（电路与系统专业论文）基于高阶累积量的阵列信号多参数估计技术.pdf

电子科技大学博士论文 ab s t r a c t e s t im a t in g p a r a m e t e r s o f w i d e - b a n d a r r a y s ig n a ls a c t s a s a n im p o r ta n t r o l e i n m o d e m a r r a y s i g n a l p r o c e s s i n g . h o w e v e r , t h e r e a re a lo t o f d i ff i c u lt ie s in t h e r e a l t i m e a p p l i c a ti o n o f w id e - b a n d a r r a y s y s t e m , s u c h a s : 1 ) s u b - n y q u is t s a m p l in g is n e c e s s a ry in th e w id e - b a n d a r r a y s y s t e m to a v o id s a m p lin g m u lt i- c h a n n e l a r r a y s ig n a ls s y n c h ro n o u s ly w it h n y q u i s t r a t e . h o w e v e r , m d e l a y e d c h a n n e l s a r e n e e d e d t o r e s o l v e t h e fr e q u e n c y a l i a s i n g c a u s e d b y u n d e r s a m p l i n g i n a t r a d i t i o n a l w i d e - b a n d a r r a y s y s t e m w i t h m s e n s o r s . t h i s m e a n s l a r g e a d d i t i o n a l h a r d w a r e c o s t a n d c a n c a u s e s o m e o t h e r p r o b le m s . 2 ) t h e p e r f o r m a n c e o f a p r a c t ic a l w id e - b a n d a r r a y s y s t e m c a n b e s e r io u s ly d e g r a d e d b y t h e e r r o r s in t h e m o d e l , m a i n ly r e s u lt in g fr o m s e n s o r s p o s it io n in g e r r o r s , m u tu a l c o u p l in g a m o n g s e n s o r s , m i s m a t c h in g a m o n g t h e a r r a y s e n s o r s a n d m i s m a t c h in g a m o n g r e c e iv i n g c h a n n e l s . 3 ) t h e c o m p le x s i g n a l e n v ir o n m e n t w h i c h in c l u d e s c o lo r e d n o is e a n d c o h e re n t s i g n a ls c a n a l s o d e g r a d e t h e p e r f o r m a n c e o f a lg o r it h m , e t c . a im in g a t m e l io r a t io n o f t h e a b o v e p ro b le m s , t h e a u t h o r s t u d i e d m o s t k e y p o i n t s i n a w i d e - b a n d a r r a y s y s t e m u s e d t o e s t i m a t e t h e fr e q u e n c i e s a n d 2 d - d o a s i g n a ls b a s e d o n 4 m - o r d e r c u m u la n t s i n t h i s d i s s e r ta t i o n . t h e m a in c o n t r ib u t io n s a n d c o n c l u s i o n s o f t h e d i s s e r t