（应用数学专业论文）关于微流边界层方程的解.pdf

学术诚信声明 f u liiir lr l ll ll r 11 111i y 17 4 8 5 7 7 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立进行的研究工作及取 得的研究成果除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果本人依法享有和承担由此 论文产生的权利和责任 声明人( 签名) ：彳施 时间： 如p 7 莎 保护知识产权声明 本人完全了解集美大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文同意集美大学可以 用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容 作者( 签名) ：考毖 导师( 签名) ：夕鸳彳栌 时间：少o 7 1 关于微流边界层方程的解 摘要 来源于流体力学的边界层理论的p r a n d t l 方程组对于揭示小粘性流体的运动本质具有重 要的意义然而，经典的p r a n d t l 边界层理论显然没有考虑边壁性质对边界层流动特性的影 响，该理论对工程实际中涉及固壁与水流相互作用的流动，特别是微细水流的流动问题， 难以进行充分而圆满的解释，有时会出现矛盾和错误的结论，因此，p r a n d t l 边界层理论是 不全面的考虑固体表面对水分子吸附作用比较强时，根据实验表明：该流体边界层体现 微流的特征确切地说，我们可以用微流边界层方程组来描述上述系统【l 】o l e i n i k 证明 p r a n d t l 方程组在一定的初边值条件下存在惟一的局部古典解【2 】我们很自然的考虑以下问 题：在怎样的初边值条件下微流边界层系统的局部古典解存在且惟一我们借鉴了o l e i n i k 处理p r a n d t l 边界层的思想方法 本文包括两部分第一部分讨论了微流边界层方程组的局部古典解( x 给定，t 充分 小) 首先利用c r o c c o 变换将微流边界层方程变换成一个退化抛物偏微分方程，然后利用 o l e i n i k 线性化的方法把上述抛物方程转化为常微分方程组，证明常微分方程组的解满足一 系列先验估计式并把常微分方程组的解线性扩充为上述抛物方程的解，最后返回原微流边 界层方程组证明了其局部古典解的存在惟一性这种证明的思想来源于o l e i n i k 处理p r a n d t l 系统的思想；但在本文所讨论的微流边界层中，所出现的低阶项的偏导数的系数不再只含 有线性项，所以与p r a n d t l 系统比较存在着本质上的困难在证明的过程中，我们对方程非 线性项的线性化的处理是富于技巧的 在第二部分中，我们证明了微流边界层方程组对任意t o ，x 充分小时，其局部古典 解的存在惟一性证明的思路类似于第一部分，但具体的计算过程，包括一些相应函数的 构造有所不同 关键词p r a n d t l 边界层，微流边界层，退化抛物方程，古典解 o nt h es o l u t i o no fm i c r o f l u i db o u n d a r yl a y e re q u a t i o n a b s t r a c t t h ep r a n d t ls y s t e mr e v e a l st h en a t u r eo ft h ee q u a t i o n sg o v e r n i n gt h ef l o wo ff l u i d sw i t h i n t h eb o u n d a r yl a y e rw i t hs m a l lv i s c o s i t y n e v e r t h e l e s s ，p r a n d t lb o u n d a r yt h e o r yo b v i o u s l yd o e s n o tg i v ea n yc o n s i d e r a t i o nt ot h ei n f l u e n c eo fw a l l sp r o p e r t i e so nt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e b o u n d a r yl a y e r t h i st h e o r yi sn o ta b l et op r o v i d ea f u l la n dc o m p l e t