金属塑性成形理论课后答案.pdf

1 第一章第一章 1-10 已知一点的应力状态10 1000 155 20 ij MPa，试求该应力空间中 122zyx的斜截面上的正应力 n 和切应力 n 为多少？ 解：若平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为： 222 CBA A l， 222 CBA B m， 222 CBA C n 因此： 3 1 2)(-21 1 222 l， 3 2 2)(-21 2- 222 m； 3 2 2)(-21 2 n 222 Sxx lxy mxz n= 3 100 3 2 50 3 1 200 Syxy ly mzy n = 3 350 3 2 150 3 1 50 Szxz lyz mz n= 3 200 3 2 100 111 9 1000 3 2 3 200 3 2 3 350 3 1 3 100 SSS nml zyx 12500 3 200 3 350 3 100 222 2222 zyx SSSS 4 .13 9 1000 12500 2 1-11 已知 OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12） ，其应力张量为： 103020 5040 100 ij ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。 解： 1 J zyx =100+50-10=140 2 J 222 xyxzyzyxzxzy =10050+50（-10）+100（-10） -40 2-(-20)2-302 2 =600 3 J 321 = 222 2 xyzxzyyzxxzyzxyzyx =-192000 0192000600140 23 1=122.2,2=31.7,3=49.5 m=140/3=46.7 ; 7 .563020 3 . 340 3 .53 ij ; 7 .46000 7 . 460 7 . 46 m i 8=m =46.7 1 .39)()()( 3 1 2 13 2 32 2 218 1-12 设物体内的应力场为 3 1 2 6xcxy x ， 2 2 2 3 xyc y ，yxcyc xy 2 3 3 2 ， 0 zxyzz ，试求系数 c1，c2，c3。 解：由应力平衡方程的： 0 zyx 0 xy3cxy2c zyx 0 xcy3cx3c6y zyx z zy zx 23 yzyyx 2 3 2 2 2 1 2 zx yx x 即：0 xc-3cy3c6 2 31 2 2 （1） 03c2c 23 （2） 有（1）可知：因为 x 与 y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零， 因此，-6-3c2=0 （3） 3c1-c3=0 （4） 联立（2） 、 （3）和（4）式得： 即：c1=1，c2=2，c3=3 1-13 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 037508 75005 805005 ij 求外法线方向余 弦为 l=m= 2 1 ，n= 2 1 的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。 3 解：Sxx lxy mxz n=24050 2 1 80 2 1 50 2 1 50 Syxy ly mzy n = 25 .3725 2 1 75 2 1 50 Szxz lyz mz n=2155 . 2 2 1 30 2 1 75 2 1 80 S=111.7 J1=20 J2=16025 J3=-806250 3-202-16025+806250=0 方程具有三个不相等的实根！ 1=-138.2, 2=99.6,3=58.6 1-14 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为 a) 01001- 0010 10-001 ij MPa； b) 0100 0050 0500 ij MPa； c) 6001- 025- 10-5-01- ij MPa 1）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效 应力、应力偏张量及球张量。 解：a）点的应力单元体如下图 2） a) 01001- 0010 10-001 ij MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=200 MPa，J 3=0 MPa， 主应力和主方向： 1=20 MPa，l=; 2 2 m=0；n=; 2 2 2=-10 MPa，l=m= n=0 4 3=0 MPa，l=; 2 2 m=0；n=; 2 2 主剪应力 12= 15 MPa；23= 5 MPa；12= 10 MPa 最大剪应力 max=15 MPa 八面体应力8=3.3 MPa；8=12.47 MPa。 