（基础数学专业论文）banach空间上算子广义逆ats2的刻画与表示.pdf

b a n a c h 空间上算子广义逆a 笋的刻画与表示 摘要 算子坪论产牛于2 0 世纪初，由于其在数学及其他学科的广泛应用，在2 0 世纪的前二 十年得到迅速发展。其中一个重要分支一算子j 义逆耻论的研究，从上世纪三十年代开 始得到了很好的发展和完善。近年水，b a n a c h 空问上的算了广义逆a 筝已成为算，了广 义逆理论研究的热点问题之一。由于我们常见的几种广义逆诸女h m o o r e p e n r o s e 逆，群 逆，d r a z i n 逆等，均是广义逆a 笋，所以对广义逆a 乒的研究能从整体卜把握各种常 她广义逆的忡质并发现它们的l 忡。 水文主要研究和讨论了b a n a c h 空问上算子广义逆a 9 0 的刻画及表示。全文分 为三章。 第。章主要介绍了奉文要用到的一些符号，概念及引理，并给出了奉文的主要定 理。 第二带给出了b a n a c h 空间上算子广义逆4 5 1 冬的几种刻画。利用算子a g 的 1 ，5 逆得到了广义逆a 笋的两个等价刻画，并由此得到了广义逆a 笋；关于a g 的 1 ，5 ) 逆的表示。其次，利用h i l b e r t 空间中算子的分块技术，给出了算子广义逆a # 名的一种 等价刻画。 第三章给出了b a n a c h 空间上算子广义逆a # 名的，些表示。利用算子分块技术及 b a n a c h 空间中算子的相关性质，给出了b a n a c h 空间上算子广义逆a 挈名的积分表示 和极限表示，并给出了h i l b e r t 空间上算子广。义逆a # 名的一种表示及其应用。 关键词：h i l b e r t 空间；b a n a c h 空间；算子；广义逆；分块矩阵 鹪i 页 t h ec h a r a c t e r i z a t i o na n dr e p r e s e n t a t i o nf o r t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e a 笋o v e rb a n a c h s p a c e a b s t r a c t t i l et h e o r yo fo p e r a t o r so r i g i n a t e df r o mt h eb e g i n n i n go f2 0 t hc e n t u l 。ya n d ( 1 e v e l o p e dr a p i d l yi l lt h ee a r l y3 0 so f2 0 t hc e n t u r ys i n c ei t se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si l lm a t h e m a t i c sa n do t h e rf i e l d s a so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h e so ft i l eo p e r a t o r s ，t i l et h e o r yo f g e n r e a l i z e di n v e r s eo fo p e r a t o r sp o s s e s s e dw e l ld e v e l o p e da n dp e r f e c t e df r o m3 0 si nl a s t c e n t u r y r e c e n t l y ，t i l eg e n e r a l i z e di n v e r s ea 5 1 ：冬o fo p e r a t o r so v e rb a n a c hs p a c e sh a sb e - c o l n eah o tt o p i c s i n c es u c hk n o w ns e v e r s lg e n r e a l i z e di n v e r s e sa qt h em o o r e - p e n r o s e i n v e r s e ，t i l eg r o u pi n v e r s e ，t i l ed r a z i ni n v e r s ea l l ( 1s oo n ，a r et i l eg e n e r a l i z e ( 1i n v e r s e a 熟，w ec a l io b t a i l lt i l ep t o p e r t i e so fe v e l yc o l l c l e t , eg e n r e a l i z e di n v e l s ea n df i n dt h e c o i i l l n o n n e s so fe v e r yk n o w ng e n e r a l i z e di n v e r s e i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e rt i l ec h a r a c t e r i z a t i o na n dr e p r e s e n t a t i o no ft h e g e n e r a l i z e di n v e r s ea 粘o v e rb a n a c hs p a c e s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eg