ee x p l a n a t i o nf o rt h ef l o w s c o n c e m i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h es o l i dw a l la n dt h ew a t e rf l o w s ，w h i c ha r eo f t e ni n v o l v e d i ne n g i n e e r i n gp r a c t i c e ，e s p e c i a l l yt h ef l o wo fm i c r o f l o wp r o b l e m i ts o m e t i m e sm a yl e a dt o c o n t r a d i c t o r yo re r r o n e o u sc o n c l u s i o n s t h e r e f o r e ，p r a n d t lb o u n d a r yl a y e rt h e o r yi si n c o m p l e t e g i v e nt h em u c hs t r o n g e ra b s o r b i n ge f f e c to ft h es u r f a c eo fs o l i do nw a t e rm o l e c u l e s ， e x p e r i m e n t ss h o wt h a t ：t h eb o u n d a r yl a y e rs y s t e me m b o d i e st h em i c r o f l u i dc h a r a c t e r i s t i c w e c a nu s et h ef o l l o w i n gm i c r o f l u i db o u n d a r yl a y e re q u a t i o n st od e s c r i b et h ea b o v es y s t e m 【l 】o l e i n i kh a sp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fc l a s s i c a l l o c a ls o l u t i o n st ot h ep r a n d t ls y s t e mu n d e rs o m e a s s u m p t i o n s 【2 】i t sq u i t en a t u r a lt o c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：u n d e rw h a ti n i t i a la n d b o u n d a r yc i r c u m s t a n c e s ，t h eu n i q u e n e s so fc l a s s i c a ls o l u t i o nf o rt h em i c r o - f l u i db o u n d a r yl a y e r e q u a t i o na r et r u e h e r ew eb o r r o wt h eo l e i n i k sl i n em e t h o d ，w h i c hw a su s e dt o d e a lw i t h p r a n d t lb o u n d a r yl a y e rt h e o r y t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rd i s c u s s e st h el o c a le x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fc l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h em i c r o - f l u i db o u n d a r yl a y e re q u a t i o n ( xi sf i x e d ，tb e i n g s u f f i c i e n t l ys m a l l ) w ef i r s tt r a n s l a t et h ei n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h