（基础数学专业论文）orlicz空间的若干凸性与光滑性的研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 b a n a c h 空间的凸性与光滑性研究是b a n a c h 空间几何理论中的重 要内容之一b a n a c h 空间几何理论的研究是从b a n a c h 空间单位球的凸 性开始的，由于凸性具有非常鲜明的直观几何意义，所以凸性的研究 吸引了无数的数学工作者，人们详细地讨论了各种凸性的性质和它们 在最佳逼近以及不动点理论中的应用；而光滑性，一方面作为凸性的 对偶性质而被提出，另一方面，它与范数( 它是一种特殊的凸函数) 的各 种可微性质有密切的联系，因此也得到了深入的研究 到目前为止，b a n a c h 空间的凸性与光滑性研究已比较完善，但是 o r l i c z 空间作为一类特殊的b a n a c h 空间，关于它的凸性与光滑性研究 还存在着待于研究的一些问题，0 r l i c z 空间所具有的性质及其它具有某 种凸性或光滑性的判据是一般b a n a c h 空间的直观材料，又由于生成 o r l i c z 空间的函数几乎涵盖了所有的b a n a c h 空间类，所以它是b a n a c h 空间理论的一个内容丰富的模型摩，而且研究o r l i c z 空间几何性质的 方法和技巧对b a n a c h 空间几何学研究有很好的借鉴作用 众所周知，在o r l i c z 空间中有两种等价的范数，即o r l i c z 范数f j l 肼 与l u x e m b u 唱范数f j j | ( m ) ，而且在o r l i c z 空间中已经研究了b a n a c h 空 间中所引进的绝大部分凸性与光滑性，但还有一些凸性与光滑性尚未 在o r l i c z 空间中讨论，因此o r l i c z 空间的几何性质的研究还不够完善， 本文进一步探讨了o r l i c z 空间中某些凸性与光滑性，并研究了它们与 已知凸性与光滑性的联系，得到了较好的结果，全文共分为四章 第一章：预备知识 第二章：本章中给出赋l u x e m b u 唱范数的0 r l i c z 空间的紧一致凸、 内蒙古师范大学硕士学位论文 弱紧一致凸、紧局部一致凸、弱紧局部一致凸和七一d r o p 凸的判据，并 且据此得到在o r l i c z 空间中这些凸性的等价关系 第三章：本章中给出赋o r l i c z 范数的0 r l i c z 空间的宓非常凸、足一 d r o p 、紧( 弱紧) 一致凸、紧局部( 弱紧局部) 一致凸的判据，并且得到在 o r l i c z 空间中这些凸性的等价关系 第四章：本章中给出赋0 r l i c z 范数与赋l u x e m b u r g 范数的某些光 滑空间( 如意一致光滑，七非常光滑，七一致极光滑等) 的判据，并且 得到在0 r l i c z 空间中这些光滑性的等价关系 关键词：0 r l i c z 空间，紧一致凸，七一d r o p 凸，七一致光滑，尼非常 光滑，尼一致极光滑 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ye x p l o r et h ec o n v e x i t ya n ds m o o t h n e s so f o r l i c zs p a c e s ，a n dd i s c u s st h e i rr e l a t i o n so fs o m ec o n v e x i t ya n dm o o t h n e s s ， w h i c hh a v eb e e nk n o w n i nt h ep r o c e s so fm ys t u d y ，ih a v eo b t a i n e ds o m e p r o d u c t i v er e s u l t s t h i sp 印e rc o n s i s t so ff o u rp a r t s c h a p t e ro n e ： i nt h i sc h a p t e r ，t h eb a s i c a ld e n n i t i o n sa n dn e c e s s a 巧 l e m m a sa r ei n t r o d u c e di nt h ep a p e r c h a p t e rt w o ： i nt h i sc h 印t e r w eg i v et h ec r i t e r i af o rs o m ec o n v e x i t i e s o fo r