（基础数学专业论文）周期齐次线性微分方程解的性质.pdf

，( 七) + a 七一2 ，( 七一2 ) + + a 。，( 。) + + 山，= 0 的任意两个线性无关解 ，厶满足入。( 尼) a e ( a 。) 关键词：周期线性微分方程；e 一型级；e 一型零点收敛指数；线性无关 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o p e r t yo fl i n e a r l yd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n s ( z ) a n d ( z + 2 r i ) f o rh i g h e r - o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，( 七+ a 七一2 ，( 七一2 + + a 1 + 山，= 0 w i t hp e r i o d i ce n t i r ec o e f f i c i e n t s ，w h e nc o e f f i c i e n ta 1o fe q u a t i o ni st h ed o m i n a n t c o e 伍c i e n t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o rh i g h e r o r d e rp e r i o d i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dp r o v et h a tu n d e rc e r t a i nh y p o t h e s e s ，w h e nc o e f f i c i e n ta 8 o fe q u a t i o n ，( 知) + a 七一2 ，( 一2 ) + + a s ，( 8 ) + + 山，= 0 i st h ed o m i n a n tc o e f f i c i e n t ，t h ee - t y p ec o n v e r g e n c ee x p o n e n to fz e r o so ft h ep r o d u c t o ft w ol i n e a r l yi n d e p e n d e n ts o l u t i o n ss a t i s f y sa e ( ，2 ) c r e ( 4 8 ) k e yw o r d s ：p e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；e t y p eo r d e r ；e t y p ee x - p o n e n to fc o n v e r g e n c e ；l i n e a r l yi n d e p e n d e n t 和芬 析的 布理 深化 内外 周期 系数线性微分方程进行了许多研究，如文 1 - 3 ，得到了许多漂亮的结果对高阶周 期系数线性微分方程解的研究甚少b a n k 和l a n g l e y 在文 4 中研究了高阶周期 系数线性微分方程 ，( 七+ a 七一2 ，( 七一2 + + a 1 ，+ a o ，= 0( k 2 ) ( o 1 ) 的解的线性相关性，得到了一系列重要结果，其中一个结果是，在a d z ) 和a j ( z ) c = 1 ，2 ，k 一2 ) 满足一定条件时，存在整数q ：1 g k ，使得f ( z ) 和f ( z + q 2 r i ) 线性相关一个自然的问题，当q = 1 时，l ( z ) 和l ( z + 2 7 r i ) 的线性相关性将如 何? 高仕安在文 5 中研究了高阶周期系数线性微分方程 u ( 奄) + a ( z ) w = 0 ( k 3 )( 0 2 ) 的解f ( z ) 和，( z + 2 1 r i ) 的线性相关性及零点收敛指数陈宗煊在文 6 】中考虑了 当山是e 。的多项式时，方程( o 1 ) 的解l ( z ) 和f ( z + 2 7 r z ) 的线性相关性本文 作者在a 1 是e 。的多项式以及在a ，是e 。