（基础数学专业论文）krein空间上非负算子在有限秩扰动下的非负性及可定化性.pdf

摘要 2 p j o n a s 和h l a n g e r 在 4 】中讨论了k r e i n 空间上的非负算子在使预解式之差为一秩算子的扰动下， 非负性是否仍成立的问题，给出了非负性成立的充要条件本文从两个角度对4 1 进行了推广。第二节和 第三节对于非负算子在使预解式之差为有限秩算子的扰动下，非负性何时成立的问题进行了讨论；第四 节对于强可定化算子( 一致可定化算子) 在使预解式之差为一秩算子的扰动下，强可定化性( 一致可定 化性) 何时成立进行了讨论。 关键词预解式，强可定化，一致可定化， a b s t r c t pj o n a sa n dh l a a g e rh a v es t u d i e dp e r t u r b a t i o n so fan o n n e g a t i v eo p e r a t o rai na k r e i ns p a c ew h i c h a r es u c ht h a tt h ed i f f e r e n c eo ft h er e s o l v e n t so faa n do ft h ep e r t u r b e dl i n e a ro p e r a t o r ( r e l a t i o n ) bi so fr a n k o n e ( s e e 【4 ) ，t h e yo b t a i n e dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rn o n n e g a t i v eb t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oc o n t i n u et h es t u d yo fp j o n a sa n dh l a n g e r i n 2a n d 3 ，t h ep e r t u r b a t i o n o fan o n n e g a t i v eo p e r a t o rai nak r e i ns p a c ei ss t u d i e d ，w h e r et h ed i f f e r e n c eo ft h er e s o l v e n t so faa n d o ft h ep e r t u r b e dl i n e a ro p e r a t o r ( r e l a t i o n ) bi so fr a n kf i n i t et h ep r o b l e mw h e nt h ep e r t u r b e dl i n e a r o p e r a t o r ( r e l a t i o n ) bi sn o n n e g a t i v ei sd i s c u s s e d i n5 4t h ep e r t u r b a t i o no fas t r o n gd e f i n i t a b l e ( u n i f o r md e f i n i t a b l e ) o p e r a t o rai nak r e i ns p a c ei ss t u i d i e d ， w h e r et h ed i f f e r e n c eo ft h er e s o l v e n t so faa n do ft h ep e r t u r b e do p e r a t o rbi so ff i n i t eo n et h e p r o b l e m w h e nt h ep e r t u r b e do p e r a t o rbi ss t r o n gd e f i n i t a b l e ( u n i f o r md e f i n i t a b l e ) i sd i s c u s s e d k e y w o r d sr e s o l v e n t ，s t r o n gd e f i n i t a b l e ，u n i f o r md e f t n i t a b l e l 引百 l引言 不定度规空间上的算子理论是有着深刻的理论背景和基础的。相对中的“时一空”空间 就是一个不定度规空间，反映观察者变更的数学形式一一齐次l o r e n t z 群就是这个不定度 规空间上的酉算子全体。“不定度规空间”最初就是出现在p a md i r a c 的有关量子场论方 面的文章之中。上世纪5 0 6 0 年代有一批数学家如hl a n g e r 、r s p h i l l i p s 、j b o g n & 、 pj o n a s 等，从事p o n t r j a g i n 空间和k r e i n 空间上算子理论和算子代数的研究，并取得了不 少成果。 