l i c zs p a c e sw i t hl u x e m b u 唱n o m ，s u c ha s ，c o m p a c tu n i f o m l yc o n v e x i 够；w e a k l yc o m p a c tu n i f o r m l yc o n v e x i t y ；c o m p a c tl o c a l l yu n i f o r m l y c o n v e x i t y ；w e a k l yc o m p a c tl o c a l l yu n i f o m l yc o n v e x i t ya n d “d r o pc o n v e x i t y a n db yi tt h ee q u i v a l e n c eo fc o n v e x i t i e si nt h e0 r l i c zs p a c e sa r eo b a i n e d c h a p t e rt h r e e ： i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h ec r i t e r i af o rs o m ec 。n v e x i t i e s o f o r l i c zs p a c e s w i t ho r l i c zn o n n ，s u c ha s ，“v e 叫c o n v e xs p a c e ，肛u n i f o m 1 ye x t r e m e l yc o n v e xs p a c e ，c o m p a c t ( w e a k l yc o m p a c t ) u n i f o m l y c o n v e x i 一吼c o m p a c t ( w e a k l yc o m p a c t ) l o c a n yu n i f o r m l yc o n v e x i t y a n db yi tt h e e a u i v a l e n c eo fc o n v e x i t i e si nm eo r l i c zs p a c ea r eo b a i n e d e q u l v a l e n c eo tc o n v e x l t l e sl nt n eu r l l c zs p a c ea r eo d a l i l e u c h a p t e rf o u r ： i nt h i sc h 印e r ，w eg i v et h ec r i t e r i af o rs o m es m o o t h n e s s o fo r l i c zs p a c es w i t h0 r l i c zn o mo rl u x e m b u 唱n o r m ( f o re x 锄p l e ，肛u n i f o m l ys m o o t h ，舡v e 拶s m o o t h ，七一u n i f o r m l ye x t r e m e l ys m o o t h ， e t c ) a n d b yt h ee q u i v a l e n c eo fs m o o t h n e s s i nt h eo r l i c zs p a c e sa r eo b a i n e d k e yw o r d s ： o r l i c zs p a c e s ，c o m p a c tu n i f o r m l yc o n v e x ，肛d r o pc o n v e x ， 缸u n i f o r m l ys m o o t h ，肛v e 巧s m o o t h ，肛u n i f o r m l ye x t r e m e l ys m o o t h 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：日期：勿鲥多年j _ 月) ；日 关于论文使用授权的说明 摊釉伊言雾嫦已日 o r l i c z 空间的若干凸性与光滑性的研究 引言 b a n a c h 空问的凸性与光滑性的研究是b a n a c h 空间几何理论中的重要研究内容 之一，b a l l a c h 空间几何理论的研究( 当然包括凸性与光滑性的研究) 最早是从 b a n a c h 空问单位球的凸性开始的，由于凸性具有非常鲜明的直观几何意义，所以 吸引了无数的数学工作者对此问题的研究，自1 9 3 6 年j a c 1 a r k s o n 引入了一致凸 