002第2章ch 2-2离散时间系统分析end (修复的) (自动保存的).docx

2.2离散系统的时域分析离散系统分析与连续系统分析在于多方面是相互平行的，有许多类似之处。连续系统可用微分方程描述，离散系统可用差分方程描述。差分方程和微分方程的许多求解方法在许多方面是相互对应的。在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在离散系统中，卷积和也具有同等重要的地位。连续系统分析与离散系统分析的相似性为读者学习本章节提供了有力条件，不过，读者应该十分注意他们之间存在着的重要差异。在离散系统分析中，激励（输入）用表示，响应（输出）用表示，其中为整数；初始状态用表示，其中为正常数，通常取。下面，从离散系统的差分方程（或系统框图）及其求解开始，研究离散系统的时域分析。2.2.1 LTI离散系统的响应差分与差分方程与连续时间信号的微分与积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列，则称，等为的位移序列。序列的差分可分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为（2.2-1）一阶后向差分定义为（2.2-2）式中和称为差分算子。由式（2.2-1）和（2.2-2）可见，前向差分与后向差分的关系为（2.2-3）二者仅位移不同，没有原则的差别，因而它们的性质也相同。本书主要采用后向差分，并简称其为差分。由差分的定义，若有序列、和常数、，则（2.1-4）这表明差分运算具有线性性质。二阶差分可定义为（2.2-5）类似的，可定义三阶、四阶、五阶差分。一般的，阶差分（2.2-6）式中（2.2-7）为二项式系数。序列的求和运算为（2.2-8）差分方程是包含关于变量的未知序列及各阶差分方程的方程式，它的一般形式可写为（2.2-9a）式中差分的最高阶为阶，称为阶差分方程。由式（2.2-6）可知，各阶差分均可写成及其各位移序列的线性组合，故上式常写为（2.2-9b）通常所说的差分方程是指式（2.2-9b）形式的方程。差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。例2.2-1 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件激励，求。解：将差分方程中除以外的各项都移到等号右端，得对于将已知初始值代入上式，得类似地，一次迭代可得由上例可见，用迭代法求解差分方程思路清楚，便于编写计算机程序，能得到方程的数值解，但它常常不宜得出解析形式（或称闭式）的解。2.2.2差分方程的经典解一般而言，如果单输入-单输出的系统的激励为，其全响应为，那么，描述该系统激励与响应之间的关系的数学模型是阶常系数线性差分方程，它可以写为（2.2-10a）式中，都是常数。上式可缩写为(式中)（2.2-10b）与微分方程的经典解相类似，上述差分方程的解由齐次节和特解两部分组成。齐次解用表示，特解用表示。即（2.2-11）齐次解当式（2.2-10）中的及其各位移项均为零时，齐次方程（2.2-12）（2.2-12）的解称为齐次解。首先分析最简单的一阶差分方程，若一阶差分方程的齐次方程为（2.2-13）它可改写为与之比等于表明，序列是一个公比为的等比序列，因此应有如下形式（2.2-14）式中为常数，由初始条件确定。对于阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为的序列组合而成，将代入到时（2.2-12），得由于，消去；且，以除上式，得（2.2-15）上式称为差分方程（2.1-10）和（2.1-12）的特征方程，它有个根，称为差分方程的特征根。显然，形式为的序列都满足式（2.2-12），因而它们是式（2.1-10）方程的解。依特征根的不同取值，差分方程齐次解的形式如表2.2-1，其中、等为待定常数。表2.2-1 不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解单实根 重实根一对共轭复根或，其中特解特解的函数形式与激励的函数形式有关，表2.2-2列出了几种典型的激励所对应的特解的。选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数（或、）等，就得出方程的特解。表2.2-2 不同激励所对应的齐次解激励齐次解所有特征根均不等于1时；当有重等于1的特征根时。，当不等于特征根时；当是特征根时；，当是重特征根时。或当所有的特征根均不等于或，其中 全解式（2.2-10）的线性差分方程的完全解是其齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为（2.2-16）如果特征根为重根，而其余个特征根为单根时，差分方程的全解为（2.2-17）式中系数、由初始条件确定。如果激励信号是在时接入的，差分方程的解适用于。对于阶差分方程，用给定的初始条件就可确定全部待定系数和。如果差分方程的特征根都是单根，则方程的全解为式（2.2-16），将给定的初始条件分别代入到式（2.2-16），可得（2.2-18）由以上方程可求得全部待定系数。例2.2-2 若描述某系统的差分方程为（2.2-19）已知初始条件，；激励。求方程的全解。解：首先求齐次解。上述差分方程的特征方程为可解得特征根，为二重根，由表2.2-1可知，其齐次解其次求特解。由表2.2-2，根据的形式可知特解将，和代入到式（2.2-19），得上式中消去，可解得，于是得特解差分方程的全解将已知的初始条件代入上式，有由上式可求得，最后得方程的全解为（2.2-20）差分方程的齐次解也称为系统的自由响应，特解也称为强迫响应。