扰动理论不仅是算子理论中感兴趣、有意义的的重要内容，同时也有着深刻的物理背 景。p j o n a s 和h l a n g e r 在 4 中讨论了k r e i n 空间上的非负算子在使预解式之差为一秩 算子的扰动下，是否仍然非负的问题，给出了非负性成立的充要条件。 本文从两个角度对 4 进行了推广。第二节先对于h i l b e r t 空间上的算子在使预解式 之差为有限秩算子的扰动下，对扰动前后预解式之间的关系给出了具体的表达形式( 定理 2 2 ) ，第三节把前一节的结果推广到了k r e i n 空间上( 定理31 ) ，在此基础上给出了一类 特定的线性关系与一类特定的矩阵之间的一一对应( 定理3 5 ) ，并对于k r e i n 空间上的非 负算子在较为特殊的扰动给出了其保持非负性的条件( 定理3 9 、定理3 1 l 、定理3 1 3 ) 。 由于非负算子是可定化算子的简单而特殊的情形，第四节从另一个角度扩充了f 4 1 的研 究，主要讨论了k r e i n 上的算子在使预解式之差为一秩算子的扰动下，其各种定化性质能否 保持的问题。先指出一般情况下强( 一致) 可定化性是不能保持的( 例4 1 ) ，再给出了强可 定化算子在使预解式之差为有限秩算子的扰动下保持强可定化性的必要条件( 定理45 ) ， 接着给出了使预解式在扰动前后之差为一秩算子的扰动的充要条件( 引理46 ) ，在此基础 上对于某些情况下给出了强( 一致) 可定化算子在使预解式之差为一秩算子的扰动下保持 强( 一致) 可定化性的充要条件( 定理4 7 、定理4 8 ) 。 2h i l b e i t 空间中相差有限秩算子的预解式对 2h i l b e r t 空间中相差有限秩算子的预解式对 6 设日为h i l b e r t 空间，其内积与范数分别记为( ，) ，。设a 为日中的闭、稠定线性算子，具有 非空的正则集p ( a ) ，其定义域为_ d ( a ) 对于线性子集d ( a ) 赋予内积 ( z ，g ) + = ( o ，y ) + ( a + z ，a 。y )( z ，y d ( a + ) ) 相应的范数记为i l x l l + = z ) y 2 ，记( d - ) ，( ，) 十) 为h + ，则h + 为h i l b e r t 空间记 忙忆= s u p 掣( 。 巩 h 按此内完备化可得到一h i l b e r t 空间，记为一由于一+ ，所以我们有 风h h 一 把a 换为a ，可得霹h 日! 此处啦是线性流形d ( a ) 赋予内积 ，可) 罩= 扛，咖+ ( a z ， ) ( z ，v d ( ) ) 而得到，日! 中内积与范数可类似定义。 算子a ：( d ( a ) ，) ( h ，一) 是有界的，事实上 峪刮一。嚣掣27 警刚训嚣涮驯。 因此对v z c ，a z i 可以连续延拓为日到h 一的算子一= j ) “，易见a 的预解式咒( = ) ：= ( a z z ) 一1 ( z p ( a ) ) 可被连续延拓为h 一到h 的双射，记为五( z ) ，于是我们有( 见 4 ) r ( 。) = ( ( a 一= ，) ”) - 1 ( 一j ，) “t ，r ( z ) y ) = ( z ，y )0 h + ，y h 一) 1 0 ，驯川川一扫且 ，y h 一) 且预解式满足磊( z ) 一直( z ) = ( 。一。) 豆( z ) 五( z )( = ，z p ( a ) ) 用4 + 代替以可以有完全类似的结论，我们可以得到从日到日! 的连续算子似+ 日! 到h 双射币( 。) ，满足： r + ( ；) = ( ( a 一。，) “) 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 。，) “，以及从 ( 2 4 ) 5 2h i l b e r t 空间中相差有限秩算子的预解式对 ( ( a z ) z ，币( 。) ) = ( 。，f )( z 砖，日! ) i ( z ，y ) i 曼1 2 1 1 扛碰! ) ，y h ! ) 且预解式满足乔( z ) 一声( z ) = ( z 一。) 币( = ) 币( = )( z ，z p ( 4 - ) ) 设r 为h 中一闭线性关系，则p ( t ) 为一开集( 见 1 ) ，r ( z ；t ) ：= ( 丁一z ) ，则r 丁) 扛一z ) r ( = ；t ) r ( z7 ；r ) ( ：，。p ( t ) ) ，另一方面，若给定一算子值函数z s ( 。) ，其定义域为c 中 一开集p ，取值于日上的有界线性算子 闭线性关系t ，使得p p ( t ) ，s ( z ) 设a 为日上闭、稠定线性算子 ，且满足关系式：s ( z ) 一s ( z ) = ( 。一z ) s ( z ) s ( z ) ，则存在h 中 r ( z ；t ) ( 。