em i c r o f l u i d b o u n d a r yl a y e re q u a t i o nt ot h ei n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rad e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a t i o nb yt h ec r o c c ot r a n s f o r m a t i o n t h e nu s i n gt h ep r a n d t l sl i n em e t h o d ，w er e d u c et h ep d e p r o b l e mt ot h es y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp r o v es o m ep r i o re s t i m a t e st ot h e s o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n go d es y s t e m t h e n ，w el i n e a r l ye x t e n dt h es o l u t i o n so fo d et o p d e s f i n a l l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a l c l a s s i c a ls o l u t i o nf o rt h e m i c r o f l u i db o u n d a r yl a y e re q u a t i o n t h i si d e ac o m e sf r o mo l e i n i k ；h o w e v e r , w i t he m e r g e n c e o fl o w o r d e rn o n l i n e a rd e r i v a t i v ei t e m si nm i c r o - f l o wb o u n d a r yl a y e rd i s c u s s e di nt h i sa r t i c l e ，s o t h e r ee x i s t sf a rm o r ed i f f i c u l t i e st h a nt h ep r a n d t ls y s t e m t h ed i s c r e t i z a t i o nm e t h o d ，w h i c hi s u s e di nd e a l i n gw i t ht h en o n l i n e a rt e r m s ，i sa c c o m p l i s h e d i nt h es e c o n dp a r t , w eg e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fc l a s s i c a ls o l u t i o nf o rt h e m i c r o - f l u i db o u n d a r yl a y e re q u a t i o nw i t hr a n d o mt 0a n dxb e i n gs u f f i c i e n t l ys m a l l t h e p r o v i n gp r o c e s si ss i m i l a rt ot h ef i r s tp a r t b u tt h es p e c i f i cc a l c u l a t i o np r o c e s s ，i n c l u d i n gt h e c o n s t r u c t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n ，i sd i f f e r e n t t t p r a n d t lb o u n d a r yl a y e r , m i c r o - f l u i db o u n d a r yl a y e r , d e g e n e r a t e e a ls o l u t i o n i i i 目录 第1 章微流边界层方程解的存在惟一性 1 1 物理背景 1 2 局部解的定义及几个引理 1 2 1 