本例中由于，故其自由响应随着的增大而增大。例 2.2-3 若描述某离散系统的差分方程为（2.2-21）已知初始条件，激励为有始的周期序列，求其全解。解：首先求齐次解。差分方程的特征方程为其特征根为，方程的齐次解其次求特解。由表2.2-2可知，特解其移位序列将，代入到式（2.2-21）并稍加整理，得由于上式对于任何成立，因为等号两端的正、余弦序列的系数应相等，于是有由上式可解得，于是特解 （2.2-22）方程的全解将已知的初始条件代入上式，有由上式可解得，最后解得全解 (2.2-23)由上式可见，由于本例中特征根，因而其自由响应是衰减的。一般而言，如果差分方程所有特征根均满足那么自由响应将随着的增大而逐渐衰减趋近于零。这样系统称为稳定的系统，这时自由响应也称为瞬态响应。稳定系统在阶跃序列或有始周期序列作用下，其强迫响应也称为稳态响应。2.2.3零输入响应和零状态响应系统的全响应也可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由初始状态所引起的响应，用表示；零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号所引起的响应，用表示。这样系统的全响应将是零输入响应与零状态响应之和，即（2.2-24）在零输入条件下，式（2.2-10）等号右端为零，化为齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应（2.2-25）式中为待定常数。若系统的初始状态为零，这时方程（2.2-10）仍是非齐次方程，若其特征根均为单根，则其零状态响应（2.2-26）式中为待定常数。系统的全响应可分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是（2.2-27）式中 （2.2-28）可见，两种分解方式有明显的区别。虽然自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同，仅由系统的初始状态所决定，而是由初始状态和激励共同决定。在用经典法分别求解系统的零输入响应和零状态响应时，需要已知各响应的初始值，用以分别确定常数和。由式（2.2-25）可知，在时刻 （2.2-29）这时各初始值中不仅包含有零输入响应的初始值，也包含零状态响应的初始值，这常常不便区分。为此，如果激励是在时接入的，通常以描述系统的初始状态。因为在时，激励尚未接入，显然零状态响应在这些时刻的值为零，即 （2.2-30）由式（3.1-25）可知，这时（2.2-31）它们给出了该系统已往历史的全部信息，称其为系统的初始状态。这样，在求解时可分别根据和，利用该系统所满足的差分方程，用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值和，并进一步确定系数和。例2.2-4 若描述某离散系统的差分方程为（2.2-32）已知激励，初始状态，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1） 零输入响应根据定义，零输入响应满足方程（2.2-33）由式（2.2-32），其初始状态。首先求出初始值，式（2.2-33）可写为令，并将代入，得式（2.2-34）的特征值为，由表2.2-1，其齐次解（2.2-34）将初始值代入得可解得，于是得该系统的零输入响应（2.2-35）实际上，式（2.2-34）满足齐次方程式（2.2-33），而初始值，也是有该方程递推出的，因而直接用确定待定常数将更加简便。即在式（2.2-34）中令，有可解得，与前述结果相同。（2） 零状态响应根据定义，零状态响应满足方程（2.2-36）和初始状态。首先求出初始值，将式（2.2-37）写为令，并代入和，得（2.2-37）系统的零状态响应是非齐次差分方程式（2.2-36）的全解，分别求出方程的齐次解和特解，得将式（2.2-37）的初始值代入上式，有可解得，于是得零状态响应 （2.2-38）系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和，即 （2.2-39）2.2.4单位序列和单位序列响应单位序列响应当LTI离散系统的激励为单位序列时，系统的零状态响应称为单位序列响应（或单位样值响应、单位取样响应、单位函数响应），用表示，它的作用与连续系统的冲激响应相类似。例2.2-5 ，求离散系统的单位序列响应。解： （2.2-40）根据单位序列响应的定义，它应满足方程 （2.2-41）且初始状态。将上式移项有令，并考虑到，可求得单位序列响应的初始值（2.2-42）（2）求对于，由式（2.2-41）知满足齐次方程其特征方程为其特征值，得方程的齐次解将初始值（式2.2-42）代入，有请注意，这时已将代入，因为方程的解也满足。由上式可解得。于是得系统的单位序列响应或写为 阶跃响应当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用表示。若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应。例2.2-6求系统的单位阶跃响应。解：（1）经典法系统的差分方程为根据阶跃响应的定义，满足方程（2.2-43）和初始状态。上式可写为将和代入上式，得初始值式（2.2-4）的特征根，容易求得它的特解。