i v es o l n er e q u i r e dp r e p a r a t i v ek n o w l e d g ei n c l u d i n gb a s i c c o n c e p t s ， l e m m a sa n dg e n e r a ls y m b o l s a l s o ，t h em a i nt h e o r e m so ft h et h e s i sa r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tg i v es o l n ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h eg e n e r a l i z e di n v e r s ea 熟 o v e rb a n a c hs p a c e s w eo b t a i nt w o e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h eg e n e r a l i z e d i n v e r s ea 笋圣f r o mt h e 1 ，5 ) i n v e r s eo fa g ，a n du n i f o r m l yg e tar e p r e s e n t a t i o no fa 笋 r e l a t e dt ot h e 1 ，5 ) i n v e r s e s e c o n d l y ，u s i n gt h eo p e r a t o rb l o c kt e c h n i q u e ，w eg i v ea c h a r a c t e r i z a t i o no fa 鬟圣o v e rh i l b e r ts p a c e i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yp r e s e n ts o m er e p r e s e n t a t i o n so ft h eg e n r e l a l i z e di n v e r s e a t z ) s o v e rb a n a c hs p a c e s u t i l i z i n gt h eo p e r a t o rb l o c kt e c h n i q u ea n ds o m ec o n c r e t e k n o w l e d g eo fo p e r a t o r s ，w eg i v et h ei n t e g l a la n dl i m i tr e p r e s e n t a t i o no ft h eg e n e r a l i z e d i n v e r s ea 笋0o v e l b a n a c hs p a c e s a l s o ，al e p r e s e n t a t i o na n da p p l i c a t i o no fa 笋圣o v e r h i l b e r ts p a c ei sp r e s e n t e d k e y w o r d s ： b l o c k h i l b e r ts p a c e ；b a n a c hs p a c e ；o p e r a t o r ；g e n e r a l i z e di n v e r s e ；m a t r i x 第i i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立撰写 完成的。除文【f l 已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已 经发表或撰写过的研究成果，也没有剽窃，抄袭等违反学术道德规范的侵权 行为。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人愿意承担由本声明而引起的法律贞任。 研究生虢砷留 嗍1 年6 月帅 论文使用授权声明 本人完全了解广西民族大学有关保留，使用学位论文的规定。学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用 影印，缩印或其他复制手段保存，汇编学位论文。除在保密期内的保密论文 外，允许学位论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内 容。 研究牛签名：舛分曰期：卅年舌月f 否日 捌签名：夫l i 目磋叽碑f 6 ，f 日 1 1引言 1绪论 广义逆理论可追溯到1 9 0 3 年，；_ 时i f l e d h o l m 用衫 分算子的广义逆求解秋分方 程【9 】，f r e d h o h n 称这种广义逆为“伪逆”。大约存1 9 0 3 年，e h m o o r e 发现矩阵广义 逆的代数表达式，但直到1 9 2 0 年他才在美国数学会通报上以摘要的形式给出了广义逆 的定义 8 】。1 9 5 5 年，r p e n r o s e 1 0 i e 明- rm o o r e 所定义的广义逆( 现在称为m o o r e - p e n r o s e 广义逆) 是由四个矩阵方程唯+ 确定的。从此，广义逆理论得到迅速发展，并 在众多方而得到j 泛应用。但是这些研究一l ：要桀l j 在实数域和复数域上的矩阵( 见1 4 1 【1 7 】， 1 9 j ， 3 4 】， 3 5 】，【3 6 ，【3 7 ， 3 8 】， 4 2 】， 4 3 1 ) 。 