p ) p ( 4 ) o ，0 萌h c * ，0 五日一，b l j ( z ) 为p ) 上的局部 r c z ，：= 兄c z ，一cc ，五ic 。，i j ，c ，磊i c=，；i，c。“c=，(黧主 c z ， r ( = ) = 兄( = ) 一( ( ，乔( 亍) 西) ，( 所以r ( z ) 一r ( z ) = ( = 一g ) r ( ；) r ( z 。) + ( ( - ，齐( 孑) 瓦) ，( ，乔( 矛) k ) ) ( 6 。( z7 ) ) 。 ( 。一z ) r ( 。) r ( 。) = ( z z ) 兄( z ) 冗( 。) ( ( ，( r ( j ) 一俞( 。7 ) ) 黾) 五) 五 月“ ( r ( z ) 一r ( z ) ) 1 ( 五( 。) 一五( z ) ) 五 篓 7 却 回 = 2 2 7 ( (tzr ，。 一 厶 曲 ，顾 刚 ，。 z j ，d 钎 一z舻 ) ) ，z ，： ( ( 一r r ，。 n叶 = u 6h 一，=即 吼 ，=茅一 ，jil、 舯 z ， 6 磊 一，z舻一 一z茅 5 2h i l b e r t 空间中相差有限秩算子的预解式对 nnnn + ( z z ) ( ，币( 亍) 瓦) ( b i k ( z ) 五( z ) 五，每( j ) 弓) 吗r ( 。) 蠢( z ) 五 i = 1 1 = 1k = 1f = 1 所以 r ( z ) 一r ( z + ) = ( z z 。) r ( z ) r ( 。) = 争 ( ( ，五= ( ? ) 而) ，( ，乔( 孑) 酞) ) ( ( = ) ) + ( ( ，每( 亍) i - ) ，( ，齐( ? ) 磊) ) ( 6 。( z ) ) 兄陋) ： r ( 2 ) r_ 只) ： _- 冗( ：) a nn 豆：( 亍) 毛) ( b “( z ) 五( 。) 五，茅( ) 弓) b j r 扛) 五( z ) 五 = 1f = l ( 6 “( z ) 一b u ( z ) ) ( ，齐( ? ) 西) 五( 。) 五 t = 1 l = l nn 币( 亍) 鼓) ( 6 n ( z 。) 元( z ) 五，乔( j ) 弓) b ，f ( 。) 直( z ) 五 k = 1= 1 由此我们可以得到： 引理2 1 r ( z ) 如偿列式中所示，则 r ( g ) 一r ( z ) = 0 一z ) r ( z ) r ( = ) 错 6 “( z ) “。f ( z ) = ( = 一= 7 ) ( b m z ) 五( z ) 五 t = 1 n 妇( i ) 乔( i ) 弓) ( z ，j = l ，2 n ) j = 1 设4 为h 上闭、稠定线性算子，p ( a ) 0 ，b 为一闭线性关系，满足： ( 1 ) p ( a ) n p ( b ) 0 ( 2 ) 存在p ( 4 ) n p ( b ) ，使得n ( z 。；日) 一n ( z 。) 为有限秩算子，即存在e 。，厶h ，使得 兄( ；b ) 一r ( ：。) = ( ，e h ，) 上。 t = 1 8 ( 2 8 ) 、lll、，、， 。芦 。 ； 。赳 。 z一0 5 7h i l b e r t 空间中相差有限秩算子的预解式对 下面讨论r ( 。，b ) 一n ( z )( z p ( a ) np ( b ) ) 由此可得 即 兄( z ；b ) 一n ( z ) 一( r ( ；b ) 一r ( ) ) ( = 一z o ) 皿( z ；b ) n ( z 。；b ) 一n ( z ) n ( z 。) ( z z o ) r ( 。；b ) 【r ( ；b ) 一r ( ) + ( z 一) ( r ( z ；b ) 一r ( 。) 】r ( ) 冗忙；b ) 一r ( 。) = ，+ ( z 一) r ( 。；b ) 兄( ；b ) 一r ( ) 】 j 一一) r ( ) 】一1 9 咒( z ；b ) 一n ( z ) = ，+ ( z z o ) r ( z ；b ) 冗( ；b ) 一r ( z 。) 】 ( a z o j ) 冗( 。) 】 ( 2 9 ) 由此可见r ( z ；b ) 一r ( = ) 仍为n 秩算子，下面的定理将给出其具体的表达形式 其中 且 定理2 2 a ，b ，z 。如上所示，则存在瓦日! ，五日一，使得 趵叫加击耋瓢【耋m 厕舭( b ) ) q ( z ) = ，一( o ：j ( z ) ) ，a l j ( z ) = ( ( 一z o z ) n ( z ) l 。，。，e ：。，j ) 日= q ( z ) + = ( b l j ( z ) ) ( t ，= 1 2 m ) p ( d ) np ( b ) p ( a ) n z ：l q 0 ) l o ) 证明：由( z 8 ) ( 2 9 ) 两式，对v z h ，我们有 n j r ( z ；b ) 一r ( z ) 】z = ( ( a 一，) 冗o ) 。