a t i o n a r e i n t h e s e v e r a l a s p e c t s a s f o l l o w s : 1 . t h e c a p a b i l i t y o f a r r a y e x t e n d i n g , t h e g e o m e t ry a n d t h e p r o p e r t i e s o f t h e e x t e n d e d b a s e d o n 4 s - o r d e r c u m u la n t s w e r e s t u d ie d in th e d i s s e r ta t i o n . t h e re s u lt s s h o w t h a t t h e a r r a y c a n b e e x t e n d e d in 2 a s p e c t s s i m u l t a n e o u s l y . o n e i s t h a t m o re v i r t u a l s e n s o r s a r e a c h i e v e d t h a t b re a k th r o u g h th e lim it a t io n o f t h e n u m b e r o f s ig n a ls th a t c a n b e re s o lv e d b y g o d - o r d e r a lg o r it h m . a n o t h e r is t h a t la r g e r a r r a y a p e r tu re i s a c h ie v e d th a t im p ro v e s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e a l g o r it h m e ff e c t i v e ly . 2 . a n a l g o r i t h m t o e s t i m a t e t h e fr e q u e n c i e s a n d 2 d - d o a s o f w i d e - b a n d a r r a y s i g n a l s b a s e d o n 4 s - o r d e r c u m u l a n t s w a s p r e s e n t e d . s u b - n y q u i s t s a m p l i n g i s u s e d in t h e a lg o r it h m a n d o n ly o n e a d d i t i o n a l d e l a y e d c h a n n e l i s n e e d e d t o r e s o l v e t h e fr e q u e n c y a l i a s i n g c a u s e d b y t h e u n d e r s a m p lin g . c o m p a re d to th e t r a d it io n a l 2 0 - o r d e r a lg o r ith m , th e n o v e l a lg o r ith m c a n s a v e h a r d w a r e c o s t , m e a n w h i l e i t m a k e s m u l t i - c h a n n e l s a m p l i n g s y n c h r o n o u s l y a n d k e e p i n g c h a n n e l s m a t c h i n g re l a t i v e l y e a s y . 3 . t r a d i ti o n a l l y , t h e c a l c u l a t i o n o f c u m u l a n t m a t r i x i s a l a r g e b u r d e n f o r a n y a l g o r i t h m b a s e d -2 - 电子科技大学博士论文 o n h i g h - o r d e r c u m u l a n t s . a d f t p r e p r o c e s s i n g m e t h o d w h i c h i n v o l v e s f f t a n d a s i m p l e p e a k - p i c k i n g p r o c e s s i s p ro p o s e d i n t h e d i s s e r t a t i o n t o d e c r e a s e t h e c al c u l a t i o n c o s t e ff e c t i v e l y . 