空间以来，至今已定义出很多凸性，并且详细地讨论了各种凸性的性质和它们在 最佳逼近以及不动点理论中的应用；而光滑性，一方面作为凸性的对偶性质而被 提出，另一方面，它与范数( 是一种特殊的凸函数) 的各种可微性质有密切的联系， 因此也得到了深入的研究，到目前为止b a n a c h 空间的凸性与光滑性研究已经比较 完善 1 9 3 2 年波兰数学家w o r l i c z 为了解决积分方程的有关问题，从实际出发最先 引入了o r l i c z 空间i l j ，o r l i c z 空间是一类b a n a c h 空| 白j ，并且是空间的推广，o r l i c z 空间所具有的性质及其它具有某种凸性或光滑性的判据是一般b a n a c h 空间的直观 材料，又由于生成o r l i c z 空间的函数几乎涵盖了所有的b a n a c h 空间类，所以它是 b a n a c h 空间理论的一个内容丰富的模型库，而且研究o 订i c z 空间几何性质的方法 和技巧对b a n a c h 空间几何学的研究有很好的借鉴作用 1 9 3 2 年和1 9 3 6 年o r l i c z 给出了厶空间及o r l i c z 范数的定义f 剥，1 9 5 5 年， w a l u x e n 内u 略在他的博士论文中对o r l i e z 空间引入等价的l u x e m b u 瞎范数【3 j ， 并深入的研究和讨论了o r l i c z 空间性质，极大地推进了o r l i c z 空间理论的研究与 此同时，m a k r a s n o s e l s k i i 和y a b r u t i c l ( i i 为了求解非线性分析若干问题，系统的 研究了不满足，条件的o r i i c z 函数生成的0 r l i c z 空问，并于1 9 5 8 年出版了第一本 关于o r l i c z 空问理论的专著凸函数与o r l i c z 空间l 引，该专著高度地概括和总 结了前人的工作，这一专著的出版标志着0 r l i c z 空间理论已基本形成 六七十年代，0 r l i c z 空间理论又有了重要的发展，得到了许多重要的结果，进 入八十年代以来，在所有从事o r l i c z 空间研究的数学工作者的共同努力下，使o r l i c z 空间理论特别是几何理论得到了长足发展特别是吴丛忻、王廷辅的o r l i c z 空间 内蒙古师范大学硕士学位论文 及应用【5 】与吴丛圻、王廷辅、陈述涛和王玉文的o r l i c z 空f 日j 几何理论f 引，以 及陈述涛的g e o m e t r yo f o r l i c zs p a c e s 【7 l ，这三部专著的相继问世，极大地丰富 了o r l i c z 空间理论特别是几何理论，使之更加完善、更加系统，也使中国哈尔滨 成为o r l i c z 空间的研究中心之一同时，它的应用范围出小扩大，已渗透到了积 分方程、偏微分方程以及逼近论、概率论和控制论等许多数学分支 众所周知，在o r l i c z 空间中经常研究和讨论的范数有两种，即o r l i c z 范数1 1 1 | m 与l u x e m b u r g 范数| i 1 l 。肘，虽然f 1 | i m 与l | 。m ，是等价范数，但其凸性条件却不同，这 显示了两种范数的深刻差异到目前为止，在o r l i c z 空| 、日j 中已经研究了b a n a c h 空 间中所引进的绝大部分凸性【8 卜f 1 9 】，在上述两种范数下o r l i c z 空间的各种凸性之问 的关系如下： 一、赋l u x e m e n g 范数下的各种凸性及其等价性： 一致凸( 凇) 七一致凸( 七獬) 铮m ( “) 二且m ( “) 足致凸1 8 1 ； 平均一致凸铮m ( “) ：且m ( 甜) 是一致凸【9 】； 弱一致凸( 形獬) 铮弱七一致凸( 脓凇) m ( “) ：n v ：且m ( “) 是严格凸【1 0 j ； 局部一致凸( 獬) 铮局部七一致凸( 肌凇) m ( “) 2 且m ( “) 是严格凸。