MATLAB语言符号运算.ppt

2019/12/5,matlab,Page1,2019/12/5,matlab,Page1,第3章Matlab语言的符号运算,【学习目标】掌握基本符号运算能够使用符号运算解决一般的微积分和方程求解问题。,2019/12/5,matlab,Page2,2019/12/5,matlab,Page2,第3章Matlab语言的符号运算,2019/12/5,matlab,Page3,3.1基本符号运算,MATLAB自6.0版本以后，增加了符号数学工具箱(SymbolicMathToolbox)。它可以对符号表达式进行运算处理，大大扩展了MATLAB的应用范围。,符号计算是指对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。与数值运算的区别:数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。,2019/12/5,matlab,Page4,3.1.1符号对象的创建,在MATLAB中的符号计算主要是对符号对象进行操作的，在使用符号计算功能前，首先需要创建符号对象。本节主要介绍符号对象的创建，其中常用的符号对象主要包括符号常量和变量、符号表达式、符号矩阵。,1.符号变量的创建,在MATLAB中创建符号常量和变量的函数为sym()和syms()，两函数的主要区别在于前者每次只能创建一个符号变量，而后者可以同时创建多个符号变量。,2019/12/5,matlab,Page5,x=sym(x)：创建符号变量x，无需对变量x赋值，在以后的运算中直接对符号变量x进行操作，返回的结果为带符号的表达式，而非数值结果。x=sym(x,real)：创建符号变量x，并设置其为实体型。x=sym(x,unreal)：创建符号变量x，并设置其为非实体型。,3.1.1符号对象的创建,函数sym()的调用格式为：,2019/12/5,matlab,Page6,函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms符号变量名1符号变量名2符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,3.1.1符号对象的创建,syms函数调用格式：,2019/12/5,matlab,Page7,3.1.1符号对象的创建,x=sym(x)y=sym(y),例：,symsxy,z=x*x+y*yz=x2+y2a=5;b=3;c=a*a+b*bc=34,2019/12/5,matlab,Page8,3.1.1符号对象的创建,2.符号常量的创建,不含变量的符号叫符号常量。符号常量的定义也使用函数sym()。,例：,a=sym(1/5)a=1/5,2019/12/5,matlab,Page9,3.1.1符号对象的创建,3.符号表达式的创建,符号表达式为含有符号对象（符号常量、符号变量）的表达式，其创建方法如下：1利用函数sym()直接创建sym(A)：其中A为字符串的表达式，必须被单引号引用。2利用符号对象创建符号表达式也可以通过创建的符号对象来实现，当把已定义的符号变量或者符号常量连接为表达式，即可完成符号表达式的创建。,2019/12/5,matlab,Page10,3.1.1符号对象的创建,例：,y1=sym(cos(x)y1=cos(x)x=sym(x)x=xy2=cos(x)y2=cos(x),2019/12/5,matlab,Page11,3.1.1符号对象的创建,4.符号矩阵的创建,由符号对象构建的矩阵为符号矩阵，符号矩阵的格式与一般的数据矩阵类似，其创建方法如下。利用函数sym()直接创建函数sym()的输入为符号矩阵，矩阵各元素可以为符号常量、符号变量或者符号表达式，各元素的长度不要求一样长。,a=sym(xx/5;sinxy)a=x,x/5sinx,y,2019/12/5,matlab,Page12,3.1.2符号运算,符号表达式的代数运算与数值运算类似，也可以通过“+”、“-”、“*”、“/”、“”等运算符来实现。,f=sym(x-2);g=sym(x2+x-6);z1=f+gz1=2*x-8+x2z2=f-gz2=4-x2,z3=f*gz3=(x-2)*(x2+x-6)z4=f/gz4=(x-2)/(x2+x-6)z5=f2z5=(x-2)2,2019/12/5,matlab,Page13,3.1.2符号运算,符号矩阵的代数运算包括一般的加、减、乘、除等四则运算。符号矩阵的代数运算是把矩阵当作一个整体，按照代数运算的准则进行运算，其中的运算基本同数值矩阵的运算规则。,A=sym(x2y;x-yx)A=x2,yx-y,xB=sym(x+3x;x+yy)B=x+3,xx+y,y,C=A+BC=x2+x+3,x+y2*x,x+yC=A*BC=x2*(x+3)+y*(x+y),x3+y2(x-y)*(x+3)+x*(x+y),(x-y)*x+x*y,2019/12/5,matlab,Page14,C=A./BC=x2/(x+3),y/x(x-y)/(x+y),x/yC=A/BC=-y*(x2-y-x)/(x2-3*y),(x3-x*y-3*y)/(x2-3*y)(y2+x2)/(x2-3*y),-x*(y+3)/(x2-3*y),C=A.2C=x4,y2(x-y)2,x2C=A2C=x4+y*(x-y),y*x2+x*y(x-y)*x2+x*(x-y),y*(x-y)+x2,3.1.2符号运算,2019/12/5,matlab,Page15,3.1.2符号运算,符号表达式提取分子分母,当符号表达式为有理分式时，函数numden()可用于提取有理分式的分子和分母，其调用格式如下：N,D=numden(A)：输入参数A为符号表达式，返回参数N和D分别为符号参数A的分子和分母。