等效应力45.26MPa 应力偏张量及球张量。 3 02 001- 0 3 04 0 10-0 3 02 ij MPa； 3 01 00 0 3 01 0 00 3 01 ij MPa； b) 点的应力单元体如下图 0100 0050 0500 ij MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa， 主应力和主方向： 1=10 MPa，l=m= n=0 2=50 MPa，l= m=; 2 2 n=0； 3=-50 MPa，l= m=; 2 2 n=0。 主剪应力 12= 20 MPa；23= 50 MPa；12= 30 MPa 最大剪应力 max=30 MPa 八面体应力8=3.3 MPa；8=41.1 MPa。 等效应力2 .87MPa 应力偏张量及球张量。 3 02 00 0 3 01 50 050 3 01 ij MPa； 3 01 00 0 3 01 0 00 3 01 ij MPa； 5 c) 点的应力单元体如下图 6001- 025- 10-5-01- ij MPa 该点的应力不变量：J1=-18 MPa，J 2=33 MPa，J 3=230 MPa， 主应力和主方向： 1=10 MPa，l=m= n=0 2=50 MPa，l= m=; 2 2 n=0； 3=-50 MPa，l= m=; 2 2 n=0。 主剪应力 12=20 MPa；23=50 MPa；12=30 MPa 最大剪应力 max=30 MPa 八面体应力8=-6MPa；8=9.7 MPa。 等效应力=20.6MPa 应力偏张量及球张量。 12001- 085- 10-5-16- ij ； 600 060 006 ij 1-19平板在 x 方向均匀拉伸（图 1-23） ，在板上每一点 x =常数，试问 y 为多大时，等效 应力为最小？并求其最小值。 图 1-23（题 19） 解：等效应力： 6 2 x 2 y 2 yx 2 xz 2 yz 2 xy 2 zx 2 zy 2 yx )()()( 2 1 6)()()( 2 1 令 2 x 2 y 2 yx )()()(y ， 要使等效应力最小， 必须使 y 值最小， 两边微分得： xy yx y yyyyx 2 0-2 0 d dy d2d)(2 等效应力最小值： x 2 x 2 y 2 yx min 3 )()()( 2 1 1-20在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与 x 轴交成角的一个平面上，其正应力为 （0） ，切应力为，且为最大切应力 K，如图 1-24 所示。试画出该点的应力莫尔圆， 并求出在 y 方向上的正应力y 及切应力xy，且将yyz 及x、xy 所在平面标注 在应力莫尔圆上。 图 1-24（题 20） 解：由题意得知塑性区一点在与 x 轴交成角的一个平面上的切应力为为最大切应力 K，因 此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应 力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图 1-25 所示。 图 1-25 7 os2cK Ksin2 xy y 8 第二章第二章 2-9设xya;bx);y2x(a xy 2 y 22 x ，其中 a、b 为常数，试问上述应变场 在什么情况下成立？ 解：对)y2x(a 22 x 求 y 的 2 次偏导，即： 4a y 2 x 2 （1） 对 2 y xb求 x 的 2 次偏导，即： 2b x 2 y 2 （2） 对xya xy 求 x 和 y 的偏导，即： a yx xy 2 （3） 带（1） 、 （2）和（3）入变形协调方程（4） ，得： yxxy xyy x 2 2 2 2 2 )( 2 1 （4） a)2b4a( 2 1 即：-ba 时上述应变场成立。 2-10 试判断下列应变场是否存在？ （1） 2 x xy，yx 2 y ，xy z ，0 xy ，yz 2 1 2 yz ， 22 xz yx 2 1 （2） 22 x yx ， 2 y y，0 z ，2xy xy ，0 xzyz （1）解：对 2 x xy、yx 2 y 和xy z 分别求 x、y 或 z 的 2 次偏导，对0 xy 、 yz 2 1 2 yz 和 22 xz yx 2 1 分别求 x、y 和 z 的 2 次偏导，则： 2x y 2 x 2 , 0 z 2 x 2 ； （a） 2y x 2 y 2 , 0 z 2 y 2 ； （b） 9 0 x 2 z 2 ， 0 y 2 z 2 ； （c） 0 yx xy 2 ， 0 zy zy 2 ； 0 zx zx 2 （d） 将（a） 、 （b） 、 （c）和（d）代入变形协调方程（e） ： yxxy xyy x 2 2 2 2 2 )( 2 1 zyyz yz z y 2 2 2 2 2 )( 2 1 （e） xzzx zxxz 2 2 2 2 2 )( 2 1 则（e）第一式不等，即： 0)2y2x( 2 1 这说明应变场不存在。 （2）对 22 x yx 、 2 y y和0 z 分别求 x、y 或 z 的 2 次偏导，对2xy xy 和 0 xzyz 分别求 x、y 和 z 的 2 次偏导， 2 y 2 x 2 , 0 z 2 x 2 ； （a） 0 x 2 y 2 , 0 z 2 y 2 ； （b） 0 x 2 z 2 ， 0 y 2 z 2 ； （c） 2 yx xy 2 ， 0 zy zy 2 ； 0 zx zx 2 （d） 则：2 yx 1) xy ( 2 1 xy 2 2 y 2 2 x 2 ，说明应变场不存在。 2-11设物体中任一点的位移分量为 x y zw yzxv zxyu 33 333 333 101 . 01010 101 . 01005. 0105 1005. 0101 . 01010 求点 A（0.5，1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。 10 解： y101 . 0 x u 3 x z y y 3 101 . 0 xy101 . 0- z 3 z 33 yxxy 10025. 0 x1005. 0) xy u ( 2 1 xzy yz yz 33 1005. 01005. 0)( 2 1 yz1005. 010025. 0) z u x ( 2 1 33 zx 将点 A 的 x=0.5，y=1，z=0 代入上式，得点 A 的应变分量 33-3 3- 33 A 100.0510.050-10025. 0 100.05-00 10025. 00101 . 0- 对于点 A： 4 zyxmA 10 6 1 -)( 3 1 5 5 5 mAij 10 3 5 -00 010 3 5 -0 0010 3 5 - 3 zyx1 1005. 0-I 10 2 zx 2 yz 2 xyxzzyyx2 10-8.125)(-)(I -13 3 105 . 2I 0 32 2 1 3 III 即：0105 . 2108.125-101.5 13-102-43 4 3 -5 2 -5 1 1040 .-1102.9103 . 8 ， 11 4 zyx8 10 6 1 -)( 3 1 3 2 zx 2 yz 2 xy 2 xz 2 zy 2 yx8 107.73 )(6)()()( 3 1 4 8 101.092 2-12 物体中一点应变状态为： 001. 0 x ，005. 0 y ，0001.-0 z ，0.0008 xy ，0006. 0 yz ， 0004. 0 xz ，试求主应变。 解：由题可知： 4- 10 1-64- 6508 4-810 3 zyx1 105.9I -6 2 zx 2 yz 2 xyxzzyyx2 103.24)(-)(I -9 3 101.98I 即：0101.98103.24105.9 -10-62-33 解方程得主应变： 3 3 -3 2 -3 1 10.73103 . 8104 . 6 ， 2-13已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为yxUx 40 1 200 3 4 1 ， yxUy 200 1 25 1 5 1 ，试求该点的应变分量 xyyx ,，并求出主应变 21, 的大小与 方向。 解： 0.015 x ux x -0.005 y uy y 0.0325) x u y u ( 2 1 y x yxxy 2 yx1 101.0I 12 -3 2 xyyx2 10-1.13125-I 0I3 即：0101.13125-101.0 -32-23 解方程得主应变：0,0.029-0.039, 321 由： 3-3- 10 000 0290 0039 n m l 10 000 0532.5 032.515 得： 1ml 39m5 .32l15 22 解这个方程得：m1=0.5575, m2=5.16。由于 m2=5.161，与方向余弦规定不符，因此， m1=0.5575 才是正确解。由此得：l=0.689。 即1=-0.039 时，方向余弦为：l=0.689，m=0.5575，n=0。 同理可求：2=0.029 时，方向余弦为：l=0.8025，m=0.5966，n=0。 