，e 札。) 【 。+ ( z z o ) r ( 岛；b ) a 叫 ( 21 0 ) t = 1 将丘。( i = 1 2 n ) 代入上式，并且记。日( = ) = ( ( a 一r ) r ( z ) l 。，e h ，) 我们可以得到方程组： 兄( 2 ；b ) l o r ( o ；b ) 。 首先说明1 0 ( ：) l 0 ，( v z p ( a ) np ( 且) ) 考察 n ( b z ，) r ( ；b ) ( b ( a 一如j ) r 扛) 丘叫) j = 1 引 ， 5 2h i l b e r t 空间中相差有限秩算子的预解式对 ( b z ，) r ( ；b ) ( 七j ( a z o j ) r ( z ) 厶) j 3 1 = ( i + ( 奶一。) r ( z 。；b ) ) ( 幻( a z o ，) 兄扛) 丘。，) j = 1 = f i + ( 。一z ) n ( z 。) + ( z 。一z ) ( 。，e z o , 。) 。 ( k s ( a z o i ) r ( z ) f z 。，) t 2 1 j = l = ( a z s n ( z 。) 】 ek s ( a z o ，) r ( z ) 叫】+ ( 一g ) ( k j ( a z o ，) r ( z ) 丘叫，e ：州) ，z 叫 j 2 z o ij 2 1 = ( ：一( z z o ) o ，。( 。) k j ) l z 。 i = i j = 1 所以 ( b z i ) r ( z o ；b ) ( k j ( a 一如，) r o ) 厶。) = 0 骨k i 一( ：一岛) q ；( z ) 女j = 0 骨吲圳惜。 若j q ( 。) i = i q ( z ) 7 l = 0 ，则此方程组又非零解( h ，k ) 即存在量k j ( a 一如j ) 月( ：) 丘。0 ，使 p ( a ) n p ( b ) p ( a ) n = ：f 0 ( z ) j 0 ) 由于i q ( z ) i 0 所以o ( z ) 一1 = 等高：= 甫南 纂) - 一( = 1 0 ( z ) l 。1 ( c 。( z ) ) 下面计算c 。( 。) ，由于0 ( z ) q ( z ) = i q ( z ) l i ，由0 ( z ) 及b 的表达式知： 当i j 时 b i k ( z ) ( 一。幻( = ) ( 2 一知) ) + b i j ( z ) ( 1 一。，j ( ；) o 一纠) = 0 ， 所以 6 删。荆= 坐坚竽掣堕盟 1 0 ，； 5 2h i l b e r t 空间中相差有限秩算子的预解式对 因此 类似的计算可以得到 从而 将此式代入( 2 1 0 ) 可得 c 。( z ) = 州加，( z ) + 吲。) ( 只( 。) + 。( z ) ) k ， ：丝1 2 型丛! 二型里堕 z z o ：型丛生二型型1 2 = 一2 n ( z ) ：坐坠等警删( _ 1 2 n ) 脚；。= 塞揣丘。 【r ( z ，b ) 一r ( z ) 】z 2 驴n 嘞邶je z o , i ) + c 蝴号产+ 乏盟惋产脆 化简可得 阮b ) _ 酬叫玩1 丽蚤n ( a - z o i ) 印) 训 ( 2 1 2 ) 又由于 ( a z o ，) 兄( z ) z ，e ) = ( ( a z o i ) r ( z ) z r + ( 毛) ( a 一晶j ) “8 h 。) = ( r ( z ) z ，( a 一毛，) “e 。，) = ( ( a z i ) r ( z ) z ，r + ( j ) ( a 一z - 0 1 ) e 。) = ( z ，r + ( j ) ( a 一晶j ) e ：。) ：= ( z ，r + ( j ) 巨) 再设 r ( = ) = ( a z o ，) r ( z ) 则五日一， 画= ( a + 一f o i ) e 。日! ，将( 2 1 3 ) ，( 21 4 ) 代入( 2 1 2 ) 可得 球础2 南萎( ，研 善鲰阆 注 r ( z ；b ) 一r ( z ) ( ( ，齐玑( 1 乔驯锵( 五五五五) 7 ( ( ，亩( j ) 莳) ，一( ，乔( 5 ) 磊) ) d ( 。) ( 五( z ) 五五( 2 ) 五) - ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 口 5 2h i l b e r t 空间中相差有限秩算子的预解式对 若存在乏日! ) ，五日一，以及在p ( a ) 上解析的函数矩阵d ( = l 使得 r ( 。；b ) 一冗( 。) = ( ( ，乔扛) 乏) ，( ，乔( 2 ) 磊) ) d ( = ) ( 五( z ) 元五( z ) 五) - 则存在可逆矩阵j 4 1 ，a 2 ，使得 ( 元z ) 7 = a 。