的超越函数的条件下分别研究了方程 ( o 1 ) 的解的线性相关性，也得到了与文 6 】中类似的结果 关于高阶周期系数线性微分方程( o 1 ) ，陈宗煊和高仕安在文 7 中，得到了 当方程( 0 1 ) 的系数在某些假设条件下，方程( 0 1 ) 不存在两个线性无关解满足 l o g + n ( r ，志) = d ( r ) 为了更好地研究周期系数线性微分方程解的性质，b a n k 和l a n g l e y 在文 4 中初步涉及了一个e 一型级概念， 2 0 0 2 年，蒋翼迈和高仕安在文 1 中比较确切 地提出了e 一型级和e 一型零点收敛指数的概念，并利用其研究二阶周期系数线性 微分方程 u ”+ a ( z ) w = 0 ， ( 0 3 ) 得到了一系列重要结果陈宗煊在文 6 6 中首次使用e 一型级来估计方程( o 1 ) 的 解的增长性肖丽鹏在文 8 中，研究了方程 ，( 知+ a 七一2 ，( 七一2 + + a 。，( 8 + + a 1 ，+ a o ，= 0( 七3 )( o 4 ) 在系数a 1 或者a 。( s 【2 ，3 ，k 一2 ) ) ( 此时k 4 ) 起控制作用时，方程的解的 线性相关性本文作者受文【7 和文 8 的启发，研究了当高阶周期系数线性微分 方程( 0 4 ) 系数a 。( s 【2 ，3 ，七一2 ) ) 起控制作用时，方程( 0 4 ) 的任意两个线 性无关解乘积的e 一型零点收敛指数满足a e ( ，2 ) a r e ( a ) 本文使用n e v a n l i n n a 值分布理论的标准记号【9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，在下文中将不加 声明地使用这些标准记号 ( 1 1 ) ( 1 1 ) 的解的表示和复振荡性质 对于超越型二阶周期线性微分方程解的性质及复振荡的研究，1 9 9 0 年高仕安 在文 3 】中取得突破，该文证明了以下结果 定理1 1 设a ( z ) = b ( e ) 是周期为2 7 r i 的整函数并且是e ：的超越函数，即 b ( c ) 是超越函数且在0 o 。内解析，满足 一l i ml o g l o g m ( r , a ) 1 。 1 a ) 若方程( 1 1 ) 有解厂( z ) ( 0 ) 且满足a 。( ，) 盯( 夕2 ) ，那 么f ( z ) 和f ( z + 2 7 r i ) 线性相关 ( b ) 对( 1 1 ) 的任意两个线性无关解 ，厶，有 a 。( f l f 2 ) 盯( 夕2 ) 1 中两个经典结论就是： 定理1 3 假设k 2 ，a o ( z ) ，九一2 ( z ) 是周期为2 1 r i 的整函数如果方程 ( 1 2 ) 有解f ( z ) 0 ，且以下条件( i ) 或( i i ) 成立： ( i ) 当是酽的非常数有理函数时，满足a 1 ，a 一2 是常数，且，还满足 。g + ( r ，手) = 。c r ，； ( i i ) 当a o 是e 。的超越函数时，满足存在无限测度集l 1 ，使得当7 l 1 ，且 r 一时，有t ( r ，鸟) = o t ( r ，a o ) ) 0 = 1 ，k 一2 ) ，且，还满足 b g + ( n ；) 刊吐 则存在整数g ( 1 q 尼) ，使f ( z ) 和f ( z + q 2 ，r i ) 线性相关 定理1 4 假设k 2 ，a o ( z ) ，a 一2 ( 名) 是周期为2 戒的整函数，a o ( z ) 是 e 。的的超越函数且满足 1 2 c 0 ) 次多项式，且n 不能被k 整除；a 1 ，a 七一2 为常数如果 ，( 名) ( 0 ) 是微分方程( 1 2 ) 的解且满足 l 。g + ( r ，7 1 ) = 。( r ) ， 那么f ( z ) 和f ( z + 2 r i ) 线性无关，且观( ，) = 1 和c r e ( ，) = 警 肖丽鹏在文【8 中，分别研究了当高阶周期线性微分方程( 1 2 ) 的系数a 1 或 者a 。( 8 2 ，3 ，k 一2 ) ) 起控制作用时的情况，得到了以下结果： 定理1 7 假设k 3 ，a o ( 0 ) ，a 2 ，a k 一2 为常数，a l 是周期为2 而的 非常数周期整函数，且是e 。的有理函数如果i ( z ) 是微分方程 ，( 七+ a k - 2 ，( k - 2 ) + + a 1 + a o i = 0( 1 5 ) 的解且满足 a ( ，) 1 ， 那么存在整数q ：1 q k ，使得f ( z ) 和i ( z + q 2 7 r i ) 线性相关 定理1 8 假设k 3 ，a o ( 0 ) ，a 1 ，a k 一2 是周期为2 r i 的非常数周期 整函数，且满足 m a x a 。( a j ) 0 1 ) ) a r e ( a 1 ) o 。 如果，( z ) ( 0 ) 是微分方程( 1 5 ) 的解且满足 入。