h i l l ) e l t 空间上线性算了广义逆的研究足由m o o r e 的学生，南京大学曾远荣( y y t s e n g ) 先生所开始的。1 9 3 3 年，曾远荣f j i 入j ，h i l b e r t 空问i ：线性算子广义逆的概念， 为无限维h i l b e r t 窄问上线性算子广义逆的研究做出了重大贡献，后来人们称这种广义 逆为t s e n g 广义逆。 1 9 7 4 年，b e n i s r a e l 和g r e v i l l e 1 】对矩阵a 定义了一个具有指定值域丁和零空 间s 的 2 ) 逆，记为a 笋名。从此，人们对广义逆a 笋圣进行了广泛的研究( 见【1 4 ， 1 6 】 1 7 】， 2 2 】， 3 5 】， 3 6 】等) ，并且发现诸如m o o r e - p e n r o s e 逆，加权m o o r e p e n r o s e 逆，d r a z i n 逆，群逆，b o t t d u f f i n 逆等常见重要的广义逆都是特殊的a 笋名型广义逆。 因此，通过对广义逆a 5 1 冬的研究，不仪能够刻画其内涵，同时还能得到各类常见广义 逆的1 牛质。 近午来，广义逆a 9 0 的研究得到了国内外学者如魏益民教授，俞耀明博士，陈永 林教授，d j o r d j e v i 6 教授等的关注，他们在不同范畴内对广义逆a # 名进行了深入研究， 得到许多很好的结果。魏益民教授在文【1 4 】中给出了矩阵4 的广义逆a 挈名的一个刻 画，并得到了其关于群逆的两个表示，同时还在文f 1 6 l ，f 1 7 1 中给出了a # 的积分表 示。陈永林敦授【3 5 _ 3 6 l 研究了计算钳! 阵广义逆a 筝的迭代法。俞耀明博士研究了整环和 交换环卜的广义逆a 5 1 ；的存在性，等价条件及表示( 见 3 9 1 ，f 4 1 1 ) ，并利用子式研究了 整环卜矩阵a 的广义逆a 5 1 圣的行列式表示。d j o r d j e v i 6 2 1 l 利用算子的矩阵分块表示研 究了算子广义逆a 关二的 t ，s 分裂，并在文 2 0 1 巾研究了两个算子乘积的a 笋名的反 序律，给出了其成立的充分必要条件。 奉义就b a n a c h 空间上线性算子广义逆a # 的农示及刻画进行了研究，进步丰 富了无限维审问上算子j 义逆的理论。伞文j 匕r f l ji 章组成。在第章，我们给出引言及 北必婴的坝箭知识，包括甚奉概念，引胖剐常川符i - ! ，以及本义的：i = 婴定耻。存第_ 一 第l 页 章，对f l i l l ，( 2 1 t 干b m 眦：h 窄问上线性算+ f - f f j j “义逆a 鬟：边钉：j ，刻画，减弱丫义f l4 】i 的条件，- ) t - 推- j “了文 1 4 】中的相关结果。第三章我们给出h i l b e r t 和b a n a u c h 空问上线 性算了广义逆a 笋；的积分表示和极限表示，将魏益民 1 7 1 ， 2 6 】的结果推广到无限维 空问的情形。最后我们给卅h i l b e r t 空间 ：线性算子广义逆a 笋的一种表示及其应用， 推广了张胜【4 2 1 ，需要指m 的是，我们采用的是不l 司的思想和方法。 1 2预备知识 在这节，我们丰要介绍本文要到用的。些符号，定义，及引理。 设爿，k 是复可分h i l b e r t 审间，疋，y 是b a n a c h 审问。b ( h ，j | | c ) 表示有界线性算 子a ：爿一j i c 全体构成的线性空间，b ( 疋，y ) 表示有界线性算子a ：疋一y 全体构成 的线性宅i h j 。若咒= 厄，彤= y ，则一般简记为b ( h ) 和8 ( 疋) 。记? - i 和爿中全体可逆 算子构成的集合分别为z ( “) 和z ( x ) 。 我们分别用c 和r 表示复数域和实数域。对算二fa 召( 何，瓦) ，用n ( a ) ，a f ( a ) ，a + 和盯( a ) 分别表示a 的值域，零窄间，伴随和谱集。若对任意的z 7 - t ，有( a x ，z ) 0 ， 则称a 是。个非负算子并记为a 0 ，若a 0 且a 可逆，则称a 是个一算子并 记为a 0 。显然，若a 0 ，则盯( a ) r + u o ，若a 0 ，则o ( a ) r + 。o 和上 分别表示拓扑直和和正交补。 定义1 2 1 【6 l 设算子a 召( h ，瓦) ，如果存在算子x b ( 瓦，咒) 满足下列四个方 程 ( 1 ) a x a = a ，( 2 ) x a x = x ，( 3 ) ( a x ) + = a x ，( 4 ) ( x a ) + = x a 则称x 为a 的m o o r e p e n r o s e 逆，记作a t ，且若a t 存在，则唯一。 众所周知，a 的m o o r e - p e n r o s e 逆存在当且仅当n ( a ) 是瓦的闭子空间。 定义1 2 2 1 5 j设疋是b a n a c h 空间，a b ( 彤) ，使得( a 七) = a ( a + 1 ) 成立 的最d , ：- i f - 负掺数k 称为a 的递增指标，记作q ( a ) 。若这样的最小整数k 不1 竽在，毗吩记 q ( a ) = 0 0 。称使得n ( a 七) = 冗( a k + 1 ) 成立的最小非负整数k 为a 的递减指标，记 作6 ( a ) 。若这样的最小整数k 不存在，则记6 ( a ) = o 。 