解的定义及主要结果 1 2 2 几个重要引理的证明 1 3 局部解的存在惟一性的证明 1 4 返回原边界层问题 第2 章微流边界层方程解的连续性 2 1 局部解的定义及几个重要引理 2 1 1 解的定义及主要结果 2 1 2 几个重要引理的证明 2 2 局部解的存在惟一性的证明 2 3 返回原边界层问题 2 4 解的连续性 2 5 问题展望 致谢 参考文献 在学期间发表的学术论文 i v 集美大学硕十学位论文关于微流边界层方程的解 第1 章微流边界层方程解的存在惟一性 1 1 物理背景 在十九世纪的末期，建立在e u l e r 方程基础上的理论流体力学取得了相当大的进步但 是尽管取得了很多成果，许多重要的实际问题在理论上与实验结果上仍存在着较大的分歧 其中，为了描述带有粘性的流体运动，引进了n a v i e r - s t o k e s 方程，然而由于存在着许多数 学的本质上难点，对于粘性流体的理论研究相当有限迄今为止，粘性如何影响流体的运动 仍然没有完全解决 在1 9 0 4 年于h e i d e l b e r g 召开的国际数学大会上，p r a n d t l 提出了一个新的理论一边界层 理论自从p r a n d t l 开创这一理论以来，一直是国际上众多学者关注和研究的热点问题按 照p r a n d t l 提出的边界层理论，将小粘性流体运动的主要特点描述为：在固体周围运动的流 体可分为两部分，一部分是在固体表面周围的一个薄层中运动的流体，在这个薄层中，流体 的运动状态粘性起重要作用，该薄层称为p r a n d t l 边界层；另一部分为边界层外流动的流 体，在边界层外粘性对流体运动状态的影响可以忽略不计，因此其运动规律满足e u l e r 方 程 根据p r a n d t l 理论，对于小粘性流体，粘性的显著影响仅发生在固体表面一个很窄的区 域中这一理论已经由物理实验得到证明：在边界层中，经过固体的流体速度迅速地由固体 表面的静止状态上升到与层外一致的速度假设边界层的厚度与流体经过的固体表面的线 性尺寸相比较要小得多，p r a n d t l 在n a v i e r s t o k e s 方程的基础上推导了边界层中流体的运 动方程一p r n 扎出z 方程现在，我们简单的回顾一下p r a n d t l 方程的推导过程 3 1 假设流体在一个三维的区域中运动，速度向量v = ( u ，口，叫) ，其中仳，刀，w 分别为y 在 坐标轴z ，y ，z 上的投影对于一个粘性不可压缩均匀流体，在不考虑质量压力情况下，描述 其运动状态的n a v i e r s t o k e s 方程组如下： u t +vuy-1-uux w u z ：一- 1 p x 士u a u , 2 一p + 饥+ t 正+ 口吻+ 叫吃：一一1 p 可十工，口， 饥+ t 正+ 口吻+ 叫吃2 一石? 十仉 ( 1 1 ) 叫t + 姚+ 口嘶+ 叫妣：一- ! p z + y a w , 、 叫t + 姚+ 口嘶+ 叫妣。一p + 其中= c o n s t 0 为动力粘性系数，p = p ( t ，z ，y ，z ) 为压强，p 是流体的密度，是l a p l a c e 算子 我们考虑如下的特殊情形：一直线流以速度( 阢0 ) ( 边界层外流体的速度，又称自由速 度) 经过一个二维平面，该平面落在( z ，y ) 平面上此时无沿z 轴方向的速度分量，因此 集美大学硕士学位论文 关于微流边界层方程的解 誉二雾1 2 ， u ( o ，z ，y ) = u o ( x ，可) ，牡 ，0 ，y ) = 0 ，u ( t ，z ，0 ) = 0 ， v ( t ，z ，0 ) 2 伽( t ，z ) ，l - + i m 。u ( t ，z ，y ) = u ( t ，z ) 1 3 () 巨三鼍。1 嚣2 ：二4 ， = 1 一“ 5 ， 珏u z t + + u u z ：+ 。v ，u ”2 阢+ u 巩+ i ，u 掣 c l 6 ， 集美大学硕士学位论文关于微流边界层方程的解 上述经典的p r a n d t l 边界层理论没有考虑边壁性质对边界层流动特性的影响，该理论 对工程实际中涉及固壁与水流相互作用的流动，特别是微细水流的流动问题，难以进行充 分而圆满的解释，有时会出现矛盾和错误的结论，因此，p r a n d t l 边界层理论并不能精确地 描述微流边界层问题 从物理角度讲，黏性实际上是物质内部相互作用的度量，所以，水分子间的作用力将对 黏度产生决定性的影响水分子之间的相互作用力包括三部分，即取向作用、诱导作用和色 