( ，) c r e ( a 1 ) ， 那么存在整数q ：1 q k ，使得( z ) 和f ( z + q 2 7 r i ) 线性相关 定理1 9 假设k 4 ，8 2 ，3 ，k 一2 ) ，a o ( 0 ) ，a 一2 是以2 r i 为 周期的整函数，满足 m a x z e ( a j ) 0 s ) ) c r e ( a ，) + o 。 如果f ( z ) 是微分方程 ，( 2 ) + a 七一2 ，( k - 2 ) + + a 。，( 。) + + a o f = 0 ( 1 6 ) 的超越解且满足 入。( ，) o r e ( 凡) ( 1 7 ) 那么存在整数q ：1 q k ，满足y ( z ) 和f ( z + q 2 r c i ) 线性相关 定理1 1 0 设k 之4 ，8 2 ，3 ，k 一2 ) ，( k 一8 ，8 1 ) = 1 ( 即k 一8 和 8 1 互质) ，a o ( 0 ) ，a 一2 是以2 而为周期的整函数，满足 m a x c r e ( a j ) 0 s ) ) c r e ( a ) + ， 进一步假设a a z ) = 马( e 。) = s a c ) = 岛( ( ) + 乃( ) 0 = 0 ，k 一2 ) ，其中 岛( t ) ，毋( t ) 为整函数且满足 m a x 盯( g j ) 0 s ) ) o - ( v 。) 去，( s _ 2 ，3 ，k 一2 ) ) - 如果f ( z ) 是方程( 1 6 ) 满足( 1 7 ) 的超越解，那么，( z ) 和，( 名+ 2 而) 线性相关 陈宗煊和高仕安在文 7 】中对高阶周期系数线性微分方程( 1 2 ) 进一步研究， 得到了以下结果： 定理1 1 1 假设七2 ，a j ( z ) = s j ( e 2 ) = 马( e ) ，e = e 。，s j ( e ) = g j ( e ) + 毋( ) 0 = 0 ，1 ，k 一2 ) ，其中嘭( t ) 和g j ( t ) 是整函数且以下的条件( i ) 一( i i i ) 成立： ( i ) g o ( t ) 超越且a ( a o ) 0 ，那么存在0 0 ，0 ( t ) 为多项式或者满足盯( q ) 0 ，g j ( t ) 为多项式或者满足口( g j ) m o z a ( a o ) ，盯( 卯) ) ，其中g o ( t ) 是任意正整数 那么方程( 1 2 ) 不存在满足( 1 3 ) 的两个线性无关解 ( 名) ，止( z ) 当上面的条件( i ) 一( 刎) 中的g j ( t ) 与g a t ) ( j = 0 ，尼一2 ) 互换时，定理 1 1 1 的结果仍然成立 推论1 1 2 假设七2 ，如( z ) = b j ( e 。) = b j ( ( ) ，( = e 。，b j ( ( ) = q ( ) + 9 j ( ；) 0 = 0 ，1 ，尼一2 ) ，其中g j ( t ) 和g j ( t ) 足整函数且以下的条件( i ) 一( 捌) + 成立： ( t ) 4g o ( t ) 超越且满足a ( a o ) 0 ，q ( t ) 为多项式或者满足盯( q ) 0 ，g j ( t ) 为多项式或者满足盯( 仍) m a x o ( g o ) ，盯( 夕o ) ) 那么方程( 1 2 ) 不存在满足( 1 3 ) 的两个线性无关解 ( 名) ，尼( z ) 当上面的条件( t ) 一( i i i ) + 中的q ( t ) 与毋( ) 0 = 0 ，k 一2 ) 互换时，推论 1 1 2 的结果仍然成立 推论1 1 3 假设推论1 1 2 中的条件成立，但条件中的( z ) 和( t z ) + 分别被替 换为 ( z ) “g o ( t ) 是具有f a b r y 间隙的整函数且盯( g o ) 0 ，岛( t ) 为多项式或者满足口( 劬) 0 ) 次多项式，且佗不能被k - 1 整除；a o ( 0 ) ，a 2 ，a k 一2 为常数如果，( z ) ( 0 ) 是微分方程( 2 1 ) 的解且满足 入( ，) 1 ，( 2 2 ) 那么i ( z ) 和( z + 2 刑) 线性无关 定理2 2 假设k 3 ，a o ( o ) ，a l ，a 一2 是周期为2 r i 的非常数周期整 函数， 1 a t ( z ) = b l ( e 。) = b 1 ( ( ) = 9 1i ；) + 夕2 ( ( ) ， ts a ( z ) = 岛( e 石) = b j ( ( ) 0 = 0 ，2 ，k 一2 ) ， 其中( = 矿b l ( e ) 在e = 0 0 最多有极点，9 2 ( t ) 为多项式，g l ( ) 有级o ( 0 盯 o o ) ( 或者b 1 ( e ) 在e = 0 最多有极点，g l ( t ) 为多项式，9 2 ( t ) 有级盯( 0 o r f 且p 不能被k 一1 整除，那么对方程( 2 1 ) 的任一满足 - 。