高中数学 专题1.1.2 导数的概念 1.1.2 变化率问题教案 新人教A版选修22.doc

1.1.2 导数的概念 1.1.2 变化率问题【教学目标】1了解导数概念的实际背景 2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数【教法指导】本节学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念本节学习难点：平均变化率、瞬时变化率的概念，导数的概念【教学过程】复习引入 某市2016年5月30日最高气温是33.4，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4和18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5和5月28日最高气温18.6进行比较，可以发现二者温差为15.1，甚至超过了14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.探索新知思考1：气球膨胀率很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答：气球的半径r(单位：dm)与体积v(单位：l)之间的函数关系是r(v) ，(2)当空气容量v从1 l增加到2 l时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为0.16(dm/l)可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了结论当空气容量从v1增加到v2时，气球的平均膨胀率是.思考2：高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.计算运动员在时间段0t0.5，1t2内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？答：在0t0.5这段时间里，4.05(m/s)；在1t2这段时间里，8.2(m/s)由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢思考3：思考3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？思考4：平均变化率也可以用式子表示，其中y、x的意义是什么？有什么几何意义？答：x表示x2x1是相对于x1的一个“增量”；y表示f(x2)f(x1)x、y的值可正可负，y也可以为零，但x不能为零观察图象可看出，表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)连线的斜率【小结】平均变化率为，其几何意义是：函数yf(x)的图象上两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)连线的斜率思考5：物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答：不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)4.9t26.5t10，易知h()h(0)，0，而运动员依然是运动状态思考6：什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态如求t2时的瞬时速度，可考察在t2附近的一个间隔t，当t趋近于0时，平均速度v趋近于 ，这就是物体在t2时的瞬时速度类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 叫做函数yf(x)在xx0处的导数思考7：(1)计算函数h(x)4.9x26.5x10从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0.01.(2)思考：当|x|越来越小时，函数h(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当|x|越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.思考8：导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答：导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度2函数在某点处的导数：我们称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .2、例题剖析例1已知函数f(x)2x23x5.(1)求当x14，x25时，函数增量y和平均变化率；(2)求当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率；(3)若设x2x1x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义解：f(x)2x23x5，yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x2(x)219x.2x19.(1)当x14，x25时，x1，y2(x)219x21921，21.(2)当x14，x24.1时x0.1，y2(x)219x0.021.91.92.2x1919.2.(3)在(1)题中，它表示抛物线上点p0(4,39)与点p1(5,60)连线的斜率在(2)题中，它表示抛物线上点p0(4,39)与点p2(4.1,40.92)连线的斜率【反思与感悟】求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.例2利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数【反思与感悟】求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第x h时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数的定义，x3，所以，f(2) (x3)3.同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 /h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 /h的速率上升课堂提高1如果质点m按规律s3t2运动，则在一小段时间2，2.1中相应的平均速度是()a4 b4.1 c0.41 d3【答案】b【解析】4.1.2函数f(x)在x0处可导，则 ()a与x0、h都有关b仅与x0有关，而与h无关c仅与h有关，而与x0无关d与x0、h均无关【答案】b3已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()a4 b4x c42x d42(x)2【答案】c4已知函数f(x)，则f(1)_.【答案】【解析】f(1) .5求函数f(x)3x22x在x1处的导数【解析】y3(1x)2