（基础数学专业论文）最高阶元的个数与有限群的可解性.pdf

独创性声明 y 9 0 2 3 1 7 学位论文题目：本卫丑驻羔氆韭盈盟琴童牲 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：i 丽五馕 签字日期： 矿i 年华月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位沧文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 日保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：彳彳 窀 摹裹暴羹诂赡萎髫：柚 工作单位： 通讯地址： 导师签名：鳓易 签字日期：庐卅吗年甲月弓日 电话： 邮编： 最高阶元个数与有限群的可解性 学科专业一基础数学研究方向；有限群论 指导老师t 陈贵云教授 研究生t 何立官( $ 2 0 0 3 5 4 2 ) 1 9 8 7 年f i e l d s 奖获得者j g t h o m p s o n 提出了如下两个著名的猜想： 猜想一：设g 是有限群，n ( c ) = n i 存在g 的一个共轭类c 使得l c = n ) 如果z ( g ) = 1 ，m 为非交换的单群，并且n ( g ) = n ( m ) ，则g 兰m 。 猜想二：m t ( g ) 表示群g 中f 阶元素组成的集合设g 和m 都是有限群， m f ( g ) i = 1 蚴( m ) l ，f _ l ，2 ，- 如果g 可解，则m 也可解 陈贵云教授对这两个猜想都进行了深入的研究对猜想一，并于1 9 9 4 年证明 了对索图不连通的单群结论成立对于猜想二，目前还没有有效的方法得出一般 性的结果但有很多群论工作者通过研究最高阶元的个数对有限群的可解性的影 响，从侧面对猜想二在一些特殊条件下进行了研究，得出了一些令人鼓舞的结果 例如文献f 1 】研究了最高阶元素的个数i m ( g ) i 对群的影响，证明了当i m ( g ) 1 分别 为2 ，奇数，2 p ( p 为素数) 或妒( 女) 时，g 为可解群文献 2 】证明了当f m ( g ) i = 8 时，g 可解文献【3 ，4 l 证明了当i m ( g ) l 7 ，则g 可解； ( 2 ) 如果q p 7 ，且2 p + 1 不是素数，则g 可解； ( 3 ) 如果p = 7 ，则g 可解或g 有一截断同构于l 2 ( 7 ) ，l 2 ( 8 ) 或v 3 ( 3 ) 且g 为 ( 2 , 3 ，7 ) 一群 定理4 2 设g 为有限群，p 、g 为素数且g ，p 7 如果i m c ) i = 卸口那么 ( 1 ) 如果p 、q 7 ，且2 p + 1 、2 q + 1 均不是素数，则g 可解； ( 2 ) 如果p = 7 ，则g 可解或g 有一截断同构于l 2 ( 7 ) ，l 2 ( 8 ) 或u 3 ( 3 ) 且g 为 ( 2 , 3 ，7 ) - 群 定理5 1 设g 为有限群，p 、q 为5 的素数如果f m ( c ) l = l o p q ，那么 ( 1 ) 如果q = p 则g 可解； ( 2 ) 如果口 p ，且2 p + 1 、l o p + 1 均不是索数，则c 可解； ( 3 ) 如果2 p + 1 、l o p + 1 、2 q 十1 和1 0 q + 1 均不为素数，则g 可解 定理6 1 设g 为有限群，如果i m ( g ) i 满足下列条件之一，则t h o m p s o n 猜想 成立 1 1 m ( g ) j 是奇数； 2 i m ( g ) i 7 ，素数，且当q p ，时2 p + 1 不为素数) ； 9 i m ( g ) i = 4 p q ( p i q 7 ，素数，且印+ 1 和2 9 + 1 不为素数) ； 1 0 i ( g ) j = l o p n 5 ，素数) ； 儿1 m ( g ) | = 1 0 p q ( g p 5 ，素数；且当g p 时，印+ 1 、1 0 p + 1 均不是素 数) ； 1 2 f m ( g ) l = 1 0 p q 慨q 5 ，索数，且2 p + 1 、l o p + 1 、2 q + 1 和1 0 q + 1 均不 为素数) 关键词t 有限群；可解群；阶；素图；f r o b e n i u s 群；2 - f r o b e n i u s 群 2 t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m