4 . a n i m p r o v e d n o n - u n i f o r m s p a c e d a r r a y i n t e r p o l a t i n g al g o r it h m w a s p r o p o s e d t o a c h i e v e b e tt e r p e r f o rm a n c e , th e n a n al g o r it h m b a s e d o n 4 s -o r d e r c u m u la n t s w a s p r e s e n te d to e s t im a t in g f r e q u e n c i e s a n d 2 d - d o a s o f c o h e r e n t s i g n al s w i t h n o n - u n i f o r m s p a c e d a r r a y , w h i c h al s o i n c l u d e s a n e w i n t e r p o l a t i n g s e c t o r s e l e c t i n g m e t h o d . 5 . t h e m o d e l e r r o r s o f w i d e - b a n d a r r a y s y s t e m w e r e a n a l y z e d a n d a m o d e l - e r r o r e s t i m a t i o n a l g o r i t h m w a s p r o p o s e d t o e s t i m a t e t h e v a r i o u s k i n d s o f p r i m a ry m o d e l e r r o r s t h a t c a n d e g r a d e t h e p e r f o r m a n c e o f a w i d e - b a n d a r r a y s y s t e m . wit h t h e e s t i m a t e d e r r o r s i n h a n d , a r r a y c al i b r a t i o n c a n b e e a s i l y d o n e . k e y w o r d s : a r r a y s i g n a l c o h e r e n t s i g n a l p r o c e s s ingmu l t i - p a r a m e t e r e s t i m a t i o n w i d e - b a n d h i g h - o r d e r c u m u l a n t a r r a y m o d e l e r r o r 气 一 3 一 电 子科技大学博士论文 本文通用符号 本文数学符号依据文献规范， 标量用小写斜体字母表示，矢量用小写加黑的 字母表示， 矩阵用大写加黑字母表示，数学函数名用常规非斜体字母或单词表示。通用符号如下: a t a a h a i a* r a n k ( 冲 ) tr ( a ) d i a g ( a ) d i a g ( f a l , a 2 , . . . 叼) v e c ( a ) s p a n ( a ) 1以1卜 aob ao刀 i 1 r e ( x ) i m a g ( x ) e ( x ) 矩阵a的转秩 矩阵a的 共扼 矩阵a的共扼转秩 满秩方针a的逆矩阵 矩阵a的mo o r e - p e n r o s e 逆 矩阵a的秩 矩阵a的迹 取方阵a的对角线元素构成列矢量 以a , , a 2 , . . . ， a . 为 对角线元素构成的对角阵 将矩阵a的 元素逐列排成一个列矢量 矩阵a的 值域，即 其列矢里张成的子空间 矩阵a的f ro b e n i u s 范数 矩阵a和b的k r o n e c k e r 积 矩阵a和b的h a d a m a d e 积 单位矩阵 元素全为1 的方阵 取x 的实部 取x 的虚部 x的数学期望 - a- 电子科技大学博士论文 第一章 绪论 芬 1 . 1研究背景和意义 阵列信号处理是现代i p 号处理的一个重要分支， 其本质是利用空间分散排列的传感器阵 列和多通道接收来获取信号的时域和空域等多维信息， 达到检测信号和提取其参数的目 的。 对于 无线电 信号， 传感器单元即为各种形式的天线， 而上述“ 分散排列” 的意义甚至可进一 步扩展为天线单元的极化多样性， 以 提取电 磁信号的极化参数。 迄今为止， 阵列信号处理的 应用范围已 经涉及诸如雷达、声纳、 导航、 地展勘探、 射电 天文、 工业探伤、医学成像等领 域。 