13 第三章第三章 3-6某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为 x=75，y=15，z=0，xy=15（应力 单位为 MPa） ，若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则： 2 xz 2 yz 2 xy 2 xz 2 zy 2 yxs 6 2 1 得该材料的屈服应力为： 73.5MPa001567500151575 2 1 2 222 s 3-7试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为： s 2 3 2 2 2 1 2 3 证明：由密席斯屈服准则： s 2 2 31 2 23 2 21 即： s 323121 2 3 2 2 2 1 （1） 而： 233121 2 3 2 2 2 1 233121 2 3 2 2 2 1 2 321 3 2 321 2 2 321 1 2 3 2 2 2 1 - 6-66666 6 1 3332 3 2 3 （2） 所以： （1）式与(2）式相等。 3-8试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于 弹性还是塑性状态？（材料为理想塑性材料） a) s s ij 00 000 00 ， b) s s s ij 400 050 005 ， c) 000 01 . 00 002 . 1 s s ij ， d) s s ij 6 . 000 000 005 . 0 ， 14 e) s s s ij 5 . 100 05 . 00 00 ， f) 000 0054 . 0 054 . 00 s s ij 解：a)由屈雷斯加屈服准则：1-3=s得：s-0=s，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 s 2 31 2 23 2 21 2 1 。存在。应力处 于塑性状态。 b)由屈雷斯加屈服准则：1-3=s得：-4s+5s =s，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 s 2 ss 2 ss 2 ss 2 31 2 23 2 21 45-54-55 2 1 2 1 存在。应力处于塑性状态。 c)由屈雷斯加屈服准则：1-3=s得：1.2s-0 =1.2ss，不存在。 由密席斯屈服准则 ss 2 s 2 s 2 ss 2 31 2 23 2 21 33 . 1 2 . 1001 . 01 . 02 . 1 2 1 2 1 不存在。 d)由屈雷斯加屈服准则：1-3=s得：0.5s+0.6s =1.1ss，不存在。 由密席斯屈服准则 ss 2 ss 2 s 2 s 2 31 2 23 2 21 96. 0 5 . 06 . 0-6 . 0005 . 0 2 1 2 1 存在。应力处于弹性状态。 e)由屈雷斯加屈服准则：1-3=s得：-0.5s+1.5s =s=s，存在，应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 ss 2 ss 2 ss 2 ss 2 31 2 23 2 21 75. 0 5 . 1-5 . 15 . 0-5 . 0- 2 1 2 1 存在。应力处于弹性状态。 15 f)由屈雷斯加屈服准则：max=（1-3）/2=s/2 得：max =0.45ss，存在，应力处于弹性状 态。 由密席斯屈服准则 ss 2 s 222 222 78. 045. 03 )(6)()()( 2 1 zxyzxyxzzyyx 存在。应力处于弹性状态。 3-9 已知开始塑性变形时点的应力状态为 000 01515- 015-75 ij ， 试求： （1）主应力大小； （2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力； （3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。 解：由于点的应力状态为平面应力状态，由 2 2 2, 1 22 xy yxyx 得主应 力1和 2： 2 2 2, 1 15 2 1575 2 1575 主应力为：1=78.54，2=11.46，3=0 最大切应力：max=33.54 单轴向屈服应力为： 67.08 2 2 2 xy 2 yx s 作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算： 单轴向屈服应力：s=13=78.54； 作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力： 48.73 )0015(6)750()015()1575( 2 1 )(6)()()( 2 1 2222 2 zx 2 yz 2 xy 2 xz 2 zy 2 yx s=73.48 16 第四章第四章 4-5有一金属块，在 x 方向作用有 150MPa 的压应力。