b e ro ft h ee l e m e n t sw h i tm a x i m a l o r d e ra n dt h es o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：t h et h e o r yo ff i n i t eg r o u p s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e r ta u t h o r ：l i g u a nh e ( $ 2 0 0 3 5 4 2 ) a b s t r a e t i n1 9 8 7t h ew i n n e ro ff i e l d sp r i z ej g t h o m p s o na n n o u c e dt w oc o n j e c t u r e s ： c o n j e c t u r e1 l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，n ( c ) = n l t h e r ee x i s t sac o n j u g a c y c l a s scs u c ht h a tl cj = n ) i fz ( c ) = 1 ，mi san o n a b e l i a ns i m p l eg r o u p ，s u c ht h a t n ( g ) = ( 吖) ，t h e n g 竺m c o n j e c t u r e2 l e tga n dma r ef i n i t eg r o u p s ，s u c ht h a ti m ( g ) i = l m ( m ) f o rl = l ，2 ，i f gi ss o l v a b l e ，t h e nm i ss o l v a b l e 、 g y c h e no n c ed i s c u s s e dt h e s et w oc o n j e c t u r c sa n dp r o v e dt h a ti ft h es i m p l e g r o u p smh a sn o n - c o n n e c t e dp r i m eg r a p h s t h e nc o n j e c t u r eo n eh o l d si n1 9 9 4 b u tf o r t h es e c o n dc o n j e c t u r e ，i ti ss t i l lo p e nw i t h o u ta n yp r o g r e s s b u ts o m er e l a t e dr e s u l t so h - t a i n e di np a s ty e a r s ，w h i c ha r ea b o u tt h ei n f l u e n c eo nt h en u m b e rl m ( g ) lo fe l e m e n t so f m a x i m a lo r d e ri naf i n i t eg r o u pg s u c ht o p i cw a sf i r s td i s c u s s e di n ”a n dp r o v e dt h a t i fi m ( g ) i s2o ra l lo d dn u m b e ro r 妒( ) ，w h e r eki sl a r g e s te l e m e n to r d e ri ng ，t h e ngi s s o l v b a l e a f t e r w a r d si ti sp r o v e dt h a tgi ss o l v a b l ei ff f ( g ) i 一8i n 2 1 ，i fi m ( g ) i 2 0 i n 【3 1 ，i m ( g ) l = 2 p 2i nf 4 1 a n dt h e nf o ri m ( g ) i = 3 2i n 【5 1 1f o rl m ( g ) i = 2 p 3i n 【6 f o r l m ( c ) l = 2 p q ，w h e r ep , qa r ep r i m e 7i n f o ri m ( g ) i = 2 m ，w h e r e ( m ，3 0 ) = li n 【8 】a n