（应用数学专业论文）关于复合马尔可夫二项模型的几个结论.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t t h i s p a p e r c o n c e r n s w i t h t h e c o m p o u n d ma r k o v b i n o m i a l r i s k m o d e l a n d a n a l y z e s t w o d i s c r e t e - t i m e r e n e w a l ( o r d i n a ry r e n e w a l a n d d e l a y e d r e n e w a l ) r i s k p r o c e s s e s . i n t h e c l a s s i c a l r i s k m o d e l , t h e d i s t r i b u t i o n o f c l a i m s i z e s a re i n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a l . i n t h i s p a p e r , w e c o n s id e r t h e c o m p o u n d ma r k o v b in o m i a l r i s k m o d e l .i n t h i s d o d e l t h e re e x i s t s a ma r k o v c h a i n wi t h wh i c h t h e d i s t r i b u t i o n o f c l a i m s i z e s a r e a s s o c i a t e dht h i s p a p e r w e o b t a i n g e r b e r - s h iu e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n a l ty f u n c t i o n m ( u ) b y u s e o f t h e o r i e s o f re n e w a l p r o c e s s a n d t h e p r o p e rt y o f g e n e r a t i n g f u n c t i o n . k e y w o r d s : ma r k o v c h a i n , c l a s s i c r i s k m o d e l , g e r b e r - s h i u p e n a l ty f u n c t i o n . 南 子 卜 大 学 学 位 it 文 电 子 版 授 权 使 用 协 议 ( 请将此协议书装订于论文首页) 论 文 打郎林肚冲膜型 时 f *v z- 系本人在 南开大学工作和学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩。 本人系本作品的唯一作者 ( 第一作者)， 录于 “ 南开大学博硕士学位论文全文数据库” 即著作权人。现本人同意将本作品收 。本人承诺:已 提交的学位论文电子 版与印刷版论文的内容一致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自负。 本人完全了 解 南开大 学图 书馆羡 于保 存、 使用学 位论文的 管理办 法。同 意 南开大学图书馆在下述范围内免费使用本人作品的电 子版: 本作品呈交当年，在校园网上提供论文目 录检索、文摘浏览以及论文全文部分 浏览服务 ( 论文前1 6 页) 。 公开级学位论文全文电子版于提交1 年后， 在校园网上允 许读者浏览并下载全文。 注:本协议书对于 “ 非公开学位论文” 在保密期限 过后同样适用。 院 系 所 名 称 : 扒科m 院 作 者 签 名 : 衫 龙 学 号 : 卜 04 5 7 今 日 期 : mb * i i 月可日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 尸 似狐 哪 年，i 月 对日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 淞、 学位论文作者签名: v t 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: r 一 - ，- - - - 一 - 一 一 一 - - 一 一一厂”/尹- 一 哭一 习 内部 5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密*1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) * 2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 垫 竺 竺凉 涵帐 房井尹 告_裁公一卜 手 叹乍沪今 乍厂 乃; 一七三 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己 经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已 公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 食 落 龙 -1 哪 年n , 日 第一章引言 第一章引言 时至今日，风险理论的发展经历了很长一段时期，其理论体系已经相当成 熟，这主要体现在其所构造模型的简洁和有效模拟，以及其所解决问题的现实 针对性。