( 五五) 7 ，( 孑，孑。) = ( e l靠) a 。，a 。d ( 。) a 。= d ( ：) 对v ，h ，记s ( f ) = s p a n ( ，a f 舻，) 1 2 下面对于岛，厶的特殊情形给出较为简单的表达形式 定理2 3 a ，b 如定理2 2 中所示，若a 为自伴算子，且s ( e ：州) 上s ( ) ( i ，) ，则存在邑 h ! ，五h 一0 = 1 , 2 n ) ，使得 其中 且 所以 n r ( z ；日) 一兄( z ) = ( d 。如) ) 一1 ( - ，五= ( 牙) 瓦) 豆( z ) 五 t = 1 d i ( z ) = 1 一( z z 。) ( 五( 。) 五，乔( 矗) 茸) p ( a ) n p ( b ) = p ( a ) n 。：l d i ( z ) i 0 ) 证明：由i j 时s ( e 。，) 上s ( 正) 知 显然此时 且 m a z ) = ( ( a z 。，) r ( = ) 正。，e z 0 5 ) = 0 0 j ) q ( z ) = d i a g ( ( 1 一n 。( = ) ( 。一如) ) 0 ( ；) i 0 牟= 争1 一o 。( 2 ) ( = 一) 0 ( i = 1 2 ，n ) b i j ( z ) = 0 ( i j 时) ，6 ，( z ) = 兀( 1 一a i i ( 。) ( 。一z o ) ) b # 2 记f 旨斟= 瓦b 我们可以得到 d i ( z ) 2 1 一o ：t ( z ) ( = 一= 。) = 1 一( z 一= 。) ( a 一。，r ( z ) 丘。，e z o , i ) = i 一( 。一) ( r ( z ) 丘叫，( a + 一5 0 i ) e z o , i ) = 1 一( 。一) ( r ( ) 五( = ) 五，( a + 一言。j ) “e “。) = 1 一( 。一) ( 五( ；) 五，乔( = 。) 毛) 5 3k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 由定理22 知 r ( z ；_ 日) 一r ( = ) = ( d 。( = ) ) 一1 ( ，币( 牙) 邑) 五( z ) 五 且 p ( a ) np ( b ) p ( a ) n z ：1 0 ( z ) 0 ) = p ( a ) n z ：d t ( 。) 0 ，i = 1 2n ) 另一方面，设 r ( z ) = r ( z ) + ( d ，( z ) ) 一1 ( ，每( j ) 爵) 豆( z ) 五 t = l 由引理2 ，1 可知 r ( 。) 一r ( z ) = ( 。一。) r ( z ) r ( z ) 车= d ；( = ) 一d ，( g ) = ( = 一= ) ( 豆( = ) 五，芹( j ) 瓦) 1 3 而此式右端显然成立所以当z p ( a ) n = ：d 。( z ) o ，i = 1 2 n ) 时，r ( z ) 表示某一线性关系的预解 式，又由于 nn f ( z o ) = r ( z o ) + ( ，五= ( 晶) 瓦) 五( 知) 五= r ( ) + ( ，e h 。) 丘。 t = lt = 1 = 冗( ；b ) 所以当= p ( a ) n = ：d 。( z ) 0 ，i = 12m ) 时r ( z ) 与b 的预解式一致，即 综上 p ( a ) n z ：d ，( z ) 0 i = 1 2 n ) p ( a ) np ( b ) p ( a ) n ( = ：d ：( z ) 0 i = 12 n ) = p ( a ) np ( b ) 3k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 设( 日， ， ) 为k r e i n 空间( 见【2 ) ，j 为日上的度规算子，则 ( z ，) j = j z ，y z ，y h 口 定义了h 上一正定内积，且( 日，( ，) j ) 为一h i l b e r t 空间，其范数记为a 为日中的闭、稠定线性 算子，p ( 一4 ) 0 ，a 按照正定内积( ，) j 与不定内积 ，】的共轭算子分别记为a + ，a f ，按照正定内 积( ，) j 与不定内积 _ ，】的直交分别记为上和 上】 5 3k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 1 4 设a 为h 中的闭、稠定线性算子，p ( a ) 0 ，且a t = a 则a4 = j a j ，根据第二节的方法，由 ( h ，( ，) j ) 上的算子a + ，a 我们可“得到 h + 珂至h 一，日0 h 甘1 1 由a + = j a j 可得：j d ( a + ) = d ( a ) ，而且对于v x d ( a + ) 。