散作用水分子相互问除了范德华力外，氢键作用也是重要的，这是由于极性分子仍d 中 氢原子上的电子倾向于氧原子，显示部分空轨道，而氧原子上存在一孤对电子，故氢与氧原 子间将部分共享孤对电子而形成氧键微流边界层内水分子除受自身的相互作用力外，固 体边壁对其产生的作用力也将对黏度产生重要影响固体表面对水分子的作用力不仅取决 于水分子的性质，也取决于固体表面分子的性质固体表而对水分子的作用力已远远超出 了分子间的引力范围，这是因为分子间力是不饱和的，是可以叠加的，整个固体表面对水分 子形成了一个作用力势场一分子引力场，就像地球的重力场一样，处于该势场中的分子，均 将受到引力的作用 总之，黏性是分子引力的表征，分子间引力越大，黏性越大，分子问引力越小，黏性越 小，按此规律可以假设黏性与分子引力成正比例对于微流边界层中的水，黏性由两部分组 成：一是自由水的黏性，另一部分是固体表面对水分子的作用产生的附加黏性水与固体 表面的相互作用，在无化学反应和化学吸附的情况下，极性相互作用是主要的，不同性质的 固体表面，水分子吸附的形式不同，当水流流动时，边界层的流动特性、分离性等存在较大 差异，正是这种差异造成了微细流流动过程中不同性质固壁表面上水流阻力、速度分布的 不同，对工程实际产生了重要影响考虑固体表面对水分子吸附作用比较强时，根据实验表 明：该流体边界层体现微流的特征具体讲，应将p r a n d t l 系统修改为 r u t + + u u z ：+ 。v ，u ! ，= u t + u u 名+ y 乱! ，掣厶z ，y 。， 黑搿裟竺篙黔砌巩 ( 1 7 a ) ( 1 7 b ) ( 1 7 c ) ( 1 7 d ) 其中d = ( t ，z ，y ) l0 t t ，0 z l ，0 0 ；( 可) 是一个与流体厚度y 有 关的运动粘性系数 方程组( 1 7 ) 是p r a n d t l 方程的推广目前对微流边界层方程理论的研究基本上还停留 在通过简化处理过的方程上，与此相应地得到了平板、曲面、平行窄缝、毛细管、旋转简体 内壁、旋转圆柱外、斜面微流边界层方程的近似解，而对一般的微流边界层方程理论的深入 研究成果还鲜见发表 本文的目的是研究方程组( 1 7 ) 解的适定性问题为此，引入c r o c c o 变换 7 = t ，= z ， 叩= 芳， 硼( 丁，专，叩) = 兰若甚i 豸堕， 3 叁薹奎兰堡主堂堡堕塞 苤至垡亟望墨星查堂 经过简单的计算，可得 ”翟一”q 一一 u ! ，l ，2u 伽奶， = 惭叫2 + 叫嘶， 乱! ，掣可= u w 2 伽聊+ u 伽嵋， t 正们；伽巩+ u r + 加叩u t 一叫，7 u 可u t ， ：伽u x + u w + 牡z 一u 告， 将( 1 t a ) 关于y 求导一次，并利用( 1 7 b ) ，有 t 匆t 十t 上u z ! ，+ 可u j w = ( 王，( 可) u 掣) ! ，暑， 又由( 1 7 a ) ，得 ：u t + u u z + ( ( y ) u y ) y - u t - u u , u y 结合( 1 8 ) - - ( 1 1 0 ) ，可推导出： ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 。1 0 ) w 2 w 聊一w r 一叩u 吣+ a w ，7 + b w + 2 v v w 2 w 卵+ 叫3 = 0 ， ( 1 1 1 ) 其中( 7 - ，f ，7 7 ) q 丁= ( 丁，f ，叩) 10 7 - 正0 f x ，0 叩 0 代替方程组( 1 1 4 ) ，我们将考察下面的常微分方程组： f(wm-lk-+h)2。叼m叩,ktwm,k-wm-l,k_yum,ktwm,k_win,k-1+are,k_。叩in + 驴惫叫m , k + 2 v , 7 ( w 一1 南) 2 伽+ ( 矿1 南) 2 俨七_ 0 ( 1 1 5 ) lw o ，七= 叫台( 七 ，7 7 ) ，叫( 1 ) m ，七= 0 ， 【 w m - l , k w 矿, k + ( 加m - l , k ) 2 一m , k 一1 七十c 叫乙= o ， 其中m = 1 ，2 ，【t h ；七= 0 ，1 ，2 ，【驯明若蛳，w o 叮，w o r f q 有界，则取w o = 叫o ( ，7 ) 若w o 没有如此光滑有界性，则可取砧为区域 o x ，0 ? 