在古典风险模型中，人们比较关心的问题有破产概率、破产前后盈余 的分布，引起破产的索赔额的分布，平均破产时间等。当索赔额和索赔时间间 隔满足特定分布时，有许多风险理论相关的书籍和文章己 经对这些问题进行了 大量的研究，当索赔额和时间间隔满足一般的分布时，许多国际知名的专家为 此作出了卓越的贡献。 本文便是基于当索赔额和索赔时间间隔满足特定分布时，如何求解破产概 率的显性表达式。 与之相关的 论文有很多， 其中， w i l l m o t ( 1 9 9 3 ) 考虑了 在离散 时间和状态空间模型下，其有限时间破产概率和最终破产概率的问题:他主要 利用母函 数的 方法推导出了 破产概率的表达形式。 g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 和s h i u ( 1 9 8 9 ) 则考虑了在全离散模型下最终破产概率的问题，其它还有很多，此处不作详述。 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，这一理论主要应用于金融、保 险、证券投资以及风险管理等方面，它借助于概率论与随机过程理论构造数学 模型，来描述各种风险业务。风险理论的发展经历了很长一个时期，较为系统 的理论见l u n d b e r g , c r a m e r ( 1 9 5 5 ) 和g e r b e r ( 1 9 7 3 , 1 9 7 9 )的著作，他们建 立了风险理论与随机过程理论之间的联系. 古典风险模型是 r (u ,t) 一 。 + 。 一 望 u j,v t _ 0 其中u 代表初始准备金， 满足“ 0 , r ( u , t ) 代表初始准备金为u 到时 刻t 的盈余， c 为固定的正常数， 表示保险公司在单位时间内的 保费收入; n ( t ) 为一个以a 为 参 数的 p o i s s o n 过 程， 表 示 到时 刻t 为 止 产 生 索 赔的 次 数 ， 夏 认 ) .v 是一 个独 立同 分 布 的 非 负 随 机 变 量 序 列 ， u , 表 示 第.1 次 发 生 索 赔 的 索 赔 数 额 ， n ( t ) .与 第一章引言 ( v , ) ,v 是 互相独 立的。 古典风险模型作为一种理论模型， 有着它在数学上的简单性和应用上的方 便，而且我们对它的研究已经比 较完整和深入。但是在很多情况下，人们必须 推广古典风险模型，以更好的符合实际 情况。 复合二项风险模型首先由 g e r b e r ( 1 9 8 8 a , b )创立的。从此以 后，人们对 二项风险 模型就有了更 进一步的 研究，比 如 m i c h e l ( 1 9 8 9 )， s h i u ( 1 9 8 9 )， w i l l m o t ( 1 9 9 3 )，d i c k s o n ( 1 9 9 4 )，d i c k s o n e t a l . ( 1 9 9 5 )，d e v y l d e r 和 m a r c e a u ( 1 9 9 6 )，c h e n e t a l . ( 2 0 0 0 ) y u e n 和g u o ( 2 0 0 1 ). c o s s e t t e e t a l . ( 2 0 0 3 , 2 0 0 4 )，他们把复合二项模型进一步发展为复合马尔可夫二项模型。 本文主要阐述的是破产概率问题，即对复合马尔可夫二项模型的关于 g e r b e r - s h i u的罚 金函数 进 行 研究。 本文结构安排如下: 在接下来的一部分， 介绍一下本文需要用到的理论与概 念:随机过程及风险理论方面的基础知识:在第三部分我们从马尔可夫二项模 型的两种离散的更新 ( 一般更新和延迟更新) 风险过程中摘录出符合马尔可夫 链的这两类初始状态。 在这种更新风险过程的基础上，主要研究在这两种情况 下的g e r b e r - s h i u 的期望罚 金函 数。 第二章 基本概念 第二章 基本概念 本章主要介绍一下概率论与随机过程方面的主要理论，为以 后的章节展开 提供必要的铺垫。 2 . 1 定义设 ( s 2 , f , p ) 为 一 概 率 空 间 ， 扭 ( n ) , n _ 0 ) 是 定 义 在 其 上 的 取 值 为 整数 ( 或它的子集)的随机序列，若对任意的m2 1 几非负整数 t i t 2 .