阵列信号处理系统的灵魂是以阵列信号处理算法为核心的 数字信号处理， 阵列系统的多 信号处理能力、 参数提取的高分辨、 高 精度和抗干扰能力等优点， 很大程度上都依赖于 适当 的阵列 信号处理算法。 高 分辨阵列 信号处理的出 现可追溯到六十年代j . p . b u r g ( 1 9 6 7 年) 提出 的最大墒谱估 计 方 法 p l和j . c a p o n ( 1 9 6 9 年) 的 最 小 方 差 谱 估 计 方 法 2 1 。 而 最 近 二 十 年钊 是 阵 列 信号 发 展 迅 猛 的 时 期， 出 现了 大 盆 优 秀的 阵 列 信 号 处 理 算 法 3 ,4 ,5 ,6 1 ， 其 中r . o . s c h m it ( 1 9 8 6 年) 提出 的m u s i c 算 法 7 .8 开创了 子 空间 类阵 列信号 处理 算 法 研 究 先 河， 可 视 为 阵 列信号 处理 算 法 研 究中的一个里程碑。 子空间类算法通过对数据矩阵的奇异值分析或者对空间协方差 矩阵( 或 高 阶 累 积 量 矩 阵 ) 的 特 征 值 分 析 来 划 分 噪 声 和 信 号 子 空 间 ， 利 用 阵 列 流 型 矢 量 和 子 空 间 的 关 系来构造各类信号参数估计算法， 突破了过去谱估计算法中阵列口径对参数估计性能的限 制 ， 成 为 高 分 辨 算 法 的 开 端 。 p a u lr a j . r o y 和k a il a t h ( 1 9 8 9 年) 等 提 出 的e s p r i t 算 法 19 1 利 用 信号 子 空间 的 旋 转不 变 特性 来估 计 信号 参数， 避免 了m u s ic 算 法在 信号 参数 空间 的 搜 索过程，同时在一定程度上降低了算法对硬件的要求。 信号多维参数估计是阵列信号处理技术的一个重要研究方向， 通常研究的多维参数估计 包括频率、 二维到达角和二维极化角等。 本文研究利用时空二维高 分辨谱估计算法来估计空 间信号的频率和二维入射角， 是为适应电子战信号 未知这类应用而提出的。 时空二维谱估计 系统一般工作于宽频段. 早 期 的 多 维 参 数 估 计 方 法 多 数 属 于 一 维 谱 估 计 方 法 的 直 接 扩 展 ， 如j . c a p o n z l ( 1 9 6 9 年) 等的 最 小方 差( m v ) 频率一 波 数估 计; l . b . j a c k s o n 等 p ) ( 1 9 9 3 年) 将最小 范 数 线性 预测 ( m n l p ) 方法推广到频率一波数二维参数估计等。 直接从一维谱估计扩展的二维参数估计 一5 一 第一幸绪论 方法并没有充分利用阵列接收信号中 携带的多维信息， 往往存在估计参数配对复杂或者计算 量过大等等缺点。 s . e . r o u 二和d . g . c h i ld e r s ( 12 ) ( 1 9 8 0 年 ) 提 出 的 二 维 最 大 墒 谱 估 计 方 法 可 能 是 最 早 直 接 针对 二维 谱提出 的 方 法， 而m . p . c l a r k 和l . s c h 耐13 ) ( 1 9 9 1 年) 提出 的 二 维 最大 似然 算 法， m . w a x , t j . s h a n 和t . k a il a t h l l ( 1 9 8 4 年) 提 出 的 二 维m u s i c 算 法 则 是 二 维 谱 估 计 早期的 典型算法。 这些算法 对于实际 应用都较少考虑， 如二维最大 似然算法本身 具有相干信 号处理能力， 参数估计精度高等 优良 性能， 但其求解过程需要多维最优化， 计算量大且可能 难以收敛到全局极值。因此运算量和参数初始估计精度成为这些算法的 首要障碍。 为 了 增 强 算 法 的 实 用 性 ， l . h . z o u 和l . y in l l -9 ( 1 9 8 7 年) 、 q . y in 和l . z o u l l ( 1 9 8 8 年) 分别提出了频率与到达方向 估计中的二维mu s i c算法分离实 现方法， 降低了搜索过程 的 运 算 花费 。 w s . m c c o r m ic k 和j . b . y t s u i ( 1 9 9 1 年) 提出了 估 计多 个 雷 达 脉 冲的 分 维 处理技术， 首先对单阵元的输出 信号利用现代谱估计方法进行频率估计， 然后在解线性方程 组的同时， 利用孙子定理估计信号到达方向， 此方法具有较强的实时性， 但需要有较长的时 域 采 样 数据 和 较高的 信噪比 。 m . d . z o lt o w s k i 和c . p . m a t h e w s 10 ( 1 9 9 4 年) 提出了 一 个宽 频段阵列处理方案， 以实现信号频率和二 维到达角联合估计。 该方案采用了时域和空域欠采 样技术， 分别使用了延时相位解模糊频率模糊和基于整数搜索解角度模糊的 解模糊方法。 