1 ； 中点局部一致凸( 尬凇) 铮中点局部七一致凸( 尬| j 獬) 铮m ( “) ：且m ( 甜) 是严格凸； 弱局部一致凸( 耽凇) 弱局部七一致凸( 耽七凇) 营m ( “) ：且m ( “) 是严格凸； 严格凸铮七严格凸营m ( 甜) ：且m ( “) 是严格凸f 5 1 【s l ； 日严格凸m ( “) ：且m ( 甜) 是严格凸i 1 ； 局部完全七凸( 解) 弱局部完全七凸( 耽肷) 舒肘( 甜) ：且肘( 甜) 是严格凸【f 9 】 二、赋o r l i c z 范数各种凸- | 生及其等价性： 2 o r l i c z 空间的若干凸性与光滑性的研究 哪( 咖) 铮七一致凸( 后嗽) 铮平均一致凸营弱平均一致凸 弱一致凸( 矽凇) 弱觅一致凸( 胍獬) m ) ：且m ( 甜) 是一致凸【9 】1 1 6 m ； 局部一致凸( 三獬) 铮局部七一致凸( 觇侬) 铮m ( 甜) ：n v ：且m ( “) 是严格凸【8 1 ； 中点局部一致凸( 尬凇) 中点局部克一致凸( 尬七獬) h 严格凸m ( “) ：且m ( “) 是严格凸叫； 严格凸尼严格凸营m ( 甜) 是严格凸【5 l 【1 6 】； 局部完全七凸( z 艘) 弱局部完全尼凸( 脱肷) m ( 甜) ：n v ：且m ( “) 是严格凸 根据已有的文献和b a n a c h 空闯中各种凸性的定义及凸性之闻的关系，本文中 研究o r l i c z 空间中尚未讨论过的凸性或未弄清相互之间关系的凸性，并讨论它们 与o r i i c z 空间中已研究过的凸性之间的关系相应地，也研究光滑性方面的问题由 于在o r l i c z 空间中有两种范数，即o r l i c z 范数；1 | l ，与l u x e m b u r g 范数( m ) ，所以 本文在上述两种不同范数下讨论o r l i c z 空间的若干凸性与光滑性，全文共分为四 章，论文撰写提纲及主要内容如下： 第一章：预备知识 介绍文章所涉及的基本概念 第二章：赋l u x e m b u 唱范数的0 r l i c z 函数空间若干凸性 本章给出赋l u x e m b u r g 范数的o r l i c z 函数空间的紧一致凸、弱紧一致凸、紧局 部一致凸、弱紧局部一致凸和后一d r o p 凸的判据，并且据此在0 r l i c z 函数空问中得到： 材) 是锨埘) 是“职毛) 是舭掀；射 是c 凇m ) 是獬： m ) 是d r o p 凸m ) 是尼一d r o p 凸m ) 是阳獬 铮m ) 是凇，、 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的文章：o r l i c z 空间的若干紧一致 凸性和缸d r o p 凸性( 已投应用泛函分析学报) ， 第三章：赋o r l i c z 范数的0 r i i c z 函数空间的若干凸性 本章给出赋o r l i c z 范数的o r l i c z 函数空间的后非常凸、后一d r o p 凸、( 矽) c 隙和 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( ) 观泺的判据，并且据此在o r l i c z 函数空间得到： 乓是非常凸的毛是尼非常凸的营厶是( 尼+ 1 ) 非常凸的 乓是意一致凸空间厶是獬空间厶是c 凇空间营毛是嬲硼空 间 乓是上凇空间营厶是三七凇空f 刚乓是强凸空间营厶是七强凸空间 乓是非常凸空间是尼非常凸空间毛是沈c 空间厶是尼一d r o p 凸空间乓是c z 凇空间铮乓是聊睨凇空间厶是规凇空间。 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的文章：o r l i c z 空问的若干凸性 ( 已投内蒙古师范大学学报) 第四章：o r l i c z 空间的若干光滑性 本章中给出赋o r l i c z 范数与赋l u x e m b u r g 范数的0 r l i c z 空间救靥，肌硼，七强 光滑，j i 非常光滑，尬珊，尬七硼，一致极光滑与七一致极光滑的判据，并且在 0 r l i c z 空间中得到： 是三嬲乓是肌嬲 乓m ) 是三淞) 是三尼邪 艺m 是m l u s | l ：i m 是m l k u s 毛) 是尬吣肘) 是尬后嬲 m ) 是吣铮m ) 是尼潞铮乓是吣乓是七吣 厶是强光滑营是七强光滑厶非常光滑毛是七非常光滑 m ，是强光滑肘，是足强光滑丘m 户 常光滑肘) 是七非常光滑 肘) 是一致极光滑铮肘) 是七一致极光滑铮乓是一致极光滑乓是尼一致极光滑 4 第一章预备知识 第一章预备知识 先来介绍一下本文中所用到的符号 设x 是b a n a c h 空间，x 是b a n a c h 空间x 的共轭空间，x ”表示x 的二次共轭 空间以：义一x ”典型嵌入，或记作以( x ) = 舅，溉工x 中元列 ) 弱收敛于x 时，记为而l 溉，x 中元列 ) 强收敛于z 时，记为叫x 用s ( x ) 和s ( 彳) 分 别表示石和x 的单位球面，对x s ( x ) ，记( x ) = x + ：x s ( x ) ，x ( x ) = 1 ) 。 