二 _ 1 为系统在时刻 称矩阵p ( k ) ( m ) m是处于状态i 的条件下，经k 步转移到状态j 的k 步转移概率。 = ( p y (k ) ( m ) ) ,e i ， m e t 为 扭 ( n ) 的 k 步 转 移 矩 阵 。 如 果 马 氏 链 扭 ( n ) , n ? 0 的 一 步 转 移 概 率 知 ,y ( m ) , i, j e 对 与 m 无 关 ， 则 称 仁 ( n ) 为 齐 次 马 氏 链 。 此 时 可 记 p ,; = p o ( m ) , i, j e i , 相 应 的 一 步 转 移 概 率 矩 阵 可记为 p = p o ) = ( 马) i , j i 其 相 应 的 齐 次 马 氏 链 的 k 步 转 移 概 率 矩 阵 为 p (k ) = ( p o (k ) ) , i, j = j . “ 常返” 是马氏 链的 一 个很重要的 概念， 利用它可以 进一步揭示状态的许多 特性。 对任意 状态j 引 入随 机 变量 t , = m in n : x ( n ) = j , n 2 1 它表示系统首次到达 ( 进入) 状态j 的时 刻。 规定m i n i = + o o e 第二章 基本概念 再令 f y (n ) = p i t i = 川 x ( 0 ) = i , n _ 1 它表示 系统自 状态i 出 发， 经过” 步首次 到 达 ( 进入) 状态j 的 概率。 利用乘法 公式及马氏性易得 儿 (n ) = p x ( n ) =1 1x ( m ) m j ,1 5 m n ix ( 0 ) = i = 公二 i ,p . p hh . p a,-r ( n ? 1 ) 现 令几= 艺 凡 闭 = 艺 p t , = 川 x (0 ) = i 月 = 1月 . 1 = p t i _ 0 ) 为 更 新 过 程， 其中几为 事 件a 的 示 性函 数。 前 面 的 更 新 过 程都 是 假 设 到 达时 间 间 隔xx 2 , 是 独 立同 分 布 的 。 如 果x , 的 分 布为g， x 2 . x 的 分布同 为f， 而 独立性假定不 变 就得到 延迟 更新过程 n , ( t ) 二 s u p ( n , s 5 t ) , 其 中 s o = 0 , s= 艺x k 如果g= f，就得到了前面通常的更新过程。 首先， 我们注意到更新过程是一个计数过程， 并有如下的一个重要关系: 到 时刻t 为止的更新次数大于或等于n 当且仅当在t 之前或在时刻t 发生第n 次更 新，即 ( n ( t ) _ n ) = 凡5 t ) n ( t ) = n ) = s :5 1 s n + 1 卜 ( s 丹 一 ( s , 1 5 t ) 从而得到 p ( n ( t ) = n ) = p ( s 5 t _2) 即f . ( x ) 是f ( x ) 自 身的n 重卷积.因而可以 得到 p n ( t ) = n ) = f ( t ) 一 f, , ( t ) 我们 把n ( t ) 的 数学 期 望m ( t ) = e n ( t ) ) ， 称为 更新函 数， 它是 更新理论的 一 个重要研究对象。 更新函数不是随机变量而是变元t 的一个确定性函数， 它可以 通过分布函 数f ( x ) 来表示。易知 - ( t ) = e ( n ( t ) = 艺 n p n ( t ) = n ) 第二章 基本概念 = 艺n ( f ( t ) 一 f _ 1 ( t ) ) = 艺f . ( t ) 同时也可以得到延迟更新过程的一些结论 p n d ( t ) = n ) = p s , 5 t 一 p ( s n + 1 5 t ) = g f _ , ( t ) 一 g 凡( t ) m d ( t ) = 艺 g f _ , ( t ) 第三章复合马尔可夫二项模型 第三章复合马尔可夫二项模型 本章主要介绍一下复合马尔可夫二项模型，并给出在此部分中主要研究 g e r b e r - s h i u 在延迟更新情况下的期望罚 金函 数。 第一节模型介绍 在风险 理论中 模型中， 定义盈余过程 认, k = 0 ,1 , 2 , . . .) u k = 。 十 k 一 l . y , ( 3 . 1 ) 其中k = 0 , 1 , 2 , - ， 初始盈余u o = u ， 每期的 保费 为1 , b j , 0 , 1 , = 1 ，= 0 ( 3 . 2 ) !1 一一 r ( i , j = 0 ,1 ,2 , 是 一 个 在 状 态 矢 量 空 间 ( 0 , 1 1 下 的 平 稳 马 氏 链 ， 且凡是 独 立 同 分布的 正整数 值随机变量， 它的 概率密 度函 数为r ， 分布函数为f和均 值p . 假 设 凡与 厦 毛 , j = 0 ,1 ,2 , . . .) 是 独 立 的 。 