（同步辅导）高中数学《平面向量数量积的坐标表示》导学案 北师大版必修4(1).doc

第7课时平面向量数量积的坐标表示1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢?问题1:设i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,则有:ii=;ij=;ji=;jj=.问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=,即两个向量的数量积等于.问题3:用坐标表示向量的模(1)若a=(x1,y1),则|a|=;(2)若a(x1,y1),b(x2,y2),则|ab|=.问题4:向量夹角公式、平行或垂直的坐标表示式(1)cos =ab|a|b|=;(2)ab;(3)ab.1.在平面直角坐标系xoy中,已知o(0,0),a(0,1),b(1,3),则oaab的值为()a.1b.3-1c.3d.3+12.向量a=(3,4),b=(x,2),若ab=|a|,则实数x的值为().a.-1b.-12c.-13d.13.若向量a=(1,1),b=(-1,2),则ab等于.4.已知a=(1,3),b=(3+1,3-1),求a与b的夹角.向量垂直的坐标运算已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)a,且|xa+yb|=1.向量坐标运算中的最值问题已知o为原点,a(a,0),b(0,a),a为正常数,点p在线段ab上,且ap=tab(0t1),求oaop的最大值.向量垂直的坐标公式的运用在abc中,ab=(1,1),ac=(2,k),若abc为直角三角形,求实数k的值.平面向量a=(3,1),b=(12,-32),若存在不同时为0的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t).abc中,有abac, m是bc的中点.(1)若ab=ac,求向量ab+2ac与向量2ab+ac的夹角的余弦值;(2)若o是线段am上任意一点,且ab=ac=2,求oaob+ocoa的最小值.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=25,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a(2a-b)=0,则k=().a.-12b.-6c.6 d.122.已知a=1,b=6,a(b-a)=2,则向量a与b的夹角为().a.2b.3c.4d.63.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=.4.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b与a垂直,求的值.(2013年浙江卷)设e1,e2为单位向量,非零向量b=x e1+y e2,x,yr,若e1,e2的夹角为6,则|x|b|的最大值等于.考题变式(我来改编):答案第7课时平面向量数量积的坐标表示知识体系梳理问题1:1001问题2:x1x2+y1y2它们对应坐标的乘积的和问题3:(1)x12+y12(2)(x1-x2)2+(y1-y2)2问题4:(1)x1x2+y1y2x12+y12x22+y22(2)x1y2-x2y1=0(3)x1x2+y1y2=0基础学习交流1.b由已知得oa=(0,1),ab=(1,3-1),oaab=01+1(3-1)=3-1.2.a由ab=|a|得,3x+42=32+42=5,即3x+8=5,解得x=-1.3.1a=(1,1),b=(-1,2),ab=(1,1)(-1,2)=-1+2=1.4.解:由a=(1,3),b=(3+1,3-1)得,ab=3+1+3(3-1)=4,|a|=2,|b|=22.记a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=22.又0,=4.重点难点探究探究一:【解析】由a=(3,4),b=(4,3)得,xa+yb=(3x+4y,4x+3y).又(xa+yb)a,所以(xa+yb)a=0,即3(3x+4y)+4(4x+3y)=0,即25x+24y=0.又|xa+yb|=1,所以|xa+yb|2=1,即(3x+4y)2+(4x+3y)2=1,整理得25x2+48xy+25y2=1,即x(25x+24y)+24xy+25y2=1.由有24xy+25y2=1,将变形代入可得y=57,再代回得,x=2435,y=-57或x=-2435,y=57.【小结】根据向量垂直和向量模的坐标表示求解即可,注意仔细计算.探究二:【解析】设p(x,y),则ap=(x-a,y),ab=(-a,a),由ap=tab得,x-a=-at,y=at,解得x=a-at,y=at,op=(a-at,at),又oa=(a,0),oaop=a2-a2t,a0,可得-a20,又0t1,当t=0时,oaop=a2-a2t有最大值a2.【小结】将oaop的最值问题转化为求有关函数的最值问题是解决本题的关键.探究三:【解析】abc为直角三角形,a=90,abac=0,又ab=(1,1),ac=(2,k),12+1k=0,即k=-2,当k=-2时,abc为直角三角形.问题b、c不能是直角吗?结论本题在解答过程中,应考虑abc三个内角都可能为直角的情况.因此,正确解答如下:abc为直角三角形,a=90或b=90或c=90,若a=90,则abac=0,又ab=(1,1),ac=(2,k),12+1k=0,即k=-2.若b=90,则abbc=0,又bc=ac-ab=(2,k)-(1,1)=(1,k-1),即得1+(k-1)=0,k=0.若c=90,则acbc=0,即2+k(k-1)=0,而k2-k+2=0无实根,所以不存在实数k使c=90.综上所述,当k=-2或k=0时,abc是直角三角形.【小结】对abc三个内角中哪个角为直角进行分类讨论是解决本题的关键.思维拓展应用应用一:由a=(3,1),b=(12,-32)得,ab=0,|a|=2,|b|=1,由xy得,a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,即-ka2+tab-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0,整理得,-4k+t3-3t=0,k=14(t3-3t),f(t)=14(t3-3t).应用二:(1)设向量ab+2ac与向量2ab+ac的夹角为,ab=ac=a,abac,ab=ac,(ab+2ac)(2ab+ac)=2ab2+5abac+2ac2=4a2,|ab+2ac|=(ab+2ac)2=ab2+4abac+4ac2=5a,同理可得2ab+ac=5a,cos =(ab+2ac)(2ab+ac)|ab+2ac|2ab+ac=4a25a2=45.(2)ab=ac=2,am=1.设oa=x(0x1),则om=1-x,而ob+oc=2om,oa(ob+oc)=2oaom=2oaomcos =-2x(1-x)=2x2-2x=2(x-12)2-12,当且仅当x=12时,oa(ob+oc)取最小值,最小值为-12.应用三:(1)设c=(x,y),|c|=25,即x2+y2=20, ca,a=(1,2),2x-y=0,即y=2x.联立得,x=2,y=4或x=-2,y=-4.c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0.a2=5,b2=54,代入式得ab=-52,cos =abab=-52552=-1.又0,=.基础智能检测1.d因为a(2a-b)=0,所以(2,1)(5,2-k)=0,即10+2-k=0,即k=12.2.b设a与b的夹角为,a=1,b=6,a(b-a)=2,ab=2+a2=3,则cos =abab=316=12,=3.3.5b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3),所以ab=1(-1)+23=5.4.解:a+b=(+