df o rl m ( g ) i = 3 0h ai 9 】i ti sa l s op r o v e dt h a tg i ss o l v a b l ei fj m c g ) i = 4 p ，6 p ，8 p ( s e ef i o ，【i i a n df 1 2 1 ) a l lt h e s ed i s c u s s i o n ss t o pa f t e rp r o v i n ggi ss o l v a b l e i n 【9 】it h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sw i t h1 m ( g ) i = 3 0i sg i v e n o fc o u r s e ，a l lt h e s ed i s c u s s i o n sa r e h e l p f u lt ot h er e s c a r ho at h ec o n j e c t u r e2 i nt h i sp a p e r ，t h ef o u o w i n gt h e o r e m sa r ep r o v e d t h e o r e m3 1l 村gb eof i n i t eg r o u p 盯i 岣g ) i - 1 0 p “，w h e r epi s 口p r i m e 5 t h e ng 妇s o l v a b l e t h e o r e m4 1l e t pa n dqb ep m m e 3 ，a n dg p 7s u p p o s e 如d i m ( g ) = 4 p q t h e n f 1 ) i fq = p 7 t h e n g t ss o l v a b l e ( e l 可口 p 7 ，a n d 2 p 十1 妇n o op m m e ，t h e n g i ss o , a b l e ， 俐i i p = 7 ，t h e ne i t h e rg 甜s o l v a b l eo fgh a s s e c t i o ni s o m o r p h i ct ol 2 ( 7 ) ，l 2 ( 8 ) o ru 3 ( 3 ) ，a n dgi s 俾，只刀g r o u p t h e o r e m4 2l e tp ，口6 ep i n t o e s 7 s u p p o s e 纳n f f ( g ) i = 4 p q ，t h e n “j 可p ，q 7a n d2 p + 1 ，2 q + 1o 他n o tp m m e ，纨e n g 话s o l v a b l e ； 例巧p = 7 ，t h e ne i t h e rg 妇s o l v a b l eo tgh a sbs e c t i o n 曲o m o r p h i ct ol 2 ( 7 ) ，l 2 ( 8 ) o r 现( 3 ) ，a n d gi s 偈只刀9 r o u p t h e o r e m5 1l e tgb e 口f i n i t eg r o u p ，a n dp ，qb ep i n t o e s 5 盯j 尬g ) i = l o p q j t h e n 1 1 ) 1 1q = p t h e n g i ss o l v a b l e ； ( 2 ) i fq p ，t h en u m b e r s2 p + 1a n d1 0 p + 1 n o tp i n t o e s 。t h e ngi ss o l v a b l e ； ，圳f t h en “m 6 e 耵2 p + l 、1 0 p 十l 、2 9 十1a n d l o q + 1 。他n 。fp i n t o e s ， e n g 妇s o l v a b l e t h e o r e m6 1t h o m p s o n 0c o n j e c t u m f o l l o w s 矿j m ( g ) js a t 妇f i e so n 6o ft h ef o l l o w - i n gn u m b e r s ： f m ( g ) l 妇o d d 2 i m ( g ) i 7a n dw h i l eq p ，2 p + 1i sn o tb p m e 9 i m ( g ) l = 4 p q ，砒e m p ，q8 ”p m e s 7 ，2 p + 1a n d2 q + 1o n o tp m m e 1 0 1 m ( g ) i = 1 0 p m ，t 曲e 化p 扫p m e 5 1 1 j m ( g ) j = 1 印g ， e rq p ，n mp m e s 5a n d 砒如q p ，舭n u m b e r 5 2 p + 1 、l o p + lo n o t p i n t o e s 粤f f ( g ) i = 1 0 p q e 卵p , qn 他p i n t o e s 兰5 ，执en u m b e r s2 p 十1 、1 0 p + l 、 4 2 q + 1a n d l o q + lo 他n o p r i m e s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；s o l v a b l eg r o u p ；o r d e r ；p m eg r a p h ；n o b e n i u sg r o u p 2 - f r o b e n i u sg r o u p 符号说明 本文所讨论的群均为有限群，群后括号中的数字表示该群的阶”。( g ) 表示 群g 中元素阶的集合，是( g ) 中的最大值，n 表示g 中k 阶循环子群的个数 m 是一个自然敷，”( m ) 是m 的相异素因子的集合，”( g ) = 1 r ( 1 g 1 ) ；m m ( g ) 是 g 的m 阶元素的集合，mc g ) = m ( g ) ，t 。( g ) 是由g 的所有m 阶元素所生成的 子集，即m 。( g ) = ，n ( a ) = n k ( a ) ，p r ( g ) 是g 的一个r s y l o w 子群，r ( g ) ，妒( o ) 为欧拉函数其余符号及术语是标准的 n o t a t l 0 n s t h eg r o u p sd i s c u s s e da r ea l lf i n i t eg r o u p s ，t h en u m b e r 讥t h eb r a c k e t “”b e h i n da g r o u pi st h eo r d e ro yt h eg r o u p ，e 9 ，l 2 ( 7 ) ( 2 3 3 7 ) m e a n st h a tl 2 ( 7 ) i sd ，o r d e r2 33 7 a n d 儿( g ) d e n o t e st h es e to lo r d e r so ie l e m e n t s 吖af i n i t eg r o u pg ，t h el a r g e s te l e m e n t o r d e ra n dnt h en u m b e ro fc y c n cs u b g r o u p so fo r d e rk 巧mi sop o s i t i v ei n t e g e r , t h e n 7 r ( m ) d e n o t e st h es e td ，p r i m ed i v i s o r sd ，m ，a n dl e t 丌( g ) = 丌( 1 g 1 ) 叠m ( g ) d e n o t e st h e s e to ，e l e m e n t so fo r d e rm 机g ，a n dl e tm ( g ) = m i ( g ) n m ( g ) d e n o t e st h es u b g r o u p s g e n e r a t e db ye l e m e n t so ，o r d e rm ，i e ，n m ( g ) 竺 ，e s p e c i a l l yn ( g ) d e n o t e st h eo n eg e n e r a t e db ye l e m e n t so ft h el a r g e s to r d e r b ( g ) d e n o t e sar s y l o w 3 t l b g r o u p s 盯g ，w h e r er 丌( g ) ，妒( 芏) t h ee u l e ry 眦n c t i o no yz 7 1 引言 本文所讨论的群均为有限群，群后括号中的数字表示该群的阶7 r 。( g ) 表示 群g 中元素阶的集合，k 是 。( g ) 中的最大值，n 表示g 中k 阶循环子群的个 数m 是一个自然数，7 r ( m ) 是m 的相异素因子的集合，7 r ( g ) - - r ( i c l ) ；。