,a=sym(x-1)/(b+x)a=(x-1)/(b+x)d,n=numden(a)d=x-1n=b+x,2019/12/5,matlab,Page16,3.1.3符号微积分,符号极限,在MATLAB中计算符号极限的函数为limit()，其调用格式如下。limit(F,x,a)：计算符号表达式F在xa时的极限值。limit(F,a)：计算符号表达式F默认符号自变量趋于a时的极限值。limit(F)：计算符号表达式F默认符号自变量趋于0时的极限值。limit(F,x,a,right)：计算符号表达式F在xa时的右极限值。limit(F,x,a,left)：计算符号表达式F在xa时的左极限值。,2019/12/5,matlab,Page17,f2=sym(1/sin(x)f2=1/sin(x)limit(f2,x,0,left)ans=-inf,F1=sym(cos(x)F1=cos(x)limit(F1,x,0)ans=1,3.1.3符号微积分,2019/12/5,matlab,Page18,3.1.3符号微积分,符号微分,函数diff()可用于实现符号微分，其调用格式如下。Y=diff(F)：对符号函数F的默认符号变量进行一阶微分；Y=diff(F,t)：对符号函数F的符号变量t进行一阶微分；Y=diff(F,t,n)：对符号函数F的符号变量t进行n阶微分；,p=sym(a*x2+b*x);diff(p)%对默认变量x求微分diff(p,a)%对指定变量a求微分diff(p,2）%对默认变量x求二阶微分,2019/12/5,matlab,Page19,3.1.3符号微积分,符号积分,函数int()可用于符号积分，其调用格式如下。R=int(S)：计算符号函数S对默认的自变量符号的不定积分。R=int(S,v)：计算符号函数S对自变量符号v的不定积分。R=int(S,a,b)：计算符号函数S对默认的自变量符号在a,b上的定积分值。R=int(S,v,a,b)：计算符号函数S对自变量符号v在a,b上的定积分值。,2019/12/5,matlab,Page20,P=sym(a*x2+b*x);int(p)%对默认变量x求积分int(p,a)%对指定变量a求积分int(p,-2，2)%对默认变量x求从-2到2定积分,3.1.3符号微积分,符号积分,2019/12/5,matlab,Page21,3.1.3符号微积分,符号级数,求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：r=symsum(s)：计算符号表达式s对默认的自变量符号v在0,v-1范围内的级数和。r=symsum(s,v)：计算符号表达式s对自变量符号v在0,v-1范围内的级数和。r=symsum(s,a,b)：计算符号表达式s对默认的自变量符号在a,b范围内的级数和。r=symsum(s,v,a,b)：计算符号表达式s对自变量符号v在a,b范围内的级数和。,2019/12/5,matlab,Page22,s=sym(sin(x)s=sin(x)r=symsum(s,1,3)r=sin(1)+sin(2)+sin(3),3.1.3符号微积分,符号级数,2019/12/5,matlab,Page23,3.1.3符号微积分,泰勒级数,求泰勒级数的展开式需要函数taylaor，其调用格式为：r=taylor(s)：计算符号函数s对的泰勒级数展开项，默认为五项，自变量为默认。r=taylor(s,n,v)：计算自变量v的n阶泰勒级数展开项。,symxans=xr1=taylor(sin(x)r1=x-1/6*x3+1/120*x5,2019/12/5,matlab,Page24,3.1.4符号方程求解,代数方程求解,在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。,2019/12/5,matlab,Page25,3.1.4符号方程求解,代数方程求解,例：求解代数方程,y=solve(3*x2+5*x+3)y=-5/6+1/6*i*11(1/2)-5/6-1/6*i*11(1/2),求代数方程组,x,y=solve(x+y-5,x-2*y-7)x=17/3y=-2/3,2019/12/5,matlab,Page26,3.1.4符号方程求解,微分方程求解,在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为：dsolve(e,c,v)该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：dsolve(e1,e2,en,c1,cn,v1,vn)该函数求解常微分方程组e1,en在初值条件c1,cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,vn给出求解变量。