（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第六节 立体几何中的向量方法作业本 理.doc

第六节立体几何中的向量方法a组基础题组1.如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是菱形,且dab=60.点e是棱pc的中点,平面abe与棱pd交于点f.(1)求证:abef;(2)若pa=pd=ad,且平面pad平面abcd,求平面paf与平面afe所成的锐二面角的余弦值.2.(2018北京东城期中,17)在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,abcd,abad,pa=ab,abadcd=221.(1)证明bdpc;(2)求二面角a-pc-d的余弦值;(3)设点q为线段pd上一点,且直线aq与平面pac所成角的正弦值为23,求pqpd的值.b组提升题组3.(2017北京东城二模,17)如图,在几何体abcdef中,平面ade平面abcd,四边形abcd为菱形,且dab=60,ea=ed=ab=2ef,efab,m为bc的中点.(1)求证:fm平面bde;(2)求直线cf与平面bde所成角的正弦值;(3)在棱cf上是否存在点g,使得bgde?若存在,求cgcf的值;若不存在,说明理由.4.(2017北京东城一模,17)如图,在三棱锥p-abc中,平面pab平面abc,apbp,acbc,pab=60,abc=45,d是ab的中点,e,f分别为pd,pc的中点.(1)求证:ae平面pcd;(2)求二面角b-pa-c的余弦值;(3)在棱pb上是否存在点m,使得cm平面aef?若存在,求pmpb的值;若不存在,说明理由.答案精解精析a组基础题组1.解析(1)证明:因为底面abcd是菱形,所以abcd.又因为ab平面pcd,cd平面pcd,所以ab平面pcd.又因为a,b,e,f四点共面,且平面abef平面pcd=ef,所以abef.(2)取ad的中点g,连接pg,gb.因为pa=pd,所以pgad.又因为平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad,所以pg平面abcd.所以pggb.在菱形abcd中,因为ab=ad,dab=60,g是ad中点,所以adgb.如图,建立空间直角坐标系g-xyz,设pa=pd=ad=2a,则a(a,0,0),b(0,3a,0),c(-2a,3a,0),d(-a,0,0),p(0,0,3a).又cdef,点e是棱pc的中点,所以点f是棱pd的中点,e-a,3a2,3a2,f-a2,0,3a2.所以af=-3a2,0,3a2,ef=a2,-3a2,0.设平面afe的法向量为n=(x,y,z),则有naf=0,nef=0.所以z=3x,y=33x.令x=3,则平面afe的一个法向量为n=(3,3,33).易知bg平面pad,所以gb=(0,3a,0)是平面paf的一个法向量.因为cos=ngb|n|gb|=3a393a=1313,所以平面paf与平面afe所成的锐二面角的余弦值为1313.2.解析以a为坐标原点,ab,ad,ap所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系a-xyz.设ab=2,则有b(2,0,0),d(0,2,0),p(0,0,2),c(1,2,0),a(0,0,0).(1)证明:bd=(-2,2,0),pc=(1,2,-2),bdpc=0,bdpc.(2)ac=(1,2,0),ap=(0,0,2),设平面pac的法向量为m=(x1,y1,z1),则mac=0,map=0,即x1+2y1=0,2z1=0,令x1=2,得y1=-1,所以平面pac的一个法向量为m=(2,-1,0).dp=(0,-2,2),pc=(1,2,-2),设平面dpc的法向量n=(x2,y2,z2),则ndp=0,npc=0,即-2y2+2z2=0,x2+2y2-2z2=0,令y2=-2,得z2=-1,x2=0,所以平面dpc的一个法向量为n=(0,-2,-1).cos=mn|m|n|=23,二面角a-pc-d的余弦值为23.(3)设pqpd=t,t0,1,aq=ap+pq=ap+tpd,aq=(0,0,2)+t(0,2,-2)=(0,2t,2-2t),设为直线aq与平面pac所成的角,则sin =|cos |=|aqm|aq|m|=23,2t32t2+(2-2t)2=233t2=6t2-8t+4,解得t=2(舍)或23.所以pqpd=t=23.b组提升题组3.解析(1)证明:如图,取cd的中点n,连接mn、fn.因为n,m分别为cd,bc的中点,所以mnbd.又bd平面bde且mn不在平面bde内,所以mn平面bde,因为四边形abcd为菱形,所以abcd,又因为efab,ab=2ef,所以efcd,ef=dn.所以四边形efnd为平行四边形.所以fned.又ed平面bde且fn不在平面bde内,所以fn平面bde,又n为fn和mn的交点,所以平面mfn平面bde.又fm平面mfn,所以fm平面bde.(2)如图,取ad的中点o,连接eo,bo.因为ea=ed,所以eoad.因为平面ade平面abcd,所以eo平面abcd,eobo.因为ad=ab,dab=60,所以三角形adb为等边三角形.因为o为ad的中点,所以adbo.eo,bo,ao两两垂直,以o为原点,oa,ob,oe所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设ab=4,则a(2,0,0),b(0,23,0),c(-4,23,0),d(-2,0,0),e(0,0,23),f(-1,3,23),所以cf=(3,-3,23),de=(2,0,23),be=(0,-23,23).设平面bde的法向量为n=(x,y,z),则nbe=0,nde=0,即y-z=0,x+3z=0.令z=1,则y=1,x=-3.所以n=(-3,1,1).设直线cf与平面bde所成角为,则sin =|cos|=1010,所以直线cf与平面bde所成角的正弦值为1010.(3)存在.设g是cf上一点,且cg=cf,0,1,因此点g(3-4,-3+23,23),bg=(3-4,-3,23).由bgde=0,解得=49.所以在棱cf上存在点g,使得bgde,此时cgcf=49.4.解析(1)证明:在rtabc中,因为abc=45,d为ab的中点,所以cdab.又因为平面pab平面abc,且平面pab平面abc=ab,所以cd平面pab.因为ae平面pab,所以cdae.因为apbp,d为ab的中点,所以dp=ad,又pab=60,所以pad为等边三角形,又e为pd的中点,所以aepd.因为pdcd=d,所以ae平面pcd.(2)在pab中,取ad的中点o,连接po,所以poab.在平面abc中,过o作cd的平行线,交ac于g.因为平面pab平面abc,所以po平面abc,所以poog,所以og,ob,op相互垂直,如图,建立空间直角坐标系o-xyz.设ab=4a,则a(0,-a,0),b(0,3a,0),c(2a,a,0),p(0,0,3a),d(0,a,0),所以ac=(2a,2a,0),pa=(0,-a,-3a).设平面pac的法向量n=(x,y,z),则nac=0,npa=0,即x+y=0,y+3z=0.令z=1,则y=-3,x=3.所以n=(3,-3,1).平面pab的法向量dc=(2a,0,0),设n与dc的夹角为,则cos =ndc|n|dc|=217,所以二面角b-pa-c的余弦值为217.(3)设m是棱pb上一点,则存在0,1,使得pm=pb.则m(0,3a,3a(1-),cm=(-2a,a(3-1),3a(1-).由(1)知cd平