g + ( r ，多) = 。c r ， ( 2 3 ) 的解i ( z ) 0 ，有f ( z ) 和，( z + 2 1 r i ) 线性无关 为了证明定理2 1 和定理2 2 ，给出以下引理 引理2 1 【6 】假设9 ( ) 除了在c o 点有本性奇点外，在r o 吲 。内解析， 那么 ( i ) 夕( 喜) 可以表示成9 ( ) = p 矽( ) f ( ) 其中m 为整数，砂( ) 在r o o o 内( 含o o 点) 解析，且妒( ) 0 ，矽( 。) = 1 ，f ( 毒) = u ( ) e ( a ，u ( ) 是由9 ( ) 在 6 i 帮l = 0 ( 孵1 ) ( i i ) g ( ) 可表示成9 ( 专) = p w ( ) e ( o ，其中m 为整数，危( ) 为整函数，( ) 在风 。o 内( 含0 0 点) 解析，如果9 ( ) 的零点收敛指数为入( 9 ) = a o ) ，存在一个有限对数测度集e 2c ( 1 ，) ，满足：当隹 易u 0 ，1 】且亭_ 。时 骠l 外p ； l ( ) j 剖、l 如果夕( ) 仅有有限多个零点，那么当亭一o 。时 l 鬻= 。( 赤) 1 一l = i ，l 一_ ( ) i。什 引理2 2 【1 4 ( w i m a n - v a l i r o n 定理) 设w ( z ) 是超越整函数，6 是常数满足 0 6 m ( r ，伽) ( r ) 一 + 6 的点则除去对数 测度为有限的r 值集外有 帮= 0 ) 次多项式， a o ( o ) ，a 2 ，a k 一2 为常数如果，( z ) ( 0 ) 是微分方程( 2 1 ) 的解且满足( 2 2 ) ， 那么f ( z ) 在1 蚓 o o 内可表示为 f ( z ) = d 妒( 善) u ( ) e ( g ， ( 2 4 ) 7 其中d 为整数，= e z q ，q 为1 q k 的整数，妒( ) 在1 0 0 内解析 且妒( f ) 0 ，妒( 。) = 1 ，u ( f ) 和九( ) 为多项式 证明由假设及定理1 7 ，存在某整数q ：1 q k ，使得，( z ) 和f ( z + q 2 _ 7 r i ) 线性相关，根据文 1 4 ，p 3 s 2 ，f ( z ) 可表示为( z ) = e d l z g ( e 。q ) ，其中d 1 为某整 数，g ( ) 在0 吲 o o 内解析，= e z q ，由引理2 1 可知g ( f ) 在1 吲 o 。内 有表示g ( f ) = m 妒( ) u ( ) e h ( o ，其中m 是整函数，砂( ) 在1 o 。内解析，且 妒( ) 0 ，妒( 。) = 1 ，u ( f ) 是由g ( f ) 在1 蚓 。内的零点构成的w e i e r s t r a s s 乘积， 九( 荨) 是整函数，从而( z ) = 专d ，g + m 砂( ) u ( ) e ( o 令d = d l q + m ，得到式 ( 2 4 ) 现在证明u ( 亭) 具有有限级由于g ( f ) 在1 p 内的任一零点f 1 必在 i z l i q ( 1 0 9 p + 7 r ) 内至少有f ( z ) 的一个零点z 1 ，使得1 = e 。- 口，又由式( 2 2 ) 可 得1 0 9 + n ( r ，) = d ( r ) ，计及重数，可知g ( ) 在1 川 p 内的零点计数函数 l ( p ，隽) 满足 o g + l ( p ，否1 ) 1 0 9 + ( n 多) = 如) = d ( 1 ) r d ( 1 ) 1 。g p ( 2 5 ) 于是由式( 2 5 ) 可知u ( ) 的零点收敛指数为零，可以代之以典型乘积，从而u ( ) 的增长级也为零 下证 ( ) 为多项式将式( 2 4 ) 改写成 f ( z ) = f d w ( o e ( o ，( 2 6 ) 其中w ( ) = 矽( ) u ( ) 将式( 2 6 ) 代入方程( 2 1 ) ，得到 n r 1 ) 十( 石d + 兰q f 堑w + 缸= 0 ( 2 7 ) 其中r 一1 ( ) 是h 的微分多项式，其次数为七一1 ，其系数为关于警( s = 1 ，七) ， 击( 礼= 1 ，k ) 的常系数多项式 如果札( ) 是超越整函数，则由引理2 1 ( i i ) 和a ( g ) = o ( u ) = 0 o ) ，存在有限对数测度集易c ( 1 ，o o ) ，使得对满足蚓隹岛u 【0 ，1 的所有，以及对所有8 = 1 ，k ，都有 i 盟w ( o 旧小卅，； 如果让( ) 为多项式，由引理2 1 ( i i ) ，有 l 鬻| - d ( 寺) 8 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 形式上记 毗小去斯l o g + l p ( p e i 8 凇良 而不论咿( 专) 是否为平面上的亚纯函数使用类似于t u m u r a c l u n i e 引理的证 明，由式( 2 7 ) 及( 2 8 ) ( 或者( 2 9 ) ) ，可得 州卜。 