则 马 氏 链 的 过 渡 矩 阵 为 p 一 p oo p ol i l p i o p i t ) 其 中 p y = p ( i k . , = 刁 i k = i ) , k = 0 ,1 ,2 ， 一 且 i , j e ( 0 ,1 ) , 把 当 p m = a ， 时 的 复 合 二 项模型称为复合马尔可夫二项模型。 令t = m i n k : u k 0 ) 为 破产的时间， 定 义 m ( u ) = e ( v t w ( u t _ , ju , d i ( t o o ) iu o = u ) ( 3 . 3 ) 其中i 是示 性函 数， 0v:51是贴现因 素， w ( i , j ) ( i , j = 0 , 1 , 2 , :是 一 个非负函 数。 函 数m ( u ) 就是著 名的g e r b e r - s h i u 的 期 望罚 金函 数。 显然， 罚 金函 数w 依赖于 破产前的赤字和破产前的盈余。 第三章复合马尔可夫二项模型 在 这 篇 文 章 中 ， 假 设 所 有 的 条 件 都 可 以 被 满 足 ， 也 就 是 说 一 p p o l _ 1 : i k = 1 ) ， 假 设 0p, l 时，有 p , ( y ( 2 ) = ) = 艺p , ( r ( 1 ) = k , r ( 2 ) = k + i ) = 艺 p ( r ( 1) = k )p 1o p oo 1- 2 p o , = p10p001- 2= p lo p o o p o i 类似的， 我们利用马尔可夫的性质可以 得到 ( 3 . 4 ) 式和 ( 3 . 5 )式的其它情况。 从 ( 3 . 1 ) 式和 ( 3 . 2 )式可以重新定义复合马尔可夫二项模型的盈余过程 m, u k = u + k 一 艺 b u ) j - 1 ( 3 . 6 ) 其 中 城= 艺 毛 ， 对 于 r ( n ) , ( 3 . 6 ) 是 可 以 表 示 为 叽， ) = u + r ( n )一 y b (j ) 在叹 n ) 的 左侧， 有 u ,( )- = u + r ( n ) 一 艺 b ,(i ) 第三节期望罚金函数 p a v l o v a 和， i l l m o t 己经给出了 g e r b e r - s h i u 的普通更新与平稳的离散更新 风险模型的的期望罚金函数关系， 在此部分中主要研究g e r b e r - s h i u 在一般情 况 下的 期 望罚 金函 数， 也就是 说i , = 1 , 然后在延 迟更新与 普 通情况下的 期望罚 金函 数 的 关 系 。 用m , ( u ) 表 示 在一 般 更 新 情 况下的 函 数， 用m o ( u ) 表 示延 迟 更 新 函数。显然， m ( u ) = p ( i o = p m i ( u ) + p ( i o =0 ) m o ( u ) 第三章复合马尔可夫二项模型 第四节主要结果 定理3 . 1 : 有 条 件 的 g e r b e r - s h i u 罚 金 函 数 m , ( u ) , m o ( u ) 满 足 下 列 不 完 全 更 新 等 式 m , ( u ) = c ( p ) 艺 m , ( u - i) h ( i + 1) 一 % 艺p - - ,z ( x ) , ( 3 . 7 ) m o ( u ) = c ( p ) y- ip ,o m o ( u 一 。 + z v a ( u 一 , 1 ) h ( i + 1 ) 一 % y p - - z ( x ) , ( 3 .8 ) 其中 z (u ) = v(p ,!一 p ,op m )， i x(u + 1,p oo j- *2 ， 一，)a d - p po o 艺w ( u , j 一 u ) f ( i ) , w* , c ( p ) =( 1 一 p ) n v 2 + ( 1 一 f ( p ) x pv p 一 ， ， ) p ( 1 一 p ) * ( 、 ) 一 共(p v - c ( p) m 2 ) 1 - f (p ) p t 一p 6 , ( k ) + 丝f ( k ) k =1 , 2 , . . . 万= p o o aj -p , o p o , 定理3 . 2 著名的 g e r b e r - s h i u 的期望罚 金函 数 m ( u ) = 一 ! p l o +p o , 其中; j u ) 与 m , ( u ) 由 定 理3 . 1 确定. m o ( u ) + p m ro +p mm , ( u ) 第三章复合马尔可夫二项模型 第五节主要结果的推导 这小部分主要讨论在马氏链的初始状态是1 时的期望罚金函数。对第一次更 新 时 间v ( 1 ) 和 第 一 次 索 赔 额b ,m 取 条 件 期 望 ， 有 m ,( u ) = 艺 v p , ( v ( 1) = i) a ( u , 2) ( 3 . 9 ) 其中 a ( u , i ) = ym , ( u + i 一 p f ( p + y- w ( u + i, j 一 u - o f q ) ) s j -. , + a ( 3 . 