为 了减少计算量， 使用了波束空间e s p r i t 和p r o - e s p r i t , 整个算法系统而且有较强的实用 性，体现了 9 0年代中期时空二维谱估计技术向实用系统发展的努力。 m. h a r r d t ， 和 j . a . n o s s e k l ( 1 9 9 7 年 ) 等 利 用u n ita ry e s p r i t 方 法 ， 进 行 了 针 对 通 信 频 段 的 入 射 信 号 频 率 和 二维到达角 估计。 估计过程中 将 复矩阵 运算转化为实矩阵运算， 简化了 运算复杂 程度。 但由 于要求阵列中心对称， 而且还需要在每个阵元后加多个延时抽头， 来获得接收数据， 这在通 信频段可行， 但在雷达频段， 宽频段将使阵列的配置变得困难， 而大瞬时带宽要求， 将使多 延时抽头的数据采集方案难以 实现。 m . v i b e r g 和p . s t o i c a l 1 ( 1 9 9 8 年) 在 色 噪 声 条 件 下 ， 采 用 状 态 空 间 方 法 获 得 频 率 估 计 后， 分别在二维角度上进行搜索， 实现了 频率和二维到达角估计。 由于角度估计是基于搜索 实 现的， 因此运算量大是不可避免的， 同时， 将二维角度搜索降为2 个一维搜索是以 牺牲估 计 精 度 为 代 价的 。 j . w . c . r o b in s o n lr ll ( 1 9 9 9 年) 采 用 多 个 平 移 不 变 子 阵 构 成 的 阵 列 ， 基 于 e s p r i 丁 方法实现了信号频率和二维到达角的估计。该方法主要适用于被动声纳系统。 在对理论算法的研究日 渐深入成果益丰的同时， 作为算法的 硬件支撑的数字信号处理器 ( d s p ) 的运算能力也越来越强，例如， t i 公司生产的商用d s p 处理器t m s 3 2 0 系列目 前 较 新 的 一 款 浮 点 芯 片c 6 7 ， 已 经 达 到 了1 g fl o p s ( 每 秒1 0 9 条 浮 点 指 令) 的 运 算 速 度 2 2 1数 字 信 号 处 理系 统的 关键部 分高 速 模 数 变 换 器 件 ( a d c ) 的 发 展 也 是 惊人的，目 前国 外 2 3 1 已 经有工作于6 g h z 的单路a d c . 一6 一 电子 科技大学博士论文 ; 1 . 2宽频段时空二维谱估计研究现状 经过近二十年的 发展， 阵列信号处理在理论上已 经逐步丰富和成熟， 出现了大量可资利 用的算法， 而作为算法硬件支撑的d s p 和a d c技术也在一定程度上满足了算法的需要， 阵 列信号处理由算法研究到实际应用系统的条件已 经具备。 但是到目 前为止， 在宽频段时空二 维参数估计领域， 并没有完善而简洁的算法可以 方便地应用， 并在现有的硬件水平下实现实 时处理。 从可供查阅的文献资料来看， 国内 外尚 未有宽频段时空二维高分辨参数估计的试验 系统报导。 宽频段时空二维高分辨参数估计中当 前的一些困难 和研究现状如下: 1 . 宽频段采样问题: 电 子 战 覆盖 频段2 - i 8 g h z 的 宽 频 段， 基 带带 宽 一 般 选 择为1 g h z , n y q u i s t 采 样需 要 2 g h z 以 上的 采样频率， 虽然单路2 g h z 采样己 经不 存在困 难， 但这样高 速工作的多路同步 采集现在还较难实现， 且后端支撑复杂参数估计算法的 数字信号处理器的处理速度也还达不 到要求， 因此欠采样是目 前宽频段阵列信号处理中 常采用的技术。 欠采样导 致频率混迭， 利 用测量延时和非延时通道的相位差可以 直接得到信号频率的 无模糊估计， 但这一方法的缺点 在 于 其 估 计 情 度 不 够 高 。 基于f f t 和 雷 达 测 距 解 模 糊 原 理， w . s . m c c o rt n i c k 和j . b . y . t s u i , i m ( e ) e * 1 ( 2 .4 ) 为 简化问 题， 实际中 尽可能地使用方向 性完全一致的阵元构成阵列， 并使得阵元在关心 的视角场内呈现均匀的方向性， 即可假设在视角场内 各阵元均为各向同 性的迷向传感器， 也 即各阵 元响应系数仅反映空间信号在该阵元上产生的延迟相位 ( 相对于阵列参考点) 。这时 阵列响 应矢量简化为: a ( b ) = e , e 0 . . . ， e _ , e . : 1 r ( 2 .5 ) ( 2 ) 阵元及通 道幅相特性一致性 由 于整个阵列系统各部分是级联关系，因此可将从阵元到 a j d 道的幅相特性合并考虑。设第m阵元对应信道的幅 度和相位特性为 数 将受 此幅 相 特性 加 权， 即 ( e ) = g , , - j e i z ， 式 ( 2 .2 ) 变为: x ( t ) = ra s ( t ) + n ( t ) 变换之前的整个模拟信 8 . , e i ti，则阵元响应系 ( 2 . 6 ) 一 l 4- 第二章 阵 列处理模型和高阶累 积i 式 中 r 二 d ia b 8 .e iw , 8 z e n ， 二 ， 8 m e gym ) 。 