在 Y 方向作用有 150MPa 的压应力， z 方向作用有 200MPa 的压应力。 试求金属块的单位体积变化率 （设 E=207103MPa， =0.3） 。 解：各方向应力为：x=y=-150MPa，z=-200MPa，则球应力为：m=-166.7 MPa 单位体积变化率为： mm 21 E 7 .166 10207 3 . 02-1 3 m 即：m =-3.2210-4 4-6已知一点的应力状态如图 4-16 所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。 图 4-16 (题 15) 解：设 123，则： 平均应力： 5 3 249 3 1 321m 应力偏量为： 3-00 01-0 004 由列维米赛斯增量理论dd ijij 得： -3ddd -ddd 4ddd 33 22 11 主应变简图如图示： 17 4-7 两端封闭的细长薄壁管平均直径为 r， 平均壁厚为 l， 承受内压力 p 而产生塑性变形， 设 管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。 解： 4-8 求出下列两种情况下塑性应变增量的比： 单向应力状态： 1s 纯剪力应力状态：/3 ss 解：设 123，则： 33 1 s 321m ，因此，应力偏量为： 3 -00 0 3 -0 00 3 2 s s s 由列维米赛斯增量理论dd ijij 得： d 3 -d d 3 -d d 3 2 d s 3 s 2 s 1 塑性应变增量的比为： 1 d d , 2- d d -2, d 3 - d 3 2 d d 2 2 2 1 s s 2 1 同理：同理： 解：已知纯剪力应力状态： /3 ss 应力张量为： 18 0 33 3 0 3 33 0 ss ss ss ij 由列维米赛斯增量理论dd ijij 得： d 3 d d 3 d d 3 d s xz s yz s xy 塑性应变增量的比为： 1 d d d d yz xz yz xy 19 第六章第六章 1. 20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为5050mm，室温下压缩至高度 h=25mm，设 接触表面摩擦切应力=0.2Y，已知 Y=7460.20MPa，试求所需变形力 P 和单位 流动压力 p。 解：圆柱压缩时体积不变，则当 h=25mm 时， 225 254 50 R 3 mm。 5 . 0 50 2550 H hH =0.2 Y =0.27460.20=129.9MPa 当=max， max=K=129.9MPa 由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为 =0.2Y，Y=7460.20MPa，设三个坐标方向的正应力 r、和 z视为主应力，且 与对称轴 z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平 衡方程为： 令 sin(d/2)d/2，并忽略二次微分项，则得 由于轴对称条件，r=。此时平衡方程简化为 20 dr h 2 d z r 1-1 根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为 K2 rz 或 zr dd 代入式（1-1） ，得 dr h 2 d z z 因此 Cr h 2 ln z 或 r h 8 .259 1z eC 1-2 边界条件：当Rr 时，0 r 。由近似屈服条件知，此时的K2 Z ，代入方程 式（1-2） ，可得 R h 8 .259 1e CK2 或 h R 8 .259 1 Ke2C 代入式（1-2） ，得 h )rR( 8 .259 z Ke2 1-3 因为：h=25，R=225，K=129.9MPa )r225(36.10 z e8 .259 所需变形力 P 为： 5 )r225(36.10R 0z R 0 105 . 7 rdr2e8 .259dsP 压板上的平均单位压力用p表示，则 21 12.191 R P p 2 MPa 2. 模内压缩铝块，某瞬间锤头压力为 500kN，坯料尺寸为 5050100mm3，如 果工具润滑良好， 并将槽壁视为刚体， 试计算每侧槽壁所受的压力 （如图 6-11） 。 图 6-11（题 2） 解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度 h，宽度 为 dx，长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿 x 轴坐标有 dx 的变量 是，x相应的变化量就可用微分 dx来表示。y 方向上的压应力用 y表示。摩擦 力 f 的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力 p，如图所示。 