如果o ( a ) 0 和( 4 ：产1 ) + a ? ，1 0 ，即有盯 a f 。( a f i ) + 1 r + 和盯 ( a ：1 ) + a ：产1 】r + 。又区i 为两个 正算。r 乘积的谱仍然包含于伞体正实数，所以 盯 a ：。( a ；? + 1 ) + a ：产1 】= 盯 a ：。( a ：。) + ( a ：i 卜1 ) + a ：产1 】1 r + 于是，南引理1 2 7 ，我们有 e x p 一a 七( a 2 k + 1 ) + a 七+ 1 t a 知( a 2 k + 1 ) + a 。d t =oo k “：豁+ 1 ) + a ：产卜如。0 a f l ( a ；芋。+ 4 l 。0 =k 2 k _ r a ： - l 】一1 。0 a f l ( a 2 。a 备。0 = 矧 = a d 口 现在我们给出h i l b e r t 窄问上算子广义逆a 笋姿的积分表示。 定理3 1 1 4 令a 召( 咒，j c ) ，g b ( j c ，冗) 具有闭值域。丁和s 分别是何和疋 的闭子空问一闩满足冗( g ) = 丁和( g ) = s 。设广义逆a 笋存在，则 a 黔= 一凹p c ( c a c ) + c a t g ( g a g ) + g d t i ，0 证明由 1 7 ，定胖2 l ，我们有 a 罢2 g ) ( g ) = 五_ g ( g a g ) + g ( 3 1 8 ) 其中a = g ( g a g ) + c a 】i 冗( g ) 。 由 1 3 ，定理3 】，a g ( g a g ) + c a t 0 ) = a ( c a c ) + g a g 】 o ) ，所以a g ( g a g ) + g a 】 o ) 是非负的。又因为a 可逆，所以o g ( g a g ) + g 纠 o ) 是正的。于是我们有 一0 0 a 乒：= 彳。1g ( g a g ) + g = 一f j ：f j p g ( g a g ) + g a t g ( g a c ) + g ，i t 口 钨】7 丽 3 2 b a n a c h 空间上算子广义逆极限表示 本节我们将给mb a t t a c l ，空间卜算子广义逆a 笋的一些极限表示。为此，我们需 要下面的概念及引理。 令4 是一个带囱单位元的b a n a c h 代数，对n a ，用i s o a ( ) 和( l c c g r ( e l ) 分别表 示仃( n ) 的所自孤j 移点和所f j 。聚点的全体。 引理3 2 1 设0 i s o a ( a ) ，! i ! | j 对某个有孔尉盘0 r ，我们有 ( 入e + “) = o o ( 3 1 9 ) 其中b = ( n + p ) 一1 ( e p ) 。 证明冈为0 i s o a ( o ) ，则存在n 的关于a = 0 的一个谱幂等p 使得p + n 可 逆( 2 9 ，t h e o r e l n3 1 】) 。又凶为 从而 a ，+ “= ( ae ，+ f 巾) p + ( a e + ( p + ( ) ) ( e p ) ， ( a e + n ) 一1 = ( a e + 叩) 一1 p + ( , x e + ( n + p ) ) 一1 ( e p ) = a - 1 ( e + a 一1 a p ) 一1 p + ( e + a ( n + p ) 一1 ) 一1 ( o + p ) 一1 ( e p ) ( 一1 ) ”a ”6 “+ 1 口 单位元的b a n a c h 代数。n 4 可逆当月仪当 在这种情况卜a l i m ( a e + n ) 一1 = n - - 1 o 证明若n 可逆，则 且0 p ( n ) 。因为盯( n ) 是闭的，从而0 i s o a ( a ) ，于是 们有 i 恐( a e + n ) = n - 1 a o 、 反之，若a l i n 5 ( a e + n ) 一1 存在。如果( 。1 i 可逆，则由引理3 2 1 和 2 9 ，定理4 2 l 我 ( a p 十( ) ( 一1 ) ”- - 1 a 一n “ 第1 8 页 _ c y 日 ，s l a +n 6 n 入一 删 +厶n e n n n 一 入 一 n 一 脚 p e n p +o n 入 n 一 脚 + p n 0 n一 一 一n 一 脚 +6 o e n 0 n一 入 一n l一 删 有 。 带在个存舻旷 a + 令 蓦c 亍勉a 3 卜理巾 引 5 i n n 一 0 ，则a 笋：= ：严e x p ( 一g a t ) g d t 。其中矩阵g 满足冗( g ) = t 和 ( g ) = s 。下呖我们利用定理3 3 1 给出算子广义逆a 笋圣的另一种积分表示。 定理3 3 4 令a b ( u ，瓦) ，t 和s 分别是7 - 和瓦的闭子空问且a 的j 义 逆a 笋存在。设算了g 8 ( 疋7 l f ) 满足值域冗( g ) = t 和零空i 开ja t ( c ) = s ，算了 b b ( u ，疋) 满足n ( b ) = s 。若o ( a g + b b + ) 位丁右半丌平面，则 a 笋；= g e ：r p 一( a g + b b + ) t d t ( 3 2 7 ) 证明铲g e x p 一( a g + b b + ) t d t = 鼍1 三 fe 印 二2 盆：一。b ，b 。+ ：岛玩+ ，。 出 = g 。1 。0 j 芦e 够p ( ? 1 1 g 1 z ) ( f 。，fe z p 。一。b 。三：。+ 蜀之点匕。，。】d 。 = 卜y w _ 一， ：l g 1 ( g 1 ) 。