幅 相 不 一 致 性 对 阵 列 响 应 矢 量 的 加 权 将 严 重 影 响 信 号参数的估计， 因此在系统设计制作时 尽可能的保证一致性， 并辅以 特定的校正算法。 在算 法研究时一般假设满足一致性要求，即设厂 为一单位阵。 ( 3 )阵元互藕 阵元间的互藕效应和阵元间距的大小、 系统工作频段以 及所采用的传感器类型等诸多因 素有关。 为 避免测向 模糊通常要求阵 元间 距小 于或等于 信号半 波长 ( 刀 2 ) ，宽 频段处理时 满足此要求的阵元间距较小， 因而阵元间祸合效应较为严重。 设所有阵元之间的藕合系数矩 阵为c ，则考虑到阵元间互藕时的阵列输出 信号模型为: x ( t ) = c r a s ( t ) + q ( t ) ( 2 . 7 ) 阵元互藕也会影响测向效果。 适当增加阵元间距或采用非均匀间距的稀疏阵列可以在一 定程度减轻阵元间的互祸效应，必要时再采用算法进行校正。 ( 4 ) 阵元 位二 阵列测向的关键信息是空间信号入射到各阵元的相对延迟相位， 这一相位依赖于阵元之 间的 空间 位置， 如式( 2 .3 ) 所示， 因 此阵 元位置误差 直接导 致延迟相 位估计误差， 从而影响信 号参 数估计。 此外， 式( 2 .7 ) 中的阵元间 互祸 是阵 元位置的函 数， 因 此， 阵 元位里误差还 通过 阵元间互藕影响信号参数估计。 阵元位置误差比 较恒定， 可通过校正源测量估计出 真实的阵 元位理。 ( 5 ) 阵列模糊 使用阵元间 距大于刀2 的稀疏阵可能存 在阵列 模糊问 题， 这 种模糊包括一阶和高 阶模 糊。 阵列存在模糊性时不同到达角信号对应的阵列响应矢量不再是唯一的。 模糊性影响空间 信号到达角的可辨识性和确定性， 因 此一般情况下都假定阵列配置无模糊， 即阵元间 距不大 于r / 2 。 而 对于 稀 疏阵 列则 采用 特殊的 阵 元间 距 配置 方 法， 并 辅以 特定 的 解 角 度模 糊 算 法， 以 实现角度的无模糊估计。 ( 6 ) 各通道同步采集 n 设 阵列接收信号最终需要进行采样和a / d变换为离散数字信号后才能送入d s p 处理器进 行算法处理。 实际系统往往不可能实现所有通道完全同步采样， 即 使各通道使用一个采样时 钟信号， 也会因为诸如布线和时钟分配器等环节引入不同 程度的时钟抖动， 导致采样不同步. 由于时钟抖动是随机和不可校正的， 因此在设计采样电 路时必须依据系统指标中 对相位误差 的容许度， 精心选择器件和设计电路， 将时钟抖动控制在允许范围内. ( 7 ) n y q u is t 采 样率 以 高于n y q u is t 采样率的频率对( 2 .2 ) 式 所示的阵 列输出 信号 进 行采 样， 得到的 数字信号 一 1 5 - 电 子科技大学博士论文 模型可以简单表示为: x ( n ) = a s ( n ) + q ( n ) n = 1 , 之 . . . , n( 2 . 8 ) n 为 一 个 采样 时 段所处 理 的 信 号 快 拍 数 。 对于 信 号 处于宽 频 段的 情 形， 使 用n y q u i s t 采 样使得d s p 处理器必须处理过大的数据流， 而在当前d s p 处理器的处理能力较前端a / d速 率 几 乎 差1 护 全 级 2 1 ， 因 此 使 用比n y q u is t 采 样 率 低 的 频 率 对 信 号 进 行 欠 采 样 是 宽 频 段 信 号 处理的 一个重要方法。 对于欠 采样 信号模 型和 有关处 理算法， 将在有关章节中 详细介绍。 2 .2 .3 . 对信号和噪声的假设 ( 1 ) 窄带信号 阵列信号处理中窄带信号的含义是指空间 信号带宽 b远小于信号波前跨越阵列最大口 径所需 要的时间z u ， 即 信号 等 效时 宽1 /b 远大 于7 0 ， 以 保证所有阵 元“ 几乎同 时” 接收到 该 信号波前。由此得到窄带条件为: 旦 、 f l ( 2 .9 ) l一又 式中l 为阵列最大口 径， f 和a 分 别为 信号中 心频率 和该频率对应的 波长。 在满 足窄带条 件 下， 信号可以用中心频率为尸的 单频波来模拟。 ( 2 ) 远场假设 假设阵列处于辐射源的远区场， 即 辐射源到阵列的 距离远大于阵列的最大口 径， 从而入 射到阵列的信号波前 ( 等相位面) 可近似为平面。 满足这一条件使得阵列信号模型与离辐射 源的距离远近无关。 ( 3 ) 入射信号 统计特性 假设空间入射信号平稳且各态历经， 保证在一次处理中信号的频率和到达角等参数不发 生变化，并可以 用时间平均代替集平均。 如无特殊声明，设各入射信号相互独立，即 e s ( t ) s ( 1) = d in g a : , 代，, a ( 2 . 1 0 ) ( 4 ) 噪声 统计特性 假设各阵元噪声为高斯噪声， 噪声相关时间 远大于数据采样时间间隔， 即可将噪声视为 时间白噪声。 