1 0 ) 并 且陈 述一 下关 于m , ( u ) 的 定 理 定理 3 . 3 ( y u e 口 ，k .c . & g u o , j 丫( 2 0 0 1 ) . )有 条 件 的 g e r b e r - s h i u 罚 金 函 数m i ( u ) 满 足 下列不完 全更 新 等式 m , ( u ) = c ( p ) y- m , ( u 一 2) h ( i + 1 ) 一 ， 0 0 艺p-,z(x) 具体的说，可以得到不折现情况下的 m , ( u ) = o r + p o lu ) 艺 m , ( u 一 i) h ( i + 1 ) 一 p oo 艺z ( x ) ( 3 . 1 1 ) 其中 z ( u ) = v ( p n 一 艺w ( u + 1 , j 一 ， 一 d a p i 月+ 2一 e lp oo 知， 一 “)f (j) 城p ) -( i 一 p ) ) zv 2 + ( 1 一 f ( p ) x p ，一 ， ， ) p ( 1 一 p ) 。 (* ) = 共(， ， - c l p) m ,2 ) 1 - f (p ) pl 一p b o (k ) + 旦 f (k ) , p 才=p o o p u一 p l o p o l 接下来主要讨论在马氏 链的 初始状态是0 时的期望罚金函数。对第一次更新 时 间 v ( 1 ) 和 第 一 次 索 赔 额b , ) 取 条 件 期 望 ， 有 第三章 复合马尔可夫二项模型 m o ( u ) = 艺 v p o ( v ( 1) = i) a ( u , i) ( 3 . 1 2 ) 下面我 们先 得 到a ( u , i ) 的 一 个 性质. 弓 ! 理 3 . 2 a ( u 一 1 , i ) = a ( u , i - 1 ) 证明: a ( u 一 1 , i) 二 2m , ( u 一 l + i 一 j ) f ( i) + j _ 1 = 艺 ,( u + 一 1 一 j ) f ( j ) + i _ , 艺 w ( u 一 1 + i , j 一 u + l 一 o f ( j ) 艺 w ( u + i 一 1, j 一 。 一 ( 一 1 ) ) f ( j ) j a + i - l + l 二 a ( u , i - 1 ) a 当 马氏 链从 状 态0 开始时， z ( 1 ) 有一 个与z ( n x n 2 : 2 ) 不同 的 概率函 数。 在这种 情况下，复合马尔可夫二项模型是一个延迟的更新风险模型。 w i l l m o t 和d i c k s o n 在平稳更新的风险模型中表述期望罚金函数是根据在连 续情况下的一般风险模型。 在离散情况下， p a v l o v a 和， i l l m o t 得到了一个类似 的结论。在这里我们根据一般更新风险模型来描述延迟更新风险模型的期望罚 金函 数， 我 们 在 下 面 先 给出m o w和n :, ( u ) 的 关 系 . 引理 3 . 3 m o (u ) = 兰m a (u ,l) + p- oo m , (u ) p o i p l o 证明: 显然m o w是延迟 更新 情况下的期 望罚 金函 数， 又因 为 在v ( 1 ) 和b ( z ( 1 ) ) 条 件下可以得到 m o ( u ) = 艺v i p o ( v ( l ) = i ) a ( u , i ) 由 引 理3 . 2可知 a ( u - 1 , i ) = a ( u , i - 1 ) ， 利用引理3 . 1 有 m o w= 艺v p . ( v ( 1 ) = ) a ( u , i ) = v p o ( v ( 1 ) = 1 ) a ( u ,l ) + 艺v p , ( v ( 1 ) = f) a ( u , e) 第三章 复合马尔可夫二项模型 = v p , ( v ( 1 ) = 1 ) a ( u ,l ) +t v , e - p , ( v ( 1) a z pi o = 9 ) a ( u , i ) = vp o,a 一 ， 霎 v , p oo p, (v (1) = i)ap ,o一 ” = vp o,a 一 ，+ i v , p- oo p ,(v (1-, p ,o， 一 ” a 一 i) 一 v p- oo p,(v (1) = 1)ap ,o一 ， 一 v1 p o! 一 瓮 p , (v (1) = 1)a 一 ，) + p oo m , (u )p ,o = 生m l (u ,l ) + p- oo m , ( u ) . po , p, o 定理3 . 1 的证明:利用定理3 . 3 和引理3 . 3 可直接得出结论。 定理3 . 2 的证明: 首先证明 p ( l , = 1 ) = p o , ro +p o , ( 3 . 