7 1 ) 中某一光滑函数，且 当h - 0 时，叫者jw o 为简单起见，本文只讨论w o = w o 的情况，另外的情形可通过一个 极限过程得到相应的结论 在以下的论述中，我们约定蹈，尬，g 为不依赖于h 的正常数 1 2 局部解的定义及几个引理 1 2 1 解的定义及主要结果 定义1 2 1 称满足如下性质的函数u ( t ，z ，秒) ，v ( t ，z ，y ) 为问题( 1 7 ) 的解：u ( t ，z ，y ) 在 百内连续有界，v ( t ，z ，y ) 在百内关于y 连续且对有界的y 亦有界，若导数u t ，u z ，唧，钆鲫，吻 是有界的测度；方程( 1 7 a ) 、( 1 7 b ) 对u ，口在d 内成立，并满足条件( 1 7 c ) 、( 1 7 d ) 定义1 2 2 称满足如下性质的函数叫( l ，叩) 为问题( 1 1 4 ) 的解：叫( 7 - ，f ，? 7 ) 在西内 连续有界，若导数伽下，唑，聊是q t 有界的函数，关于叩在叼= 0 处连续，若导数w r p ? 使得叫在两内有界；方程( 1 1 4 a ) 对w 在q t 内成立，并满足条件( 1 1 4 b ) 、( 1 1 4 c ) 本章的主要结果是： 定理1 2 1 假设巩，u , u , 7 ) 0 是d = ( t ，z ，可) 10 t l0 z x ，0 o 时，u ( t ，z ) 0 1 i mu o ( x ，y ) = l ，十 u ( o ，z ) ，咖( z ，o ) = 0 ；咖阢l t o 掣v 在百内连续；当y 0 ，z 0 时， 0 ，且 k 1 ( u ( 0 ，。) 一t 幻( z ，耖) ) su o 掣( x ，y ) j 幻( u ( o ，z ) 一u o ( x ，暑，) ) 在二维平面 0 z5x ，0 y 0 ；热仳可v = 0 ，咖( z ，o ) = o ；移关于可为连续函数，且当秒有界时，口也 有界；弱导数毗，u y ，u 矿，蚧，钍! ，鲫在d 内有界可测；问题( 1 7 ) 中的方程在d 内几 乎处处成立；钍t ，u ，让删关于y 连续； u 可! ，u y y y u y u 为 n u ； u ； 有界，且有不等式 c l ( u ( t ，z ) 一u ( t ，z ，可) ) u u ( t ，z ，y ) q ( u ( t ，z ) 一乱( t ，z ，y ) ) ， i 竿地箐ul 鲰( 咄 i 嘞u v l 竿地箐ul 鳎( 弘毗 u i e 印( 一q 秒) 1 一篆鲁e 印( 一a n 成立 1 2 2 几个重要引理的证明 引理1 2 1 假设a ，b ，c ，v o 在区域f t t 中均有界，蛳( 7 7 ) 【0 ，1 】) 为一连续函数，满 足k i ( i 一，7 ) w o k 2 ( 1 一叩) ，( ) e o ，印 0 为某一正数，( 叩) 在q t 内存在直到二阶的 有界导数，那么，对于充分小的h ，当m h t o 时，方程组( 1 1 5 ) 存在唯一的解，其中蜀为 一依赖于方程组( 1 7 ) 的正常数该解满足下面的估计： v ( m h ，叩) w r n , k ( ? 7 ) v l ( m h ，7 7 ) ， ( 1 1 6 ) 其中y ，为爵内的连续函数，并使得v = k 3 ( 1 7 7 ) ，= k 4 ( 1 一叩) 在叩= 1 附近成立 证明 方程组( 1 1 5 ) 的解的存在性是显然的，我们只需证明其解的唯一性即可 事实上，记q m ，南为方程组( 1 1 5 ) 的两个解的差，则q m ，七满足 l ( w i n - - l , k + ) 2 眙七+ ( a m , k + 2 ( 伽m - l , k ) 2 ) 卵七 一元1 ( 1 + r i u m , km 眇七h 一( 伽州凫) 2 h ) q 邮= o ， 由边界条件 t u 一啪叼七+ ( 叫一蛐) 2 - - v 叫一址+ 知k 。- 0 ， r 集美大学硕士学位论文 关于微流边界层方程的解 有 q 孑，七( o ) = 0 那么q m ，知在叩：0 处既达不到正的极大值也取不到负的极小值，否则q 铲知0 ( 见【7 】) 显 然，q m ，七( 1 ) ：0 ，并且只要h 充分小，那么易知q m ，七在【o ，1 】的内点既达不到正的极大值也 取不到负的极小值，所以，q m ，七兰0 假设方程组( 1 1 5 ) 的解w m 一1 ，七满足下面的先验估计： y ( ( m 一1 ) h ，叩) w - 1 , k ( , ) ( ( m 一1 ) h ，7 ) ， ( 1 1 7 ) 为了证明先验估计( 1 1 0 ) ，只需证明在条件( 1 1 7 ) 下，存在满足引理1 2 1 所需要的性质的 函数k ，使得 ( y ) ：( 叫m 一1 ，血+ 