但由 于使用高阶累积量， 不要求噪声的空间 独立性， 即 基于高阶累积量的 算法 可处理色高斯噪声. 另外， 如无特殊说明， 本文假设 信号与噪声是相互独立的。 ( 5 ) 信号数目 一 1 6 - 第二章 阵列处理模型和高阶累积t 如无没有特别说明， 本文假设入射到阵 列的 信号个数己 经估计得到。 实际上信号个数估 计也属于阵 列信号处理中的 一个问 题， 己 经有较多成熟的方法如基于信息论准则的 信号个数 估 计 算 法a ic 和m d l 等 可 供 使 用 10 7一 川 气 2 . 3高阶累积量的定义和性质 高阶统 计量 指高于 二阶的 统计量， 高 阶 矩、 高 阶矩谱、 高 阶累 积量以 及高阶累 积量 谱都 属 于 高 阶 统 计 量 。 n 维 随 机 矢 量 的 ， 阶 累 积 量 吼 + ，晰由 其 联 合 特 征 函 数 (w w =, . . , w n ) 的 对 数 在 原 点 处 的 r ( = k ,+ k 2 + - 二切阶 导 数 定 义 ， 而: 阶 矩 气, k , . + 、 则 直 接 由 0 佃 , w , . ., w ) 在原点处的r ( = k , + k 2 + - 二 k m ) 阶导数定义: c , ,十 、 = c u m ( x .止 ，. ， x n ， . . . x n ) = ( 一) a w ;.a w ; . .a w n h c .g a. p ( 2 . 1 1 ) 其中 气 、 、 、 e 、 ， 冲 卜 (-j )r a (w uw x,.,w x)nlw,y . - e (xi. xn )= (-1) aw aw 2 .awn 少 =.- - 0 例码 ， 叭， 二 ， 叭) = 凡ej 晰 + + 吻 彻 ) ( 2 . 1 2 ) ( 2 . 1 3 ) 由 于高阶累 积量具有高阶矩所不具有的许多优良 性质， 因 此在阵列信号处理中常使用高 阶累积量而不使用高阶矩。 一般地，高阶累积量具有如下性质: 1 性 质1 同 一 联 合 特 征 函 数 定 义 的 累 积 量 与 矩 可 相 互转 换 定 义 集 合1 = (l 2 , - 二 ， 小 而 无 交 连 非 空 集 合 序 列11 11 1 2 , . . . , 1 1 ) 是 满 足 u 1 i v = 7 的 集 合1 的 一 种 分 割 ， 则 有 如 下 转 换 公 式 : m , = y,六 c , ( 2 . 1 4 ) u . . 1 v . 1 c , =l 哈 1 . ,( 一 ，)，一 。 一 1) !n m ,. ( 2 . 1 5 ) 性 质2 设a , n ， 为 常 量 序 列， x ,) ， 为 随 机 变 量， 则 c u m a x a 2x 2 ，二 ， a . x n ) = (rl a i)c u m (x , x y . ., x i ) ( 2 . 1 6 ) 性质3 累 积量 对其变 量具有可加性: 一 艺 x 11 x . , v x . , 2, . . ., x n = 艺 c u m ( x r+ x . . x . . a . ，动 ( 2 . 1 7 ) 性质4 1 如果随 机变量 c i ,. : 与 v i ， 统计 独立， 则 一 . ， 一 电子科技大学博士 论文 c u m x , 十 y x 2 + y 2 ， 二 ， x n 十 y ) = c u m xx 2 , . . . ， x , 卜c u m yy 2 ， 二 ， y n ) ( 2 . 1 8 ) ) 性质习高 阶累积量具有 盲高 斯特性。设7 ,) ， 为高 斯随机变量， 且独立于x i)， 则: c u m x , + r 7 x 2 十 7 2 , 二 、 x+ 1 i n 卜c u m x x 2 . . . . . x j ( 2 . 1 9 ) 性质6 如果x ,) ， 中 存在任一非 空子 集独立于 该 子集的 余集，则 -x x 2 ， 二 ， x , 卜0 ( 2 . 2 0 ) 性质7 累 积量中 变量的 排列 顺序不影响累 积量的 值。 由于高 阶累积量的复杂性和计算量大等因素， 目 前在应用中一般只使用四 阶及四阶以下 的累 积量。 而由于充分对称分布的 序列其奇数阶累积量为零， 因 此在阵列信号处理中最常使 用的是四阶累积量。 实际中一般都针对复 信号进行处理， 因此下面仅给出 复序列和复向 量序 列的四阶累积量的定义。 l 定 义2 . 