fh a m i 】t o 玎i 锄s y s t e m s m o r e o v e r w ep r o v et h e e x i s t e n c e so ft h em e a ni n d i c e so fp la n dp 2 w eu s et h ed u a la c t i o np r i n c i p a lm e t h o dt o s t u d yt h eb r a k eo r b i tp r o b l e m si nh a m i l t o i a ns y s t e m sb a s e do no u ra b o v eu n d e r s t a n d i n 酽 w ep r 0 、e dt h a tw h e nn 三2 ，t h e r ea r ea tl e a s tt w og e o m e t r i c a l l yd i s t i n c tb r a k eo r b i t si n e v e r yb o u n d e dc o n v e xd o m a i nqi nr ，弋 h i c hi ss y m m e t r i cw i t hr e s p e c tt ot h eo r i g i n i f t h e r ea r ep r e c i s e l yt w og e o m e t r i c a l i yd i s t i n c tb r a k eo r b i t si ns u c hd o m a i nq b o t ho ft h e m m u s tb es y m m e t r i cw i t hr e s p e c tt ot h eo r i g i n t bo u rk n o w l e d g e ，t h i si st h e 矗r s tr e s u l to f t h em u 】t i p l ee x i s t e n c eo fb r a k eo r b i t sw i t h o u ta i 】yp i n c h i n gc o n d i t i o n st i l 】刀o w i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h em u l t i p l ee x i s t e n c eo fb r a k eo r b i t so ng i v e ne n e r g y s u r f a c e su n d e ra s y m m e t r i cp i n c h i n gc o n d i t i o n s a s s u m et h eg 1c o m p a c ts t r i c t l yc o n 、，e x h y p e r s u r f a c e r 2 ”s a t i s 矗e st h a te v e r yz i m p l i e sd i a g ( 一厶，厶) z a n dt h eo r i g i n i nr 2 “b e l o n g st ot h ed o m a i ne n c l o s e db r m o r e o v e r ，i f i sp i n c h e db yas u r f a c eai n r 2 “a 肌dc e r t a i np i n c h i n gc o n d i t i o n s ( f 1 ) - ( f 2 ) h o l d 、ep r o v et h a t t h e r ea r ea tl e a s t 札 g e o m e t r i c d l yd i s t i n c tb r a k eo r b i t so n h e r ew ed o n tr e q u i r eat ob es y m m e t r i c i nt h et h i r dp a r t ，w es t u d ) ，t h ec 】o s e dg e o d e s i c so nt h ef i n s l e r2 一s p h e r e 铲b a s e d0 n y l o n g sp r e c i s ei t e r a t i o nf o r m u l a e so ft h em a s l o v t y p ei n d i c e so fs y m p l e c t i cp a t h sb e 舀n g a tt h ei n d e n t i t ym a t r 政，a n dw o r k so fh 一b r 丑d e m a c h e ra n dv b a