（全国版）2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6.2 直线与椭圆的综合问题课时提升作业 理.doc

直线与椭圆的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016芜湖模拟)若椭圆+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=()a.4b.8c.4或8d.以上都不对【解析】选c.若椭圆的焦点在x轴上,则10-a-(a-2)=4,解得a=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8,综上可知:a=4或8.2.(2016秦皇岛模拟)已知f是椭圆+=1(ab0)的左焦点,a为右顶点,p是椭圆上一点,pfx轴.若|pf|=|af|,则该椭圆的离心率是()a.b.c.d.【解析】选b.rtpfa中,|pf|2+|fa|2=|pa|2,|fa|=a+c,|pf|=,又|pf|=|af|,即=(a+c),即=(a+c),得4c2+ac-3a2=0,所以=.3.已知以f1(-2,0),f2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()a.3b.2c.2d.4【解析】选c.设椭圆方程为mx2+ny2=1(0mb0),以o为圆心,短半轴长为半径作圆o,过椭圆的长轴的一端点p作圆o的两条切线,切点为a,b,若四边形paob为正方形,则椭圆的离心率为.【解析】如图,因为四边形paob为正方形,且pa,pb为圆o的切线,所以oap是等腰直角三角形,故a=b.所以e=.答案:8.已知动点p(x,y)在椭圆+=1上,若a点坐标为(3,0),|=1,且=0,则|的最小值是.【解析】因为=0,所以.所以|2=|2-|2=|2-1.因为椭圆右顶点到右焦点a的距离最小,故|min=2,所以|min=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知在abc中,点a,b的坐标分别为(-,0),b(,0),点c在x轴上方.(1)若点c坐标为(,1),求以a,b为焦点且经过点c的椭圆的方程.(2)过点p(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于m,n两点,若点q(1,0)恰在以线段mn为直径的圆上,求实数m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),c=,2a=|ac|+|bc|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)直线l的方程为y=-(x-m),设m(x1,y1),n(x2,y2),联立方程组,消去y得3x2-4mx+2m2-4=0.所以若q恰在以mn为直径的圆上,则=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得m=.【加固训练】已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率为,其中左焦点为f(-2,0).(1)求椭圆c的方程.(2)若直线y=x+m与椭圆c交于不同的两点a,b,且线段ab的中点m在圆x2+y2=1上,求m的值.【解析】(1)由题意,得解得所以椭圆c的方程为+=1.(2)设点a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段ab的中点为m(x0,y0),由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,=96-8m20,所以-2mb0)的左、右焦点分别为f1,f2,右顶点为a,上顶点为b.已知|ab|=|f1f2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设p为椭圆上异于其顶点的一点,以线段pb为直径的圆经过点f1,经过原点o的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【解析】(1)设椭圆右焦点f2的坐标为(c,0),由|ab|=|f1f2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为+=1.设p(x0,y0),由f1(-c,0),b(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0,又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点p在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0,而点p不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点p的坐标为.设圆的圆心为t(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx,由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以,直线l的斜率为4+或4-.(20分钟40分)1.(5分)(2016大同模拟)已知直线x=t与椭圆+=1交于p,q两点.若点f为该椭圆的左焦点,则使取得最小值时,t的值为()a.-b.-c.d.【解析】选b.易知椭圆的左焦点f(-4,0).根据对称性可设p(t,y0),q(t,-y0),则=(t+4,y0),=(t+4,-y0),所以=(t+4,y0)(t+4,-y0)=(t+4)2-.又因为=9=9-t2,所以=(t+4)2-=t2+8t+16-9+t2=t2+8t+7,所以当t=-时,取得最小值.【加固训练】(2016合肥模拟)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,f,a分别是椭圆的一个焦点和顶点,p是椭圆上任意一点,则的最大值为.【解析】设p点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,因为e=,所以c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.所以-2x02,-y0.因为f(-1,0),a(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.即当x0=-2时,取得最大值4.答案:42.(5分)直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交于a,b两点,点c是椭圆上的动点,则abc面积的最大值为.【解析】设与l平行的直线方程为x-y+a=0,此直线与椭圆的切点为c时,abc的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由=16a2-24(a2-1)=0得,a=,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=,所以|ab|=,所以sabc=|ab|d=.答案:3.(5分)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为f1(1,0),离心率为e.设a,b为椭圆上关于原点对称的两点,af1的中点为m,bf1的中点为n,原点o在以线段mn为直径的圆上.设直线ab的斜率为k,若0b,所以a2=b2+c2.设a(x,y),由得.因为0k,所以01,所以1a21+,即10)的焦点在x轴上,其右顶点(a,0)关于直线x-y+4=0的对称点在直线x=-上(c为半焦距长).(1)求椭圆的方程.(2)过椭圆左焦点f的直线l交椭圆于a,b两点,交直线x=-于点c.设o为坐标原点,且+=2,求oab的面积.【解析】(1)椭圆的右顶点为(2,0),设(2,0)关于直线x-y+4=0的对称点为(x0,y0),则解得x0=-4,所以=4,所以c=1,所以b=,所以所求椭圆的方程为+=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),c(-4,y3),过椭圆的左焦点f的直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程得:(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因为+=2,所以(x1,y1)+(-4,y3)=2(x2,y2),所以2x2-x1=-4.由得:x2=-,x1=,代入整理得:4k4-k2-5=0.所以k2=,所以x2=-,x1=.由于对称性,只需求k=时,oab的面积,此时,y1=,y2=-,所以oab的面积为|of|y1-y2|=.5.(13分)(2016石家庄模拟)给定椭圆c:+=1(ab0),称圆c1:x2+y2=a2+b2为椭圆c的“伴随圆”.已知椭圆c的离心率为,且经过点(0,1).(1)请求出椭圆c的标准方程.(2)若过点p(0,m)(m0)的直线l与椭圆c有且只有一个公共点,且l被椭圆c的伴随圆c1所截得的弦长为2,求实数m的值.【解析】(1)记椭圆c的半焦距为c,由题意,得b=1,=,c2=a2-b2,解得a=2,b=1,故椭圆c的标准方程为:+y2=1.(2)由(1)知,椭圆c的方程为+y2=1,圆c1的方程为x2+y2=5.显然直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.