我们有 ( 1 l j x l l = _ - ) 2 = i i j x l l 2 + i i a j z i l 2 = j i j x l l 2 + i i j a + z l | 2 = l l z 2 + | i a + z l l 2 = 【| z i l i 于是j 是h 到衅的等距算子，由于h + ( 衅) 在中h 稠密，且一曼i i i ( m i l l ! | | i ) 因而它们在何一( 日! ) 中稠密，故j 可以连续地延拓为从h 一到日9 的等距算子，延拓之后的算子仍记 为j 把a 看作( 日，( - ，- ) j ) 上算子，对于v ze c ，以及v z 。p ( a ) ，r ( z o ) 均可以延拓，与第二节中类似 延拓之后的算子分别记为一z z ) “，直( z ) 类似地处理a + 的情形 对于( 日， | ，。 ) 上的闭线性关系b 也有共轭的概念( 见 1 1 】) ，b 的共轭记为b 定理3 1 a 为k r e i n 空间上的自伴算子，b 为一闭的线性关系，满足： f j p ( a ) np ( b ) 0 f 纠存在z d p ( a ) np ( b )e “，厶h ，使得 兄( ；b ) 一r ( ) = ，e h 。 丘 则存在磊h 一，五n ，使得 ；驴弘) 5 南p ，氲驯k = l 五五刊a ) n 俐 其中 0 ( z ) = ，一( d z ，( = ) ) ， o 玎( z ) = ( a 一，) r ( z ) 厶，e 如，】 b = 0 ( 2 ) + = ( b i j ( z ) ) ( i ，j = 1 2 n ) 且 p ( a ) n p ( b ) p ( a ) n z ：f 0 ( = ) f 0 ) ( 3 1 5 1 f 3 1 6 ) 证明：由于 冗( ；b ) 一兄( ) = _ ，e z o , j 】 。= ( ，j e 。) 厶。 l = 1 i = 1 由定理2 2 知存在e ：= ( a 4 2 。，) j e 。出，五h 一，使得 弛咖2 高萎五；玉) 【蚤址蠢五刊肿俐 ( 3 1 7 ) 5 3k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 其中q ( z ) ，6 。( z ) 如定理中所示，而且 a , j ( z ) = ( ( 4 一z o i ) r ( z ) l 。，j e h ，) = ( a z o i ) r ( z ) l 。，e ，】 由于a = ，所以五= ( 2 ) = j r ( 2 ) j 设毛= j 互h 一，将它们代入( 3l z ) 式，可得 砟叫加南塾，如矧 耋鲰阍舭m ( b ) ) 所以 即 引入集合 d ：= z ：x d ( a ) d + ：= z ：ze d ( a ) 定理3 2 a ，b ，西，五如定理j 1 中所示，则 x ，玩】= 0 z = 1 2 ) 陋，列= 0i = 1 2 n ) d = ( 。d ( a ) ：忸，a x ) b ) ，d + = ( z d ( a ) ： z ，a x ) e b t ) 证明：设。d 对于z p ( a ) np ( b ) 记z = ( a z i ) z ，则 r ( 2 ；b ) z = = r ( z ) z z ，z ) r ( z ；b ) ( z ，。) e ( b z i ) j z ，( a 一= j ) z ) e ( b z j ) z ，a 。) b d ze d ( a ) ： z ，a x ) b 1 5 口 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) zo z，f= 舶 鼢碴，训两 店 戳 旬 吣 m 嘶 。乔 w m 加遂# 冒嗍誓擘蛩 k 。m。 lhfll 一0 0 一q 一0 1 3k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 所以 因此 从而 即 另一方面，若。d ( a ) n d ( b ) ， x ，a x ) b ，我们有 z ，a z ) b = = z ，( a z i ) x ) ( b z ) = 净 ( a z i ) x ，z ) r ( z ；b ) 儿忙；甘儿a o j o 。+ 丽1 妻。 ( a - z i k 五驯p 出鼢五 ”雨1 妻。( ( a - z i k 声矧 p 出翮五 蚪高蝥尬) 蚤( 瓣墒 赤驴瓦j f p 小嘞五】 nnn 砬】b 。t ) 五( z ) 五) = 0 = 亭( 扛，邑】b 。k ( z ) ) 五( z ) 五= 0 t = 1 = 1z = l k 酬6 “( z ) = 0 ( 口( z ) + ) 7 ( p ，西 ，陋，西】陋，磊 ) 7 = 0 由于i ( 0 扛) + ) 7 i = i q ( z ) j 0 ，所以 即 综上即有 z ，矧= 0 ( i = 12 n ) z d ( a ) ： z ，a x ) b ) d d = z d ( a ) ： z ，a z ) b ) 对于( 3 1 6 ) 式取共轭，并用z 代换i 可得 冗( z ；b t m ( 加去虿，p 以翮枷船矧p ( a m b t 类似地可以证明 d = ( 。