n g e r t y l o n go nc l o s e d g e o d e s i c s ，w ee s t a b l i s ha ni d e n t i t yo fm e a ni n d i c e sf b rp r i m ec 1 0 s e dg e o d e s i c so ne v e r yf i n s l e r 2 - s p h e r es 2p r o v i d e dt h a tt h e r ea r eo n l y6 n i t e l ym a n yp r i m ec l o s e dg e o d e s i c so ns 2 t h i s i d e n t i t yi si n d e p e n d e n to ft h ef i n s l e rm e t r i co ns 2 i td e p e n d so n l yo nt h et o p o l o g yo fs 2 h e n c ew ea r ec o n 、i n c e dt h a tt h i si d e n t i t yw i l lp l a yai m p o r t a n tr 0 1 ei nt h es t u d yo ft h e s t a b i l i t i e so fc l o s e dg e o d e s i c so nf i n s j e r2 一s p h e r es 2 k e yw o r d sa n dp h r a s e s ： s a d d l ep o i n tr e d u c t i o n ，m a s l o v t y p ei d i c e s ，d u a lv a r i a t i o n “，b r a k eo r b i t s ，c l o s e dg e o d e s i c s 1 1 l 致谢 我首先要向我尊敬的导师龙以明教授表示深深的感谢感谢龙老师这几年来对我学习 与生活上无微不至的关心和照顾正是在他的悉心指导之下，我学习到很多数学的基础知 识与研究方法，并进入到h a m i l t o n 系统与辛几何的学习与研究之中，得以接触到该领域的 前沿这篇博士论文凝聚着龙老师巨大的心血，论文经过了他字斟句酌地反复地检验与修 改，大部分的内容都是我们合作的结果看着这些熟悉的文字与式子，许许多多我们一起 讨论与修改的情景就浮现在眼前，那种如沐春风的感觉便会涌上心头龙老师对数学的热 情，对研究的严谨与执著，对工作的认真与负责，待人的谦逊与宽容，都深深地影响着我 得以师从龙老师是我的幸运，他是我一生为人为学的榜样 同时，我要感谢师兄刘春根教授与朱朝锋教授对我的指点与帮助朱朝锋教授使我对 m a s lo 、t 指标有了更深入的了解，我们之间有过许多有益的讨论和合作 值此论文完成之际，陈省身先生却永远地离开了我们，我的心中充满了哀伤先生的音 容笑貌总在我脑中晃动，仿佛他仍然在给我们讲述着关于数学和数学家们的小故事，仍然在 叮嘱着我们，“要做好的数学，要把中国建成数学强国”借此机会，我要对陈先生表示崇 高的敬意和澍意感谢他老人家多年来对中国数学与南开数学所日于时刻刻的关注与支持， 对我们时时刻刻的关心与激励先生必将流芳百世f 我要向张伟平、冯惠涛、扶磊、方复全诸位老师表示感谢他们许多精彩的讲课与演讲 都使我受益非浅他们对数学的激情与热爱也常常感染着我 我要感谢顾沛教授对我的关心与帮助 我要感谢孙善忠、胡锡俊、周聪奕、高然、王嵬、巩云诸位师兄弟我们一起学习，一 起讨论，度过了许多快乐的时光 最后，我要感谢我的父母、哥哥和弟弟尤其是父母为我的成长所付出的艰辛是我永远 无法忘怀的我深深地感谢他们多年来对我的理解、支持和鼓励 第一章序言 在牛顿定律之下，天体力学中质点的运动往往可以归结为一个非线性的常微分方程组， 即h a m i l t o n 系统天体的运行可以由一个h a m i l t o n 系统来描述例如此系统的周期解就 对应着天体运行的周期轨道因此近两百年来，h a m i l t o n 系统一直是数学家和物理学家们 关心和研究的主要领域之一人们希望通过对一般h a m j l t o n 系统的各种不变量的研究来得 到关于h a m i l t o n 系统的各种解的存在性以及多重性的结果近年来这一领域中的新的研究 成果已经在非线性分析，代数拓扑，辛几何以及数学物理等诸多学科中产生了重大影响 其中大家感兴趣的一个问题是闸轨道的存在性和多重性问题自】9 4 8 年h s e i f e r t 给 出了特定条件下的一个存在性证明并提出他的著名猜想以来( 见f 6 1 1 ) ，很多人开始研究与 闸轨道相关的问题，并得到了各种条件下的存在性及多重性结果其中大家往往假设了不 同的两面夹条件 