1 3 ) p u , = 1 ) = p ( 毛 = 1 i 仙= 0 ) p ( l i - , = 0 ) + p u , = 1 i 毛 一 1 ) p ( l i 一 1 ) = p o ,p ( l j - , = 0 ) + p p ( l , - , = 1 ) = p o , ( 1 一 p ( 肠= 1 ) ) + p u p ( l i - , = 1 ) = p o , ( 1 一 p ( l i - , = 1 ) ) + p p ( i - , = 1 ) = p m + ( p , 。 一 p m ) p ( l i _ , = 1 ) 由 于 毛 . .1 = 0 , 1 , 2 . .) 是 平 稳 齐 次 马 氏 链 ， 所 以 有 p ( 1 , = 1 ) = p ( i = 1 ) ， 所 以 有 _ j ， 、p a l p ( l , = 1 ) = 一. p l o +p o , 其次证明 pv, = 0 ) = p , o p i o +p o , ( 3 . 1 4 ) p ( l i = 0 ) = p u , = 0 i l i - , = 0 ) p ( l , - , = 0 ) + p ( l , = 0 i l , - , = 1 ) p ( l , - , = 1 ) i 3 第三章复合马尔可夫二项模型 = p o o p ( i j - 1 = 0 ) + p io p ( i ! - 1 = 1 ) = p o , p ( i j - l = 0 ) + p ,o ( 1 一 p ( 仙 = 0 ) ) = p io + ( p o o 一 p , o ) p ( i j - i = 0 ) 由 于 妈, .1 = 0 , 1 , 2 . 是 平 稳 齐 次 马 氏 链 ， 所 以 有 p ( 毛 = 0 ) = p ( i , = 0 ) ， 所 以 有 _ ， ，。 、ro p ( i , = 0 ) = 一。 p i o + p o i 最 后 注 意m ( u ) = p ( l o = 1 ) m , ( u ) + p ( l o = 0 ) m o ( u ) ， 并 结 合( 3 . 1 3 ) 和( 3 . 1 4 ) ， 利用定理3 . 1 即可得到定理3 . 2 的证明。 致谢 致谢 首 先感 谢我的导师郭军 义老师， 他在学习 和生活中 都给了 我 极大的帮助. 尤其 是， 他为我确立了 论文的 方向一考虑 本篇论文的 模型， 之后又进一步引导 我把问 题做向 深入， 他无 私的 指导和帮助 使我 得以 顺利完成这 篇文章 和我的学 业.可以 说没有郭 老师的帮助 就没有我的 这篇文 章. 我还要感谢郭 振远 老师， 他在 这三年当中给了我 很多 帮助， 及时的 通知我 做各方面的 工作， 在各方面给了 我 很多的 指导. 感谢 他对我的 指导和帮助。 最后， 感谢数学学院的 老师 们，谢谢 他们为我们所做的工 作. 还要 感谢帮 助过我的 老师和同学. 参考文献 参考文献 1 . c h e n g , s . , g e r b e r , h .u . & s h i u , e .s .w . ( 2 0 0 0 ) . d i s c o u n t e d p ro b a b i l it ie s a n d r u in t h e o r y 玩th e c o m p o u n d b i n o m ia l m o d e l . i n s u r a n c e : m a t h e m a t i c s a n d e c o n o m i c s 2 6 , 2 3 9 - 2 5 0 . 2 . c o s s e t t e , h . , l a n d r ia u l t , d . 及ma r c e a u , e . ( 2 0 0 3 ) . r u i n p rob a b i li t i e s i n t h e c o m p o u n d ma r k o v b i n o mi a l mo d e l . s c a n d i n a v ia n ac t u a r ia l j o u rna l , 3 0 1 - 3 2 3 . 3 . c o s s e t t e , h . , l a n d r ia u l t , d . & m a r c e a u , e . ( 2 0 0 4 ) . e x a c t e x p r e s s i o n s a n d u p p e r b o u n d f o r r u in p r o b a b i l i t i e s i n th e c o m p o u n d m a r k o v b i n o m i a l m o d e l . i n s u r a n c e : ma t h e m a t ic s a n d ec o n o mi c s 3 4, 4 4 9 - 4 6 6 . 