妻心警) 椭w 忡阱蝴7 ) ) = 0 ( 1 。g m ( p ，h ) + l 。g p ) ， ( 2 1 0 ) 其中吲= p 隹e 4 ，e 4c 0 ，。) 是测度有限集由式( 2 1 0 ) 可知 ( ) 为多项式， 从而危( ) 也是多项式 最后证明u ( ) 是多项式将f ( z ) = d 妒( f ) u ( ) e ( ) 代入方程( 2 1 ) 得到u ( ) 的线性微分方程 k ，+ k - 1 眯妒埝，+ ( 詈+ i 1 等+ 尹1 7 ) u + 尹1 协 虿q k o ，仁 其中q j ( ) 是危( m ) ( ) ( m = 1 ，七) ，笔箸( s = 1 ，七) ，击( n = 1 ，k ) 的 常系数多项式，由引理2 1 知矽( f ) 0 ，矽( 5 ) ( ) 在1 蚓0 0 内解析，又由 于b - ( 口) 在o 。点有极点，以及上面已证明 ( ) 为多项式，可知式( 2 1 1 ) 的系数 q ( ) 0 = o ，k 一1 ) ，符b ，( 2 ) ，( ：+ ：告+ ：危) b 1 ( 9 ) 筹在。点最多有极 点，由引理2 2 以及式( 2 1 1 ) ，可知如果乱( ) 为超越的，则让( ) 的增长级为正有 理数，这与上面证明得到的u ( ) 的增长级为零矛盾，所以牡( f ) 为多项式 引理2 4 【1 】假设a ( z ) 是以2 r i 为周期的整函数，a ( z ) = b ( e 2 ) = b ( ( ) ，b ( c ) = 9 x ( ) + 仍( ( ) ，其中e = 矿，g l ( t ) 和9 2 ( t ) 都是整函数，则a e ( a ) = m a x a ( 9 1 ) ，盯( 夕2 ) ) 引理2 5 假设k 3 ，a ，0 = 0 ，k 一2 ) 是以2 州为周期的非常数周 期整函数， a l ( z ) = b 1 ( e 。) = b x ( c ) = 9 1 ( ；) + 9 2 ( e ) ，其中( = e 。b ( ( ) 在 0 + o 。内解析，b l ( ( ) 在( = 0 0 最多有极点，夕2 ( t ) 为多项式，g x ( t ) 有 级盯( 0 口 o 。) ( 或者b 1 ( ( ) 在( = 0 最多有极点，g l ( t ) 为多项式，9 2 ( t ) 有级 o ( o 仃 。) ) a ( z ) = b j ( e 。) = 马( ( ) ( j = 0 ，2 ，七一2 ) ，b ( ( ) 是有理函 数如果，( z ) ( 0 ) 为方程( 2 1 ) 的解且满足式( 2 3 ) ，那么( z ) 在1 蚓 。 内可表示为 f ( z ) = 砂( ) u ( ) e m 鄹，( 2 1 2 ) 其中d 为整数，= e z q ，q 为1 q k 的整数，妒( ) 在1 蚓内解析 且妒( ) 0 ：矽( 。) = 1 ，乱( ) 和允( ) 为多项式 9 证明首先证明b 1 ( ( ) 在( = 。o 有极点时的情形此时a ( 9 2 ) = 0 由引 理2 4 可知o e ( a 1 ) = m a x o ( g x ) ，盯( 耽) ) = 盯( 9 1 ) ，从而0 o s ( a 1 ) = 1 7 + 。， 而如( z ) = b j ( e 。) = 马( ( ) ，马( ( ) 为有理函数，即4 ( z ) 是矿的有理函数， 从而吒( a ) = 00 = 0 ，2 ，七一2 ) 故m a x c r e ( 如) 0 = 0 ，2 ，七一2 ) = 0 ( t e ( a 1 ) ，又由式( 2 3 ) 可知入。( ，) = 0 c r e ( a 1 ) ，由定理1 8 可知存在某整数 q ：1 q k ，使得，( 名) 和f ( z + q 2 7 r i ) 线性相关，根据文 1 4 ，e 3 8 2 ，( z ) 可 表示为f ( z ) = e d l z o ( e 。q ) ，其中d 1 为某整数，g ( ) 在0 c o 内解析， = d z 。