o i 【0 oj ：a 挈| 口 定理3 3 5 令a b ( u ，厄) ，t 和s 分j ；u 是7 l f 和瓦的闭了空i h j 且a 的广义 逆a 鬟0 存在。设算子g 8 ( 瓦，“) 满足值域冗( g ) = t 和零空间( g ) = s ，算子 c b ( u ，j i c ) 满足( c ) = t 若a ( c a + c + c ) 位于右半开复平面，则 a 笋冬= g e z p 一( g a + c + c ) t d t ( 3 2 s ) 推论3 3 6 令a b ( u ，i c ) ，t 和s 分j j 0 是h 和j | | c 的闭了空i 只j 且a 的广义 逆a 笋0 存任。设算二了二g 召( j i c ，“) 满足值域冗( g ) = t 和零空i i j ( g ) = s ，算子 b 召( h ，厄) 满足n ( b ) = s 和算子c 唇( h ，足) 满足( c ) = t 。若a ( a g + b b + ) 制i 盯( g a + c + c ) 均位j f i 、f 州。复1 f l f jj ，则 a 笋= g e 印f 一( a g + b b + ) 】d = g f z p 一( g a + c + c ) t d t ，( x )， j 0j 0 南引理1 2 ，8 ，我们还有如下关于广义逆a 笋0 的极限表示。 定理3 3 7 在和定理3 3 1 相同的条件卜，若e 譬a ( a g + b b + ) ，则 a 笋= 塑i m u g ( a g + b b + 一e ，) 一1 定理3 3 8 在和定理3 3 2 相i 叫的条件下，若e 譬a ( g a + c c ) ，则 a 笋= ! i m g ( g a + c + c e ，) 一1 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 定理3 3 9 在和推论3 3 3 相同的条件卜，若e 隹a ( a g + b b + ) 且e 岳a ( g a + c + c ) ，则 a 笋= 。l i m 。，g ( a g + b b + 一，) 一1 = 。l i r a 。g ( g a + c + c e ，) 一1 ( 3 3 2 ) 第2 5 页 参考文献 【1 】b e n i s r a e la ，g r e v i l l et ne g e n e r a l i z e di n v e r s e s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s m 2 n d e d i t i o n ：n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a g ，2 0 0 3 f 2 jg r o e t s c hcw g e n e r a l i z e di n v e r s e so f l i n e a ro p e r a t o r s ：r e p z e s e n t a t i o na t t ( ta p p r o x i m a t i o n l m n e wy o r ka n db a s e l ：m a r e e ld e k k e r ，1 9 7 7 【3 】c a m p b e l lsl ( e d i t o r ) r e c e n ta p p l i c a t i o n so fg e n e r a l i z e di n v e r s e s m b o s t o n m a s s - l o n d o n ：p i t m a n ( a d v a n c e dp u b l i s h i n gp r o g r a m ) ：1 9 8 2 【4 jc a m p b e l lsl ，m e y e rcd g e n e r a l i z e di n v e r s e so fl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n m l o n d o n ： p i t m a n 1 9 7 9 【5 】a n g n st a y l o re ，d a v i sc i n t r o d u c t i o nt of u n c t i o n a la n a l y s i s m 1 2 n de d i t i o n n e w y o r k ：j o h nw i l e y s o n s 1 9 8 0 【6 】w a n gg n o r o n g ，w e iy i n f i n ，q i a os a n z h e n g g e n e r a l i z e dh w e r s e s ：t h e o r ya n dc o m p u t a - t i o n s m b e i j i n g n e wy o r k ：s c i e n c ep r e s s ，2 0 0 4 【7 】r u d i nw f u n c t i o n a la n a l y s i s m n e wy o r k ：m c g r a w h i l l ，1 9 7 3 【8 】m o o r eeh o nt h er e c i p r o c a lo ft h eg e n e r a la l g e b r a i cm a t r i x j a b s t r a c t ，b u