c c o n l e y 与e z e h n d e r1 9 8 4 年在他们的著名工作【1 7 中对s p ( 2 几) ( n 之2 ) 中对 由恒等矩阵出发的非退化的辛道路建立了对应于周期轨道情形的m a s l o v 一型指标理论由 此拉开了用m a s l o v 一型指标来研究h a m i l t o n 系统的序幕此后i e k e l a n d ，龙以明， c v i t e r b o 等很多数学家做出了一系列工作其中龙以明系统地定义了由恒等矩阵出发的辛道 路的m a s l o v 一型指标的迭代理论来研究h a m i l t o n 系统的周期解的多重性与稳定性，获得了 重大的突破( 见 4 9 ，4 4 ) 在流形上闭测地线的研究中，此指标及其迭代理论也已发挥了重 要作用( 见 5 j ) 这些启发了我们，能不能建立相应的m a s l o v 一型指标及其迭代理论来研究h a m i l t o n 系 统的闸轨道的多重存在性? 能不能考虑非对称曲面两面夹之下闸轨道的多重性? 能不能用 龙以明定义的m a s l o v - 型指标理论来研究f i n s l e r 二维球面闭测地线的分类及稳定性? 在 这篇论文中我们主要研究上述问题，给出我们的回答 在此序言中，我们分三节来分别介绍我们在后面三章中的主要结果 1 1 中有界对称凸区域内的闸轨道 1 1 1 主要结果 设v g 2 ( r “，r ) 且q 三 口b p i y ( 口) o 及n 三 口r “l y ( g ) o 和皿c ( f o ，6 ，s p ( 2 扎) ) 且皿( o ) = 如。，我们定义 1 ( 皿) = l ( 皿( 6 ) ) ， 以及 屹( m ) = ( 皿( b ) ) ( 1 1 1 9 ) 4 自v ia r n o l d1 9 6 7 年的开创性工作f 4 1 以来，很多人研究过m a s l o v 指标 1 9 9 3 年， j r o b b i n 与d s a i a m o n 对l a g r a n g e 空间道路和辛矩阵的道路定义了取值可能为半整数 的m a s l o v 指标1 9 9 4 年，s e c a p p e l l r l e e ，和e y m i l l e r 定义了整数值的m a s l o v 指标为了研究闸轨道，按照他们的方法，我们对辛道路定义整数值的m a s l o v 型指标p ， 和“2 ，进而对闸轨道定义整数值的m a s l o 、，- 型指标“1 和p 2 设( f “) ) 为一个固定的辛空间对 2 ( 1 1 3 1 ) 此命题首先由i e k e l a n d 与h h o f e r 于1 9 8 7 年在 2 2 】中证明在【4 3 的引理6 7 中 ( 亦见 4 4 】中推论8 3 2 与引理1 5 3 2 ) ，龙以明给出了此命题的另外的证明 命题b 设条件( h 1 ) ( h 2 ) 成立则对任意( 7 - ，z ) 历( ) ，我们有 l p l ( 。) 一p 2 ( z ) i 茎n 命题c 设条件( h 1 ) 一( h 3 ) 成立则对任意( 7 - ，z ) 历( ) ，我们有 p 1 ( z ) + p 2 ) = i l ( z ) + n 命题d 对n 2 ，设条件( h 1 ) 一( h 4 ) 成立假定 # 玩( ) = 1 _ 令( 丁，9 ) 历( e ) 以7 为最小周期我们有 皿1 ( ) 1 ( 1 1 3 2 ) ( 1 1 3 3 ) ( 1 1 3 4 ) ( 1 1 3 5 ) 有了以上准备，下面我们简要证明定理1 1 1 我们用反证法假定定理1 1 1 中结论不成立我们有# 虎( e ) = 1 令( z ，f ) 玩( ) 以7 - 为最小周期由命题d ，我们有 但由命题b ，我们有 口l ( z ) 1 ( 1 1 3 6 ) p 1 ( z m ) 一p 2 ( j ，) 1 茎n ， v m n ( 1 1 3 7 ) 7 因此，我们有 1 i mi 丝盟一丝螋l ：o m + + o 。mm 由命题a c ，我们有 1 i m 兰! 竺! 型型：l i 。