于是得将初始值代入上式，可求得，最后得该系统的阶跃响应2.2.5卷积和2.2.5.1卷积和在连续时间系统中，把激励信号分解为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作用于系统时的冲激响应，然后将这些响应相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应。这个相加的过程表现为求卷积积分。在离散系统中，可用与上述大致相同的方法进行分析。由于离散信号本身是一个序列，因此，激励信号分解为单位序列的工作很容易完成。如果系统的单位序列响应为已知，那么，也不难求得每个单位序列单独作用于系统的响应。把这些序列相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应，这个相加的过程表现为求卷积和。任意离散时间序列可表示为（2.2-44）如果系统的单位序列响应为，那么，由线性系统的齐次性和时不变系统的移位不变性可知，系统对。根据系统的零状态线性性质，式（2.2-44）的序列作用于系统所引起的零状态响应应为（2.2-45）式（2.1-45）称为序列和的卷积和。式（2.2-45）表明，系统对于任何激励的零状态响应是激励与系统单位序列响应的卷积和。一般而言，若有两个序列和，和式 （2.2-46）称为与的卷积和，也简称为卷积。卷积常用符号“”表示，即 （2.2-47）如果序列是因果序列，即有，则式（2.2-47）中求和下限可改写为零，即若，则（2.2-48）如果不受限制，而为因果序列，那么式（2.2-47）中，当，即时，因而求和的上限可改写为，即：若，则 （2.2-49）如果，均为因果序列，即：若，则 （2.2-50）例22-7 如，求：（1）；（2）解：（1） 由卷积和的定义式（2.2-46），考虑到得上式中，当时，故求和下限可改写为0；当，即时，因而从到的和为零，故求和上限可改写为；而在区间，于是上式可写为显然，上式中，故应写为2.2.5.2卷积和的性质离散信号卷积和的运算也服从某些代数运算规则， = （2.2-51）即离散序列的卷积和也服从交换律，类似地，二序列的卷积和也服从分配率和结合律，即有 （2.2-52） （2.2-53）如果两序列之一是单位序列，由于仅当时等于1，时全为零，因而有 （2.2-54）即序列与单位序列的卷积和就是序列本身。将式（2.2-54）推广，与移位序列的卷积和考虑到交换律，有 （2.2-55）此外还有 （2.2-56）若则（2.2-57）以上各式中、均为整常数，各式的证明和图示与连续系统相似，不多赘述。例2.2-8复合系统由两个子系统级联组成，已知子系统的单位序列响应分别为，（为常数）求复合系统的单位序列响应。解： 根据单位序列响应的定义，复合系统的单位序列响应是激励时系统的零状态响应，即。令，则子系统1的零状态响应当子系统2的输入为时，子系统2的零状态响应亦即复合系统的零状态响应即复合系统的单位序列响应考虑到当时，时以及在区间=1，以上各式可写为： 当时 当时 显然上二式在成立，故得 上式中，若，则有 若，有 最后举例说明时域分析求解LTI离散系统全响应的有关问题。例2.2-9 如图2.2-9所示离散系统，已知初始状态，激励，求系统的全响应。 图2.2-9离散系统解： 按图2.2-9，不难写出描述系统的差分方程为 求零输入响应根据零输入响应的定义，它满足方程 和初始状态，。可推得其初始条件 差分方程的特征根为，故有 将初始条件代入，有 解得，得零输入响应 求单位序列响应和零状态响应根据单位序列响应的定义，系统的单位序列响应满足方程 和初始状态。 系统的零状态响应等于激励与单位序列响应的卷积和，即 （2.2-58）由于 将它们代入到式（2.2-58），得 最后得到系统的全响应 习题二2.1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求系统的零输入响应。(1) y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y(0)=-1(2) yt+yt=f(t), y0-=2, y0-=0 2.2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求系统的全响应。（1）y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t), y(0-)=1, y(0)=-1，f(t)=(t)（2）y(t)+4y(t)+3y(t)=f(t), y(0-)=1, y(0)=-1，f(t)=e-5t(t)2.3已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求系统的零输入响应，零状态响应与系统的全响应。（1）y(t)+4y(t)+4y(t)=f(t)+3f(t), y(0-)=1, y(0)=2，f(t)=e-t(t)（2）y(t)+2y(t)+2y(t)=f(t) y(0-)=0, y(0)=1，f(t)=(t)2.4已知描述系统的微分方程如下，求系统的冲激响应和h(t)与阶跃响应g(t)。（1）yt+2yt=f(t)-f(t)（2）yt+2yt=f(t)（3）y(t)+6yt+8yt=f(t)+2f(t)（4）yt+6y(t)+11yt+6yt=6f(t)+2f(t)2.5计算下列函数卷积积分（1） f1 t=tt, f2 t=t（2） f1 t=e-2tt, f2 t=t（3） f1 t=e-2tt, f2 t=e-2tt2.6 已知（1）f 1 t*tt=t+e-t-1(t)（2）f 2 t*e-tt=1-e-tt-1-e-t+1t-1求f 1 t，f 2 t。2.7 已知系统：y1t=ft*ht=e-t, t0, 求y