l l a m e r m a t h s o c ，1 9 2 0 ，2 6 ：3 9 4 - 3 9 5 【9 】f r e d h o l mi s u r u n ee l a s s ed d q u a t i o n sf o n c t i o n n e l l e s j a c t am a t h ，1 9 0 3 ，2 7 ：3 6 5 3 9 0 【1 0 】p e n r o s er ag e n e r a l i z e di n v e r s ef o rm a t r i c e s j p r o c c a m b r i d g ep h i l o s s o c ，1 9 5 5 ， 5 1 ：4 0 6 - 4 1 3 【11 】d r a z i nm p p s e u d o i n v e r s ei na s s o c i a t i v er i n g sa n d s e m i g r o u p s j a m e r m a t h m o n t h l y 。 1 9 5 8 j6 5 ：5 0 6 - 5 1 4 【1 2 】n a s h e dmz i n n e r ，o u t e ra n dg e n e r a l i z e di n v e r s e si nb a n a c ha n dh i l b e r ts p a c e s j n u m e r f u n c t a n a l o p t i m ，1 9 8 7 ，9 ：2 6 1 3 2 5 【1 3 】b a l t i e sba c o n l t n o no p e r a t o rp c o p e r t i e s a m e r m a t h s o c ，1 9 9 8 ，1 2 6 ：1 0 5 5 - 1 0 6 1 o ft h el i n e a ro p e r a t o r sr sa n ds n j p r o c 【1 4 】w e iy i m i n ac h a r a c t e r i z a t i 。na n dr e p r e s e n t a t i 。no ft h eg e n e r a l i z e di n v e r s ea 笋a n di t s a p p l i c a t i o n s j l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 8 ，2 8 0 ：8 7 9 6 【1 5 】w e iy i m i n ，w uh e b i n g t h er e p r e s e n t a t i o na n da p p r o x i m a t i o nf o rt h ew e i g h t e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e j a p p l m a t h c o m p u t ，2 0 0 1 ，1 2 ：17 - 2 8 v 讥! iy i l l i i i l ，d j 小l j e v i 6ds 0 i li l l 9 1 a ll c p t e s e l l t a t i 【。ft h cg e n e r a l i z f ! ( ii l l v e r s c 。a 7 1 ( 2 ) s l i j t a p p l m a t h c o m p u t ，2 0 0 3 ，1 4 2 ：1 8 9 1 9 4 第2 6 页 17 1 w t ：iy i l l i i i il i n t t ! g l n l 州) i t 贼j n t a t i j i l i ) ft h cg e i m r a l i z e ( 1i n v e z s ca l ! | ：0m l 1i t sa p l ) l i m i t i ( j l l h r e c e n tr e s e a r c ho np u r ea n da p p l i e da l g e r a s ，p p 5 9 6 5 ，n o v as c i p u b l ，h a u p p a u g e ， n y ，2 0 0 3 f 1 8 】r a k o 苞e v i dv ，w e iy i n f i n t h er e p r e s e n t a t i o na n da p p r o x i m a t i o no ft h ew w e i g h t e d d r a z i ni n v e r s eo fl i n e a ro p e r a t o r si nh i l b e r ts p a c e j a p p l m a t h c o m p u t 。