，由引理2 1 可知g ( ) 在1 o o 内有表示g ( ) = m 矽( ) u ( f ) e ( o ， 其中m 是整函数，矽( ) 在1 o o 内解析，且矽( ) 0 ，矽( o 。) = 1 ，让( 专) 是 由g ( f ) 在i 吲 o o 内的零点构成的w e i e r s t r a s s 乘积，九( 喜) 是整函数，从 而f ( z ) = 4 - 口+ m 矽( ) u ( f ) e ( o 令d = d x q + m ，得到式( 2 1 2 ) 现在证明u ( f ) 具有有限级由于g ( ) 在1 p 内的任一零点- 必在 i z l i q ( 1 0 9 p + 7 r ) 内至少有f ( z ) 的一个零点z l ，使得1 = e 。, q ，又由式( 2 3 ) ，计 及重数，可知g ( f ) 在1 p 内的零点计数函数1 ( p ，刍) 满足 1 1 、 l o g + lip ，云) l o g + ( 7 ，) = o ( r ) = o ( 1 ) r o ( 1 ) l o g p u j 于是由上式可知u ( ) 的零点收敛指数为零，即a ( g ) = 口( u ) = 0 ，可以代之以典型 乘积，从而让( ) 的增长级为零 下证 ( ) 为多项式将式( 2 1 2 ) 改写成f ( z ) = d ( ) e ( a ，其中( f ) = 妒( ) 让( ) 把( z ) = d w ( ) e ( ) 代入方程( 2 1 ) ，得到 n 蹈) + ( 善+ 兰q f 堑w + 亭q k 附， ( 2 1 3 ) 其中p k 一1 ( 危) 是九的微分多项式，其次数为k - 1 ，其系数为关于訾( s = 1 ，七) ， 专( n = 1 ，七) ，马( p ) 0 = o ，2 ，k 一2 ) 的常系数多项式 如果札( ) 是超越整函数，则由引理2 1 ( i i ) 和入( g ) = 盯( u ) = 0 o ) ，存在有限对数测度集最c ( 1 ，o o ) ，使得对满足昆u 0 ，1 】 的所有，以及对所有s = 1 ，七，都有 l 紫l i 汁z ； ( 2 “) l ( ) i 剖引 p 一7 如果乱( ) 为多项式，由引理2 1 ( i i ) ，有 l 鬻j = 。( 赤) l l = i ，l 一_ 1zi 、l w ( ) i。” r 7 形式h 铲 d 俯 p妒 + g o 打 m广厶 1 芴 = 妒p m 而不论( ) 是否为平面上的亚纯函数使用类似于t u m u r a c l u n i e 引理的证 明，由式( 2 1 3 ) 及( 2 1 4 ) ( 或者( 2 1 5 ) ，以及b j ( 9 ) 0 = 0 ，2 ，k 一2 ) 是有理函 数，9 2 ( ( q ) 为多项式及注意到_ o o 时，1 9 1 ( 击) i = d ( 1 ) ，可得 吣) ：嘶如础口) ) + 董毗眯啪+ 壹m l 警) 嚣 胆1 ” + l o g p + l o g m ( p ， ) ) = 0 ( 1 0 9 m ( p ，h ) + l o g p ) ， 其中= p 隹晶，bc 0 ，o 。) 是测度有限集由上式可知( ) 为多项式，从而 九( ) 也是多项式 最后证明u ( ) 是多项式将，( z ) = d 妒( ) u ( ) e ( f ) 代入方程( 2 1 ) ，得到关 于乱( 亭) 的线性微分方程 k ) + 霎吣叭汁陋石1 等+ u 卡7 卜。，缸( 2 1 6 ) 其中q j ( o 是h ( m ( ) ( m = 1 ，忌) ，等等( s = 1 ，七) ，专( 礼= 1 ，七) ，s j ( j = 0 ，2 ，七一2 ) 的常系数多项式，由引理2 1 知妒( ) 0 ，妒( 8 ) ( ) 在1 0 0 内解析，又由于b - ( f ) 在0 0 点有极点，以及上面已证明危( ) 为多项式，可知式 ( 2 1 6 ) 的系数q j ( ) o = o ，2 ，k 一1 ) ，垂；b ，( 9 ) ，( ：+ ：等+ ； 7 ) b l ( f ) 参 在。o 点最多有极点，由引理2 2 以及式( 2 1 6 ) ，可知如果u ( ) 为超越的，则u ( ) 的增长级为正有理数，这与上面证明得到的让( ) 的增长级为零矛盾，所以让( ) 为 多项式 对于b 1 ( ( ) 在( = 0 至多有一极点的情形，只需在前面的论证中令= 1 t ， 把g ( ) ，b 1 ( 2 ) ，岛( p ) o = 0 ，2 ，k 一2 ) 等在0 c k ) 内解析的函数化 为g + ( t ) = g ( ) ，磁( t 口) = b 1 ( 嘉) ，蟛( 伊) = 马( 嘉) 0 = 0 ，2 ，一2 ) 等在 0 j t i 内的解析函数完全相同的证明可得y ( z ) 在0 i t i 。