丛盟：m ) 2 m_+1 m - + + m 这样根据( 1 1 3 7 ) - ( 1 1 3 9 ) ，平均指标丘l ( z ) 与p 2 ( z ) 存在并且满足 1 0 l ( z ) = 豇2 ( z ) = 三i 1 ( z ) 1 这与( 1 1 3 6 ) 矛盾于是我们证明了定理1 1 1 第二章内容主要取自 47 】 1 2 非对称两面夹之下的闸轨道的多重性结果 ( 1 1 3 8 ) ( 1 1 3 9 ) ( 1 14 0 ) 在前面提到的 3 】， 2 】和【6 4 】中关于闸轨道的多重存在性结果中所运用的两面夹都是用 球面，椭球面等对称曲面去夹的在第三章中我们考虑用未必对称的曲面去两面夹，来得到 给定能量面上的闸轨道的多重存在性结果 设日：r 加_ r 为c 1 的我们考虑以下h 锄i l t o n 系统： 尘= ，h ( z )( 1 2 1 ) 记z = ( p ，口) r “r “为( 1 2 1 ) 的一类特殊的卫周期解闸轨道，其口- 部分在两 个固定的点之间来回振动更精确地说p ( t ) 与q ( t ) 均是t 一周期的，且p 在t = o 与= 吾 处奇，q 在t = o 与等处奇亦即，z ( 一t ) = z ( z ) ，且z ( 吾一t ) = z ( 吾+ t ) 设为r 舫中伊紧超曲面，= 1 ，或2 ，且为严格凸区域e 的边界不失一般 性，我们设o e 记r 抽这类超曲面的集合为州。( 2 n ) 我们用丸：( 2 n ) 表示其中的对 称子集，亦即，。e 蕴含一z 我们用死，。( 2 n ) 表示其中p 对称子集，亦即， z = ( p ，g ) ，p ，g 】；p 蕴含( 一p ，口) e 对任何咒1 ( 2 礼) 与z ，我们记在z 的单位外法向量为j ( z ) 一个闭特征 ( r ，o ) 为以下问题的解 ) = j e ( z ( t ) ) ，z ) e ，、佬r ， ( 1 2 2 ) z ( 7 - ) = z ( o ) ， 设曲面“1 ( 2 n ) 为r 2 “中含原点的凸区域g 的边界，我们称它为a 一( r ，r ) 两面夹 的，若a 戳1 ( 2 礼) 为r 2 “中含原点凸区域d 的边界，而且存在冗 r 0 使得 r dcgcr d 8 在 1 8 】中，董玉君与龙以明在非对称两面夹条件之下得到了超曲面上闭特征的多重存 在性这里我们对闸轨道的情形予以考虑 对日为e 1 且满足日( 一p ，g ) = 日( p ，g ) ，y p ，g ，设= 日- 1 ( 1 ) 为r 2 “中凸区域 e 的边界的g a u g e 函数j e ：_ 【o ，+ o 。) 定义如下： j ( o ) = o ，j e ( z ) = i n f a ol 睾e ) ，v z r 2 “ o ) 我们固定口( 1 ，2 ) 定义 + 日毫( z ) = ( j ( z ) ) 。，v z r ? “ 则上k c o ( r 2 n ，r ) ng 1 ( r 2 n o ) ，r ) ，为凸函数，且= 日云1 ( 1 ) 我们考虑以下问题： 窑( f ) = j 三毫( z ( 亡) ) ，日( z 0 ) ) = 1 ，z o + 7 _ ) = z 0 ) ，v t r ， ( 1 2 3 ) z = ，口) 】；p ，p ( 一t ) = 一p ( t ) ，g ( 一) = g o ) ，v r ( 1 2 4 ) 我们记问题( 1 2 3 ) 一( 1 2 ，4 ) 的满足7 - 为z 最小周期的解( 7 _ ，z ) 的集合为西( ，口) ，其几何相 异的轨道集为玩( ，) 注意到尻( e ，。) 与历( ，o ) 分别与( 1 2 1 ) 在e 上的最小周期闸轨 道解集，及其几何相异的子集一一对应 对曲面咒：。，我们称( z ，7 - ) 为上的闸轨道，若它为上的闭特征且满足z ( 一t ) = z ( t ) 我们记上最小周期闸轨道的集合为矗( ) ，其几何相异的轨道集为玩( ) 现在我们设超曲面= 日一( 1 ) 被另一个超曲面a 利：。( 2 n ) 所( r ，兄) 夹住 类似于【2 1 与 1 8 】，我们采用对偶变分方法我们定义： e ：= u = ( p ，口) l 。( 。一1 ( r ( 2 7 r z ) ，r ，r ，) ，l p ( 一) = p o ) ，g ( 一t ) = 一g ( ) ，n e t r ， l 。 r 2 w、 “( t ) 出= o ， 其中 事实上， m n = u 既去z “日4 n ( 一j u ( 啪出= - ) 峨( z ) 2 群协矿一砚( ) ) ，话r 2 “ 日 ( z ) = ( j ( z ) ) 。，比r 2 ” f k = s p a n c o s ( 南t ) e i + s 伽( 七t ) e 件。 七z ，l i n ) 9 其中 e 。 为r 执中标准正交基 由磁的齐次性，对任何( 7 - ，z ) 历( a ，) 存在唯一的a 0 使得 a 亩( 去) 4 a ( 1 2 5 ) 定义 眠= 让。