列出单元体的微分平衡方程： 02)(dxfhdh yxxx 02dxfdh yx 2-1 屈服条件为： k xy 2 因此， yx dd 将此式代入式（2-1）整理得 h dx f d y y 2 积分后得： Cx h f y 2 ln x h f y eC 2 1 2-2 根据应力边界条件确定积分常数。 应力边界条件为：当2/bx 时，x=p。 由屈服条件式，得pk2 2/bx y 22 代入式（2-2）求系数 C1得： 2 b h f2 1 epk2C 因此： )x 2 b ( h f2 y epk2 hdxepk2hdxP 2 b 0 )x 2 b ( h f2 2 b 0 y 已知锤头压力 P 为 500kN，代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力 p。 3. 圆柱体周围作用有均布压应力，如图 6-12。用主应力求镦出力 P 和单位流动 压力。 ，设=mk。 图 6-12（题 3） 解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力 r、 和 z视为主应力，且与对称轴 z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单 元体沿径向的静力平衡方程为： 令 sin(d/2)d/2，并忽略二次微分项，则得 23 由于轴对称条件，r=。此时平衡方程简化为 dr h 2 d z r 3-1 根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为 K2 rz 或 zr dd 代入式（3-1） ，得 dr h mk2 d z z 因此 Cr h mk2 ln z 或 r h mk2 1z eC 3-2 边界条件：当Rr 时，r=0。由近似屈服条件知，此时的K2 Z +0，代入方 程式（3-2） ，可得 R h mk2 10 eCK2 或 h R mk2 01 eK2C 代入式（3-2） ，得 h ) rR( mk2 0z eK2 3-3 所需变形力 P 为： 压板上的平均单位压力用p表示，则 2 R P p 5 试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。（不考虑材料加 工硬化） 24 图 6-14（题 5） 解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图 6-14，为平面应力状态，设正应力 r、为主应力，单元体沿径向的静力平衡方程为： 0hdr 2 d sin2rhdhddrrd rrr 令 sin(d/2)d/2，并忽略二次微分项，则得 0 rdr d rr 5-1 将屈服条件 r=2K 代入上式得 CrlnK2 r 积分常数 C 根据凸缘的外缘处（r=R）的 r =0 边界条件，得积分常数 RlnK2C 凸缘变形区的应力分布为： r /RlnK2 r 5-2 25 第七章第七章 7-10 解：已知 族是直线族， 族为一族同心圆，c 点的平均应力为：mc= 90MPa，最大切应力为 K=60MPa。C 点应力为： 02cosK MPa150 2 sin60902sink2 MPa30 2 sin60902sink2 Cxy CmCyc CmCxc 图 7-1z 由于B 点在 族上， 族是直线族，因此，所以 B 点应力状态和 C 点相同。 D 点在 族上， 族为一族同心圆，因此由沿线性质得： )(k2 dcdmcm 即： 2090 6 k290 )(k2 dccmdm D 点应力为： 51.9 6 5 -cos602cosK MPa8 .182 6 5 sin6020902sink2 MPa8 .122 6 5 sin6020902sink2 Cxy Cmdyd Cmdxd D 点的应力莫尔圆 26 图 7-2z 7-11 试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷 P(图 7-36)。设冲头宽度为 2b，长为 l，且 l2b。 解： （1）确定滑移线场。 设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于平冲头光滑，故可认为冲头与坯料 之间无摩擦，因此 AO 区域可看成是光滑（无摩擦）接触表面，滑移线场和确定 、 方向如图教材中图 7-10。 AB 区域表面不受力， 可看成是自由表面， 但受 AOD 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第 2 种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7-9b 所示，在均匀滑移线场 ADO 和 ABC 之间必然存在简单滑移 线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场，如图 7-3z。 