( g ) 是g 的m 阶元素的集合，m ( g ) = m k c g ) ，。( g ) 是由g 的所有m 阶元素所生成 的子集，即m 。( g ) = ，n ( a ) = g k ( a ) ，p r c a ) 是g 的一个r s y l o w 子群，r 7 r ( g ) ，妒( z ) 为欧拉函数其余符号及术语是标准的 1 9 8 7 年f i e l d s 奖获得者，g t h o m p s o n 提出如下两个猜想 猜想1 - 1 设g 为有限群。n ( e ) = 训存在g 的一个共轭类c 使得i c l _ n ) ，如果zc g ) = 1 ，m 为非a b e l 单群，并且n ( g ) = ( m ) ，则g 望m 猜想1 2 设g 和m 是有限群，尬( g ) = 尬( m ) ，i = 1 ，2 ，若g l 可解，则 g 2 可解 陈贵云教授对这两个猜想都进行了深入的研究对猜想一，并于9 副年证明 了对素图不连通的单群结论成立对于猜想二，目前还没有有效的方法得出一般 性的结果但有很多群论工作者通过研究最高阶元的个数对有限群的可解性的影 响，从侧面对猜想二在一些特殊条件下进行了研究。得出了一些令人鼓舞的结果 例如文献肛研究了最高阶元素的个数i m ( g ) l 对群的影响，证明了当l m ( g ) 1 分别 为g 奇数，印扫为素数j 或妒( k ) 时，g 为可解群文献俐证明了当l m ( g ) i = 8 时，g 可解文献p ，“证明了当i m ( g ) i 7 ，则g 可解； 例如果q p 7 ，且2 p + 1 不是素数则g 可解； 例如果p = 7 ，则要么g 可解，要么g 有一截断同构于岛( 7 ) ，l 2 ( 8 ) 或u 3 ( 3 ) g 为( 2 ，3 ，- 群 定理4 2 设g 为有限群，p 、q 为7 的素数如果l 慨g ) i = 4 p q ，那么 川如果p 、q 7 ，且2 p + l 、2 q + 1 均不是素数，则g 可解； f 砂如果p = 7 ，则要么g 可解，要么g 有一截断同构于l 2 ( 7 ) ，l 2 ( 8 ) 或u 3 ( 3 ) g 为f 2 ，s , v 群 定理5 1 设g 为有限群，p 、q 为兰5 的素数如果i m ( c ) i = 1 0 p q ，那么 俐如果q = p ，则g 可解； 例如果q p ，且2 p 4 - 1 、t o p 4 - 1 均不是素数，则g 可解； 例如果2 p4 - 1 、l o p 4 - l 、2 9 4 - 1 和1 0 q 4 - 1 均不为素数，则g 可解 定理6 1 设g 为有限群，如果1 m ( g ) i 满足下列条件之一，则t h o m p s o n 猜想 成立 j 1 m ( g ) i 是奇数； 2 i m ( g ) i 7 ，素数，且当g p ，时2 p + l 不为素数j j 9 1 m ( g ) l = 4 p qr p ，口 7 ，素数。且2 p 4 - 1 和2 q 十1 不为素数，j m i m ( g ) i = l o p m 西5 ，素数j i 1 1 i m ( c ) i = l o p q 向p 5 ，素数；且当q p 时，2 p + l 和1 叻4 - 1 均不是素 数) ； j 2 i m ( g ) l = l o p q 佑，口5 ，素数，且印4 - 1 ，l o p 4 - 1 ，2 q 4 - 1 和1 0 q 4 - 1 均不 为素数j 9 2 主簧s l 理及箕证明 譬l 理2 1l l 设m 为g 中酚l 龄糖繇母群姆个数，刘t m x ( g ) l = m 烈! ) 特剥地 m ( g ) 1 = n 妒( ) 器l 理2 2i l l ：如莱i m ( g ) i 一轳( _ 菇g 的元素的最高阶，更l l 落起寸鳝 孽l 理2 3f 罐：若8 g ，1 8 l = = 寿，m ( g ) 曼c b ) + 爨耳。( i ? 0 ( 8 ) ) = ，毽( a ) 蚀 ) 苗 且国( ) 曼g 定义2 1 设h 曼g ，h 拣为g 秘r 一佘子群如暴h 一 且 话( 毋共轭可迁地诈拜l 在甄旧) 上此霞幸记为昂e r g s l 理2 。4 设1 h 曼舅露= 如果l 螺( 嚣) = # 霄( 地嚣) g ( 嚣) ) ，则玛。