内类似式 ( 2 1 2 ) 的表示- y ( z ) = t d o 咖( t ) u o ( t ) e ( 扪，t = e - z q 定理2 1 的证明 假设，( 名) ( 0 ) 为方程( 2 1 ) 的满足式( 2 2 ) 的解，并且y ( z ) 和f ( z + 2 疵) 线 性相关，又由y ( z ) 满足( 2 2 ) ，那么由引理2 3 ，可知y ( z ) 在1 。内可表 示为 f ( z ) = ( d 矽( ( ) u ( ( ) e ( c ) ，( 2 1 7 ) 其中d 为整数，( = 矿，矽( ( ) 在1 o o 内解析且砂( ( ) 0 ，也( e ) 和 ( e ) 为多项式令w ( 0 ) 次多项式，由式( 2 1 8 ) 和( 2 2 1 ) 及b 1 ( e ) 为n 次多项 式，得到 k s = r t , + q 从而( 惫一1 ) q = 礼，这与已知条件礼不能被七一1 整除矛盾，从而厂( z ) 和f ( z + 2 r i ) 线性无关 若 ( ( ) 为常数，将，( z ) = ( d w ( ( ) e ( e ) 代入( 2 1 ) 得到 球m 水) ( 州善) = 0 ( 2 2 2 ) 其中d ( ( ) 是r 鲁( s = 1 ，后) 的常系数多项式由b 1 ( ( ) 为n 次多项式及 式( 2 1 9 ) 可知( _ 0 0 时，式( 2 2 2 ) 不能成立从而，( z ) 和，( z + 2 戒) 线性无 关 因此无论 ( ( ) 是次数大于零的多项式还是常数，都有，( 名) 和，( z + 2 疵) 线 性无关 定理2 2 的证明 首先证明g l ( t ) 有级a ( o 盯 。) 的情形由假设条件知此时j e i l ( ( ) 在 e = 处有一p 极点假设，( z ) ( 0 ) 为方程( 2 1 ) 的满足式( 2 3 ) 的解，并且 f ( z ) 和f ( z + 2 7 r i ) 线性相关，又因为f ( z ) 满足式( 2 3 ) ，由引理2 5 ，那么f ( z ) 在 1 。内可表示为 f ( z ) = ( d 妒( ( ) 让( ( ) e h ( c ) ，( 2 2 3 ) 1 2 其中d 为整数，( = e ：，妒( ( ) 在1 0 ) 次多项式，由式( 2 2 4 ) - ( 2 2 6 ) ，b j ( ( ) ( j = 1 ，2 ，k 一2 ) 在( = 。至多有七一j 一1 阶极点及b 1 ( ( ) 在e = o 。有p 阶极点，得到 k a = 口+ 口 从而( 尼一1 ) o = p ，这与已知条件p 不能被k 一1 整除矛盾，从而( z ) 和f ( z + 2 r i ) 线性无关 若九( e ) 为常数，将，( z ) = e d w ( ( ) e ( ( ) 代入方程( 2 1 ) 得到 球m 心) ( 州影) - 0 ( 2 2 7 ) 其中d ( ( ) 是r 鲁( s = l ，七) ，玩( ( ) ，岛( ( ) ，鼠一：( e ) 的常系数多项 式由风( ( ) ，b 2 ( ( ) ，b k 一2 ( ( ) 在e = 。o 处的极点阶数最大者为2 p 及式 ( 2 2 5 ) 可知 一o 。时，式( 2 2 7 ) 不能成立从而( z ) 和，( z + 2 疵) 线性无关 因此无论 ( ( ) 是次数大于零的多项式还是常数，都有厂( 名) 和( z + 2 而) 线 性无关 对于卯( t ) 有级仃( 即b 1 ( ( ) 在( = 0 有p 阶极点) 的情形，利用( z ) 在 1 i t l o 。内的表示，( z ) = 扣( t ) u o ( t ) e o ( 扪，t = e ，用类似于上面的证明方 法，可以完成定理的证明 1 3 本文引入以下定义： 定义l 【1 】假设a ( z ) 为整函数，定义 吼( a ) = j 1 i m 。l o gt r ( r , a ) f 1 0 9 l o g m ( r ，a ) = 1 1 m 一 为a ( z ) 的e 一型级 定义2 1 1 】假设a ( z ) 为整函数，定义 刈肛戛堕掣 r + 7 为a ( z ) 的e 一型零点收敛指数 定义3 【7 1 如果整函数y ( z ) = 忍o a n z k ，其中 k ) 是递增的正整数序列， 如果甄是2 0 ，就说，( z ) 具有一个f n 打间隙级数 3 2 超越型高阶周期线性微分方程解的性质 定理3 1 假设七4 ，8 2 ，3 ，七一2 ，( k 一8 ，8 1 ) = l ( 1 l pk 一8 和 8 1 互质) ，山( 0 ) ，a k 一2 是以2 7 r i 为周期的整函数，进一步假设a j ( z ) = 马( 酽) = 马( ( ) = q ( ( ) + 乃( ) 0 = 0 ，七一2 ) ，其中g j ( t ) ，乃( t ) 为整函数，满 足下列条件： ( i )m a x a 。