么( 五，恐，坼+ 1 ) = s u p 曰( i ，z ，z ) = s u p 烈而，屯，讫+ 1 ) = 雌， 忙 ( 一) 1 i ( 五) ( 五) 1 石( 而) 石( 而) 1 x ：( 而) x ：( x 2 ) 1 z ( 吒+ 。) 五( 以+ 。) 1 x ：( 砟+ ，) 工：( + ，) 11 l 彳( 五)彳( 恐) 彳( 坼+ ，) 以( 而) 五( 而) 五( 以+ ) ：石，以，z + ，s ( x + ) ：五s ( x ) ，1 f 意 ，其中v ，s ( ”) ，江1 ，2 ，七 如果定义在( 埘，+ o o ) 上的函数m ( 甜) 满足以下三个条件：m ( 材) 为偶的连续 凸函数且m ( 。) ：。；若甜。时，膨( “) 。；戮掣= 。，溉掣= 栅，则称 m ( 甜) 为( 一，+ o 。) 上的函数m ( “) 、( v ) 表示一对互余的函数 以m ( “) ：表示m ( 甜) 满足：条件， 即存在宓2 及o 使 a 双勘) 七a 瓤“) ( f 叫) 以m ( 甜) v ：表示m ( “) 的余函数( v ) ：用必( 甜) s c 表示m ( 甜) 在 ( 一o 。，+ o 。) 上是严格凸的，即m ( 竺笋) o ，使得砌( 旯x ) o ，使得以( 见x ) o ，j 万= 万( ) o ，使得v x ， y s ( x ) ， 使得 使得 1 一占时，有l l x y 0 ，厂s ( ) ，3 万= 万( ，s ) o ， 当v w 叫圳半l l l 一汛 定义2 1 3 【2 2 1x 称为局部一致凸的 籼，；叫圳半卜碱 有l 厂( x y ) l o ，x s ( x ) ，3 艿= 万( ，x ) o ， 有忙一y | l o ， 厂膏+ i、 3 万 o ，使得当五，恐，s ( 彳) 且厂 j 尼+ 1 一万时，有彳( 五，而，吒) 0 ，使得 m ( 警) 舻) + 肌) 小f ) ：l 取e ，爿cf 满足曩1u 爿= f 且互1n 爿= 囝，e 1 2 爿， 取e z ，碍c 曩满足鼻2u 霹= 鼻1 ， 曩2n 霹= g ，曩2 。霹， 8 第二章赋l x e m b u 唱范数的o r i i c z 空间的若干凸性 取露，霹c 爿满足口u 曰= 爿，碍n 碍= a ，碍= 砰， 依次类推，对于任意的聆和克，取咒- l 吆c 胃。1 满足瑶一。u 磁= f 1 ， 咒一ln 咒= a ，磁一i = 磁， ( 玎= 3 ，4 ，； 尼= 1 ，2 ，2 ”1 ) 2 一i2 月一l 令钟= u 碌，四= u 冗， ( ，z 。l ，2 ，) f = l j ；l 置x 2 az 矗七bzf 七cz 甜， 吒2 口zgl 一十6zg ；+ c 屁f ， (v 刀) 则愀= ( 枷= 1 因为砌( _ ) = j m ( 口) 衍+ 肘( 6 ) 础+ m ( c ) 加 曰g ； g 、f = 吉( m ( 口) f + m ( 6 ) 厂) + m ( c ) ( g f ) 5 1 ， 圳硼吖) 2 1 ( v 刀 ) ，并且”砒m ) 斗2 但对于任意门，”，刀，”有l l 矗一以l l t 肘，2 f l ( 6 一口) z ，? 9 t 肘，2 j 云尝主三， u j 所以 磊) 不是相对紧的，这与肘，是毗凇矛盾，因此m ( 列) 范。 推论2 2 1 m ) 是眦三凇的m ( “) ：且m ( 掰) 孵 证明必要性因为c z 凇蕴涵严格凸，于是根据引理2 1 1 知，m ( ”) ：且 m ( “) 配 、 充分性由本文定理2 2 1 矢口，若m ( 列) ：且m ( “) - 虻，则吖) 是c 凇的， 从而吖) 是 玖x 獬的 推论2 2 2 m ) 是上凇的耸吖) 是c 上凇的营m ) 是船锨的 2 3 m ，是孵獬的与七一d r o p 凸的判据与其等价关系 定理2 3 1 肘) 是嬲凇的m ( “) ：n v ：且m ( 甜) 孵 证明充分性若m ( 甜) ：n v ：且肘( 甜) 。妃，则由引理2 1 2 知，盯) 是凇 的，于是m ) 是孵凇 9 内蒙吉师范大学硕士学位论文 必要性设吖) 是孵獬，则肘) 是珊吼凇，由推论2 2 1 知，m ( 甜) z 且 m ( “) 跖 下面证明 有正整数列 v m ( “) v ：，即( v ) ：若不然，则( v ) 仨：，假设历p s g = l ，则 。 ：。，满足kf ，且 m ( g ( 1 + 洲拟引， ( ( + 圳划川， ( 1 ) ( 2 ) 这里q ( v ) 是( v ) 右导数，由m ) 阳知，其右导数p ( “) 是严格增的- 下面不妨设g ( + 丢) v 。 是p ( “) 的连续点，c 以5 ，2 ， 酬巾划( ，+ 舯麒右跚小，：孚g ) v ) ， 余函数为m ( “) 2 m 吲一 m 。