植树问题的数学思想

植树问题渗透的数学思想小学数学教学体系贯穿着两条主线：数学知识和数学思想方法。数学知识是一条明线，直接呈现在教材上；而数学思想方法则是一条暗线，隐藏在知识的背后。“数学广角”中的“植树问题”，承载了基本的数学思想方法“化繁为简”“数形结合”“一一对应”和“数学建模”等，使学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型（点段关系），然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。 1在困顿中感悟“化归”的思想 人们在面对数学问题时，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。 在教学例1中，教师引导学生对“20米一共要栽多少棵树”进行验证，在画图时引发困惑，数字太大，不可能全部画下来，或是太麻烦、太浪费时间了。在学生有所体验的基础上，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生选择短距离（20米），用画图的方式得出结果。在这个过程中，学生通过猜想、实验、推理、交流等活动，既培养了数学思想能力，学会了一些解决问题的方法，又逐步形成实事求是的科学态度和精神。 2在探究中渗透“数形结合”的思想 数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想。 本册的“数学广角植树问题”把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。 教师可以组织学生在课堂上“模拟植树”。用 “_”代表一段路，用“”代表一棵树，画“”就表示种了一棵树。关于在20米长的路可以栽多少棵树的问题，让学生自己动手画一画。学生根据图示，很容易发现规律。再从个别的、简单的几个例子出发，逐步过渡到复杂的、更一般的情境中，是数学中常用的推理方法。 这个过程中，学生借助数形结合将文字信息与学习基础结合起来，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了基础，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。因此，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。 3在抽象中明晰“一一对应”思想 本册“数学广角植树问题”的教学，通常有两种教学思路：一种思路是通过教材主题图中得三组实例归纳出规律，利用画图、小棒或圆片的排列来验证规律，进而结合生活实际应用规律。这种教学逻辑性强，规律揭示很顺畅，但是从教学效果看，学生虽然能够“熟记”规律，却不能灵活解决诸如“封闭、不封闭”“两端都栽、只栽一端、两端都不栽”这类问题，更不能用数学观点统领“间隔排列”的现象。另一种思路是在深入钻研教材的基础上，真正把握“间隔排列”的实质：两种物体间隔排列，这两种物体的排列一一对应。对应，是间隔排列的本质。课堂教学中，通过“感知对应现象激活对应思想建构对应思想升华对应思想”层层深入的教学行为，抓住蕴含在教材中得一一对应思想，有效统领种种纷繁复杂的现象，使学生真正感知了一一间隔排列的特点，扫清了思维上的障碍，层层推进认识的完善和引申。 4在运用中体验“模型思想” 义务教育数学课程标准（2011年版）中提出：在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。“数学模型”是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。模型思想的教学，不是作为像具体数学知识点那样可以单独作为一个数学内容来进行专门教学，而是融入到具体数学知识的教学过程中，让学生在经历“问题情境建立模型解决问题拓展运用”的学习过程中逐渐领悟的。 在本册“数学广角植树问题”的教学中，教材以“猜想试误合作探究发现规律（建立模型）深化规律（再次建模）解释运用”为主线，渗透数形结合的思想，建立数学模型，发现问题实质，为后面解决问题奠定了坚实的基础。 在这样的学习活动中，学生在经历了实物操作、图示表达、抽象概括等程序，逐层提升，拾级而上，一步一步地从生活向数学的内核逼近。在数学抽象时，引导学生逐层深入地进行推理研究，从“20米、30米、35米、100米”，让学生联想到“点数比段数多1”，从而建立起“点线”间关系模型。举一反三，触类旁通。最后，引导学生用发现的规律去解决更多的实际问题（两端都不栽的情况和只栽一端的情况）。这样的教学，也正体现了