d ( a ) ： z ，a x ) b t ) 1 6 口 3k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 设a 为k r e i n 空间上的自伴算子，p i a ) 0 解析的复值函数，在p ( a ) 的任一分支上不为零， r ( z ) = r ( z ) 一( ，r + ( j ) 两h ， 我们有 引理3 3 r ( 2 ) 如上所示，则 1 7 ，三i cj，i。，c。c。，。+。f主三三 c 。， r ( z ) 一r ( z ) = ( z z ) r ( z ) r 沁) 茸 n n b i l ( z 。卜6 “( = ) = 如一z 7 ) 匹6 n ( 。) 元( z ) 五，b “( j ) 齐( j ) 弓 = 1 j = l 证明：利用k 圳= ( z ，j y ) 将其转化为h i l b e r t 空间情形，直接使用引理21 可得 d ，d + 如( 31 8 ) ( 31 9 ) 中所示，设a 。：= a i d ，a 1 ：= a i d 定义3 4 闭线性关系s 称为 且。，a 1 ) 的延拓，若a 。s ，a 1 s t 口 定理3 2 说明定理3 1 中的b 是 a 。，a 1 ) 的一个延拓，下面的定理将说明 a 。，a 1 ) 的延拓与满足 ( 32 1 ) 的矩阵是一一对应的 定理3 5 a ，反，五如定理了中所示，若p ( a ) 上解析的函数矩阵( b 。，( z ) ) 满足f 3 删j ，卯 存在 a 。，a 1 ) 的延拓s ，使得 nn r 扛；s ) = r ( z ) + - 五( j ) 鼓 6 n ( z ) 五( z ) 五】( 3 2 2 ) l = 1 = l 反之，对 也，a 1 ) 的任一延拓s ，存在p ( a ) 上解析的函数矩阵( 6 ”( = ) ) 肿。满足p 牙 ，使得p 2 到成 立 证明：设 nn r ( z ) = r ( 。) + ，五( j ) 瓦】 b n ( z ) 壳( 。) 五 l = 1 k = l 若( b i j ( 。) ) 满足( 32 1 ) 由引理3 , 3 知r k ) 一r ( z ) = k z ) r ( z ) r ( 。) 所以存在闭线性关s ，使得 r ( 。；s ) = r ( z ) + 五( j ) 玩】 b i k ( z ) 蠢( z ) 五 5 3 k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 对v x d 设z 7 = ( a z ) z ，z p ( a ) a p ( s ) 与定理3 2 的证明中类似，可以得到 z ，4 z ) s ，即且。cs 类似地可以得到扣一j 4 z ) s ，即4 ：c 印，即s 为 a 。，。4 1 ) 的延拓 反之，设s 为f 。，4 1 ) 的延拓，对v 。d ，我们有 。，邑】= ( 。，日) = ( z ，( a + 一晶) “j 8 h ；) = ( ( j 4 一，) z ，j e 如) 由于j 8 h “= 1 2 n ) 线性无关，易知存在玑日“：12 以存在。z d ) t 使得( a 一，) 。；= 叭，于是得到。，d f 这样 n ) ，使得( 弧e z o d ) = d 又z 。p ( a ) ，所 使得弓 _ 6 。， 陋忙h 一驴( 砒m 矧= 日2 n ) 所以 于是 由此可得 只( z ) ”一i n ( z ) g ，址。d 凰邪沁一( z ；s ) ( a - z i ) ”一驴n 咖m + 塾咖m ， = r ( = ) 9 一阢) 口，啪+ r ( = ；s ) 妻陬) ”，黾 ( 4 一：m ， 1 2 1 一 = r o ) ”一( r o ) 封，最】k ，一只( z ；s ) ( a z ，) z ：= l n r o ；s ) = r ( 。) 一 c = l 此处地( 。) 为p ( a ) np ( s ) 上的解析函数 类似地可以得到 n 月如；s ) = 月扛) 一 ，再( 三) 五j o ) 1 = l 对于( 32 4 ) 式取共轭，并用z 代换j 可得 兄o ；s ) = 兄( g ) 一 _ ，也( 三) 】五i f , 比较( 3 2 3 ) ，( 3 2 5 ) 两式知：存在解析的函数矩阵( 6 。j ( ：) ) 使得 将此式代入( 32 2 ) 式可得 ( “t ( 2 ) u ；( z ) ) = ( 五( z ) 五五( z ) 五) ( ( z ) ) 。 r ；s ) = 冗( 。) + f 五( # ) 磊j f 靠：( s ) 五( 。) 