( g 。( k ) ) + l ( ) = 吼( n ) 即专啪t + 洲专 注意到m ( 甜) 的凸性，并与( 2 ) 结合得 州( t 曲州姗* 雌) 心 ) ， 记g 雌) 小枷忻古m 旧， 1 0 ( 3 ) ，一 + ， ， 卜 ， ， 川 h 卜收 六 g 一旦， ，f - 一r_北一了 m 膨 ，一、 h 矿 ， 一疗 +i ，一 ，一， ，一2 膨 一尹 慧， 沪， 由( 1 ) 得，m ( 群。) 2 “1 可将g 分成互不相交的集列 瓯 二。， 掰2 s q 2 面南， ( 摊2 l ，2 ，) ， 又将q 等分成互不相交的q ，q 。，且朋船q 2 朋鲫g ”2 万b ，( 胆_ 1 ，2 ，) ， 置 z ( x ) 2 甜。zg ：( x ) ， 邑( x ) 2 zq ：( x ) ， 则氏) = 风( 岛) = l ， 所以z ，岛s ( 厶) ， 又由( 4 ) 知， ( 聍= l ，2 ，) ， ( ，z = l ，2 ，) ， p c 掣笋肛2 m ( 小母2 士，竽，南寺， 故8 华忆观 取故功= ( 瓴( 功一钝( x ) ) ，则由( 2 ) ，( 3 ) 及m ( 甜) ：知， ，；1 胎啪2 喜2 脚船哪喜专帅知胁q 善嘉，谢2 喜嘉盯= l 二n _ k “月， = l 二 ( 川) 喜击。2 ( 川) ， 由文 5 】知，办磊，然而 几z o ) 一繇( x ) ( x ) 出= 2 聊p s q g ：2 掣止 l ，( 例，2 ，) ， = 一一，1 i 甩一1 z - o ( 1 + 二) m ( “。) l + 二 于是z - g 。_ o 不成立，故 z 不是相对弱紧的，这与材，是船凇的假设 矛盾，因此( v ) ：，即m ( “) v ： 丝j d 业抛 纠 以 0 内蒙古师范大学硕士学位论文 定理2 - 3 2 m ) 是七一d r o p 凸的m ( “) ：nv ：且m ( 甜) s c 证明 充分性设m ( 列) ：nv ：且膨( 群) t 贮，则出文 5 知，五吖，是自反的， 再由引理2 1 1 失日，m ，自反且七严格凸，由文【2 6 】知，m ，是东一d r o p 凸的 必要性设m ) 是j 一d r o p 凸的，由文 2 6 知，肘，具有日性质，由 1 4 】定理1 知， ，) 具有性质蕴涵m ( 甜) ：且m ( 甜) 职，所以只需证明肘( “) v ：即可 若不然，则m ( “) 区v ：，于是存在甜。t ，使得( ( ，+ 吉 甜，) 2 2 ”( “。) ， ( ，z2 1 ，2 ，) 取矗 o ，使得g = ，g ：；秭 ) j d ) 具有正测度将q 分为七个测度相等且 两两互不相交的子集g l ，g ：，g ，取口cg ，且g ，h2 可名毛万， ( f = 1 ， 2 ，七；，z = 1 ，2 ，) 置肿) = 塾测州班l ，且对v 纠渤朋班吣， 取奇异泛函，扎1 ，满足哆) = 岛o 令，lg ：( 只) = ，( z 石i ) = 9 ( 只) = 6 f ，( f = 1 ，2 ，七) 设，= 由，ig ，记f = ug ? ，则1 i m e ，”= o ，( ，= 1 ，2 ，七) 耿满足 n n月- f 而o = 寺( 1 + 肌( ) ) ，令x 沁) = ( f ) 、。? + 去小，) z 。? ( 吐( f = l ，2 ，后) ， 则8 f 扎丢( 1 + 肌( 彳) ) = 去( 1 + 风( 七0 而石抛? ) + 所( 只铂) ) ，其中p ( 以? ) 寸。， 因为l i m f = o ，( 净1 ，2 ，七) n 砷 所以! 骢s u pl k 虬s 去( 1 印，v ( ) ) = 1 又因为七+ l = ( + x ? + + z ；) + z ? + + x 刈一七十1 ， 所以( x ? ) 一七+ 1 但是 第二章赋l x e m b u 唱范数的o r l i c z 空间的若干凸性 低，群，) l1 1 q ) 屯衅) q 叼) ： 哦) 哦w ) 哦吣) 因为q ( 矽一) 2 q ( + 去卫锄) ，当 所以，c 一而，2 去，c 只，= 专 电w 一而) 吗吣一而) 屯吣一) 哑w 一而) 也叼一) 啦吣一) ： ： 哦鲥一) 哦叼而) 哦吣一而) f f 时，i ( f ) l d ，而z z f 蚪e ， ( f = 户 ( f ，) 故彳( ，彳，) 亩f 6 l 6 2 6 f o ，这与肼) 是七一d r o p 凸相矛盾， 所以m ( 甜) v ： 推论2 3 1 m ) 是d r o p 凸的 f ) 是尼一d r o p 凸的 证明显然有盯) 的d r 叩凸性蕴涵m ，的七一d r o p 凸性反之，若盯，是后一d r 叩 凸的，则由本文定理2 3 2 知，m ) 是七一d r o p 凸的m ( “) ：nv ：且m ( “) 。