( 码) 0 s ) ) 盯。( a 。) + 。， ( i i ) j 8 时，盯( q ( ) ) 仃( g 。( t ) ) ， ( 饿)g 。( ) 超越且盯( g 。) 0 ，那么存在0 7 - r 7 1 4 那么方程( 3 1 ) 的任意两个线性无关解f l ( z ) ，f 2 ( z ) 满足 入。( 厂2 ) a e ( a 。) ( 3 2 ) 当上面的条件( i ) 一( i i i ) 中的g j ( t ) 与g j ( t ) ( j = 0 ，k 一2 ) 互换时，定理 3 1 的结果仍然成立 推论3 2 假设k 4 ，8 2 ，3 ，k 一2 ) ，( k 一8 ，8 1 ) = 1 ( 即k 一8 和 8 1 互质) ，a o ( o ) ，a k 一2 是以2 删为周期的整函数，进一步假设az ) = s j ( 矿) = 岛( ( ) = q ( ( ) + 毋( ) o = 0 ，k 一2 ) ，其中g j ( ) ，g j ( t ) 为整函数，满 足下列条件； ( i ) m a x a 。( a ) s ) ) c r e ( a ) 。， ( i i ) 歹8 时，盯( g j ( t ) ) 矿( g ( ) ) ， ( i i i ) g a ( t ) 是超越的并且盯( g 。( t ) ) 互1 那么方程( 3 1 ) 的任意两个线性无关解 ( 名) ，2z ) 满足( 3 2 ) 当上面的条件( t ) + 一( 娩) 中的岛( t ) 与g i ( t ) ( j = 0 ，k 一2 ) 互换时，推论 3 2 的结果仍然成立 注1 由推论3 2 ，用反证法，容易证明定理1 1 0 成立 推论3 3 假设k 之4 ，8 2 ，3 ，k 一2 ) ，( k 一8 ，8 1 ) = l ( l pk 一8 和 s 一1 互质) ，凡( o ) ，a k 一2 是以2 疵为周期的整函数，进一步假设如z ) = 马( e 2 ) = s j ( ( ) = g j ( ( ) + 乃( ) 0 = 0 ，k 一2 ) ，其中g j ( t ) ，g j ( t ) 为整函数，满 足下列条件： ( z ) ”m a x o r e ( a 3 ) 0 s ) ) a r e ( a 。) o 。， ( 税) ”g 。( t ) 是具有f a b r y 间隙的整函数并且盯( g 。( ) ) 0 0 ， ( i i i ) j 8 时，口( g j ( t ) ) 0 为一给定常数那么存在一对数测度为有穷的子集e 1c ( 1 ，。o ) ，满足：对所有满足j z l 隹e 。u 0 ，1 的z ，及所有( 七，歹) r ，有 i 粼”烈州 ( 3 3 ) 1 5 引理3 2 1 1 6 】令9 ( e ) 为在r o o o 上解析的函数由 1 4 ，p 1 5 ，g ( c ) 有 下列形式 夕( ( ) = p 妒( ( ) f ( e ) ， ( 3 4 ) 其中妒( ( ) 在1 内解析，妒( 。) 0 ，f 为整函数且 f = u ( c ) e ( o ，( 3 5 ) 其中u ( e ) 为夕( e ) 为在r o o ) ，使得对所有 满足蚓甓e 2 ，有 j 鬻旧m 6 ， w ( ) l 一引 r 7 引理3 3 【18 】假设危( z ) 是整函数，且o r ( h ) = o r 令 a ( r ) = i n fl o gi h ( z ) l ，s ( r ) = s u pl o gj h ( z ) 1 i 。i - - - - - 7 l z l = r 如果盯 q ( c o sr a ) b ( r ) ) 1 一三 ( 3 7 ) 其中hc ( 1 ，+ o 。) 的下对数测度l o g d e n s h 定义为 一l o g d e n s h ：虹。掣， h c ( 1 ，+ c o ) 的上对数测度l o gd e n s h 定义为 l o gd e n s 日：j t i 。m 。( f x l h 。g ( t r ) t d t ) ， r + l o g r 其中x h ( t ) 是集合日的特征函数 引理3 4 【1 9 1 假设危( z ) 是整函数，下级p = p ( 危) 互1 并且p 口= o r ( h ) 如 果p 6 m i n ( o r ，互1 ) 且6 一 c ( o r ，6 ，口) ( 3 8 ) 其中c ( o r ，正口) 是一个正常数，它的值只和以正q 有关 肖丽鹏在