1 复 序 列 的 四 阶 累 积 量零 均 值 复 平 稳 随 机 序 列 x ( n ) , n = 0 ， 士 1 , 士 2 , - 二 ， 土 “ ， 的 二、 三、四 阶累 积量定义为: q, ( k ) = e x ( n ) x ( n + k ) )( 2 .2 1 ) c , , ( k 4 ) = e x ( n ) x ( n + k ( n + k 2 ) ) c , , ( k k 2 , k , ) = e x ( n ) x ( n + k )x ( n + k 2 ) x ( n + k ,) ) - e x ( n ) x ( n + 幻) e x ( n 十 k 2 ) x ( n 十 气 ) - e x ( n ) x ( n + k ) ) e x ( n + k , ) x ( n + k o l - e x ( n ) x ( n + k , ) ) e x ( n + k ,) x ( n + k 2 ) ) 如果x ( n ) 为充分对称分布， 则 上式中 右边 第三 项为 零， 则四 阶累 积量为: c , . (k o k 2 . k3 ) = e x ( 咖( n + k ,) x ( n + k 2 ) x ( n + k , ) ) - e x ( n ) x ( n + k ,) ) e ( x ( n 十 k 2 ) x ( n 十 k , ) ) - e x ( n ) x ( n 十 k , ) ) e x ( n 十 气 拭。 + 勺 定 义2 .2 复 向 量 序 列 的 四 阶 累 积 量设m个 随 机 序 列 ( n ) ( m = 1 , 2 复随 机 序列， n = 0 ， 士 1 , 士 2 , 士 。 则m维复向 量序 列x ( n ) = x ,( n ) , x 2 ( n ) , 积量定义为: ( 2 . 2 2 ) ( 2 . 2 3 ) ( 2 .2 4 ) ， ， 硒均为零均值 . . , x . . ( n ) l 7 其四阶累 - x ( k v k aa, m z . m . ) = e (x h ( n ) x ( n + , ( n + k z) x , (n + k 3 ) ) - e ( x , ( n k( n + k ) ) e ( x , ( n + k = k( n + 勾 - e x , ,( n ) x , , ( n + k ,) ) e ( x ( n + k k( n + k 3 ) ) 一( x i ( n ) x u ( n 十 k 3 ) ) e x ( n + k )x , ( n 十 k 7 ) ) ( 2 .2 5 ) 式中 ， h n y . h , m h n . = 0 , 2 , . . . , m ) . 同 样 地， 如 果x ( n ) 中 各 序列 充 分 对 称 分 布， 则 上 式 右边第 三项为零: 一 1 a - 第二章 阵列处理 模型和高阶累积f - . ( k , k , , k , ; m - z , m m , ) = e x , ( n r ,;, (n + ) x , ( n + k , ) x . (n + k ,) ) - e x , (n ) x ( n 十 k ,) e x . ,( n 十 k , 月 (-+k,) 扭气( 咖氛 ( n + 幻 ) e x ;, (n 十 k , ) x ( n 十 勾 ( 2 .2 6 ) 阵列测向中 最常使用的是由 上式而定 义的 空间四 阶累 积量。 在上式中 令k i= k z = k ; = 0 : cuin ( m m , n h , m . ) = e x . , ( n ) x ( n ) x . , (n ) x . ,( n ) ) - e (x , ( n 呱( n ) ) e (x , ( n ) x , (n ) ) 一权( n ) x ( n ) ) e x ; ， ( n ) x , ( n ) ) ( 2 . 2 7 ) 在后面我们会看到， 使用上式定义的空间四阶累积量代替协方差进行阵列测向， 可以 获得阵 列口 径展宽 等好处。 实际 上在( 2 .2 6 ) 中 可以 令k , , k 2 , k ; 中 一个或两 个为非零的 常数， 其余为 零， 使用这样定义的时间空间混合累积量， 可获得阵列通道数目 的有效扩展， 这在后续章节 中将详细讨论。 一 t ， 一 电子科技大学博士论文 第三章 基于高阶累积量实现阵列扩展 扩展阵列是基于高阶累 积量的阵列信号处理算法的 一个重要特性， 阵列 扩展的意义在于 用相同的阵列获得更大的 信号分辨能力、 更高的 参数估计精度等。 这意味着实现相同的处理 能力只需要小规模的阵列和接收通道， 因而除了 可以降 低硬件复杂性和成本外， 还可以 降 低 算法对硬件系统的某些要求。 虽然基于高阶累 积量扩 展阵 列这一概念在文 献 5 8 中 才由m .c .d o g a n 和j .m .m e n d e l 等 人明 确提出， 但在之前已 有诸多文献提到了 基于高阶累积量的阵列处理算法具有分辨更多 信 号的 能 力 15 4 - 5 6 1 。 除了m e n d e l 等 人 一系 列 关于 高 阶 累 积 量的 研究 4 0 , 5 8 - 6 3 1之外， 其 他一 些 学 者 也就 阵 列 扩 展的 机理 和 性 质 等各 个层 面 进 行了 研 究 15 5 - 5 7 , 6 7 1 本章就阵列扩展的原理、 基于高阶累积量的阵列扩展能