【( 丁，z ) 历( a ，血) ) c 4 a ( 1 2 6 ) 类似于 6 4 ，令9 = 扫，i d ) 为一个z 2 群，亦即，9 2 = i d ，9t i d = i d g = 9 ，i d 2 = i d ，我们 定义反上9 一作用如下： ( 9 牟u ) ( t ) = u ( t 十7 r ) ， i d 女u = t 工v u 于是9 2 u 三g ( g u ) = u ，地玩由于7 - 为z 的最小周期，由( 1 1 4 ) 与( 1 ，2 6 ) ，夕- 作用限制在m 上是自由的 设q 为g 不变的，类似【5 3 】我们定义其z 2 一亏格z ( q ) 如下： 工( n ) = i n “后z | j 连续映射，：q _ r o ) ，使得，( g ) = 一，( u ) ，v 珏q ) 定义 a ( “) 2i 上( ，j n u ) 斑， 讹及 1，2 其中n u 由下式唯一确定： 爰札= u 且z 孙n u _ o出一j o 在第三章中，我们证明了以下主要定理： 定理1 3 ( 见 7 0 ) 设w ；。( 2 n ) 被a 咒品( 2 n ) 所( r ，r ) 两面夹住，且对a 以下条 件成立： ( f 1 ) 存在川 的督一不变的闭子集，_ 使得 ( f 2 ) 此 进一步满足 z ( 7 一a ) n 从c 只c 州 o m l 三m i n a ( u ) lu 歹_ a ) m 2 三m a x 4 ( 钍) l 札，a ) + d 。 1 0 ( 1 2 7 ) 弄口 贝 ，s 菩 鲁 莽盔( ) 2n 此定理是对称曲面两面夹条件的推广第三章内容主要取自 7 0 1 3 f i n s l e r2 维球面上闭测地线的平均指标恒等式 ( 1 28 ) 记f 为2 维球面s 2 上的f i n s l e r 度量a k a t o k 于1 9 7 3 年在 3 6 中给出的著名例 子指出在s 2 上存在f i n s l e r 度量使得其上恰有两条本原的闭测地线根据v b a n g e r t 与龙 以明最近的一个结果( 见同) ，在任意的f i n s l e r 2 维球面上总存在至少两条本原的闭测地 线 我们在第四章中的目的是在假定f i n 5 l e r 球面( s 2 ，f ) 只有有限条本原的闭测地线的前 提下建立其上所有本原闭侧地线的平均指标的恒等式因此由v b a n g e r t 与龙以明在最近 的文章f 5 中主要定理的证明，我们还得到这些测地线的一些同调性质 我们用n z ，q 和r 分别表示自然数、整数、有理数与实数集对任意的实数o ，我 们记【n = m a x zl ks 。) 且 o ) = o 一 n 】第四章中我们只用到了有理系数q 的奇异 同调群，在不引起混淆的时候我们略去有理系数q 设m = ( m ，f ) 为一个f i n s l e r 流形( 参考【6 ， 6 2 ) ，其中f 是m 上的f i n s l e r 度量 在不引起混淆的时候我们略去f ，简记为m 对m 我们赋予一个黎曼度量g 则m 上的闭 路空间 r，、 a m = c ：s 1 = r zh mic 绝对连续，且，g ( ，e ) o 。 ( 1 3 1 ) lij 0 4 j 是一个h i l b e r t 流形不引起混淆的时我们也简记为a 对任意口s 1 和c a ，我们定义 目c ( t ) = c ( 口+ t ) ，这给出了a 上一个自然的s 1 作用 关于f i n s l e r 流形上测地线与闭测地线的定义，请参考 6 】和 6 2 若f i n s l e r 流形( m ，f ) 上的闭测地线c 不是其它闭测地线的迭代，我们称它为本原的这里c 的m 次迭代c ”定 义为：c ”( z ) = c ( m t ) ，v t r c 的反向曲线定义为c _ 1 ( t ) = c ( 1 一) ，v t r 我们注意 到对m 上任意的测地线c ，在任何时刻f 其速度j ( ) 恒不为零a 上的能量函数e 与长 度函数c e n 们h 定义为： 1r1r e ( d ) = i 上，f ( d ( t ) ，d ( t ) ) 2 出，鲥 ( d ) = i s ，f ( d ( 。) ，d ( t ) ) d ， v d a ( 1 舢) 1 1 二者均为s 1 不变的 对任意k r ，我们记 a = d a i e ( d ) 尤) ，a 一= d a i e ( d ) o ( 1 3 4 ) 由于e 在a m 上非g 2 的，如同h b r a d e m a c h e r 5 6 】，我们引入a m 的有限维逼 近空间 = a ( 七，口) 则e 在天上的限制啻三e l 五是g 2 的对m 上的任意闭测地线c ，富 在五上c 处的m o r s e 指标与零化数分别与e 在a m 上c 处的m o r s e 指标与零化数i ( c ) 和 ( c ) 相等同样我们注意到啻在五中c 处的l l 缶界群与e 在a m 中c 处的临界群同构 对啻应用g r o m o l l 一m e y e r 的推广的m o r s e 引理( 见 2 8 ) ，我们有 雪( 妒( z 一+ z + + z o ) ) e 0 ( z 一+ z + + z o ) = 雪( c ) + 最( 茁一+ z + + 。