4 . ) v y l d e r , f&m a r c e a u , e . ( 1 9 9 6 ) . c l a s s i c a l n u m e r i c a l r u i n p ro b a b il i t i e s . s c a n d i n a v ia n ac t u a r ia l j o u rna l , 1 0 9 - 1 2 3 . 5 . d ic k s o n , d . c . m. ( 1 9 9 4 ) . s o m e c o m m e n t s o n th e c o m p o u n d b i n o m i a l m o d e l . a s t i n b u l l e t in 2 4 , 3 3 - 4 5 . 6 . d ic k s o n , d .c .m. , e g i d i o d o s r e i s , a . d . & w a t e rs , h . r . ( 1 9 9 5 ) . s o m e s t a b l e a lg o r it h m s i n r u i n t h e o r y a n d t h e i r a p p l ic a t io n s . a s t i n b u l l e t i n 2 5 , 1 5 3 - 1 7 5 . 7 . g e r b e r , h .u . ( 1 9 8 8 a ) . m a t h e m a t ic a l f u n w i th t h e c o m p o u n d b i n o m i a l p ro c e s s . a s t in bu l le t in 1 8 , 1 6 1 - 1 6 8 . 8 . g e r b e r , h .u . ( 1 9 8 8 b ) . m a th e m a t i c a l f u n w it h r u i n t h e o r y . i n s u r a n c e : m a t h e m a t ic s a n d ec o n o mic s 7 , 1 5 - 2 3 . 9 . g e r b e r , h .u . &s h i u , e . s . w . ( 1 9 9 8 ) . o n t h e t i m e v a l u e o f r u i n . n o rt h a m e r i c a n a c t u a r ia l j o u r n a l 2, 4 8 - 7 8 . 1 0 . m i c h e l ,凡( 1 9 8 9 ) . r e p r e s e n t a t i o n o f a t i m e - d i s c r e t e p ro b a b i l i t y o f e v e n t u a l r u in . i n s u r a n c e : : ma t h e ma t i c s a n d e c o n o mi c s 8 , 1 4 9 - 1 5 2 . 1 1 . p a v l o v a , k . e&wi l lmo t , g .e . ( 2 0 0 4 ) . t h e d i s c r e t e s t a t i o n a ry r e n e w a l r i s k mo d e l a n d t h e g e r b e r - s h i u d i s c o u n t e d p e n a lt y f u n c ti o n . i n s u r a n c e : ma t h e m a t i c s a n d e c o n o mic s 3 5 , 2 6 7 - 2 7 7 . 1 2 . r e i n h a r d , j . m . &s n o u s s i ,m ( 2 0 0 1 ) . o n t h e d is tr i b u t i o n o f th e s u r p l u s p r i o r t o r u i n 玩a d i s c r e t e s e mi - ma r k o v r is k mo d e l . as ti n bu ll e t in 31 , 2 5 5 - 2 7 6 . 1 3 . r e in h a r d , j . m. &s n o u s s i , m. ( 2 0 0 2 ) . t h e s e v e r it y o f r u i n i n a d i s c r e t e s e m i - ma r k o v r is k mo d e l . s t o c h a s t i c mo d e l s 1 8 , 8 5 - 1 0 7 . 1 4 . r e s n i c k , s . i . ( 1 9 9 2 ) . a d v e n t u r e s i n s