妃 由引理2 1 1 知，m ) 是严格凸的，在由文 2 7 】知，严格凸的尼一d r o p 凸空间d r 叩凸的， 故肘) 是d r o p 凸的 推论2 3 2 肘) 是d r o p 凸的盯) 是七一d r o p 凸m ，是肥獬凸的m ) 是獬凸的 2 4 毛，是c 锨的判据及其等价关系 定理2 4 1 m ) 是c 獬的m ( z ，) ：且脯( 甜) 是一致凸的 证明充分性若m ( “) ：且m ( “) 是一致凸的，由引理2 1 3 知，m ) 是锨的， 所以肘) 是c 獬的 必要性 若 ) 是c 凇的，则m ，是耽凇的，于是显然有m ( 甜) ： 下面证明m ( “) 是一致凸的，若m ( “) 是非一致凸的，则存在 o ， o 和 实数，u ，满足i 一j 占m a x ( k | ，h 1 ) 占，使得 m ( 华) ( 1 一三) 坐掣，( 纠，2 ，) ， ( 5 ) z胛z 内蒙古师范大学硕士学位论文 不妨设v o ，对所有刀成立并且吾m ( 占) g = 口s 1 则圭( 肘( ) + m ( ) ) g 三m ( 占) g = 口， 于是存在瓯cg ，o q ，g ，使 得m ( 丝笋) 瓯= 口1 ，选取z ，o ，使得 1 妄( 吖( 砧。) 十m ( k ) ) g 。+ 肘( 吃) ( g g ) = 1 将g 。按测度等分成为两个互不相交的可测子集q 和嘭，构造两个函数 ( ) 。( ) + 心蚀( ) + 以) ，( ) 2 心锄( ) + 锄( ) + 吃，( 7 ) ， 则由( 6 ) 式有， 助( ) = 三( 肘( ) + m ( k ) ) g 。+ m ( z ，) ( g g ，) = 1 ， 砌( 虬) = 委( m ( ) + m ( v ，7 ) ) g 。+ m ( z ，) ( g 瓯) = 1 因为m ( “) ：，所以l f 吒f f 。m ，= | j ，ij 。肘，= 1 由( 5 ) 式有 几( 五专毖) = m ( 丝孚) g ，+ m ( 以) ( g q ) ( 1 一上) 丝垒皇望丛生瓯+ 彤( d 。) ( g 瓯) 、 姐72 7” 、”川、 “7 ：( 1 一三) 丝掣q + m ( 以) ( g g ，) 】 ，7z + 三m ( 或) ( g 瓯) 1 一! ， 玎聆 断， | | 半k 汁知c 行删 取吼 o ，使得l b 五矗( f ) l | = l ，( f = 1 ，2 ，) ， 则由特征函数的范数计算公式有，l | o _ 2 ；i i 孝丽而 且矗( f ) 一y 。( f ) ) 口行z ( f ) 班= 且一) ( 钕( f ) 一强o ) ) o ) 破 g g = 圭( 旷) 刚g ，三砜q ， 1 4 第二章赋l x e m b u 唱范数的o r i i c z 空间的若干凸性 由( 6 ) 式和假设条件知m ( 甜。) q l m ( 吨) ( g 瓯) = 口，注意到o 0 ， z s r ( ) ，彳，石，z s ( z ) ，j 万= 文五彳，彳) 0 ，使得当s ( ，o = 1 ，2 ，尼+ 】) ， 卜8 2 ”p ( 甜，7 ) ，c 门= ，2 ， 不妨认为p ( “t ) l ，取g 的一列两两互不相交的子集q ，满足g ，2 可爹南 酬沪茎爱卜1 ，2 ，棚班t 且心) ， 忆赢，于胁她) 腼忙= 如几( 刎_ 1 ，挺晰 口鲁 j 置x j = x + i “一，砘 型_ ，忆= 妻( 1 + 砌( 奴) ) + 膨( + ，) 瓯+ ，一l 且+ x 忆专2 ， 但。秭一忆= 丢( 1 + 砌( 尼( 矗一) ) ) 丢，因此 x ， 不是相对紧的，这与毛是 以锨空间相矛盾，故m ( “) 2 下面证明m ( “) v ：。 若不然，则存在个o o ，使号黜 2 ”，( = 1 ，2 ，) 取c o ，g oc g ，( g g o ) 0 ，( 尸( c ) ) g o = l ， 再取g 。cg g 。，“。p ( 甜。) g 。= l ，从而( 尸( 甜。) ) g 。 o ，满足1 = 恢= ( 1 十砌( ) ) ， 由于m ( ( f ) p 0 = l ，易知，存在d o ，使 f g ，i j o 又 6 由于膨( “) 仨：，故存在“。 o 且秘。个，满足m ( 知。) 2 ”吖( 甜。) ，( 肛= i ，2 ，) 2 0 第三章赋o r ii c z 范数的o r i c z 空间的若干凸性 一 不妨设南 。及个，满足p ( ( 1 + 占) ) ( i + 去) p ( ) 取c 。