一心菪n 一2 ，盛 jn g ( h ) 二重荧轭可迂地谁用在黼一日) 上 孽l 理2 5l l l ：设矿楚一个群，r ( ”，r = r l 匏，( r l ，r 2 ) 描1 l ， 由2 “1 i m 2 ( c b ( o ) ) i = l 印知n 1 = 5 或p 或5 p 但n l 为g 的3 一s y l o w 子群的个 数，有n l | | g i 且由引理2 8 知n l ! l ( m o d 3 ) 若n 1 = 5 ，矛盾于n l ；1 ( r o o d 3 ) ；于是 n 1 = p 或5 p 如果p 5 ，则g 有大于6 的p 阶元，矛盾如果p = 5 ，则2 5 | | g l ， 矛盾所以g 可解 情形5 ：当i m ( a ) l = l o p ，n = 1 叻时，妒( ) = l ，k = 2 此时g 为初等a b l e 一2 群，g 中最大阶元素的个数为一1 ，是奇数，矛盾 2 m 1 的情况 由引理2 j 知道，如果l m ( g ) i = i o p m0 ，5 ，m 1 ) ，则n ，妒( ) ，和女的值如下 表给出： 1 3 妒( 七) 七 1 0 p m l o p “+ i ，2 0 0 p ”+ 1 ) ( 其中l o p “+ 1 素数) 旦 勋不存在 0 2 p m 2 p ”+ 1 ，2 ( 2 p + 1 ) ( 其中2 p “+ 1 素数) 矿( 1s o m ) l o p ”一o l o p m 。4 - 1 ，2 ( 1 0 p ”一o + 1 ) ( 其中l o p m o + 1 素数) p m j 口1 1 2 2 d p m不存在 2 p o ( 1 a m ) 5 口打o 不存在 5 p 。( 1 o 1 ) ，n = 5 时，妒( 南) = 2 p m ，k = 2 p m + 1 或 2 ( 2 p ”+ 1 ) 令q = 2 p m + 1 ，则q 5 3 按照情形1 2 的方法可证知7 r ( g ) t 2 ，5 , p ， g ) 供中p 25 ，g 5 3 ) 再由引理2 7 和引理2 9 知g 可解 情形2 n 当f m ( a ) r = l o p “( m i ) ， k = l o p ”一8 + 1 或2 ( 1 0 v ”一o + 1 ) 令q = 方法可证知7 r ( g ) 2 ，5 , p ，心供中p 5 扎= 矿( 1 o 5 3 按照情形j 2 的 g 5 3 ) 再由引理2 7 和2 9 知g 可解 情形2 4 ：当i m ( o ) i = i o p “( m 1 ) ，n = p “时，驴( ) = 1 0 ，= 1 1 或2 2 类似 情形3 知g 可解 情形旦且当l m ( g ) i = i o p ( m 1 ) ，n = 5 p 。( 15o 1 ) ，n = 5 p m 时，妒( ) = 2 ，k = 3 ，4 或瞳按照 情形4 的方法可证g 可解 情形2 z 当l m ( g ) = l o p ”( m 1 ) ，n = 1 0 时，妒( ) = 1 ，k = 2 此时g 为 初等a b l e 一2 群。g 中最大阶元素的个数为2 ”一1 ，是奇数，矛盾 定理证毕 1 5 4 关于最高阶元个数为4 p q 的有限群 定理4 1 设g 为有限群，p 、g 为素数且q p 7 如果im f g ) i = 4 p q ，那么 如果q = p 7 ，则g 可解； 偿) 如果q p 7 ，且2 p + 1 不是素数，则g 可解； 倒如果p = 7 ，则要么g 可解，要么g 有一截断同构干l 2 ( 7 ) ，岛( 8 ) 或u 3 ( 3 ) g 为( 2 3 ) - 群 定理4 2 设g 为有限群，p 、口为7 的素数如果i 舰g ) i = 4 p q ，那么 俐如果p 、q 7 ，且2 p + 1 、2 q + l 均不是素数，则g 可解； f 剀如果p = 7 ，则要么g 可解，要么g 有一截断同构于l 2 ( 7 ) ，l 2 ( 8 ) 或u 3 ( 3 ) g 为偿，3 ，卅- 群 证明t 由引理2 j 我们知道，如果l m ( g ) t = 4 p q ，向p 7 ，且当q p 时 助+ 1 不为素数j ，则n ，妒( ) ，和k 的f a r o 7 ：表给出一 妒( 七) 七 和gk o 素数且妒( k o ) = 4 p q 2 2 p q 2 p q + 1 ，2 ( 2 p q + 1 ) 其中2 p q + 1 为素数 lp g 不存在 p4 叮4 口+ 1 ，2 ( 4 q + 1 ) 其中幻+ 1 为素数或者3 m ，4 m ，6 m 其中m = 2 q + 1 为素数 q4 p 卸+ l ，2 ( 4 p + 1 ) 