图 7-3z (2)求平均单位压力。 取一条线 BCDO 进行分析，由于 B 点在自由表面上，故其单元体只有一个 压应力，由此可判断出 1c=0，根据屈服准则，13=2k，因此，3c=2k。而平 均应力 mc=(1c+3c)/2，可得k Bm 。 已知 O 点在光滑接触表面上，因此4/ o ，其单元体上承受冲头压力和 金属向两边流动的挤压力，即存在 x，y作用，均为压应力，且 3=y=-p，其绝 对值应大于 x，根据屈服准则可得 1=x=-p+2k，平均应力 mo=-p+k (3)求角度。 27 对线 BCDO 进行分析。接触面 AO 上的 O 点的夹角 o为/4，在自由表 面 AB 上的 B 点的夹角 B为 /4+。 则=0-B=D-C=/4（/4+）=/2 (4)求极限载荷 由汉盖应力方程式 k2)(k2 BomBmo 得： k) 2 (k2)k(kp 即： kp 极限载荷 P 为：kbl2blp2P 7-13 图7-37为一中心扇形场， 圆弧是线， 径向直线是线， 若AB线上m=-k， 试求 AC 线上 m。 图 737 （题 13） 解：已知直线 AB 是 线，其上 m=-k，故 B 点的 mB=-k，AC 线是 线，但 也是直线，直线上的 m相同，求出 C 点的 m，即得到 AC 线上 m。C 点的 m 可通过圆弧 BC 求，已知圆弧 BC 是 线，由汉盖应力方程式 k2)(k2 BCmBmC 即： 6 k2)k( mC 1 3 k mC 即AC 线上 m为： 1 3 k mC 7-14具有尖角2的楔体， 图7-38在外力 P 作用下插入协调角度的 V型缺口， 试按 1）楔体与 V 型缺口完全光滑和 2）楔体与 V 型缺口完全粗糙做出滑移场， 求出极限载荷。 28 图 7-4 z 第一种情况：楔体与 V 型缺口完全光滑 解： （1）确定滑移线场。 设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之 间无摩擦，因此 AB 区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定 、 方向如 图教材中图 7-10。AE 区域表面不受力，可看成是自由表面，但受 ABC 区域金属 流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定 、 方向如 图如图 7-9b 所示， 在均匀滑移线场 ABC 和 ADE 之间必然存在简单滑移线场， 由 此确定出具有尖角 2的楔体在外力 P 作用下插入完全光滑的 V 型缺口时的滑移 线场，如图 7-4z。 (2)求平均单位压力和角度。 AB 面是光滑接触表面上，因此4/ B 。由于垂直于 AB 面的压应力大 于平行于 AB 面的压应力，因此，可以确定平行于 AB 面的压应力为 1，垂直于 AB 面的压应力为 3=-p，根据屈服准则，13=2k，因此，1=2k+3=2k-p，而 平均应力 mB=(1+3)/2，可得p-k Bm 。 AE 面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出 1E=0，根据屈服 准则， 13=2k， 因此， 3E=2k。 而平均应力 mE=(1E+3E)/2， 可得k Em 。 4/ E 。 (3)求极限载荷 已知 BCDE 线为线，由汉盖应力方程式 )(k2 EBmEmB 得： k2) 44 (k2)k(kp 即：1k2p 极限载荷 P 为：sin/1kbl4sin/blp2P 29 第二种情况：楔体与 V 型缺口完全粗糙做出滑移场 图 7-5z 解： （1）确定滑移线场。 设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于楔体与 V 型缺口完全粗糙，故可认 为冲头下坯料为变形刚性区。 AE 区域表面不受力， 可看成是自由表面， 但受 ABC 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7-9b 所示， 三角形 ABC 和 ADE 存在简单滑移线场， 由此确定出具 有尖角 2的楔体在外力 P 作用下插入完全粗糙的 V 型缺口时的滑移线场，如图 7-5z。 (2)求平均单位压力和角度。 AE 面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出 1E=0，根据屈服 准则， 13=2k， 因此， 3E=2k。 而平均应力 mE=(1E+3E)/2， 可得k Em 。 4/ E ， 三角形 ABC 是难变形区，该区内的金属受到强烈的等值三相压应力，AC 面 是摩擦接触表面上，垂直于 AB 面的压应力