，g 。c g 且“) o ，满足( p ( c ) ) g o = ，取gc 乡乞，使( 1 + s ) “( ( - + s ) ) q = 吉， 显然 ( p ( ( 1 + 占) “。) g 。) 为正有界列，不妨设其为递减收敛列， 即 ( p ( ( 1 + s ) 甜。) q ) = d ，o d 吾 取满足qcg 0 ，使( p ( c ) ) q + ( p ( ( 1 + 占) 材。) ) g 。= 1 ，易证g ：个，由 此可取qcq + 。且q 个，qcg o ，使( p ( c ) ) 嘭= l 一仃令 1 吒= c p ( c ) g ：+ ( 1 + 占) 甜。p ( ( 1 + 占) 甜。) g 。， 吃= 印( c ) q + p ( “。) q ， 由于印( c ) 码吃吒印( c ) 胝+ 三，故 k ) ， ) 均为有界，不妨设吃寸尼，吃一办， 又吒一级占甜。p ( ( 1 + 占) ) 瓯去去，可知尼 办 2 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 令2 去( c 钝( ，) + ( + s ) 屁。( r ) ) ，虬2 专( c z g ：( r ) + 甜。苁i ，( ，) ) ， 则k 2 专( 印( c ) 心+ ( 1 + 占) p ( ( i + s ) ) g ) = 1 ， k = 去( 1 + 风( 吃虬) ) 2 去( 一( p ( c ) ) 戚) + ( p ( ( 1 + s ) ) ) 眶+ m ( c ) 戚+ m ( ) g 。 由2 ，( p ( ( “。) ) ( ( ，十吉) p 以) - ( 1 鸲) ( 出。) ) 。一。， 所以l f 儿忆专( 印( c ) q + ( 1 + 占) p ( ) 瓯) = l + 巳，即甄| i 侧毗2 b 坝毗胞+ ( 半+ 鼽讯心) 叫 毒( 印( c ) 戚+ ( i + 。p ( ( ( 1 + 。) ) ) + 毒( 印( 。戚+ p ( ) 鹏) = 2 故。儿鼽一，o + 咒一2 ，8 一只( 丢一去) c 钯，但( 去一去) c 石不收敛于零， 这与毛是c 嗽的矛盾，故m ( “) 是一致凸的 定理3 3 2 乓是孵凇空间m ( “) ：且m ( 甜) 是一致凸的 证明必要性设乙是船凇空间，由文献 2 3 知，肥咖空间f 玖z 凇空 间，于是由引理3 1 6 知，是露非常凸的由文献 2 9 】的定理3 8 知，七非常凸 空间j 形舰七獬空间，由引理3 1 2 和引理3 1 5 知，矗具有性质，于是是 c 凇空间，由本文定理3 3 1 知，m ( “) ：且m ( “) 是一致凸的 充分性设m ( “) ：且m ( “) 是一致凸的，于是由本文定理3 3 1 知，匕是 c 凇空间，再由文献【2 3 】知，c 凇空间孵锨空间，所以是眦凇空间 推论3 3 对赋o d i c z 范数f f | l 的o r l i c z 空间毛，下列命题等价： ( 1 ) m f “) ，且m f “) 是一致凸的；( 2 ) ，是七一致凸空间； ( 3 ) 厶是职空间；( j ) f 是c 凇空间； ( 5 ) 是孵獬空间 第四章0 rj i c z 空间的若干光滑性 第四章o r l i c z 空间的若干光滑性 4 1 有关定义及其引理 定义4 1 1 b a n a c h 空间x 称为一致光滑的( 潞) ，如果对任何占 o ，了万 o ，使得当x s ( ) ，。 秒o o ，使得当i ，葛，s ( x ) ，8 i + 葛+ + + 。( 七+ 1 ) 一万时， 有 b ( 薪，t ，卅) o ， x s ( x ) ，x ( x ) ，j 万 o ，使得当，) ，忙+ i + + 0 ( 尼+ 1 ) 一万时，有 彳( i ，五，) 0 ，x - ，f ，j 万 o ，使得当# ，s ( ) ，i f + i + 斗+ ，| | + 1 ) 一万 时，有以x ，i ，) o ，戈s ( x ) ，x ( x ) ，存在当占 o ，使得当x i ，x ：+ s ( x ) ，且满足 l x 一( 七+ 1 ) 。1 ( # + + 。) j | o ，使得当葛，x ：+ ，s ( x + ) ，且满足 牡。一( 七+ 1 ) 一( x ：+ + ；) l l 万时，有d ( i ，葛，+ ，) 占 定义4 1 15 f 3 8 1b a n a c h 空间x 称为尼强光滑( 解) ，如果为七光滑且对任何 z s ( 彳) ，当 z ) cs ( x + ) ，z ( 力一1 ( 刀_ o 。) 时，有 z ) 是相对紧集 定义4 1 1 6 f