其中和+ 1 为素数 2 p 2 口2 q + 1 ，2 ( 2 q + 1 ) 其中2 口+ l 为素数 2 9 2 p 2 p + 1 ，2 ( 2 p + 1 ) 其中2 p + 1 为素数 4 pq不存在 4 口p 不存在 p q 4 5 ，j 口或j 2 2 p q 2 3 ，4 ，6 妇g j2 现在我们根据n 的取值情况来证明定理4 情形j 当7 1 = 1 时，妒( ) = 4 p q 由引理2 2 知g , 挺- - r 解 1 6 情形2 当n = 2 时妒( ) = 2 p q 此时k = 2 p q + 1 或2 ( e p q + 1 ) ，其中2 p q + 1 为素数设2 p q + 1 = r ，则r 1 0 3 取g 中最高阶元n ，o ( a ) = r 或o ( a ) = 2 r 衡 有 e l = i t ：a r c ( ) i i n c ( ) ：c b ( ) i - i c cc ) 由于。为最高阶元，故有”i c b ( ) i = 口( ) ，c 台( ) 为r - 群或( 2 ，r ) 群 ，由_ c 定理知j g ( ) ：g 台( ) j i2 p q 于是由( ) 知7 r ( g ) ( 2 jp ，口， r ) 如果l g l 含2 个或3 个素因子，则由引理2 7 知g 可解设l c l 含4 个素因 子，如果g 不可解，则g 有一截段同构于某甄单群或凰单群，由引理2 7 和 引理2 9 知，这不可能于是g 可解 情形3 当n = p 时，妒( 女) = 4 q 有两种情形t ，j 先设4 口+ 1 为素数此时k = 4 q + 1 或2 ( 4 q + 1 ) 设4 口+ 1 = r ，则r 2 9 取最高阶元a 设f = i g ： r g ( ) i ，则”( f ) ( 2 ，p ，q ，r ) 若否，设有 r l ( f ) 但r l 焉p ，g jr ) ，因此有r 1 7 r ( g ) 但同时我们可以取c 中另外一最 高阶元口l 使得l g ：g ( ) j 不合素因子r l ，r 否则对g 中任何最高阶元a 都 有r l i i c ：g ( ) i 则r l l p由p 为素数知只有r l = p ，矛盾于rg 2 ，p ，g ，m ) ，因此又有r ig ( g ) 矛盾所以由( ) 知口( g ) f 2 ，p ，玑r )再类似情形 2 的讨论知g 可解 3 2 设2 q + 1 为素数此时分= 3 r ，4 r 或6 r 三种情况，其中r = 2 q + 1 ，r 1 7 假设 = 3 r ，此时由( ) 知( g ) 2 ，3 ，q ，r ) 或 2 ，3 ，p ，q ，r ) 再分 两种情况 3 2 1 如果f p 即7 r ( z ) 2 ，只玑r ) ，则g 最多为隅3 ，口，一一群如果g 不 可解，则g 有一截段 同构于某一耳3 或凰单群 如果 同构于“单群，由文献j 5 和引理2 9 只能同构于下列群之一 ，l 3 ( 7 ) ( 2 5 3 2 7 3 1 9 ) ，三3 ( 8 ) ( 2 9 3 2 7 2 7 3 ) ，l 3 ( 1 7 ) ( 2 9 3 2 1 7 3 3 0 7 ) ，g 2 ( 3 ) ( 2 6 3 6 7 1 3 ) ， 观( 7 ) ( 2 7 3 7 3 4 3 ) ，u 3 ( 8 ) ( 2 9 3 4 - 7 1 9 ) ，3 d 4 ( 2 ) ( 2 1 23 4 7 2 1 3 ) ， 纠l 2 c r ) ，r 为素数，且满足方程： r 2 1 2 a3 6 u c ， ( 1 ) m l ，b2l ，c l ，r ，u 为素数， u 3j i 纠如( 2 ”) ，m 满足方程组； 2 m l = u 2 m + 1 = 3 t b ，( 2 ) r m 1 ，b 2 l ，t ，u 为素数。t 3j i 1 7 钉如( 3 ”) ，m 满足方程组t 3 m 一1 = 2 u o 3 ”+ 1 = 4 t 3 ”一l = 2 u 3 ”+ 1 = 4 t 6 ，( 4 ) 似1 ，b 1 , t ，u 为素数，c l j 如果a 兰l 3 ( 7 ) ( 2 5 3 2 - 7 3 1 9 ) ，则此时必有q = 7 或q = 1 9 ，但相应的r = 2 9 + 1 1 9 和7 矛盾同理可证明当a 不可能于同构于j j 中的其他单群 如果a 鲁l 2 ( r ) ，则( u ，t ) = ( 口，r ) 或( n q ) 必须满足方程r ，同时注意r = 2 q + 1 只