九) 2 蠕，凫一v m , k - - 厂v m - l , k 一印u m ，七v m , k _ _ 厂v m , k - 1 l m ( y ) = ( 叫m 一1 ，血+ 九) 2 v 另，凫一f 一一印u m ，七i 一 + a m ，七k ? ，七十b m ，七y m ，七+ 2 ( m 一1 ，詹) 2 v 尹，七 ( 1 1 8 ) + 蜥町( w i n - - l , k ) 2 v m ，忌0 ， k ( y ) = ( o ) 叫r n - l , k ( o ) 吁惫( o ) + ( o ) 叩( w r n - l , k ( o ) ) 2 ( 1 1 9 ) 一m , k w m - l , k ( 0 ) + c m ，知 0 ， l m ( ) 0 ，入m ( ) 0 由假设知，对m ，m 一1 ，恒有g m 7 ，七0 并且易知，q m , k ( 1 ) = 0 下面我们证明q m ，k ( 叩) 0 为此，引入函数q m ，k = e a m h s m 一，o l = c o n s t 0 ，则 l m ( g ) ：e a m ( w m - l k - j r h ) 2 蹄七一叩俨七s m , k _ _ - s i n , 一k - 1 + a a m , k c ：叮m ，七 十b m , k s m ，七+ 2 u 卵( w m - l , k ) 2 田，知+ 惭( 叫m 一1 ，七) 2 s m ，七 一e 枷s m , k _ - s m - 一l , k 一元1 ( 1 - e - a h ) ，1 。，凡nj a m ( q ) = e a m h ( o ) 伽m 一1 ，膏( o ) s 孑知( o ) 0 ， ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 由( 1 2 2 ) ，有s 矿，k ( o ) 0 ，这意味着s m ，k 在叩= 0 处取不到正的极大值 若，k 在 o ，1 】的内部取到正的极大值，对于充分大的q 和足够小的h ，使得1 - e q 1 2 时，在此点必有： 蹄知。，s m , k _ 广s m 一- l , k 。，s m , k _ r s i n 一, k - 1 。， 田ko ，b m , k + y r f i ( w m - l k ) 2 一丢( 1 _ e - a h ) o ， 7 关于微流边界层方程的解 1 6 ) 的证明 构造出函数y 满足引理 k 1 为光滑函数，满足： r1 ， 当s 1 4 时； 仡1 ( s ) 2 互1s k 1 1 ，当1 4 o ， l m ( y ) = p e - a 2 m h 工，( 钳) r a - l , k + 九) 2 ( 尤k 1 ) 聊+ a m 岛( k 仡1 ) 叩+ b m , k g k l + k k l q 2 e 口2 元 + 2 v o ( w m - l , k ) 2 ( m ) 叼+ 吻町( w i n - l , k ) 2 帆 ， 其中0 元 h 若1 一卵 0 ，选取充分大的q 2 ，使得e q 。m 。h 1 2 则 记 l m ( y ) 0 = m k l ( 叼) 仡2 ( p 1 叩) e 卢2 m 8 集美大学硕士学位论文 关于微流边界层方程的解 k 2 为光滑函数，满足： r4 一e 5 ， 当0 s 1 时； k 2 ( s ) = 1 k 2 3 ， 当1 s 1 ，有 圣孑七( o ) 蕊+ q 西m 知( o ) 一蚝西m ，七( o ) 一k 9 圣m 一1 凫( o ) 一k l o ， 其中k 1 0 = k 1 0 ( a ) 选取o z 使得o 2 k 8 ，q 4 硒，选取k 6 充分大使得k 6 k t o ，则当 m h t o 时，有 圣孑，惫( o ) 罟西m ，七( o ) 一三圣m - l , k ( o ) ， ( 1 3 1 ) 注意到3 , o ，奄( o ) 关于h 一致有界，砬南= 0 ，当( 6 充分大时，由( 1 3 0 ) 知 圣；七( o ) 詈圣1 七( o ) ， ( 1 3 2 ) 类似可以证明不等式( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 对忌= 0 ，m 1 也成立当k = 0 时，7 m ，o ( 0 ) 于( 1 2 9 ) 中 的系数霹o 三0 我们还要定义西0 k 为此，通i 3 以下方式引入函数w 一1 ，知 t w o , k _ w - l , k 