o ) ， = 一j z 一1 2 + i 。+ 1 2 + 啻( z o + h ( 。o ) ) 其中我们有通常的正交分解正a ( ，o ) = v oy + o 俨，o 在正a ( ，o ) 中的z 。一不变 开邻域u ，以及两个z 。等变微分同胚妒：u _ 妒( u ) c c a ( ，口) ，与 ：驴三un y o _ ( u o ) cv 一0v + 于是e 在c 处的临界群约化为非退化与退化局部临界群的张 量积我们记( ( c ) ，( c ) 一) 为c 处的零丛( c ) ( e ”( c ) 的核) 的邻域对，记( c ， ) 为 ( ( c ) ，( c ) 一) 中含于c 的零丛的切片这里我们令( c ) 一= h ( c ) le 。h ) o ) ，且 f = h cb ( 7 ) o ，m n ，我们定义 礼。三n ( c ) 三i n f m n l ( c ) 1 ) ， k ( c m ) 三r a n k 田( 反m ，c m ；q ) ，q z ，m 1 ， 岛( c ”) = r a n k q ( c m ，嵋) ，”z ，m n 1 2 ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) ( 1 37 ) ( 1 3 8 ) 这里对个具有群作用g 的拓扑空间对( x ，4 ) ，我们记峨( x ，a ) g 为日口( x ，a ) 在g 作用 下的不动点的子集 设s 1 - c 为e 的孤立临界轨道据【5 ，c 为墨i 的局部极小值点当且仅当( c ) = 1 以及岛( c ) = o ，v o js ( c ) ，c 为巨j 虬的局部极大值点当且仅当k 。( c ) ( c ) = 1 以及 如( c ) = ov osj p ( c ) 以下情形之一必将发生只发生一种： 女o ( c ) = 1 ，b ( c ) = 0 ，v o 。 此时由 4 4 】中定理8 1 4 的3 。，我们有t ( c ) = 劬，其中p n u o ) ，且 i ( c m ) = 2 仃毕，工，( c m ) = 1 ，v m n 鹏c 只共轭于辛矩阵( _ 1 二：) ，其中 此时由 4 4 中定理8 1 5 的1 。，我们有i ( c ) = 2 p + 1 ，其中p n u o ) ，且 妒) = 嘞+ 1 ) 一半，比m ) _ 半，v m 2 1 1 3 情形c g - 5 r = 厶 此时由【4 4 】中定理8 1 5 的2 。，我们有t ( c ) = 2 p + 1 ， 其中p n u o ，且 啦m ) = m ( 印+ 1 ) 生竽，缈) ：1 仆1 ) m ，v m l 情形c g - 6 只共轭于辛矩阵( 苫二) ，其中 此时由f 4 4 】中定理8 1 5 的3 。，我们有t ( c ) = 2 p + 1 ，其中p n u o ，且 i ( c m ) = m ( 2 p + 1 ) 妒) = 半，v m 1 情形c g - 7 只共轭于戳阵删= ；：三9 ) ，其中目( o ，州( 咧且 护肛q 、 。 此时由 4 4 中定理8 1 7 ，我们有t ( c ) = 2 p + 1 ，其中p nu o ) ，且 i m ) ：j 2 呻+ 2 【筹】+ 1 ，( c m ) = o ，若m 口o m o d2 丌， 、7 i2 m p + 2c 筹】l ，p ( c m ) = 2 ，若m 口= om o d2 7 r 情形c g 8 只共轭于辛矩阵即) = ( ：；：筹) 其中吲。棚吣协) 且 口”q 、 7 此时由【4 4 】中定理8 1 7 ，我们有i ( c ) = 2 p + 1 ，其中p nu o ) ，且 t ( c “) = 2 仃巾+ 2 f 等】+ 1 ，( c m ) = o ，v m 1 情形c g - 9 只共轭于辛矩阵( ：1 ；6 ) ，其中6 。或6 o 使得q ； q r ”( q ) m i n h ( 9 ) i r “) 及= 日_ 1 ( ) ，我们有 袢磊( ) 2( 2 1 1 1 ) 即上总有至少两条几何相异的闸轨道 _ 注意到由于条件( h 1 ) 一( h 4 ) ，原点。是日在r 抽中唯一的全局最小值点与临界点因 此，我们有 日b ) o ，v r 2 ” o ) ( 2 ，1 1 2 ) 不失一般性，我们在此后本章中假定日( o ) = o ，能量值 o 由( 2 1 6 ) ( 21 7 ) ， 何_ 1 ( ) 上任意闸轨道( lz ) 必定满足 z o ) r 2 “ o ， v r ( 2 1 1 3 ) 由d ( y o 及q 三 q i p i y (