五? ( 32 3 ) ( 3 2 4 ) 5 了k r m n 空问上非负算子扰动的讨论1 9 由于s 为一闭线性关系，所以冗( 2 ；s ) 一只( z ；s ) = ( z z j ) 兄( z ；s ) r ( z ；s ) 由引理3 3 知( 6 q ( z ) ) 满 足( 32 1 ) 式 下面对于e 二。，a 。的特殊的情形给出较为简单的表达式 口 定理3 6 a ，b ，e ：。，正。，如定理，j 中所示，若b 为闭的自伴线性关系， 且i j 时，有s ( 屯叫) 上】s ( 。，) ，s ( e “) c 上 s ( e ：叫) ，则存在五日一，n r ，使得 r ( z ；日) = r ( g ) + ( r ，+ o 。( z ) ) h 五( 牙) 五 五( z ) 五( 32 6 ) 仁= 1 其中 q t 0 ) = 一j i m 再( ) 五，五( ) 五】一如一) f 五( = ) 五，五( 五) 五j 且 p ( a ) np ( b ) = p ( a ) n z ： 0 0 ) | 0 ，i = 1 2 n 1 证明：由i j 时，s ( e z o i ) 上】s ( 正) ，可知此时n ”( ；) = ( a z i ) r ( z ) h 叫，e “。 = 0 类似于定理2 3 中的讨论，可以的得到 n r ( z ；b ) = 冗( z ) + ( _ d 。( z ) ) 一1 ，豆( 牙) 瓦】五( z ) 五 1 = 1 f 32 7 ) _ d 。扛) = 1 一( 。一岛) 【五0 ) 五，齐( 矗) 黾】 对于( 32 7 ) 式取共轭可得 r ( 5 ；b ) = r ( j ) + ( 订元i 两) 一1 ，五( ：) 五】五( j ) 邑 l = 1 再用2 代换j 可得 r ；b ) = r o ) + ( 币了玎两) 一1 ，五( 导) 茜 矗o ) 五( 3 2 8 ) 由定理3 1 的证明过程知磊= j ( a + 一i ) j e ：。，所以对i j ，我们有 e h ，五( 暑) 邑 = e ，k ( 5 ) j ( a + 一磊，) j e 钆。 = ( e h 。，乔( 三) ( 4 牙。，) j e 。) = ( r ( 2 ) 。屯，( a + 一2 0 i ) j e ：”) = ( ( a 一南i ) r ( z ) e ，j e 如) = f ( a z o j ) 且( z k 。，岛。小= 0 类似地我们可以得到k 。，五( j ) 五 - 0 对于11v is n 将e h 。分别代入( 32 7 ) ( 3 2 8 ) 两式，可得五= 啦瓦 故 d ；( 。) 砒= 瓦丽0 ， 5 3k r e i n 空间上非负算子扰动的讨论 将如代入此式可得 u _ 1 面。= l 一( 一2 0 ) u f l 五( ) 五，五( 。) 五 = = 砜= u 。一( 一2 0 ) 五( ) 五，五( ) 五 所以 由于 i i m u ，= i i m z 。 蠢( z 。) 五，五( = 。) 五 r ( 。；b ) 一r ( z ) = ( d 。( z ) ) 一1 【_ ，五( 牙) 五】氲( 。) 五百_ 1 2 = 1 n = ( 1 一。一如) 五忙) 五，乔( 晶) 五 i 1 ) 一1 【，矗( j ) 五 五( 。) 五峨一1 z = 1 n = ( 。一( z z 。) 五( 。) 五，雨( 晶) 五】) 一1 ，五( 2 ) 五】氲如) 五 ( 32 9 ) 记n = r e u i ，并设0 。( ：) = 一i l m z 。 五( z 。) 五，五( 岛) 五】一0 一) 五( z ) 五，五( 五) 五】，利用( 32 9 ) 式可得 r ( z ：b ) = r o ) + ( r + o ，扛) ) ，五( 牙) 五】元如) 五 = 1 与定理2 3 的证明类似可以得到p ( 4 ) np ) = p ( a ) n ( = ：1 0 ( z ) l o ，i = 1 2n ) 口 定理3 7 a ，五，o 。( z ) 如定理，6 中所示，p ( a ) ，a 。：= a i d ，若r 。r ，使得n + 0 ：( z ) o ， 则存在4 。的一个延拓s ，使得 且 证明：设 n 冗( z ；s ) = 冗( z ) + ( n + o ；( z ) ) 一1 ，五( 三) 五 五0 ) 五 ( 33 0 ) z = 1 s 是算子学对任意不全为零的数d * c 有 n n ag h 或 k = l 量a 五h ，且存在，使。( + o ；( 。) ) 一z f 量。，五，n ( z ) 五 = 11 = 1 n r ( z ) = r ( z ) + ( n + q i ( 。) ) 一1 ，五( ；) 五】五o ) 五 由定理3 6 的证明知n + q ( z ) = 6 ，+ d ，( z ) ( 6 。r ) ，由d ：( = ) 的表达式和引理3 3 知 r ( 。) 一r (