叫护) 2 1 w ，聊, m , k _ r l u o , k 竿秘七叼一 ( 1 3 3 ) + 豆o , k w 0 七+ 2 p r ( w 0 k ) 2 w 哿，七十惭( 叫o ，知) 2 w o 一， 其中 斧，七= a o ，知一2 t l v ( w o , k e 一叩+ ) 2 ， 豆o ，知= b o ，七+ o t 2 ( w 厂0 ，七e 一口叩+ ) 2 一a a o ，七一2 a v ( w o ，七e a 叩) 2 那么，我们可以由( 1 - 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 分别定义k 1 和k = 0 时圣o ，惫的表达式 由w o 的偏导数关于h 一致有界，知 明七= ( 伽o ，知e 一叻) 叩= ( w o ( k h ，叩) e 吨町) 叩， 7 0 , k ：e a 叩w o , k _ t w o , k - 1 ：e q 叩w o ( k h , r 1 ) - w _ o ( ( k - 一1 ) h , 7 7 ) ， 凡厅 关于h 一致有界；函数蜘。坝咖在q 内有界，且 所( 1 7 7 ) w 0 k 2 ( 1 一叩) ， 集美大学硕十学位论文关于微流边界 也即是说 ( 扩凫枷h w 叩o t 7 , kl k l l ( 1 - 7 7 + h ) 妒七e 一叩) 叩叩 k 1 2 + k 1 3 ( 1 一r + h ) 1 w w 叩o 叼, k i = k 1 2 + k 1 3 ( 1 一叩+ h ) 1 w o o 町i sk 1 4 ， 所以 p 七i 1 ，k 1 时， 当m = 1 ，k 1 时， ( 1 ，3 9 ) ( 1 4 0 ) 且昭，七( 1 ) = 0 接下来，我们考虑对埽知的估计由引理1 2 1 的假设条件1 w o i 凰( 1 一叩) 和w o ，后； w o ( k h ，7 7 ) e 鲫，其中w o ( k h ，叼) 关于h 一致有界知 two,k_wo,k-1i 硷6 ( i - r + h ) 由( 1 3 3 ) 可知 j t w o , k _ w - l , kj ( 1 - r + h ) ， 1 3 集美大学硕十学位论文 关于微流边界层方程的解 由( 1 1 6 ) ，且w o = w o ，膏= w o , k e 一唧，有 l p ( 扩，屉+ ) 2 晡( 7 7 ) i 胁) 啪嘲七( 叩) i 陆) 啪啪( 叩) 卜 i ( 护 知) 2 嘲凫( 叩) i v , m ( w 吣) 2 e n 叩w 吣( 叩) l k l s ( 1 k 1 9 ( 1 k 2 0 ( 1 n 2 1 ( 1 k 2 2 ( 1 所以， p 南( 7 7 ) l 鲍3 ( 1 一叩+ ) 2 ，7 十 ) ， 叩+ 危) ， 叩+ 九) ， 叩+ ) ， 町+ ) ， ( 1 4 1 ) 利用类似于求f f 2 m , k ( 7 7 ) ，( k 1 ，m 1 ) 所满足方程的方法，对y m , k ( 叩) ，( k21 ，m 1 ) 有 ( w n - z k + h ) 2 塌，七一y m , k _ _ y m 一- l , k叩u m , k y m , 丁k _ y m , k - 1 + 和，南w ，知 + 2 百m ，k y m ，k + 2 v , 7 ( w m - 1 , k ) 2 v ，七+ 2 叩( 叫m l ，七) 2 y m ，七一王，( 叫m 一1 ，七+ ) 2 厶刁 ( l 4 2 ) 一五讯，南厶一2 百m , k ，一2 v ( w m - l , k ) 2 岛一2 ( 埘m - l , k ) 2 ，+ 孑”一? 知= 0 ， 其中砑，七是所有非负项的和， 叼, k = 2 u a m - l , k ( 嘲，七) z + 差( 四，血一秭m 七) 2 + 写竽( 霄，七一霄 南) 2 + 2 n 仇 七( 霄，七) 。+ 去( 劈七一卵卜t ) z + 写( 宵，七一宵p ) 2 ， 孵七是由系数关于h 一致收敛的函数的线性组合： 矿，毛矿一1 一，w 第一1 ，七矿，七p m 一1 ，r - ，矿七锣一1 七( 1 一叩) ，p m 七w m 一1 - ，p m 知p m 一1 ”， 鲁，y 嘶 ( 俨m ) 2 一( 户1 ) 2 町_ 等7 嘶 ( w m , k - 1 ) 2 一( 叫一蛐。) 2 咪， 1 m , k ，y m 一1 ，- - ，一y m ，知7 m ，七一1 ， 矿，七t i j m 一1 一，p m