,2019/12/5,matlab,Page27,3.1.4符号方程求解,微分方程求解,求解微分方程：,y=dsolve(D2y-3Dy+y=0)y=3+C1*sin(t)+C2*cos(t),2019/12/5,matlab,Page28,3.2符号运算用于控制理论计算,例1：已知函数y=sin(t-/6），求其对时间t的导数，并展开泰勒级数的前3项。,symswty=sin(w*t-pi/6);y1=diff(y,t)y2=taylor(y,3,t),y1=sin(w*t+1/3*pi)*wy2=-1/2+1/2*3(1/2)*w*t+1/4*w2*t2,2019/12/5,matlab,Page29,3.2符号运算用于控制理论计算,例2：求下列极限,symsxay=(x*exp(sin(x)+1-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);z=limit(y,x,a),z=(1/2*a*exp(sin(a)+3/2-exp(tan(a)/a,2019/12/5,matlab,Page30,例3：计算二重不定积分,symsxyf=x*exp(-x*y);z=int(int(f,x),y),z=1/y*exp(-x*y),3.2符号运算用于控制理论计算,2019/12/5,matlab,Page31,例4.f=ax2+bx+c求解,f=sym(a*x2+b*x+c)solve(f)ans=1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2),计算机格式,一般格式,3.2符号运算用于控制理论计算,2019/12/5,matlab,Page32,例5.解方程组x+y+z=1x-y+z=22x-y-z=1,x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)x=2/3y=-1/2z=5/6,3.2符号运算用于控制理论计算,2019/12/5,matlab,Page33,例6,y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,Dy(0)=0,y(0)=1,x)y=exp(-x)*sin(x)+exp(-x)*cos(x),3.2符号运算用于控制理论计算,2019/12/5,matlab,Page34,3.2符号运算用于控制理论计算,控制理论中经常用到的积分变换有：傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，这三种变换与反变换的函数如下：,ztrans(f)Z变换iztrans(f)反Z变换laplace(f)拉氏变换ilaplace(f)反拉氏变换fourier(f)傅里叶变换ifourier(f)反傅里叶变换,2019/12/5,matlab,Page35,3.2符号运算用于控制理论计算,例7计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换。,symx;y=x2;f=laplace(y)f=4/9/s,f1=ilaplace(f)f1=4/9,2019/12/5,matlab,Page36,上机,1.求出的分子、分母,2.求下列极限,2019/12/5,matlab,Page37,上机,3、求积分,4、求y+ytgx=cosx的通解。,5、解微分方程组。,2019/12/5,matlab,Page38,6、求sin(w*x+pi/3)的一阶导数、二阶导数、不定积分。,上机,2019/12/5,matlab,Page39,程序结构及流程控制,MATLAB与一般程序设计的高级语言类似，程序机构可以分为顺序结构、循环结构和条件结构。,顺序结构,顺序结构是按照代码书写的先后顺序执行，是最常用的结构，一般的程序中都会有顺序结构的成分。,例：输入x,y的值，并将它们的值互换后输出。,2019/12/5,matlab,Page40,x=3;y=5;z=x;x=y;y=z;xy,程序结构及流程控制,2019/12/5,matlab,Page41,程序结构及流程控制,条件结构,条件结构可用于在一定条件下执行相应的代码，通过条件流程控制语句执行代码。,1if语句在MATLAB中，if语句有3种格式。(1)单分支if语句：if条件语句组end,当条件成立时，则执行语句组，执行完之后继续执行if语句的后继语句，若条件不成立，则直接执行if语句的后继语句。,2019/12/5,matlab,Page42,(2)双分支if语句：if条件语句组1else语句组2end当条件成立时，执行语句组1，否则执行语句组2，语句组1或语句组2执行后，再执行if语句的后继语句。,程序结构及流程控制,2019/12/5,matlab,Page43,(3)多分支if语句：if条件1语句组1elseif条件2语句组2elseif条件m语句组melse语句组nend语句用于实现多分支选择结构。,程序结构及流程控制,2019/12/5,matlab,Page44,计算分段函数的值。y=1x0y=-1x0y=1elsey=-1end,程序结构及流程控制,2019/12/5,matlab,Page45,计算分段函数的值。y=1x0y=0 x=0y=-1x0自己编写程序,程序结构及流程控制,2019/12/5,matlab,Page46,某商场对顾客所购买的商品实行打折销售，标准如下(商品价格用price来表示)：price20