，2 0 0 3 ，1 4 1 ： 4 5 5 4 7 0 【1 9 】w e iy i n f i n ac h a r a c t e r i z a t i o na n dr e p r e s e n t a t i o no ft h ed r a z i ni n v e r s e l j s i a mj m a t r i xa n a l a p p l ：1 9 9 6 ：1 7 ：7 4 垂7 4 7 【2 0 】d j o r d j e v i 6ds u n i f i e da p p r o a c ht ot h er e v e r s eo r d e rr u l ef o rg e n e r a l i z e di n v e r s e s , a c t as c i m a t h ：2 0 0 1 ，7 6 ：7 6 1 7 7 6 1 2 1 】d j o r d j e v i 6ds ，s t a n i m i r o v i cps o nt h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e l s ea n dg e n e r a l i z e d r e s o l v e n t j c z e c h o s l o v a km a t h j ，2 0 0 1 ，1 2 6 ：6 1 7 - 6 3 4 【2 2 】d j o r d j e v i 6ds ：s t a n i n f i r o v i 6ps ：w e iy i m i n t h er e p l e s e n t a t i o na n da p p l + o x i m a t i o no f o u t e rg e n e r a l i z e di n v e r s e j a c t am a t h h u n g a r ，2 0 0 4 ，1 0 4 ：l 一2 6 【2 3 】d j o r d j e v i dds s p i l i t t i n go fo p e r a t o r sa n dg e n e r a l i z e di n v e r s e j p u b l m a t h d e b r e c e n ， 2 0 0 1 ，5 9 ：1 4 7 1 5 9 【2 4 】d j o r d j e v i 6ds ，s t a n i m i r o v i dps o nt h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s ea n dg e n e r a l i z e d r e s o l v e n t j c z e c h o s l o v a km a t h j ，2 0 0 1 ，1 2 6 ：6 1 7 6 3 4 【2 5 】d j o r d j e v i 6ds c h a r a c t e r i z a t i o n so fn o r m a l ， a n a l a p p l ，2 0 0 7 ，3 2 9 ( 2 ) ：11 8 1 11 9 0 h y p e r n o m a la n de po p e r a t o r s j j m a t h 【2 6 】d j o r d j e v i 6ds ，w e iy i m i n o u t e rg e n e r a l i z e di n v e r s e si nr i n g s j c o m m a l g e b r a ，2 0 0 5 ， 3 3 ：3 0 51 3 0 6 0 【2 7 】d j o r d j e v i 6ds i t e r a t i v em e t h o d sf o rc o m p u t i n gg e n e r a l i z e di n v e r s e j a p p l m a t h c o m p u t ，2 0 0 7 ，1 8 9 ：1 0 1 1 0 4 【2 8 】r a k o 迂e v i 6v m o o r e p e n r o s ei n v e r s e 8 8 ( a ) ：5 7 6 0 i nb a n a c ha l g e b r a j p r o c r i r a c a d ，1 9 9 8 ， 【2 9 】k o l i h ajj ag e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s e j g l a s g o wm a t h j ，1 9 9 6 ，3 8 ：3 6 7 3 8 1 【3 0 1 k o l i h ajj t h ed r a z i na n dm o o r e p e n r o s ei n v e r s ei nc + a l g e b r a s j m a t h e m a t i c a l p r o c e e d i n g so ft h er o y a li r i s ha c a d e m y , 1 9 9 9 ，9 9 ( a ) ：1 7 2 7 【3 1 】c a s t r og o n z d l e zn ：k o l i h ajj ，w e iy i m i n o ni n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no fd r a z i ni n v e r s e i nb a n a c ha l g e b r a s j p r o c e d i n b u r g hm a t h s o c ，2 0 0 2 ，4 5 ：3 2 7 3 3 1 1 3 2 】d a j i 6 人，k o l i h a t h ew e i g h t e dg - d r a z i ni n v e r s et o ro p e l a t o r s j j a u s t m a t h s o c ， 2 0 0 7 8 2 ：1 6 3 1 8 1 笫2 7 页 【3 3 】d uh o n g k e ，d